2020-2021學(xué)年浙江省杭州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年浙江省杭州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.若集合A={x|lWxW3},8={x[(x-l)(x-2)20},則AUB=()

A.{x|KW2}B.{x|2?}C.{x|KW3}D.R

2.己知aeR,若(2+出)(a-2i)=-4i(i為虛數(shù)單位)，貝！Ia=()

A.-1B.0C.1D.2

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

俯視圖

4.若〃>0,*>0,則“a>6”是“Ina-b>bib-a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.函數(shù)/（x）=（，-￡-1）cosx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）圖象的可能是（）

l+ex

A.

C.

1

6.已知隨機變量？滿足P（E=x）=ax+h（x=-1,0,1）,其中a,呢R.若￡G）

3

則￡>(&=()

.28D?卷

A.一BC.

9-i9

7.已知(]2+1)(2x-1)7=幽+〃](x-1)+〃2(X-1)2+???+〃9(X-1)9(xER),貝!J

)

A.-30B.30C.-40D.40

8.已知實數(shù)a,b滿足族|<2-a,且〃N-1,則2a+6的最小值為（）

A.-7B.-5C.-3D.-1

+8）恒成立，則旦的

9.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx---2nu+nf若不等式/(x)WO對xG(0,

xm

最大值為（）

A.—B.—C.<?D.2e

42

a2+g

10.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝滿足m=3,。2=6,an+2=-------(〃WN*),()

A.存在吒N*,a擇Q

B.存在p>0,使得｛麗i-pa〃｝是等差數(shù)列

C.存在〃WN*,期=病

D.存在p>0,使得｛m+i-pm｝是等比數(shù)列

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

11.計算lg2Tg^=_____;41og：3=_______.

5

JT

12.在△ABC中，A==-,b=4,a=2y[2,則5=,ZSABC的面積等于.

13.若〃>02>0,且a+h=\,則〃+乂的最小值等于,?+加的最大值等于.

14.已知tana=cosa,貝cos2a+cos4a=_____,----------------1—=_____.

1-sinGsina

15.一排11個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不相鄰，則不

同排法的種數(shù)是.

16.平面向量之，1的夾角為60。，且|2-5|=1，則（2+2口的最大值為.

17.在棱長為&的正方體A8CD-48iG￡>i中，棱BBi,BCi的中點分別為E,凡點尸在

平面BCGBi內(nèi)，作PQJ_平面ACZ）i,垂足為Q.當點尸在△EFB內(nèi)（包含邊界）運動

時，點。的軌跡所組成的圖形的面積等于.

B

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

JTJT

18.已知函數(shù)/(X)=sin(3X+—)cos(ou+—)(o>>0)的最小正周期為m

63

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)在銳角△ABC中,若sinAsinC-sin2C=sin24-sir>2B,求/(B)的值.

19.已知函數(shù)/(x)—X2-ax-\ax-2\(a>0).

(I)若a=2,解不等式/(x)<0；

(II)設(shè)為，X2,X3,X4是函數(shù)(X)+1的四個不同的零點，且XI<X2<X3<X4.問是

否存在實數(shù)“，使得尤2,X3,后成等差數(shù)列？若存在，求出所有”的值；若不存在，說明

理由.

20.在三棱錐A-BCO中，△BCO為等腰直角三角形，點E,G分別是線段8。，CO的中

點，點尸在線段A8上，KBF^IFA.若AO=1,AB=?,CB=CD=近.

(I)求證：AG〃平面CEF；

(II)求直線與平面CEF所成的角.

C

21.在數(shù)列｛〃〃｝中，<21=1,Q2A-I,a2kf42A+1(依N*)成等比數(shù)列，公比為班>0.

(I)若qk=2,求。］+。3+。5+…+。2八1；

(II)若儂，儂+i,aik+2(kEN*)成等差數(shù)列，公差為以，設(shè)加=

^k-1

①求證：出"｝為等差數(shù)列；

②若4=2,求數(shù)列｛4｝的前上項和￡>&.

2

22.已知函數(shù)/(x)^xlnx-(x+1),“eR恰好有兩個極值點xi,及(xi<x2).

