重難點(diǎn)專題01 妙用奔馳定理解決三角形面積比問題-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁重難點(diǎn)專題01妙用奔馳定理解決三角形面積比問題【題型歸納目錄】題型一：直接使用奔馳定理題型二：三角形面積比問題【方法技巧與總結(jié)】奔馳定理解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故.（3）為內(nèi)一點(diǎn)，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.【典型例題】題型一：直接使用奔馳定理【例1】（2024·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谀c(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】如圖，延長交于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.【變式1-1】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，即點(diǎn)P在線段BC上，且則與的面積之比等于故選：B【變式1-2】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．【變式1-3】（2024·上?！じ呷y(tǒng)考期末）已知是三角形內(nèi)部的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是（

）A． B．C．2 D．1【答案】B【解析】如下圖所示，、分別是、中點(diǎn)，由得即，所以，由，，設(shè)，，則，，由三角形相似比可得，解得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即的面積與的面積之比是故選：B.題型二：三角形面積比問題【例2】（2024·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則【答案】C【解析】對(duì)于A：如下圖所示，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對(duì)于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對(duì)于C：由可知，，又，所以由可得，；所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，，因?yàn)镺為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：C【變式2-1】（2024·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔馳定理”有，則，而與不共線，有，，即，所以.故選：A【變式2-2】（2024·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B【變式2-3】（2024·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B【變式2-4】（2024·湖北·高一校聯(lián)考期末）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，．，故選：D．【過關(guān)測試】1．（2024·陜西西安·高二陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是（

）A．3：2 B．3：1 C．4：3 D．2：1【答案】A【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，，即，即，即點(diǎn)是中線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即，那么點(diǎn)到的距離和點(diǎn)到的距離比是，那么，故選：A2．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考三模）在所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，如果，那么的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，∴點(diǎn)在邊上，且，如下圖設(shè)的邊上的高為，.3．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，設(shè)P為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】連接CP并延長交AB于D，∵P、C.D三點(diǎn)共線,∴，且，設(shè)，結(jié)合，得，由平面向量基本定理，解之得，且，∴，可得，∵與有相同的底邊AB，高的比等于與之比，∴的面積與面積之比為.故選：C.4．（2024·江西上饒·高一玉山一中?？计谀┤鐖D所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，延長AP交BC于點(diǎn)D，利用共線定理，以及向量的運(yùn)算求得向量的關(guān)系，可得與的比值，再利用面積中底面相同可得結(jié)果.延長AP交BC于點(diǎn)D，因?yàn)锳、P、D三點(diǎn)共線，所以，設(shè)代入可得即又因?yàn)椋?，且解得所以可得因?yàn)榕c有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比所以與的面積之比為故選D5．（2024·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）已知在中，是的垂心，點(diǎn)滿足：，則的面積與的面積之比是A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，則，故由可得，即，也即，由向量的共線定理可得共線，且，所以結(jié)合圖形可得,故選:A6．（2024·四川綿陽·高一階段練習(xí)）設(shè)，過作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】連接并延長，則通過的中點(diǎn)，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為根據(jù)三角形相似可知，則即由平行四邊形法則得根據(jù)待定系數(shù)法有，則故選7．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）O是銳角三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.請(qǐng)根據(jù)“奔馳定理”判斷下列命題正確的是（

）

A．O為的外心B．C．D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?，，故O為的垂心，故A錯(cuò)誤；根據(jù)垂心可得，，所以，又，所以，又，所以，故B正確；，同理，延長CO交AB于點(diǎn)P(如圖)，則，同理可得，所以，故C正確；設(shè)，，的面積分別為，，，則，同理可得，所以，又，所以，故D正確.故選:BCD.8．（多選題）（2024·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（

）A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離分別是，則有B．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的內(nèi)心C．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則【答案】ACD【解析】因?yàn)闉閮?nèi)任意一點(diǎn)，所以兩兩不共線；對(duì)A：是等邊三角形，設(shè)其高為，則，，，代入奔馳定理得，，即，故A正確；對(duì)B：由且，根據(jù)平面向量基本定理得，則是的重心，故B不正確；對(duì)C：，即，又，由平面向量基本定理得，故C正確；對(duì)D：由點(diǎn)是的垂心，則，所以，同理可得，，，代入，得，即，故D正確；故選：ACD．9．（多選題）（2024·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點(diǎn)，∠，∠，∠分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，且，則C．若，則為的垂心D．若為的內(nèi)心，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，則，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，，故，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，即，故，同理可得，，故為的垂心，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，故，設(shè)內(nèi)接圓半徑為，，，，即，即，，正確.故選：BCD10．（多選題）（2024·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由“奔馳定理”可知，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），所以，，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，因?yàn)闉榈闹匦模娱L交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對(duì).故選：ACD.11．（多選題）（2024·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【解析】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，同理可得、，所以，又因?yàn)椋?正確；對(duì)于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，化簡得：，又因?yàn)椴还簿€，所以，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，所以，因?yàn)?，則，化簡得：，由題意知同時(shí)為負(fù)，記，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，錯(cuò)誤.故答案為：AB.12．（多選題）（2024·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此判斷以下命題中，正確的有（

）A．若是的重心，則有B．若，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，且，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，是的重心，則,代入就得到,正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)P到邊的距離分別為，由得，，即，與已知條件比較知，，則是的內(nèi)心，正確；對(duì)于，即，與比較得到，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，是的外心，且，則，設(shè)三角形外接圓半徑為R，所以，代入奔馳定理即可得到，正確，故選：ABD.13．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則與的面積比．【答案】/0.25【解析】因?yàn)?，，根?jù)向量平行四邊形法則畫出草圖（如圖所示），故答案為：14．（2024·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期末）我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個(gè)結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，若，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，可得，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，由基本不等式可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.15．（2024·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤切翁N(yùn)涵大量迷人性質(zhì)，例如：若點(diǎn)在內(nèi)部，用分別代表、、的面積，則有．現(xiàn)在假設(shè)銳角三角形頂點(diǎn)所對(duì)的邊長分別為為其垂心，的單位向量分別為，則．【答案】【解析】由可得根據(jù)可得，同理可得，所以，所以故答案為：16．（2024·河北衡水·高一校考期末）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，則的面積之比是.【答案】【解析】因?yàn)椋?，設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為三角形的中位線，則，因?yàn)?，可得，所以三點(diǎn)共線，且，則，，分別設(shè)，由圖可知，，，則，所以，而，所以，所以，，所以，即的面積之比等于.故答案為：.17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）請(qǐng)你根據(jù)“奔馳定理”對(duì)以下命題進(jìn)行判斷：①若P是的重心，則有；②若成立，則P是的內(nèi)心；③若，則；④若P是的外心，，，則；⑤若的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為.則正確的命題有.（填序號(hào)）

【答案】①②④⑤【解析】對(duì)于①：如圖所示，因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為CA，AB，BC的中點(diǎn)，所以，，，同理可得，，所以，又因?yàn)椋?，故①正確；對(duì)于②：記點(diǎn)P到AB，BC，CA的距離分別為，，，則，，，因?yàn)?，則，即.又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P是的內(nèi)心，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)椋?，，，所以，化簡得，又因?yàn)?，不共線，所以，即，所以，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：因?yàn)镻是的外心，，所以，，.因?yàn)?，則，化簡得.由題意知m，n不同時(shí)為正.記，，則，因?yàn)?，所以，即，所以，故④正確；對(duì)于⑤：∵O為的內(nèi)心，∴，∴，∴，∴，∴，即，，∴.∵(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，∴，∴，∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，∴的最大值為，故⑤