2015-2016學年北京市石景山區(qū)九年級（上）期末數學試卷

2015-2016學年北京市石景山區(qū)九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一

個是符合題意的.

1.（3分）已知。O的半徑為3,圓心O到直線L的距離為2,則直線L與。O

的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

2.（3分）兩個相似三角形的相似比為1：2,若較小三角形的面積為1,則較大

三角形的面積為（）

A.8B.4C.2D.V2

3.（3分）德育處王主任將10份獎品分別放在10個完全相同的不透明禮盒中，

準備將它們獎給小明等10位獲“科技節(jié)活動先進個人”稱號的同學.這些獎品

中有5份是學習文具，3份是科普讀物，2份是科技館通票.小明同學從中隨

機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是（）

A.1B.WC.2D.A

25510

4.（3分）某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得

體.如圖，若舞臺AB的長為20m,C為AB的一個黃金分割點（AC<BC）,則

AC的長為（結果精確到0.1m）（）

A.6.7mB.7.6mC.10mD.12.4m

5.（3分）將拋物線y=-（x+1）2向左平移1個單位后，得到的拋物線的頂點坐

標是（）

A.（-2,0）B.（0,0）C.（-1,-1）D.（-2,-1）

6.（3分）二次函數y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，則下列關系式中正確

的是（）

A.ac>0B.b+2a<0C.b2-4ac>0D.a-b+c<0

7.（3分）如圖，AB為。。的直徑，C,D為。。上的兩點，若NAOC=80。，則N

D的度數為（）

A.80°B.60°C.50°D.40°

8.（3分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,若AC=4,BD=2,則

2^1D.逅

55

9.（3分）二次函數y=ax2+bx+c（a#0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=

-1,與x軸的一個交點為（1,0）,與y軸的交點為（0,3）,則方程ax2+bx+c=0

（aWO）的解為（）

10.（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=4cm,點E、F同時從C點出發(fā)，以lcm/s

的速度分別沿CB-BA、CD-DA運動，到點A時停止運動.設運動時間為t

2

（s）,4AEF的面積為S（cm2）,則s（Cm）與t（s）的函數關系可用圖象表

示為（）

B

二、填空題（本題共6道小題，每小題3分，共18分）

1L（3分）若sina=喙，則銳角a=

12.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B在y軸上，AB=AO,反比例

函數y=K（x〉0）的圖象經過點A,若△ABO的面積為2,則k的值為

13.（3分）如果某人沿坡度i=l：3的斜坡前進10m,那么他所在的位置比原來

的位置升高了m.

14.（3分）如圖，折扇的骨柄OA的長為5a,扇面的寬CA的長為3a,折扇張開

的角度為n。，則扇面的面積為（用代數式表示）.

/

15.（3分）根據函數學習中積累的知識與經驗，請你構造一個函數，使其圖象

與x軸有交點，但與y軸無交點，這個函數表達式可以為.

16.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸上，點B在x軸上，

NABO=60。，若點D（1,0）且BD=2OD.把△ABO繞著點D逆時針旋轉m°

（0<m<180）后，點B恰好落在初始RtAABO的邊上，此時的點B記為8',

則點B，的坐標為.

三、解答題（本題共6道小題，每小題5分，共30分）

17.（5分）計算：（3-TI）0+4sin45°?cos30°-2-2.

18.（5分）已知：二次函數y=-x2+bx+c的圖象過點（-1,-8）,（0,-3）.

（1）求此二次函數的表達式，并用配方法將其化為y=a（x-h）2+k的形式；

（2）畫出此函數圖象的示意圖.

19.（5分）《九章算術》中記載了這樣一道題："今有圓材，埋在壁中，不知大

小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？"用現代的語言表述為："如

果AB為。。的直徑，弦CDLAB于E,AE=1寸，CD=10寸，那么直徑AB的

長為多少寸？"請你補全示意圖，并求出AB的長.

20.（5分）中秋節(jié)來臨，小紅家自己制作月餅.小紅做了三個月餅，1個芝麻餡,

2個豆沙餡；小紅的爸爸做了兩個月餅，1個芝麻餡，1個豆沙餡（除餡料不

同，其它都相同）.做好后他們請奶奶品嘗月餅，奶奶從小紅做的月餅中拿了

一個，從小紅爸爸做的月餅中拿了一個.請利用列表或畫樹狀圖的方法求奶

奶拿到的月餅都是豆沙餡的概率.