(I)求證：存在實數(shù)機e(y,1),使0<。<機；

(II)求證：.

4e

參考答案

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題4分，共4()分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合A={x|lWxW3},8={x|(x-1)(x-2)20},則AUB=()

A.{x|l?}B.{x|2WxW3}C.{x|KW3}D.R

解：：A={x|lWxW3},8={x|xWl或x22},

：.AUB=R.

故選：D.

2.已知aeR,若(2+az)(a-2i)=-4i(i為虛數(shù)單位),則a=()

A.-1B.0C.1D.2

解：因為(2+ai)(a-2i)=-4z,

所以4a+(a2-4)i-—43

貝?。萦?“=0,a2-4—-4,

解得”=0.

故選：B.

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

T/KK

俯視圖

解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，

四棱錐的底面是一個平行四邊形，有兩個等腰直角三角形，直角邊長為1組成的平行四

邊形，

四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長為1,

???四棱錐的體積是春X1X1X1].

故選：B.

4.若”>0,b>0,則“a>b"是'（Ina-b>lnb-an的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：當a>0,6>0時，若a>b,則/仍，此時力成立，即充分性成立,

設(shè)/（x）=x+lnx,當x>0時，/（%）為增函數(shù)，

則由“+/”a>6+/，仍得/（4）>/（/?）,即4>匕，即必要性成立，

則是"a+lna>b+inb”的充要條件，

故選：C.

2

5.函數(shù)/（X）=（---1）cosx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）圖象的可能是（）

1_X.X_[

貝=J—?cosx=￡-----,cosx=-/(無)，則/(x)是奇函數(shù)，排除4,C,

l+e-xex+l

7?

當0<x<5時，f(x)<0,排除B,

故選：D.

6.已知隨機變量[滿足P(g=x)—ax+b(x=-1,0,1),其中a,b&R.若E(:),

3

則。(p=()

A.—B.—C.—D.—

9999

解：由已知可得：P(2=-1)=-a+b,P(孑=0)=b,P(《=1)=a+bf

貝(J-a+b+b+a+b=1,EPb=—f

3

又E(E)=-1X(-a+b)+0X8+1X(a+b')=—,所以a=—,

36

所以S的分布列如下:

-101

P工工

632

()2(o)2ci)2

所以")4-44444v

故選:B.

7.已知(N+l)(2x-l)7=制+〃1(X-1)+。2(X-1)2+???+〃9(x-1)9(XGR),則a\

=()

A.-30B.30C.-40D.40

解：*.*(x2+l)(2x-1)7=〃o+〃](x-1)+ai(X-1)2+…+〃9(x-1)9(XGR),

令/(x)=(x2+l)(2x-1)7=ao+ai(x-1)+〃2(x-1)2+***+t?9(x-1)9(xGR),

則f(x)=2x=a\+a2(x-1)]+…+〃9(x-1)8,

f(x)=2x?(2x-1)7+(P+l)-14(2x-1)6,

：.a\=f(1)=2X1+2X14X(2-1)6=30

故選：B.

8.已知實數(shù)。，人滿足依W2-m且〃2-1,則2〃+方的最小值為()

A.-7B.-5C.-3D.-1

解：不等式⑶<2-?？苫癁?2+?！??2-。，且。2-1,

設(shè)z=2a+b,平移目標函數(shù)知，當目標函數(shù)過點A時，z取得最小值;

由("1，求得4(-1,-3),

lb=_2+a

所以z=2a+b的最小值為加=2X(-1)+(-3)=-5.

故選：B.

