2022－2023學(xué)年四川省瀘州市瀘縣重點中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析）

2022—2023年四川省瀘州市瀘縣重點中學(xué)高三(上)期末

數(shù)學(xué)試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={-1,1,2},B={x|x-l>0],則4U8=()

A.{1,2}B.[1,+°°)C.[-1,+8)D.{-l}u[l,+8)

2.如圖所示是世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖，下列結(jié)論中錯誤的是()

2050年世界人口分布預(yù)測圖

世界人口變化情況折線圖

60

*1人口/億50

0040

8030

6020

4010

20

19571974198719992925

A.從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加

B.2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多

C.2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平

D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢

3.復(fù)數(shù)卷(i是虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)是()

A.-1+iB.-1—iC.—iD.1+i

4.下列函數(shù)中不是偶函數(shù)的是()

A./(%)=\lnx\B./(x)=sin(x+今

C.f(x)=x~2+e因D./(%)=tan|x|

5.設(shè)平面向量a=(1,2)1=(一2,y)，若五〃平則|2五一向等于()

A.4B.5C.3/~5D.4門

6.已知：sina4-cosa=其中aE(萬,〃)，則tern2a=()

A--TB.4C.^D號

7.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{aj的前n項和為右,且a1a7=3a4,。2與。3的等差中項為18,

則$5=()

A.108B.117C.120D.121

8.已知曲線丫=Q%e”+仇》在點(1,QC)處的切線方程為y=3%+b,則()

A.a=e,b=-2B.a=e9b=2

C.a=e-1,b=-2D.a=e_1,b=2

9.設(shè)△4BC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos(B—C)+cosA=令且be=3,

則△ABC的外接圓的周長為()

A.2兀B.37rC.47rD.-TC

10.在三棱錐V-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點V在底面ABC的投影是底面的中心，側(cè)

面匕4B1側(cè)面VAC,則此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為（）

A￡B.OC.UD.三

72TT367r97r97r

11.若函數(shù)f（x）=2%3一a/+i（aeR）在（0,+8）內(nèi)有且只有一個零點，則a的值為（）

A.2B.1C.3D.5

12.已知產(chǎn)為拋物線y2=尢的焦點，點4,8在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，用.詁=2（其

中。為坐標(biāo)原點），則AHB。與AaFO面積之和的最小值是（）

A.2B.3C.D.<10

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2000人、高三"

人中，抽取90人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為36,那么高三被抽取的人數(shù)為

%+y—4W0,

14.若實數(shù)x,y滿足不等式組2%-3丫-830,則目標(biāo)函數(shù)2=3%-、的最大值為

.X>1,

15.已知/(x)=sin(2x+@)(0<<p<7T)是偶函數(shù)，則/*)=

16.如圖，在四棱柱4BC0-AiBiGDi中，AAi1平面4BCD,4B//CD,

Z.DCB=90°,AB=AD^AAr=2DC,Q為棱上一動點，過直線AQ

的平面分別與棱BB],交于點P,R,則下列結(jié)論正確的是.

①對于任意的點Q,都有4P〃QR

②對于任意的點Q,四邊4PQR不可能為平行四邊形

③當(dāng)。B=PR時，存在點Q,使得△力RP為等腰直角三角形

④存在點Q,使得直線BC〃平面力PQR

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

隨著中國實施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略以來，中國制造(Madeinchina)逐漸成為世界上認(rèn)知度最高的標(biāo)

簽之一，企業(yè)也越來越重視產(chǎn)品質(zhì)量的全程控制.某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取40件作為樣

本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)的范圍為［50,100］,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得到如下頻率分布直

方圖.

(1)求頻率分布直方圖中質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1);

(2)為了進(jìn)一步檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，在樣本中從質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)和［90,100］的兩組中抽取2件產(chǎn)

品，記至少有一件取自［50,60)的產(chǎn)品件數(shù)為事件4求事件4的概率.

18.(本小題12.0分)

已知△4BC的角4,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足(b—a)(sinB+sim4)=(b—c)s勿C.

⑴求4

(2)從下列條件中：①口二，耳；②SMBC=C中任選一個作為已知條件，求AABC周長的

取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖1,在邊長為3的菱形4BCD中，已知4F=EC=1,且EF_LBC.將梯形4BEF沿直線EF折

起，使BEJ■平面CDFE,如圖2,P,"分別是圖2中B。，4。上的點.

(1)求證：圖2中，平面ADF1平面ABEF；

(2)若平面P4E〃平面CMF,求三棱錐M—CDF的體積.

