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文檔簡介
專題22坐標(biāo)系與參數(shù)方程
x=4cos~0,
【母題來源一】【2020年高考全國n卷文數(shù)】已知曲線。,C2的參數(shù)方程分別為G:〈,(。為
y=4sin-0
1
X=t—,
t
參數(shù)),C:(r為參數(shù)).
21
y=t——
t
(1)將C,C2的參數(shù)方程化為普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)G,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過
極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.
17
22
【答案】(1)C,:x+y=4(0<x<4);C2:x-y=4:(2)p--cos0.
【分析】(1)分別消去參數(shù)。和,即可得到所求普通方程;
(2)兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)尸,求得所求圓的直角坐標(biāo)方程后,根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可得到所求極
坐標(biāo)方程.
【解析】(1)由cos20+sin2e=l得百的普通方程為:x+y=4(0WxW4);
f=*+!+2
由;得:),兩式作差可得G的普通方程為:X2-/=4.
221c'
y=£——?=廠+產(chǎn)-2
It
5
x+y-42
(2)由《得:
Y_y2=43
y=
2
設(shè)所求圓圓心的直角坐標(biāo)為(a,0),其中a〉0.
(5V(3V1717
則a—2+0--=/,解得:。=不,.?.所求圓的半徑一=二,
I2)I2)1010
fx-—Y+/=f—Y,HP22
所求圓的直角坐標(biāo)方程為:x+y=^-x,
(10JUOj5
17
所求圓的極坐標(biāo)方程為。=《cos。.
【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題,涉及到參數(shù)方程化普通方程、直角坐標(biāo)方程化極坐
標(biāo)方程等知識(shí),屬于常考題型.
【母題來源二】【2019年高考全國II卷文數(shù)】在極坐標(biāo)系中,。為極點(diǎn),點(diǎn)M(R,q)(Qo>O)在曲線
C:〃=4sin。上,直線/過點(diǎn)44,0)且與0M垂直,垂足為P.
(1)當(dāng)%=§時(shí),求00及/的極坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求尸點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
【答案】⑴夕。=26,/的極坐標(biāo)方程為「cos("g)=2;⑵夕=43。,。4,夕.
【解析】⑴因?yàn)?)(00>0)在C上,
當(dāng)‘°=T時(shí),△。=4T=2也.
兀
由己知得|OPHOA|COS1=2.
設(shè)。(夕,。)為/上除p的任意一點(diǎn).
1T
在Rt^OPQ中,0cos(6-§)=|OP|=2,
jrIF
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P(2,§)在曲線QCOS(。一1)=2上.
7T
所以,/的極坐標(biāo)方程為。cos(e—§)=2.
(2)設(shè)P(P,。),
在RtZXOAP中,10Pl=1。41cose=4cos。,即Q=4COS6.
Tt兀
因?yàn)镻在線段0M上,且AP10M,故。的取值范圍是[一,一].
42
所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。,。€[:,學(xué).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.
x=2cos。
【母題來源三】【2018年高考全國II卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為《一八(。
y=4sin夕
x=l+,cosa
為參數(shù)),直線/的參數(shù)方程為《..a為參數(shù)).
y=2+,sina
(1)求。和/的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線。截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求/的斜率.
22
【答案】(1)曲線C的立角坐標(biāo)方程為三+乙=1,/的直角坐標(biāo)方程為x=l;(2)/的斜率為-2.
416
22
【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為±+±=1.
416
當(dāng)cosa時(shí),/的直角坐標(biāo)方程為y=tane-x+2-tana,
當(dāng)cosa=0時(shí),/的直角坐標(biāo)方程為x=l.
(2)將/的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,
整理得關(guān)于/的方程(1+3cos?a)f+4(2cosa+sin2)7—8=0.①
因?yàn)榍€C截直線/所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),
所以①有兩個(gè)解,設(shè)為內(nèi),t2,則4+^=0.