21.（5分）如圖，Rt^ABC中，NACB=90。，cosA=S,D為AB上一點，且AD：

6

BD=1：2,若BC=3j五，求CD的長.

22.（5分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=里的圖象過點A（1,6）.

X

（1）求反比例函數的表達式；

（2）過點A的直線與反比例函數丫=皿圖象的另一個交點為B,與x軸交于點P,

X

若AP=2PB,求點P的坐標.

四、解答題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）

23.（5分）如圖，為了測量某電線桿（底部可到達）的高度，準備了如下的測

量工具：

①平面鏡；②皮尺；③長為2米的標桿；④高為1.5m的測角儀（測量仰角、俯

角的儀器），請根據你所設計的測量方案，回答下列問題：

（1）畫出你的測量方案示意圖，并根據你的測量方案寫出你所選用的測量工具;

（2）結合你的示意圖，寫出求電線桿高度的思路.

24.（5分）"母親節(jié)"前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們

購進了一批單價為20元的“孝文化衫"在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐

給貧困母親.在義賣的過程中發(fā)現"這種文化衫每天的銷售件數y（件）與銷

售單價x（元）滿足一次函數關系：y=-3x+108（20<x<36）如果義賣這

種文化衫每天的利潤為P（元），那么銷售單價定為多少元時，每天獲得的利

潤最大？最大利潤是多少？

25.（5分）如圖，CE是。。的直徑，D為。。上一點，過點D作。。的切線，

交CE延長線于點A,連接DE,過點。作OB〃ED,交AD的延長線于點B,

連接BC.

（1）求證：直線BC是。。的切線；

（2）若AE=2,tanZDEO=V2?求AO的長.

BC

426.（5分）閱讀下面材料：

小天在學習銳角三角函數中遇到這樣一個問題：在RtAABC中，ZC=90°,Z

B=22.5°,則tan22.5°=

小天根據學習幾何的經驗，先畫出了幾何圖形（如圖1），他發(fā)現22.5。不是特殊

角，但它是特殊角45。的一半，若構造有特殊角的直角三角形，則可能解決這

個問題.于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA,連接AD（如圖2）,通過構

造有特殊角（45。）的直角三角形，經過推理和計算使問題得到解決.

請回答：tan22.5-=.

參考小天思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在等腰4ABC中，AB=AC,NA=30。，請借助△ABC,構造出15。的角,

并求出該角的正切值.

五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）

27.（7分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+2mx-m2+l的對稱軸是直

線x=l.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點D（n,%），E（3,y2）在拋物線上，若力<丫2,請直接寫出n的取值范

圍；

（3）設點M（p,q）為拋物線上的一個動點，當-1<p<2時，點M關于y軸

的對稱點都在直線y=kx-4的上方，求k的取值范圍.

28.（7分）在正方形ABCD中，DE為正方形的外角NADF的角平分線，點G在

線段AD上，過點G作PGLDE于點P,連接CP,過點D作DCUPC于點Q,

交射線PG于點H.

（1）如圖1，若點G與點A重合.

①依題意補全圖1;

②判斷DH與PC的數量關系并加以證明；

（2）如圖2,若點H恰好在線段AB上，正方形ABCD的邊長為1,請寫出求DP

長的思路（可以不寫出計算結果）.

29.（8分）在平面直角坐標系xOy中，的半徑為1,P是坐標系內任意一點，

點P到。。的距離Sp的定義如下：若點P與圓心0重合，則Sp為。。的半徑

長；若點P與圓心0不重合，作射線0P交。。于點A,則Sp為線段AP的長

度.

圖1為點P在。。外的情形示意圖.

(2)若直線y=x+b上存在點M,使得SM=2,求b的取值范圍；

(3)已知點P,Q在x軸上，R為線段PQ上任意一點.若線段PQ上存在一點T,

滿足T在。0內且STNSR,直接寫出滿足條件的線段PQ長度的最大值.

2015-2016學年北京市石景山區(qū)九年級（上）期末數學試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，其中只有一

個是符合題意的.

1.（3分）已知。O的半徑為3,圓心O到直線L的距離為2,則直線L與

的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

【分析】根據圓O的半徑和，圓心O到直線L的距離的大小，相交：d<r；相

切：d=r；相離：d>r；即可選出答案.