9.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx---若不等式/(x)WO對，(0,+°°)恒成立，則旦的

xm

最大值為()

A.—B.—C?eD.2e

42

解：不等式/(x)<0對xW(0,+8)恒成立，

即為Inx---2/nr+〃<0,BPIwc--(x-工-)對x>0恒成立，

xx2m

設(shè)g(x)=lnx-且,由g'(x)=工號>0,可得g(x)在(0,+8)遞增，且g(e)

XXX

=0,

當尤-*0時，g(X)■*-8；x-4-oo,g(x)-*+oo,作出y=g(x)的圖象，

再設(shè)%(%)=2m(尤-旦)，X>O,可得〃(x)表示過(旦，0),斜率為2m的一條

2m2m

射線(不含端點)，

要求旦的最大值，且滿足不等式恒成立，可求品的最大值，由于點(井，0)在x軸上

m2m2m

移動，

只需找到合適的，">0,且與g(x)=/，猶一且切于點(J-,0),如圖所示：

x2m

此時q_=e,即有二?的最大值為2e,

2mm

故選：D.

a2+9

n+1

10.設(shè)數(shù)列｛a.｝滿足m=3,G=6,an+2=-----(nGN*),()

an

A.存在〃6N*,a雇Q

B.存在p>0,使得｛如+i-pa“｝是等差數(shù)列

C.存在〃CN*,“"=遍

D.存在p>0,使得｛m+i-p斯｝是等比數(shù)列

a2+99

2

解：由a“+2=-^±l----(neN*),nJWan+2an=arr(.1+9@，

an

則an+Jn-廣a/+9②

22

①-②可得，?！?2?！?atl+\an-1=an+\-aw,

所以跖？(Cln+2~^Cln)=Cln+i(Cln+\^~Cln-1)，

則%+]+=-]_arH-2+an

an

9

+a+

n^rd-1^n-laq+a^an+9

由此可得*_2-=-2tl~LL=…二一L,22_1;

an+lana23al

an+2+an15+3c

所以---------=---=3>

an+l6

貝！]an+2=3an+\-斯且ai=3eZ,a2=6eZ,

所以a?GZ,

故選項A,C錯誤;

由an+3—3an+2-an+\,可得an+3-an+2—5an+i-2%不是常數(shù),

所以不存在p>0,使得｛%+i-pa”｝是等差數(shù)歹J,

故選項B錯誤;

假設(shè)存在p>0,使得｛如+LP斯｝是等比數(shù)列，公比為4,

則有an+\-pan—q(a“-pan-1)，

所以。卅=(p+q)an-pqan-\,

由an+2=3cin+\~Un

喜3解得答,

則4

所以存在上但>0,使得｛“卅一04“｝是等比數(shù)列，

P2

故選項力正確.

故選：D.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

11.計算1口-及!?=1;41og：3=_9_.

5

解：lg2-lg±=/g2+/g5=/g10=1；

5

lo9

41og23=4S4=9.

故答案為：1；9.

jrjr

12.在△ABC中，A=—b=4,(7=2^3，則8=_ZVIBC的面積等于_2y.

jr

解：因為在△ABC中，A=-—,b=4,。=2日，

o

.2734

由正弦定理可得料=/r，可得sinB=l,

sinAsino---sinb

2

因為Be(0,IT),

則B=彳TT,

所以c=Vb2-a2=V16-12=2,

所以S^BC=-^cic=-^-X2V3X2=2，§.

故答案為：—

13.若。>0">0,且a+h=\f則宗+按的最小值等于4+加的最大值等于

解：Va>0,b>09a+b=1,

???2V^U<Lab4],

?*-a2+b2=(a+b)2-2ab=l-2ab^^~?

.?.岸+分的最小值等于微;

7(VaWb)2=a+b+2Vab=l+2Vab<2>

Va^4Vb<V2,

???孤輪的最大值等于加.

故答案為：、?，A/2,

2V,

14.已知tana=cosa,則cos2a+cos4a=^J_,“1--------=1

1-sinQsina

解：因為tana=sina=—sa,

cosa

可得sina=cos2a,

則cos2a+cos4a=cos2a+sin2a=1,

]_1_sinCl-(1-sina)2sina-l2cus'a-1一

1-sinQsinCL(1-sinl)sinCLsinCl-sin2CLcos21-sin2Cl

cos2a

------=1.

cos2a

故答案為：i,i.

15.一排11個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不相鄰，則不

同排法的種數(shù)是44.