一,/、,=4(2cos?+sina)
又由①得t1+t2=---~~-~——-,
1+3COSa
故2cosa+sina=0,
于是直線I的斜率A=tana=-2.
母題揭秘
【命題意圖】
1.理解坐標(biāo)系的作用.
2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別,能
進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.
4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解
用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.
5.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.
6.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.
【命題規(guī)律】
參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程在高考中往往綜合考查,各自的特征都較為突出,都是極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)
方程、參數(shù)方程方程轉(zhuǎn)化為普通方程,最后轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決.
【答題模板】
1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
[x'—/.-x(2>0)
設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換夕:(〃>0)的作用下,點(diǎn)尸(x,歷對(duì)應(yīng)到點(diǎn)
(友,勾,),稱“為坐標(biāo)系中的伸縮變換.
2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
(1)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式:x=pcosO,y=psin。,22=/+/,tan。
=x(xWO).
(2)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí),要注意外,的取值范圍及其影響;要善于對(duì)方程進(jìn)行合
理變形,并重視公式的逆向與變形使用;要靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.
3.參數(shù)方程與普通方程的互化
(1)將參數(shù)方程化為普通方程,消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù).
(2)把參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意哪一個(gè)量是參數(shù),并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y
的取值范圍的影響.
4.解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題,其一般思路為:
第一步,先把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程;
第二步,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題.
另外,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)尸(xo,乂)),且直線的傾斜角為a,求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦長問題時(shí),可以把直
線的參數(shù)方程設(shè)成「二;:甯立為參數(shù)),交點(diǎn)工,8對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為A,d計(jì)算時(shí),把直線的參
數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程,求出A+d得至U|/8HfT2|=J(G+t2)2-40l2-
【方法總結(jié)】
1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化
把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.
如圖,設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和S,
7)2=x2+y2,
x=pcos0,>
或J1
則
Itan9=%(#0).
2.圓的極坐標(biāo)方程
若圓心為MSo,%),半徑為廣的圓方程為p?—2〃o〃cos(9一仇)+〃3—戶=0.
幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程
(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:p=r?,
(2)當(dāng)圓心位于A/(a,0),半徑為a:〃=2acos。;
兀
(3)當(dāng)圓心位于半徑為a:p=2asinf).
3.直線的極坐標(biāo)方程
若直線過點(diǎn)M("0,優(yōu)),且極軸到此直線的角為G,則它的方程為:psin(。-a)=/9osin(仇一a).
幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程
(1)直線過極點(diǎn):。=%和。=兀一%;
(2)直線過點(diǎn)M(〃,0)且垂直于極軸:pcosf)=a;
TT
(3)直線過MS,5)且平行于極軸:psin6=h.
4.直線的參數(shù)方程
若直線過(xo,/),a為直線的傾斜角,則直線的參數(shù)方程為然;(f為參數(shù)).這是直線的參數(shù)
方程,其中參數(shù)f有明顯的幾何意義.
5.圓的參數(shù)方程
=%o
若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為0t但比27t.
(y=y0+Rsina
6.橢圓的參數(shù)方程
若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)Mo(xo,yo),相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程為d::吃:;但斗r.
7.參數(shù)方程化為普通方程
基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有:①代入消元法;②加減消元法;③恒等式(三角的或代數(shù)的)消
元法等,其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.
8.普通方程化為參數(shù)方程
曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡單;當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí),可以唯一確定X,y
的值.一般地,與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題,常采用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù);與直線有關(guān)的常選用直線的傾斜角、斜率、
截距作為參數(shù);與實(shí)踐有關(guān)的問題,常取時(shí)間作為參數(shù).此外,也常常用線段的長度、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱
坐標(biāo))作為參數(shù).