【解答】解：：?O的半徑為3,圓心O到直線L的距離為2,

V3>2,即：d<r,

???直線L與。O的位置關系是相交.

故選:A.

【點評】本題主要考查對直線與圓的位置關系的性質的理解和掌握，能熟練地運

用性質進行判斷是解此題的關鍵.

2.（3分）兩個相似三角形的相似比為1：2,若較小三角形的面積為1,則較大

三角形的面積為（）

A.8B.4C.2D.V2

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：.??兩個相似三角形的相似比為1：2,

???兩個相似三角形的面積比為1：4,

,較小三角形的面積為1,

較大三角形的面積為4,

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比

的平方是解題的關鍵.

3.（3分）德育處王主任將10份獎品分別放在10個完全相同的不透明禮盒中,

準備將它們獎給小明等10位獲“科技節(jié)活動先進個人"稱號的同學.這些獎品

中有5份是學習文具，3份是科普讀物，2份是科技館通票.小明同學從中隨

機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是()

A.1B.2C.1.D.旦

25510

【分析】根據根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情

況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率即可求出答案.

【解答】解：小明同學從中隨機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是旦.

10

故選：D.

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能

性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=亞.

n

4.(3分)某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得

體.如圖，若舞臺AB的長為20m,(:為AB的一個黃金分割點(AC<BC),則

AC的長為(結果精確到0.1m)()

ACh

A.6.7mB.7.6mC.10mD.12.4m

【分析】根據黃金比值約為0.618進行計算即可.

【解答】解：???C為AB的一個黃金分割點，

BC=^11AB=12.4cm,

2

AAC=20-12.4=7.6cm,

故選：B.

【點評】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的

線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們

的比值叵工叫做黃金比.

2

5.(3分)將拋物線y=-(x+1)2向左平移1個單位后，得到的拋物線的頂點坐

標是()

A.(-2,0)B.(0,0)C.(-1,-1)D.(-2,-1)

【分析】根據題意易得新拋物線的頂點，根據頂點式及平移前后二次項的系數不

變可得新拋物線的得到坐標.

【解答】解：y=-（x+1）2,其頂點坐標為（-1,0）.

向左平移1個單位后的頂點坐標為（-2,0）,

故選：A.

【點評】此題主要考查了次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左

加右減，上加下減.

6.（3分）二次函數y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，則下列關系式中正確

的是（）

A.ac>0B.b+2a<0C.b2-4ac>0D.a-b+c<0

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與。的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c

與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所

得結論進行判斷.

【解答】解：A、由函數圖象可知二次函數y=ax2+bx+c的開口向上，即a>0,交

于y軸的負半軸c<0,ac<0,故本選項錯誤；

B、由函數圖象可知對稱軸x=-所以-bV2a,即2a+b>0,故本選項錯

2a

誤；

C、由函數圖象可知二次函數y=ax?+bx+c與x軸有兩個交點，則b?-4ac>0.故

本選項正確；

D、由函數圖象可知當x=-1時，y>0,a-b+c>0,故本選項錯誤.

故選：C.

【點評】考查二次函數圖象與系數的關系；用到的知識點為：二次函數的開口向

上，a>0；二次函數與y軸交于負半軸，c<0；二次函數與x軸有2個交點，

b2-4ac>0；a-b+c的符號用當x=-1時，函數值的正負判斷.

7.（3分）如圖，AB為。。的直徑，C,D為。。上的兩點，若NAOC=80。，則N

D的度數為（)

A

A.80°B.60°C.50°D.40°

【分析】根據鄰補角的性質求出NBOC的度數，根據圓周角定理計算即可.

【解答】解：?.,NAOC=80°,

AZBOC=100°,

AZD=1ZBOC=50°,

2

故選：C.

【點評】本題考查的是圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓

周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵.

8.（3分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,若AC=4,BD=2,則

【分析】首先根據菱形的性質可得AO=LAC,DO=1BD,AC±BD,再利用勾股定

22

理可得AD長，然后再根據余弦定義可得答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

.,.AO=1AC,DO=1BD,AC±BD,

22

VAC=4,BD=2,

AAO=2,D0=l,

?*,AD22+]2=

/.cosZ1=—

AD遍5

故選：D.

【點評】此題主要考查了菱形的性質，以及勾股定理的應用，關鍵是掌握菱形的

對角線互相垂直，并且互相平分.