圖1

20.(本小題12.0分)

已知f(x)=(x3—ax+l)/nx.

(1)若函數(shù)f(x)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的前提下，設(shè)三個零點分別為X],X2,X3且與<不<》3，當(dāng)*1+%3>2時，求實數(shù)

a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知曲線C上動點M與定點F(-C,0)的距離和它到定直線，1：x=-2，或的距離的比是常數(shù)

好，若過P(0,l)的動直線，與曲線C相交于4B兩點.

(1)說明曲線C的形狀，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在與點P不同的定點Q,使得簫=犒恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線2經(jīng)過點P(-3,0),其傾斜角為a,以原點。為極點，以x軸非負(fù)

半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為

p2—2pcos6-3=0.

(1)若直線2與曲線C有公共點，求傾斜角a的取值范圍；

(2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=|x+1|.

(1)若使不等式/(%-2)-/。一3)工〃成立，求滿足條件的實數(shù)”的集合M；

(2)已知t為集合M中的最大正整數(shù)，若Q>1,b>19c>1,且(a-l)(b-l)(c-1)=t,

求證：abc>8.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合A={-1,1,2},B=[x\x-1>0]=(x\x>1],

則4UB=[1,2}.

故選:A.

利用并集的運(yùn)算求解即可.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；

由扇形統(tǒng)計圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確；

由條形統(tǒng)計圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故C正確；

三幅統(tǒng)計圖并不能得到各個洲人口增長速度的快慢，故。錯誤.

故選：D.

根據(jù)三幅統(tǒng)計圖依次判斷每個選項即可.

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：/I(2+i)(l+2i)_5i

1—(l-2i)(l+2i)—"5

故原復(fù)數(shù)的共甑復(fù)數(shù)為-i.

故選：C.

利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)名，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軌復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：4函數(shù)的定義域為(0,+8),定義域關(guān)于原點不對稱性，為非奇非偶函數(shù)，

=sin(x+今=cosx,則f(%)是偶函數(shù),

C.函數(shù)的定義域為{小。0},則/(T)+=9+e團(tuán)=f(x),則函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，

。.函數(shù)的定義域為{x|xH卜兀+/,kH0},則/'(-X)=tan|-x=tan|x|,即/'(x)是偶函數(shù)，

故選：A.

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷/(-X)=/(%)是否成立即可.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，結(jié)合偶函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查向量共線，向量模的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量共線即可得出y,從而計算出2五-9的坐標(biāo)，利用向量模的計算公式即可得出.

【解答】

解：:3〃石，-2x2—y=0,解得y=-4.

2a-b=2(1,2)-(-2,-4)=(4,8)，

|2a-b|=742+82=4c.

故選D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，整理求出2s)acosa的值，

再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sina-cosa=0,聯(lián)立求出s譏a與cosa的值,

即可求出tana的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式即可計算得解.

【解答】

解：：把s譏a+cosa=",①，兩邊平方得：(sina+cosa)2=BP1+2sinacosa=

?.24

**?SLYlOtCOS(X——TTr1

"aG(p?r),

:，sina>0,cosa<0,sina—cosa>0.

二(sina-cosa)2=1—2sinacosa=捺解得：sina—cosa=②，

①+②得：2sina=即sina=之，cosa=-|,

則tana=-g,tan2a—2"'"；=

3l-tan'a7

故選。.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，以及等差中項性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力.

設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q,q>0,由等差中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和

公比，由等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,q>0,

由cijdy=aj-3a4，可得—3，即有a】q'=3,

由a?與。3的等差中項為18,可得&2+&3=36,

2

即為由q+arq=36,

解得的=81,q=

81x(1-=)

則S5=----產(chǎn)一=121-

1-3

故選：D.

8.【答案】C

【解析】解：由丫=axe'+m》,得y'=ae*+axe*+1,

由題意，『ae+^：3,解得a=e-i,b=-2.

故選：C.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點(l,ae)處的導(dǎo)數(shù)值，由斜率相等及切點在切線上列關(guān)于a,b的

方程組求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)

題.

9【答案】B

【解析】解：cos(B—C)+cosA=I，

2

:.cos(8-C)-cos(B4-C)=-?

2

:.cosBcosC+sinBsinC—cosBcosC+sinBsinC=

:.sinBsinC=g,

又「be=3,

???由正弦定理可得=-Az=2R,可得b=2RsinB,c=2RsinC,

sinBsinC

be=4R2sinBsinC=4/?2xg=3,解得R=|.