組卷網(wǎng)
母嶷題源精粹
1.(2020?內(nèi)蒙古自治區(qū)高三二模)在極坐標(biāo)系中,已知極點(diǎn)為O,點(diǎn)/的極坐標(biāo)為4,三,動(dòng)點(diǎn)P滿足
OPAP=0-
(1)寫出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的極坐標(biāo)方程;
27rTC
(2)已知直線。=二(。6/?)和。=w(peR)與軌跡C分別交于異于極點(diǎn)O的點(diǎn),并分別記為M、N,
36
點(diǎn)。是線段OA的中點(diǎn),求出DOMN與口4?!钡拿娣e.
【答案】(1)P=4cos(三—可⑵S△耐=26;
【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積為零兩個(gè)平面向量的性質(zhì),結(jié)合銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(2)利用極坐標(biāo)的幾何意義,結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【解析】(1)設(shè)尸(夕,。),因?yàn)辂?麗=0,所以O(shè)PLAP,
因此三角形OAP是直角三角形,在R/aOA尸中,
有|OA|=4,乙AOP=飛一。或乙AOP=6—%
cos(g-e)=?,或COS夕―而COS((一6-COS^(9-y,
故所求極坐標(biāo)方程為p=4cosy-6>
(2)將6=年和e=?分別代入夕=4得
=4cOS-2,
PM[fYj=%=4cos仁一看「2百,
,/a“727rIT7T.._27r兀TT
顯然/MON=-------=—,ZAOM=-------=—,
362333
故=/|°加卜|°'|=/A/?PN=2A/3
乂。是線段。A的中點(diǎn),故S△.=%”“弓刖%。4惻=32*2**=6
【點(diǎn)睛】本題考查了求曲線的極坐標(biāo)方程,考查」'點(diǎn)的極坐標(biāo)的幾何意義,考查r數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
2.(2020?河南省高三三模)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為〈(。為參數(shù)),以坐
y=sina
標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),以無軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin(e+£)=;.
(1)求曲線。的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)A(2,l),點(diǎn)B為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求線段A3的中點(diǎn)M到直線/的距離的最大值.并求此時(shí)點(diǎn)B
的坐標(biāo).
【答案】(1)三+y2=],%+6y-1=0;(2)最大值為豆+占,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
34
【分析】(1)曲線C的普通方程為三+丁=1,由Psin[+3]=[得且0sine+L0cos6=」,然后
3-I6;2222
可化為x+J5y-l=0
⑵點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2,1),設(shè)點(diǎn)B(&cosa,sino),則點(diǎn)M2^^/^cosa,1+;na,點(diǎn)根到直
7
線/的距離為:
、
2+V3cosaG(l+sina)^sinla+71一+
H----1
2224;2
d
2
然后即可得出其最大值,進(jìn)而可求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)
x=v3cosa,…,
【解析】(1)曲線C的參數(shù)方程為.為參數(shù))
x=sina
X
—目—cosa
可得《百兩邊平方相加得:+y2=1
y=sina
2
即曲線C的普通方程為:—+/=1
3'
由「sin/9+—=5可得=L
\072222
即直線/的直角坐標(biāo)方程為x+gy—1=0
“…、_c(匚.\一J2+V5cosa1+sina
⑵42,1),設(shè)點(diǎn)3(>/3cosa,sma),則點(diǎn)-----------,---
點(diǎn)M到直線/的距離
2+百cosayfi(1+sina)66.也
----------------1-------------------1——cosan----sinan-----
222222
d=--------------------------------------
222
當(dāng)sin(a+7)=l時(shí),d的最大值為水:曲
即點(diǎn)M到直線/的距離的最大值為近此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(巨,軍
4122)
【點(diǎn)睛】本題考查的是參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,利用參數(shù)方程求
解最值問題,屬于基礎(chǔ)題.
3.(2020?江西省高三三模)在極坐標(biāo)系中,曲線C:〃=4cos9,以極點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將曲線C逆時(shí)針
旋轉(zhuǎn)?得到曲線C'.
A
x
(I)求曲線C'的極坐標(biāo)方程;
(11)求曲線c與曲線c’的公共部分面積.