9.（3分）二次函數y=ax?+bx+c（aWO）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=

-1,與x軸的一個交點為（1,0）,與y軸的交點為（0,3）,則方程ax2+bx+c=0

（aWO）的解為（）

A.x=lB.x=-1C.Xi=l,X2=_3D.Xi=l,X2=-4

【分析】根據拋物線的對稱性判斷出拋物線與X軸的另一個交點的坐標，從而可

得到方程的解.

【解答】解：?.?拋物線的對稱軸為直線X=-1,與x軸的一個交點為（1,0）,

拋物線與x軸另一個交點坐標為（-3,0）.

ax2+bx+c=0（aWO）的解為xi=Lx?=-3.

故選：C.

【點評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，依據拋物線的對稱性求得拋物

線與x軸的另一個交點坐標是解題的關鍵.

10.（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=4cm,點E、F同時從C點出發(fā)，以lcm/s

的速度分別沿CB-BA、CD-DA運動，到點A時停止運動.設運動時間為t

（s）,4AEF的面積為S（cm?）,則s（cm2）與t（s）的函數關系可用圖象表

示為（）

A___________

DC

【分析】分類討論：當0WtW4時，利用S=S正方形ABCD一SAADF-SAABE-SACEF可得

s=-lt2+4t,配成頂點式得S=-1（t-4）2+8,此時拋物線的開口向下，頂

22

點坐標為（4,8）；當4VtW8時，直接根據三角形面積公式得到S=L（8-t）

2

2=1（t-8）2,此時拋物線開口向上，頂點坐標為（8,0）,于是根據這些特

2

征可對四個選項進行判斷.

【解答】解：當0WtW4時，S=S正方形ABCD-SAADF-SAABE-SACEF

=4*4-—*4*(4-t)--*4*(4-t)--*t*t

222

=_J_t2+4t

2

=-1(t-4)2+8；

2

當4VtW8時，S=l?(8-t)2=1(t-8)2.

22

故選：D.

【點評】本題考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應

用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以

提高分析問題、解決問題的能力.解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求

出S與t的函數關系式.

二、填空題（本題共6道小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）若sinCL=喙，則銳角a=60。.

【分析】根據特殊角度的三角函數值求解.

【解答】解：...sina=逅,

2

.?.a=60°,

故答案為：60°.

【點評】此題主要考查了特殊角度的三角函數值，是需要識記的內容.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B在y軸上，AB=AO,反比例

函數y=K（x>0）的圖象經過點A,若△ABO的面積為2,則k的值為2.

【分析】如圖，過點A作AD±y軸于點D,結合等腰三角形的性質得到AADO

的面積為1,所以根據反比例函數系數k的幾何意義求得k的值.

【解答】解：如圖，過點A作AD，y軸于點D,

VAB=AO,△ABO的面積為2,

SAADO=—k|=l,

2

又反比例函數的圖象位于第一象限，k>0,

則k=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向

兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k1.本知識點是中考的

重要考點，同學們應高度關注.

13.（3分）如果某人沿坡度i=l：3的斜坡前進10m,那么他所在的位置比原來

的位置升高了_2/*一m-

【分析】根據題意作出圖形，可得BC：AB=1：3,設BC=x,AB=3x,根據勾股定

理可得AC2=AB2+BC2,代入求出x的值.

【解答】解：設BC=x,AB=3x,

則AC2=AB2+BC2,

AC=VAB2+BC2=V10x=lo>

解得：X=V1Q.

故所在的位置比原來的位置升高了傷m.

故答案為：V10-

【點評】本題考查了坡度和坡角的知識，解答本題的關鍵是根據題意構造直角三

角形，利用三角函數的知識求解.

14.（3分）如圖，折扇的骨柄0A的長為5a,扇面的寬CA的長為3a,折扇張開

2

的角度為n。，則扇面的面積為7n兀a（用代數式表示）.

—120―

2

【分析】根據題意求出OC的長，根據扇形的面積公式S=n2通計算即可.

360

【解答】解：VOA=5a,CA=3a,

.*.OC=2a,

扇面的面積=nTX25a2_衛(wèi)￡2￡量=衛(wèi)1工總1,

360360120

2

故答案為：7n兀a.

120

2

【點評】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式s=T也是解題

360

的關鍵.