所以△ABC的外接圓的周長為2兀/?=2TTxI=3兀.

故選：B.

利用兩角和差公式化簡已知的等式，得到sinBsinC=全利用正弦定理結(jié)合be=3,求出外接圓

的半徑，由圓的周長公式求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，解三角形問題，兩角和差公式的運(yùn)用，正弦定理的應(yīng)用，

考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查三棱錐及其外接球的體積，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

把三棱錐放置在正方體中，分別求出棱錐及其外接球的體積，作比后能求出結(jié)果.

【解答】

解：將該三棱錐放置在正方體當(dāng)中，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為

1.

B

此三棱錐的體積匕="XCX1X1)X1=3

外接球的半徑R=年，

外接球的體積匕=^7T/?3=々兀X(1^)3=兀,

???此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為：

K1=_L=￡3

v~97r

22

故選：c.

11.【答案】c

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=2/-ax2+l(aeR)在(0,+8)內(nèi)有且只有一個零點，

所以/'(X)=2x(3x-a),xG(0,4-oo),

①當(dāng)a<0時，f'(x)=2x(3x-a)>0,

函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(0)=1,

所以f(x)沒有零點，舍去，

②當(dāng)a>0時，/'(X)=2x(3x-a)>0的解為x>ga,

所以/(x)在(O,ga)上遞減，在?a,+8)上遞增，

又f(x)只有一個零點，

所以/(ga)=-卷+1=0，解得a=3,

故選：C.

求導(dǎo)得/'(x)=2x(3%—a),分兩種情況：①當(dāng)a<0時，②當(dāng)a>0時,分析尸(x)的正負(fù),f(x)的

單調(diào)性，即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查直線與拋物線關(guān)系及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

可先設(shè)直線方程和點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達(dá)定理

及雨?布=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題.

【解答】

解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+Tn,點人01，為)，5(x2,y2)>

直線4B與x軸的交點為C(m,O),

」(％=ty+m,_

由jy2_%=>y2—ty—m=0,4=t2+4m>0,

根據(jù)韋達(dá)定理有yi?y2=-m,

"OA-'OB=2,

■■%1?x2+-y2=2>

2

結(jié)合資=%及無=x2,得(％?y2)+yi-y2-2=0,

,點4,8位于x軸的兩側(cè)，

???yi?y2=-2，故血=2,

此時Z=t2+4m>。成立.

不妨令點A在%軸上方，則%>0,又F6,0),

???S^ABO+SMFO="x2x(yi-、2)+：x%，

=Qi+r2j泌彳=3.

當(dāng)且僅當(dāng)69=92，即y［A時，取“=”號，

.-,△48。與44/。面積之和的最小值是3.

故選8.

13.【答案】24

【解析】解：高二年級抽取的人數(shù)為：2000x湍=30人，則高三被抽取的人數(shù)90-36-30=24,

故答案為:24.

根據(jù)分層抽樣的定義，建立比例關(guān)系即可.

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

14.【答案】12

x4-y—440,

【解析】解：作出實數(shù)X,y滿足不等式組拉-3y-8<0,可行域如圖,

.X>1,

當(dāng)y=3x-z過點(4,0)時，該直線在y軸截距-z最小，即z有最大值，且最大值為12.

故答案為：12.

畫出約束條件的可行域，求出最優(yōu)解，即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值.

本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】\

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式，可得//)的值.

【解答】

解：??,f(x)=sin(2x+9)(0<9<TT)是偶函數(shù)，???3=*/(x)=cos2x,

則f償)=cos?=

故答案為：i

16.【答案】①②④

【解析】解：對于①?.?AB〃CD,AAJ/DD^

平面488出〃平面C叫6，???平面4PQRn平面4BB遇1=AP,平

面APQRn平面CDDC=RQ,

：.AP//QR,故①正確.

對于②?.?四邊形ABCD是直角梯形，AB//CD,???平面BCC/i與平面

4。。送1不平行，

???平面APQRD平面BCGBi=PQ,平面ZPQRn平面力。。出=AR,

???PQ與AR不平行，故四邊形APQR不可能為平行四邊形，故②正確.

對于③，;DB=PR,DR=BP,AR=AP,要使△4RP為等腰直角三角形，則ND4B>90°,

但根據(jù)題意NZMB<90°,故③不正確.

對于④延長CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形，r.BC〃AM.

當(dāng)R,Q,M三點共線時，AMu平面4PQR,；.BC〃平面APQR,故④正確.