71QJJ.
【答案】(I)p=4cos6-5|;(II)y-2V3.
3
【分析】(I)設(shè)點(diǎn)23。)是曲線C:)=4cos6上任意一點(diǎn),用點(diǎn)P的極坐標(biāo)表示出點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)之后對(duì)應(yīng)
的點(diǎn)P,而點(diǎn)P在曲線C:Q=4COS。上,代入即可求出曲線。'的極坐標(biāo)方程;
(H)根據(jù)幾何知識(shí)可知,四邊形OC'AC為菱形,即可求出/。。4=笄,再根據(jù)曲線C與曲線C'的
公共部分等于兩個(gè)弓形面積,即可求出.
【解析】(I)設(shè)點(diǎn)P(2。)是曲線C:夕=4cos6上任意一點(diǎn),旋轉(zhuǎn)之后點(diǎn)P'(〃,。),
P'=PP=P'
滿足,即<代入曲線C:夕=4cos。,
0'=0+-
3
得曲線C':p'=4cos(夕一(),即曲線C:2=4cos
(II)如圖,兩圓相交于點(diǎn)O,A,連接OA,AC,OC,0C,AC,
21
顯然四邊形。C'AC為菱形,故N0C4=——.
3
由曲線C:0=4cos(9知,圓的半徑為2,
所以曲線。與曲線C的公共部分的面積為兩個(gè)弓形的面積,
即S=2S弓形"'A=2(S扇形os-Saoc.A)=2尋—;x2x2xsin尋]=¥-2&
【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程,以及平面幾何知識(shí)和扇形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
4.(2020?四川省高三三模)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)
(([x=2cos
系.48兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為l,u7r\,1,-二兀、曲線c的參數(shù)方程為4.C0,(。為參數(shù)).
I2)I2)[y=smO
(1)求AB兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線C的普通方程;
(2)設(shè)尸是曲線C上任意一點(diǎn)(尸不在y軸上),若直線PA,尸8分別交X軸于點(diǎn)M,N,試問IOM|?|ON|
是否為定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(0,l)、B(0,-l);上+丁=1;(2)是,4.
4-
【分析】(1)根據(jù)題意,直接得到A8兩點(diǎn)的直角坐標(biāo);根據(jù)曲線參數(shù)方程,消去參數(shù),得出曲線的普通
方程;(2)先設(shè)P(2cosO,sin(9)(cos9H()),得到直線PA,P8的方程,求出用廣儂且,
\l-sm0)
當(dāng),°],再計(jì)算IQMI4QNI,即可得出結(jié)果.
(1+sin。)
【解析】(1)45兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為:40,1)、3(0,—1)
X
x=2cos?!?cos0%2,
由<.八得2,+y=1
y=sin夕4-
y=sin。
v-2
???曲線C得普通方程為—+y2=l
4-
(2)設(shè)P(2cose,sin6)(cose。。)
sin。一1,..2cos。
:丁=二———x+1,令y=0,x=
2cosy1—sin。
sin6+12cos。
同理.O:y=---------x令y=0,x=
2cos61+sin6
2cose()]2cos,
:.MN\-,-0-------
l—sin")ll+sinC
4cos204cos20_
:]0M\-\0N\=
(1-sin8)(1+sinO')cos20
.?JCMHCN|=4為定值.
【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,考查參數(shù)方程與普通方程的互化,以及參數(shù)的方程的應(yīng)
川,屬于??碱}型.
x=t—
5.(2020?福建省高三)在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為J(,為參數(shù)).
y=t2+產(chǎn)-4
(1)求曲線。的普通方程;
7F
(2)以。為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線/的極坐標(biāo)方程為。=”,(peR),直線/
6
與曲線C交于A,8兩點(diǎn),求線段A8的長度|AB|.
2
【答案】(1)y=x2-6(xW-2或x22);(2)-773.