15.(3分)根據函數學習中積累的知識與經驗，請你構造一個函數，使其圖象

與x軸有交點，但與y軸無交點，這個函數表達式可以為x=l.

【分析】根據函數的圖象與x軸有交點，但與y軸無交點，可得這個函數表達式

可以為x=l.

【解答】解：由題意可得這個函數表達式可以為x=l.

故答案為x=l.

【點評】本題考查了函數的圖象與性質，注意此題是開放性試題，答案不唯一.

16.(3分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸上，點B在x軸上，

ZABO=60°,若點D(1,0)且BD=2OD.把△ABO繞著點D逆時針旋轉m°

(0<mV180)后，點B恰好落在初始RtAABO的邊上，此時的點B記為8',

【分析】分類討論：當點B恰好落在AB上，如圖1,根據旋轉的性質得DB=DB，=2,

易得△DBB，為等邊三角形，作B，E，DB于E,如圖1,根據等邊三角形的性質

得DE=BE=1BD=1,B'E=?DE=?,則B'(2,%)；當點B恰好落在OA上，

2

如圖1,根據旋轉的性質得DB=DB'=2,利用勾股定理計算出OB，=?,則B-

(0，M),于是得到夕點的坐標為(2,V3)或(0，V3).

【解答】解：：點D(1,0)且BD=2OD,

ABD=2,

當把△ABO繞著點D逆時針旋轉m°(0<m<180)后得到△ABC,點B恰好落

在AB上，如圖1,

.?.DB=DB',

而NABO=60°,

??.△DBB，為等邊三角形，

作BTXDB于E,如圖1,

.*.DE=BE=1BD=1,B，E=?DE=y,

2

??.B'（2,?）；

當把△ABO繞著點D逆時針旋轉m°（0<m<180）后得到△ABC,點B恰好落

在0A上，如圖1,

.?.DB=DB'=2,

22-12=?,

?■（0,?）.

故答案為（2,遂）或（0,遂）.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角

度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：

30。，45。，60。，90°,180°.解決本題的關鍵是分類畫出滿足條件的幾何圖形.

三、解答題（本題共6道小題，每小題5分，共30分）

17.（5分）計算：（3-n）0+4sin45°?cos30°-22.

【分析】先進行零指數累、特殊角的三角函數值、負整數指數易等運算，然后合

并求解.

【解答】解：原式=1+4X返乂1-工

224

4

【點評】本題考查了實數的運算，涉及了零指數募、特殊角的三角函數值、負整

數指數募等知識，屬于基礎題.

18.(5分)已知：二次函數y=-x2+bx+c的圖象過點(-1,-8),(0,-3).

(1)求此二次函數的表達式，并用配方法將其化為y=a(x-h)2+k的形式；

(2)畫出此函數圖象的示意圖.

【分析】(1)先將點(-1,-8),(0,-3)代入y=-x2+bx+c,列出關于b、c

的二元一次方程組，求解得出b、c的值，得到二次函數的表達式，再用配方

法化為頂點式的形式

(2)利用描點法畫出函數圖象即可.

【解答】解：(1)..?二次函數y=-x2+bx+c的圖象過點(-1,-8),(0,-3),

...f-l-b+c=-8,解得(b=4,

Ic=-3Ic=-3

此二次函數的表達式為y=-x2+4x-3；

y=-x2+4x-3=-(x-2)2+l；

(2)Vy=-(x-2)2+l,

頂點坐標為(2,1),對稱軸方程為x=2.

,函數二次函數y=-x2+4x-3的開口向下，頂點坐標為(2,1),與x軸的交點

為(3,0),(1,0),

???其圖象為

【點評】本題考查的是待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的三種形式，

二次函數的性質及用描點法畫二次函數的圖象，能利用待定系數法求出二次

函數的解析式是解答此題的關鍵.

19.(5分)《九章算術》中記載了這樣一道題："今有圓材，埋在壁中，不知大

小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現代的語言表述為："如

果AB為。。的直徑，弦CDLAB于E,AE=1寸，CD=10寸，那么直徑AB的

長為多少寸？”請你補全示意圖，并求出AB的長.

【分析】連接0D,由直徑AB與弦CD垂直，根據垂徑定理得到E為CD的中點,

由CD的長求出DE的長，設OD=OA=x寸，則AB=2x寸，0E=(x-1)寸，由

勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑AB的長.

【解答】解：如圖所示，連接0D.