解：根據(jù)題意，分2種情況討論，

①兩個都在左邊的4個座位或右邊的4個座位就坐，有2XA22X3=12種排法，

②兩個人一人在左邊4個座位，一個在右邊4個座位就坐，有2XC44iXC/=32種排法,

則一共有12+32=44種不同的排法，

故答案為：44

16.平面向量之，3的夾角為60°,且則？(京23)的最大值為_2遮+3_.

3

解:設(shè)匚l=a,可=6，

則由平方得1:2+后2-21芯=1,

即a2+b2-2abX2?=I,即a2+h2-ab—\,

2

則7(；+20=m+22"=。2+",

1上

220

a

...a2+ab=a+ab=2-察一

1a2+b2-abi+2)2a

aa

令m=—,則加>0,

a

]

1+m一—2-

則原式=

l+m2-m-m-m+1

1+m

再設(shè)/=l+〃2,則f>L則機=f-l.

_111____]]]

2

則』1.=_________________-t-3t+3=計"五1一3=軟百=

l-4ntttVt

2,+3_2愿+3

12-93'

當且僅當t=3,即取等號，

即7。+2芯）的最大值為2零+{

故答案為：2仔3

3

17.在棱長為企的正方體中，棱BBi,BCi的中點分別為E,凡點P在

平面8CGS內(nèi)，作PQJ_平面AC。，垂足為Q.當點尸在內(nèi)（包含邊界）運動

時，點。的軌跡所組成的圖形的面積等于_近_.

解：連結(jié)8。交AC于點0,連結(jié)ODi,BQ交于點、H,設(shè)G為CDi的中點,

因為AC_LB￡>,ACLBB\,BBiCBD=B,BB\,BZ>u平面

所以ACJ_平面BB\D,

因為8Qu平面88Q,所以BiO_LAC,

同理可證8i￡）_LA￡）i,又ACnAG=A,AC,Adu平面ACDi,

所以叢。，平面AC",即點Bi在平面AC"的投影為”，且￡>iH=2H0,

同理，點E,F在面ACD的投影分別為。，G,

所以AEFBi在平面ACD\的投影為△0GH,

XAC=V2AB=2,所以氏=眸/耍事（：呼妻,

所以點°的軌跡所組成的圖形的面積s卡H?HG?sinl2。。嚕

故答案為：返.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

KK

18.己知函數(shù)/(x)=sin(u)x+--)cos(u)x4——)(u)>0)的最小正周期為n.

63

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)在銳角△ABC中，sinAsinC-sin2C=sin2A-sin2B,求「(8)的值.

jrK

解：(/)函數(shù)/(x)=sin(o)x+——)cos(CDX+——)

63

_/-v3?.1\/1V3?、

=(2L^sinon+—COSOJX)(—COSOJX--^-smoyx)

2222

_1l+cos2Wx3l-cos2Wx

-----ZvX--------------------_---ZvX-------------------

4242

因為函數(shù)f(x)最小正周期為n,

2兀

由T==71，且3>0,解得3=

所以/(x)=-^cos2x--,

24

令2Zn-TTW2XW2E:,keZ,解得&TT-------WxWkr,&eZ,

2

IT

可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：1加--，加J,依Z.

(//)由sinAsinC-sin2C=sin2A-siMB得：ac-c2—^-b2,B|Ja2+c2-b2—ac,

?a2+c2-b2ac1

..cosDB==----=—,

2ac2ac2

又8為銳角，可得8=二JT-,

12兀

."(B)=-cos1-1yzlv1

242'2"42

19.己知函數(shù)/(x)=N-奴-依-2|(〃>0).

(I)若Q=2,解不等式/(x)<0；

(II)設(shè)冗1，X2,%3,X4是函數(shù)y=f(兀)4-1的四個不同的零點，且X|Vx2Vx3VX4.問是

否存在實數(shù)〃，使得X2,X3,X4成等差數(shù)列？若存在，求出所有。的值；若不存在，說明

理由.