3
【分析】(1)根據(jù)參數(shù)方程,消去參數(shù),得到曲線普通方程,再由題意求出定義域即可;
(2)先將(1)中的曲線方程化為極坐標(biāo)方程,得到夕sin6=p2cos2e—6,(|pcos^>2),設(shè)A,B的
極坐標(biāo)分別為A,*),B(夕2,2),將。=看代入曲線的極坐標(biāo)方程,由根與系數(shù)關(guān)系,以及
1ABi=3-夕2]=1(2|+夕2)2-4q夕2,即可得出結(jié)果?
X—14—,(D
【解析】(1)曲線C的參數(shù)方程為I1(,為參數(shù)),
991
將①式兩邊平方,得x+丁+2③,
③一②,得Jr?—y=6,即y=%2—6,
因?yàn)閨x|=f+;=卜|+;22膈=2,當(dāng)且僅訓(xùn)=j
即/=±1時(shí)取"=",所以閃22,即xW-2或xN2,
所以曲線C的普通方程為y=d—6(x<-2或x22).
(2)因?yàn)榍€C的直角坐標(biāo)系方程為y=6(xW—2或x22),
cos
-0022
所以把《.’八代入得:psin0=/?cos^-6,(Ipcos6>|>2),
y-ps\x\0
則曲線C的極坐標(biāo)方程為psin6>=p2cos20-6,(|pcosqN2)
設(shè)A,8的極坐標(biāo)分別為3m7o1由,e=-
6
6
夕sing=p1cos2^-6
得「sinJ=p2cos2j-6,即302一22一24=0,且|夕皿3
663
rinvf..-1-173T1+173
因?yàn)椤?4+4x3x24=4x73,.?.夕=---或p——--,
滿足但竽,/,、,1->/731+773
不妨設(shè)月=—y—,2=一^―
所以|A卻一聞=g6.
【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化,以及極坐標(biāo)的方法求弦長的問題,屬于??碱}型.
■JT
6.(2020?廣東省高三)在平面直角坐標(biāo)內(nèi),直線/過點(diǎn)P(3,2),且傾斜角£=丁.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),x
6
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓C的極坐標(biāo)方程為夕=4sine.
(1)求圓。的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線/與圓。交于A,6兩點(diǎn),求1PAl+|P8|的值.
22
【答案】(I)x+(y-2)=4:(2)373
【分析】(1)根據(jù)22=X2+9,QCOS6=X,psin0=y,將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)由題
意得到直線/的參數(shù)方程,在代入圓的直角坐標(biāo)方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)|/科+|冏=同+同,
化簡求值.
【解析】(1)由。=4sin。得夕2=4夕sin夕
從而有£+y2=4y即:x2+(y-2)2=4
r冗
x=3+rcos—
6(f為參數(shù)),
(2)由題意設(shè)直線/的參數(shù)方程為《
c冗
y=2+rsi?n—
x=2+g
2
即:〈(r為參數(shù))
y=2+—t
-2
代入圓的方程得(3+@r=4,
l2J12J
整理得:t~+3-\/3f+5=0>A+L=—3A/314/2=5,
由f1+<0且能>0,可知IM+1?,=同+121=_(:+幻=班?
【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及直線參數(shù)方程中參數(shù)方的幾何意義的應(yīng)用,屬于
基礎(chǔ)題型.
7.(2020?河南省南陽中學(xué)高三)在直角坐標(biāo)系X0V中,以。為極點(diǎn),X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已
X=1+COS6?
知曲線M的參數(shù)方程為《,.(。為參數(shù)),1{,4為過點(diǎn)0的兩條直線,4交M于A,B兩點(diǎn),
y=1+sin*
TT
《交M于C,D兩點(diǎn),且4的傾斜角為a,ZAOC=~.
6
(1)求4和M的極坐標(biāo)方程;
7T
(2)當(dāng)a=(0,^]時(shí),求點(diǎn)。到A,B,C.。四點(diǎn)的距離之和的最大值.