?弦CDLAB,AB為圓。的直徑，

.，.E為CD的中點，

又,.,CD=10寸，

.*.CE=DE=1CD=5寸，

2

設OD=OA=x寸，則AB=2x寸，0E=(x-1)寸，

由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,

即(x-1)2+52=X2,

解得：x=13,

；.AB=26寸,

即直徑AB的長為26寸.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直

得中點，進而由弦長的一半，弦心距及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股

定理來解決問題.

20.（5分）中秋節(jié)來臨，小紅家自己制作月餅.小紅做了三個月餅，1個芝麻餡，

2個豆沙餡；小紅的爸爸做了兩個月餅，1個芝麻餡，1個豆沙餡（除餡料不

同，其它都相同）.做好后他們請奶奶品嘗月餅，奶奶從小紅做的月餅中拿了

一個，從小紅爸爸做的月餅中拿了一個.請利用列表或畫樹狀圖的方法求奶

奶拿到的月餅都是豆沙餡的概率.

【分析】用字母A表示芝麻餡，字母表示豆沙餡，利用畫樹狀圖展示所有6種等

可能的結果數，再找出月餅都是豆沙餡的結果數，然后根據概率公式求解.

【解答】解：用字母A表示芝麻餡，字母表示豆沙餡，

畫樹狀圖：

AB

C人

BAB/\

共有6種等可能的結果數，其中月餅都是豆沙餡的結果數為2,

所以月餅都是豆沙餡的概率=2=

【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能

的結果求出n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后根據概率公

式求出事件A或B的概率.

21.（5分）如圖，R3ABC中,ZACB=90",cosA=旦,D為AB上一點，且AD：

BD=1：2,若BC=3j五，求CD的長.

【分析】過D作DELAC于E,則DE〃BC.先在RQABC中，由3人=螞=且

AB6

可設AC=5k,則AB=6k,利用勾股定理得出AB?-AC?=BC2,求出k=±3（負值

舍去），那么AC=15,AB=18.再由DE〃BC,得出理=膽=膽=!，求出

BCACAB3

DE=1BC=VT1>AE=1AC=5,CE=AC-AE=10,然后利用勾股定理得出

33

CD=VDE2+CE2=^^,

【解答】解：過D作DELAC于E,則DE〃BC.

：RQABC中，ZACB=90",

cosA=>^=旦，

AB6

.?.設AC=5k,則AB=6k,

VAB2-AC2=BC2,

A36k2-25k2=99,

Ak=±3（負值舍去），

.*.AC=15,AB=18.

：DE〃BC,

DE_AE_AD,1；

BCACAB

.,.DE=1BC=VTI-AE=1AC=5,

33

.*.CE=AC-AE=10,

?*,CD=VDE2+CE2=^^,

【點評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數的定義，平行線分線段成比例

定理，勾股定理，難度適中.準確作出輔助線，構造CD為直角三角形的斜邊

是解題的關鍵.

22.(5分)在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=史的圖象過點A(1,6).

X

(1)求反比例函數的表達式；

(2)過點A的直線與反比例函數y=2圖象的另一個交點為B,與x軸交于點P,

X

若AP=2PB,求點P的坐標.

【分析】(1)把A點代入，根據待定系數法即可求得；

(2)作AC，x軸于C,BD，x軸于D,通過證得△APCs^BPD,得出處=空=2,

BDPB

求得B的縱坐標，代入解析式求得坐標，然后根據待定系數法求得直線AB的

解析式，令y=0,即可求得P的坐標.

【解答】解：⑴???反比例函數y=)的圖象過點A(1,6),

X

??.k=lX6=6,

???反比例函數的表達式為：y=A；

x

(2)作AC，x軸于C,BD，x軸于D,

：AC〃BD,

/.△APC^ABPD,

AAC=AP?

**BDPB，

VAP=2PB,

，AC=2BD,

VAC=6,

，BD=3,

AB的縱坐標為±3,

把y=3代入y=@得3=0，解得x=2,

XX

把y=-3代入y=§得，-3=@,解得x=-2,

xx

AB(2,3)或(-2,-3),

設直線AB的解析式為y=kx+b,

把A(l,6),B(2,3)代入得J+b=6,解得［k=-3

12k+b=3Ib=9

把A(1,6),B(-2,-3)代入得僅+匕=6,解得［k=3,

I-2k+b=-3Ib=3

二直線AB的解析式為y=-3x+9或y=3x+3,

令y=0,則求得x=3或-1,

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點及待定系數法求函數解析式,

待定系數法求函數解析式是本題的關鍵.