故答案為：①②④.

本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，面面平行的性質(zhì)，線面平行的判定，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為高中位數(shù)為a,則

%=55x0.15+65X0.254-75X0.34-85X0.2+95X0.1=73.5,

因為區(qū)間［50,60）對應(yīng)的頻率為0.15,區(qū)間［60,70）對應(yīng)的頻率為0.25,區(qū)間［70,80）對應(yīng)的頻率為0.3,

所以中位數(shù)a在區(qū)間［70,80）上,故0.4+（a-70）x0.03=0.5,a?73.3.

（2）樣本中質(zhì)量指標(biāo)在［50,60）的產(chǎn)品有40X10x0.015=6件，

記為A,B,C,D,E,F,質(zhì)量指標(biāo)在［90,100］的有40x10x0.01=4件，

記為a,b,c,d,從這10件產(chǎn)品中選取2人的所有選取方法：

AB,ACfAD,AE,AF,AafAbfAc,AdfBC,BD,BE,

BF,Ba,Bb,Be,Bd,CD,CE,CF,Ca,Cb,Cc,Cd,DE,

DFfDa,Db,Dc,Dd,EF,Ea,Eb,Ec,Ed,Fa,Fb,Fc,Fd,ab,ac9ad,be,bd,cd,共45

種,

其中至少有一件取自［50,60)有39種，則P(4)=,=!|.

【解析】(1)由頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的公式計算即可；

(2)先算出樣本中質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)的產(chǎn)品有6件，質(zhì)量指標(biāo)在［90,100］的有4件，然后依照題意求

出概率.

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(1)因為(b—a)(s勿B(yǎng)+sim4)=(b-c)sinC,

由正弦定理得(b-a)(b+Q)=(b—c)c,即墳+c2—a2=be,

由余弦定理得cosA=七F=:，A6(0,兀)，

2bc2、'

所以

(2)選擇①a=由正弦定理白ic=^A=2,

即4ABC周長，=2sinB+2sinC+<3=2sinB+2sin(y-B)+<3

=3sinB+>J~3cosB+=2V-3sin(B+7)+，3,

o

???Be(0號)..*<B+K<sin(B+》w1，

5oooZo

即△ABC周長的取值范圍(2門,3d

選擇②S“8c=得SMBC=^besinA=—be=7^3，得be=4.

由余弦定理得/=b2c2—be=(b-I-c)2—3bc=(b+c)2—12,

[1以4BC周長/=a+b+c=個(b+c)2—12+b+c,

vh+c>2y/~bc=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立.

?-l=a+b+c>V42-12+4=6,

即△ABC周長的取值范圍［6,+8).

【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，三

角形的面積公式，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔

題.

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(1)由正弦定理化簡已知等式可得扭+c-a=be,由余弦定理得cos4的值，結(jié)合A的范圍可求4

的值.

(2)選擇①a=由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求△力BC周長，=2V-3sin(B+^)+

C，可求8+看的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AABC周長的取值范圍；選擇②利用三角形的

面積公式可得be=4,由余弦定理得a?=(b+c)2-12,根據(jù)基本不等式可求b+c>2dbe-4,

即可得解4ABC周長的取值范圍.

19.【答案】⑴證明：:BE1平面

CDFE,DFu平面CDFE,

；?BE1DF9

vEF1EC,ECIIDF,

ADF1EF,又BECEF=E,

圖2

???DF1平面4BEF,又DFu平面

ADF,

二平面4DF_L平面48EF.

(2)解：???平面P4E與平面CDFE有公共點E,

???平面PAE與平面CDFE有過點E的公共直線I,

又平面MCFCI平面CDFE=CF,平面P4E〃平面MCF,

1//CF,設(shè)ICDF=Q,則尸Q//EC,又EQ//CF,

四邊形ECFQ是平行四邊形，［FQ=EC=1,

連接力Q，

???平面MCFn平面ZDQ=MF,平面PAEC平面ADQ=AQ,平面P4E//平面MCF,

?.AQ//MF,

.DM_DF_2

??57—麗一丞

???BE_L平面COFE,BE//AF,

AF_L平面CDFE,M到平面CDFE的距離h=|人尸=|.

又EF=>32-(2-=2\T2,

..11ro/-7724>[-2

???^M-CDF=5X2X2X*§=—

【解析】(1)由DFIEF,。尸14尸可得J_平面故而平面/DF1平面ABEF；

(2)根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得兩平面與平面4DF的交線平行，從而可得M到平面CDFE的距離，帶

入體積公式計算即可.