6
【答案】(1)02_22cos。-20cos6+1=0;(2)2+26
【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,即可得到宜線4和M的極坐標(biāo)方程;
⑵設(shè)A(g,a),B3,a),C(q,a+J),。(必,〃+£),將。=。代入曲線M的極坐標(biāo)方程,得到
66
月+夕2+外+?取得最大值,即可得到結(jié)論.
【解析】(1)依題意,直線《的極坐標(biāo)方程為。=a(夕eR),
X=1+cos(p
由,,消去9,得(x—-=1,
y=1+sin(p
將x=pcos。,y=psin(9,代入上式,得-20cos。一2/?。“招+1=0.
故M的極坐標(biāo)方程為夕2-2pcosO-2pcosO+1=0.
(2)依題意可設(shè)4(門,2),B(/?2,a),C(p3,a+^-
,DypA,a
且月,22,Pv24均為正數(shù),
將。=a代入p2-IpcosO-IpcosO+1=0,得夕2-2(cosa+sina^p4-1=0,
兀.71L
所以月+02=2(cosa+s山a),同理可得,P+P=^[cosa+—+52〃CLH--I,
346I6/
所以點(diǎn)。到AB,C,。四點(diǎn)的距離之和為
a+勺.(吟
p+Pa+乃+自-l^cosa+sina]+2cos+sin\a-\——
、6JI6J
二(1+占卜加a+(3+G)cosa
.f吟
sinaH——
I3J
因?yàn)閍e(0,譽(yù),所以當(dāng)sz“a+;j=l,
即。=£時(shí),Qi+q+q+Pt取得最大值2+2百,
6
所以點(diǎn)。到4B,C,。四點(diǎn)距離之和的最大值為2+26.
x=2cosa,
8.(2020?廣東省高三月考)在平面直角坐標(biāo)系x0y中,曲線G的參數(shù)方程為<c.(a為參數(shù)).
y=3sina
以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線G的極坐標(biāo)方程為0=4COS8.
(1)求曲線G的普通方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)P,。分別為曲線G,上的動(dòng)點(diǎn),求證:|PQ歸竽+2.
22
【答案】(1)—+^-=1;父+2—4%=0(2)證明見解析;
49
【分析】(1)消去參數(shù)a即可得曲線G的普通方程,由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式即可得曲線G的直角
坐標(biāo)方程;(2)由參數(shù)方程可設(shè)P(2cosa,3sina),由兩點(diǎn)間距離公式可求得|PG|,并求得|PC?|的最
大值,由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可證明結(jié)論.
【解析】(1)由《c,(。為參數(shù))消去得二+乙=1,
y=3sma49
22
即曲線G的普通方程為'T+方v=1,由夕=4cos。得°2=4pcos。,
而爐所以曲線G的直角坐標(biāo)方程為/+y2-4x=0.
(2)點(diǎn)p,。分別為曲線G,。2上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(2cosa,3sina),
則|PC2\=J(2cosa-2)2+(3sina)2=^-5(cosa+:+^->
當(dāng)cosa=—2時(shí),|PC,|=2叵,故|p0|=蛀+2,
5I21max5Ij|max5
即|p@W券+2.不等式得證.
【點(diǎn)睛】本題考查J'參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,由參數(shù)方程求點(diǎn)到圓上距
離的最值問題,屬于中檔題.
x=tcosa,
9.(2020?西藏自治區(qū)高三二模)已知曲線G的參數(shù)方程為《i.(,為參數(shù)),曲線G的參數(shù)方
y=l+,sina,
x-sin0,
程為〈(。為參數(shù)).
y=,1+cos2仇
(1)求G與G的普通方程;
(2)若G與G相交于A,B兩點(diǎn),且=求sina的值.