四、解答題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）

23.（5分）如圖，為了測量某電線桿（底部可到達）的高度，準備了如下的測

量工具:

①平面鏡；②皮尺；③長為2米的標桿；④高為1.5m的測角儀（測量仰角、俯

角的儀器），請根據你所設計的測量方案，回答下列問題：

（1）畫出你的測量方案示意圖，并根據你的測量方案寫出你所選用的測量工具;

（2）結合你的示意圖，寫出求電線桿高度的思路.

【分析】（1）根據題意，設計方案如圖，選用的測量工具：高為1.5m的測角儀,

皮尺；

(2)根據正切函數進行設計測量方法，先測得CA的大小，因為四邊形ACDE是

矩形；可得DE=AC,AE=CD=1.5；根據相正切函數求得BE,即AB=BE+1.5.

【解答】解：(1)測量方案示意圖如圖；選用的測量工具：高為1.5m的測角儀,

皮尺；

B

(2)CA(測角儀離電線桿的距離)=a,DC測角儀的高=1.5m,ZBDE(測角儀

測的仰角)=a,

根據正切函數；可得：tana=些；

DE

因為DE=CA=a(m),AE=CD=1.5m,

即BE=tana?a(m),

則AB=BE+AE=(tana*a+1.5)m.

故電線桿高度為(tana?a+1.5)米

【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角

形并結合圖形利用三角函數解直角三角形.

24.(5分)"母親節(jié)"前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們

購進了一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐

給貧困母親.在義賣的過程中發(fā)現"這種文化衫每天的銷售件數y(件)與銷

售單價x(元)滿足一次函數關系：y=-3x+108(20<x<36)如果義賣這

種文化衫每天的利潤為P(元)，那么銷售單價定為多少元時，每天獲得的利

潤最大？最大利潤是多少？

【分析】根據題意得出每天獲得的利潤P=(-3x+108)(x-20),轉換為P=-3

(x-28)2+192,于是求出每天獲得的利潤P最大時的銷售價格.

【解答】解：根據題意得:

P=(-3x+108)(x-20)

=-3x2+168x-2160

=-3(x-28)2+192.

Va=-3<0,

當x=28時，利潤最大=192元；

答：當銷售單價定為28元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是192元.

【點評】本題主要考查二次函數的應用的知識點；解答本題的關鍵是熟練掌握二

次函數的性質以及最值得求法，此題難度不大.

25.(5分)如圖，CE是。O的直徑，D為。O上一點，過點D作。O的切線，

交CE延長線于點A,連接DE,過點。作OB〃ED,交AD的延長線于點B,

連接BC.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若AE=2,tanZDEO=V2?求AO的長.

【分析】(1)連接OD,由DE〃BO,得到N1=N4,Z2=Z3,通過證明△DOB

手△COB,得到NOCB=NODB,問題得證；

(2)根據三角函數tanNDEO=tanN2=&,設OC=r,BC=&r,得到BD=BC=&r,

由切割線定理得到AD=2g,再根據平行線分線段成比例得到比例式即可求

得結果.

【解答】解：(1)連接OD,

VDE/7BO,

Z1=Z4,N2=N3,

VOD=OE,

/.Z3=Z4,

.*.Z1=Z2,

ISADOB與△COB中，

'0D=0C

'Z1=Z2-

0B=0B

.?.△DOB之△COB,

AZOCB=ZODB,

?；BD切。。于點D,

AZODB=90",

AZOCB=90°,

AACXBC,

直線BC是。O的切線;

(2)VZDE0=Z2,

tanZDEO=tanN2=

設OC=r,BC=-\/2r'

由(1)證得△DOB0ACOB,

BD=BC=&r,

由切割線定理得：AD2=AE?AC=2(2+r),

??AD=21+r，

VDE/7BO,

?ADAE

「而汽’

?'71772

V2r

r=l,

AA0=3.

A

R

【點評】本題考查了切線的判定和性質，全等三角形的判定與性質，切割線定理,

平行線分線段成比例，掌握定理是解題的關鍵.