解：(I)當a=2時,不等式/(%)<0,即x2-2x-\2x-2\=\x-1|2-2|x-1|-KO,

所以O(shè)WQ1|V1+我，

解得-&<x<2+血,

故不等式f(x)<0的解集為｛x|-&〈x<2+J9；

(II)因為/(x)=x2-cue-\ax-2\(6T>0),

x2-2ax+3,

則f(x)+l=|ca,

21/2

x-1，x<一

a

又y=f(x)+1有四個不同的零點，

所以△=4.2-12>0且2>1,解得北<a<2,

a

因為X1<X2<X3<X4,

當時，f(X)+1=X2-1=0,可得》=-1,及=1,

a

所以K3,工4是9-2or+3=0的兩個根，

"2X3=1+X4

若X2,X3,X4成等差數(shù)列，貝M,

x3+x4=2a

所以x2用尹，代入方程尤2-2以+3=0可得，(空L)2-2a?組工+3=0，

J333

解得?或-2(舍)，

4

綜上可知，存在a］使得X2,X3,X4成等差數(shù)列.

20.在三棱錐力-BC。中，△BCD為等腰直角三角形，點E,G分別是線段BD,CD的中

點，點尸在線段A8上，3.BF=2FA.若AC=1,AB=?,CB=CD=a.

(I)求證：AG〃平面CEF；

(II)求直線40與平面CEF所成的角.

D

il

\y/G

c

【解答】(I)證明：連接8G交EC于”，連接FH,

則點H為△BC￡＞的重心，有瞿?uZ

HG

v=:.FH〃AG,且尸”u平面CEF,4GC平面CER

FAHG

貝ijAG〃平面CEF；

(II)解：-：BF=^&,BE=1,ZABD=30°,

3

22

：.EF=BF^+BE-2BE?BF-COSZABD=A+1_^Z1x1X—1

313123

故B尸=8盡+￡：尸，：.BE±EF,

又由已知，CELBD,CECEF=E,則8QJ_平面CEF,

過F作AO的平行線FP,交8。于P,則PE±CEF,

91

故NPFE為直線AO與平面CEF所成的角，且FP==,EP==,NFEP=9Q°,

33

i

.".sinZPFE=4＞得直線AD與平面CEF所成的角為K一.

26

A

B

C

21.在數(shù)列｛〃〃｝中，0=1,〃2h】，。2匕儂+1(隹N*)成等比數(shù)列，公比為俗〉0.

(I)若qk=2,求?！?。3+〃5+…+。2b1；

1

(II)若儂，儂+1,儂+2(依N*)成等差數(shù)列，公差為或，設(shè)從=

Qk-1

①求證：｛兒｝為等差數(shù)列；

②若4=2,求數(shù)列｛4｝的前上項和Dt.

【解答】(I)解：因為“1=1,aik-\yaibaik+\(keN*)成等比數(shù)列，公比為次＞0,

所以------=qv=4，

a2bl

貝!)a\+ai+as+???+aik-\—.1'(4.).=.4.~1-,；

1-43

(II)①證明:因為”2haik+\>aik+2(keN*)成等差數(shù)列,

a^ob+2i

所以2a2火+1=aik+aik+i,即2=-----+------=---+q*1，

a2kHa2k+l%

----1---=----1--=---1--+1

則口卜+1-11，B|Jhk+\-bk=1,

不

所以數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，公差為1;

②解：若“1=2,所以“3=42+2,則有a22=lXa3=a2+2.

所以02=2或<22=-1；

]

當“2=2時，qi=2,所以6i=1,則bk—\+(%-1)X1—k,即=k,解得qk」等

qjKK

a2k+l(k+1)2a2k+la2k-la3

所以則，a

2*2k+l3n一ai1

a2bl(k-1)a2k-la2k-3l

(k+1產(chǎn)k222n

---7T=(k+1)2>

k2(k-1)2l2

a2kH(k+1)2

所以a2kqkk+1~k(k+l)

T"

則或=。2*+1-42*=%+l,故D[=~*,

k2

若02--1時，q\—~1，所以b]=—^"，則bk=131,3

+(k-l)Xl=k方,即TTf,

2

k」

解得qkT

k方

(k-y)2(k-y)2(y)2

aaa

2k+l2k-l32

貝mil」a2k+l=------------------------------41Xl=(k-y)?

2kHa2k-la2k-3al(k-y)2(k得產(chǎn)(得)2