本題考查了面面垂直的判定，面面平行的性質(zhì)，考查棱錐的體積計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)當(dāng)％=1時，f(x)=0,令g(x)=/—。無+1,

當(dāng)％H1時，/(%)的零點與函數(shù)gQ)(x>0)的零點相同，

當(dāng)QWO時，^(x)>0(%>0),所以f(%)只有一個零點，不合題意，

故。>0,又函數(shù)/(%)有三個不同的零點，

所以g(x)(x>0)有兩個均不等于1的不同零點，

令g'(%)=3/-a=0,解得％=(舍去負(fù)值)，

所以當(dāng)％w(0,J3時,g'(%)VO,g(%)是單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(J|,+8)時，g'(x)>0,g(x)是單調(diào)遞增，

因為g(0)=1>O,g(V~~E)=1>0,

所以當(dāng)g(巧)<0,即a>簿時，g(x)(x>0)有兩個不同零點，

又因為g(l)=0時，a=2>孚，

所以函數(shù)f(x)有三個不同的零點，實數(shù)a的取值范圍是(孚,2)u(2,+oo).

(2)因為％1VX2V%3，％1+%3>2,所以1<%3，所以g(l)=2—Q<0,

所以％1V1,所以與，工3是。(無)=0的兩個根，

又因為g(—2Q)=-8a3+2a24-1<-8a3+4a2=4a2(1—2a)<0,

所以g(x)=0有一個小于0的根，不妨設(shè)為出,

根據(jù)g(%)=0有三個根%o，x3f

3

可知g(x)=%-ax4-1=(%-x0)(x-xx)(x-x3),

所以&++△=0,即與4-%3=一久°，

因為+與>2,所以x()V—2,

一7

所以。(-2)=-8+2Q+1>0,即a>—?

顯然1>2,所以a的取值范圍是弓,+8).

【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分

類討論思想，是難題.

(1)當(dāng)x=l時，/(x)=0,令g(x)=爐-ax+1,先求出a>0,問題轉(zhuǎn)化為g(x)(x>0)有兩個

均不等于1的不同零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；

(2)根據(jù)g(x)=0有三個根刀1，與可知=/一ax+1=(x-x())(x-Xi)(x-％3)，根據(jù)

5(-2)>0,得到關(guān)于a的不等式，解出即可.

21.【答案】解：(1)設(shè)動點M坐標(biāo)為M(x,y),

點M到直線5x=一2/2的距離為d.依題意可知必=C,

則J(x+uy+y2=C，

~\x+2>T2\--~T

化簡得。+[=1，

42

所以曲線C是橢圓，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+1=1;

(2)①當(dāng)直線/與y軸垂直時，由橢圓的對稱性可知|PA|=\PB\,

又因為得犒=微｛,則|Q4|=|QB|,

從而點Q必在y軸上.

②當(dāng)直線，與無軸垂直時，則4(0,C)，8(0,-/1),由①可設(shè)Q(0,y()),仇H1),

由慌=睛般+W=常解得y。=1(舍去)，或=2-

則點Q的坐標(biāo)只可能是Q(0,2).

下面只需證明直線/斜率存在且Q(0,2)時均有簫=解即可.

設(shè)直線I的方程為y=依+1,代入\+[=1，得(21+1)/+4H一2=0.

設(shè)4(乙,乃)，B(x2,y2),

4k2

?.?與+”2=—酒？與小=一百，

=2k,

XiX2

設(shè)點8關(guān)于y軸對稱的點坐標(biāo)夕(-亞,為)，

因為直線Q4的斜率=『=唳=k—｝，

“x1x1

同理得直線QB'的斜率3B，=鋁=學(xué)工=-/c+-,

x2x2x2

???^QA—^QBf=—(—+石)=2/c—2/c=0,

kQA=KQBI?二點Q,4B’共線.

故由3=出生=兇=幽

口乂『Q8|\PB\|x2|\PB\t

所以存在點Q(0,2)滿足題意.

【解析】(1)先設(shè)動點M坐標(biāo)為M(x,y),根據(jù)題意列出等式J(x+C)2+y2=』,化簡整理即可求

|x+21Z|2

出結(jié)果；

(2)分情況討論如下：當(dāng)直線I與y軸垂直時，易得點Q必在y軸上；當(dāng)直線I與x軸垂直時，易得點Q

的坐標(biāo)只可能是Q(0,2)；再證明直線2斜率存在且Q(0,2)時均有解=