26.（5分）閱讀下面材料：

小天在學習銳角三角函數中遇到這樣一個問題：在RtAABC中，ZC=90°,Z

B=22.5°,則tan22.5°=及-1

小天根據學習幾何的經驗，先畫出了幾何圖形（如圖1），他發(fā)現22.5。不是特殊

角，但它是特殊角45。的一半，若構造有特殊角的直角三角形，則可能解決這

個問題.于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA,連接AD（如圖2）,通過構

造有特殊角（45。）的直角三角形，經過推理和計算使問題得到解決.

請回答：tan22.5°=_

參考小天思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在等腰4ABC中，AB=AC,NA=30。，請借助△ABC,構造出15。的角，

并求出該角的正切值.

【分析】如圖2,設CD=CA=a,4ACD為等腰直角三角形，則AD=?a,易得/

DAB=NB=22.5。，所以DB=DA=?a,再在Rt^ABC中，利用正切定義可計算出

tanB=V2-1,即tan22.5°=?-1；

如圖3,延長BA到D,使AD=AB,則AB=AD=AC,則ND=NACD,利用三角形外

角性質易得ND=15。，作CHXAB于H,設CH=x,利用含30度三邊的關系得

至UAC=2x,AH=@,則AD=AC=2X,DH=AD+AH=（2+加）x,然后在Rt^DCH

中，利用正切的定義可計算出tanD=2-5，即tanlS-Z-

【解答】解：如圖2,設CD=CA=a,則AD=&a,

VZB=22.5°,ZADC=45",

AZDAB=22.5°,

AZDAB=ZB,

DB=DA=?a,

ABC=BD+CD=(?+1)a,

在RtAABC中，tanB=3^=—___=?-1,

BC(V2+l)a

即tan22.5°=V2-1；

故答案為血-1;y-1;

如圖3,延長BA到D,使AD=AB,則AB=AD=AC,

AZD=ZACD,

ZCAB=ZD+ZACD=30°,

AZD=15°,

作CHLAB于H,設CH=x,貝UAC=2x,AH=?X,

，AD=AC=2x,

，DH=AD+AH=(2+V3)x,

在RtADCH中，tanD=?.=------—=2-M，

DH(2+V3)X

即tanl5°=2-近.

【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的

過程就是解直角三角形.解決本題的關鍵是構建含22.5度和15度的直角三角

形.

五、解答題(本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分)

27.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+2mx-m2+l的對稱軸是直

線x=l.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點D(n,yi),E(3,y2)在拋物線上，若.＜丫2,請直接寫出n的取值范

圍；

(3)設點M(p,q)為拋物線上的一個動點，當-1<p<2時，點M關于y軸

的對稱點都在直線y=kx-4的上方，求k的取值范圍.

【分析】(1)由拋物線的對稱軸方程可求得m=l,從而可求得拋物線的表達式；

(2)將x=3代入拋物線的解析式，可求得丫2=3,將y=3代入拋物線的解析式可

求得xi=-l,X2=3,由拋物線的開口向下，可知當當n<-1或n>3時，力

〈丫2；

(3)先根據題意畫出點M關于y軸對稱點M，的軌跡，然后根據點M關于y軸

的對稱點都在直線y=kx-4的上方,列出關于k的不等式組即可求得k的取值

范圍.

【解答】解：(1)拋物線的對稱軸為x=l,

x=-b二_2m-q

2^--IX2"-

解得：m=l.

I.拋物線的解析式為y=-x2+2x.

(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=-32+2X3=-3.

將y=-3代入得：-X2+2X=-3.

解得：X1=-1,X2=3.

Va=-KO,

.,.當nV-1或n>3時,yi<y2.

(3)設點M關于y軸對稱點為M\則點M，運動的軌跡如圖所示：

,當P=-1時，q=-(-1)2+2X(-1)=-3.

點M關于y軸的對稱點M/的坐標為(1,-3).

：當P=2時，q=_22+2X2=0,

??.點M關于y軸的對稱點M2,的坐標為（-2,0）.

①當k<0時，

?點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，

-2k-4<0.

解得：k2-2.

②當k>0時，

???點M關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，

/.k-4W-3.

解得；kWl.

???k的取值范圍是-2WkWl.

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題需要同學們熟練掌握

二次函數的圖象和性質，利用數形結合思想列出關于k的不等式組是解題的

關鍵.

28.（7分）在正方形ABCD中，DE為正方形的外角