【答案】(1)y=xtana+l,=l(y.O)(2)0
【分析】(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;
(2)把直線的參數(shù)方程代入G的普通方程,化為關(guān)于f的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)f的
幾何意義求解.
x=tcosa
【解析】(1)由曲線G的參數(shù)方程為{,.?為參數(shù)),
y-1+Zsina
消去參數(shù)f,可得y=xtana+l;
x=sin6
由曲線C,的參數(shù)方程為〈.---------(。為參數(shù)),
」=S+cos2。
消去參數(shù)。,可得、=五二彳,即/+]=1(),..0).
x=?cosa-2
(2)把〈,。為參數(shù))代入/+2v_=1,
y=l+fsina2
f#(l+cos2a)r2+2/sina-l=0.
.-2sina-1
??《+J=7~2-,伐=772~,
1+cosa1+cosa
2
.'.IAB|=|Z,-Z2|=7(A+^)-4r/2=J(:2siny尸+£=夜.
V\+cos~a1+cos~a
解得:cos2a=1,即cosa=±l,滿足△>().
sina=0.
【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是面線參數(shù)方程中參數(shù)/的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.
10.(2020?陜西省西安中學(xué)高三)在平面直角坐標(biāo)系X0y,P(2,0).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸正半軸為極
軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線。的極坐標(biāo)方程為。=2,點(diǎn)。(Q,。)(噴上1)為C上的動(dòng)點(diǎn),M為PQ的
中點(diǎn).
(1)請(qǐng)求出M點(diǎn)軌跡G的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A(l,%)若直線/經(jīng)過點(diǎn)A且與曲線G交于點(diǎn)民下,弦EF的中點(diǎn)為。,求
|AP|
的取值范圍.
\AE\-\AF\
2-
【答案】(l)(x-l)2+y2=i(yN0);(2)
,~,3
【分析】⑴將曲線。的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為爐+丁2=4,可得點(diǎn)。(%0,%)滿足
/+/=4<y>0).利用相關(guān)點(diǎn)法即可得出M點(diǎn)軌跡£的直角坐標(biāo)方程;
(2)根據(jù)已知條件求出直線/的參數(shù)方程,把直線/的參數(shù)方程代入G,利用根與系數(shù)關(guān)系求出乙+/2J/2,
由直線/的參數(shù)方程中,的幾何意義可將舟黑Q用彳“2表示,再將乙+馬,牛2代入即可求出
IAPI
的取值范圍.
\AE\-\AF\
【解析】(1)因?yàn)?。的直角坐?biāo)方程為f+y2=4,
所以點(diǎn)2(%,%)滿足^+y2=4(y>0).
設(shè)〃(x,y),因?yàn)镸為P。的中點(diǎn),P(2,0)
所以x="°;2,>=?,所以x()=2x-2,y0=2y,
所以(2x-2)2+(2y)2=4(y20),
整理得C,的軌跡方程為(x—Ip+9=。>0).
(2)因?yàn)橹本€/過點(diǎn)4一1,0),
x=-l+rcosa兀\
所以直線/的參數(shù)方程為〈(。為參數(shù),。為傾斜角,0,-1)
y=Zsin&
代入G得/一4rcos6+3=(),所以%+f2=4cose,r&=3,
卜?+.
所以_|2_2cos6u(G2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,直線/的參數(shù)方程中參數(shù),的兒何意義,本題中
求||的關(guān)鍵是聯(lián)立直線的參數(shù)方程與G的直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上,利用直線的參數(shù)方程的幾何
意義并結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求解.
x=---
11.(2020?河北省高三)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線Ci的參數(shù)方程為<(7為參數(shù)),曲線
2/+1
y=-r
t+l
x=2+2cosa
C2的參數(shù)方程為1八.(a為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn).x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
y=2sina
(I)求曲線Ci的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
jrjr
(II)射線4=伙0<尸<萬)與曲線C2交于。,尸兩點(diǎn),射線。2=,+夕與曲線G交于點(diǎn)0,若△OP。
的面積為1,求|OP|的值.
【答案】(I)x-y+l=0,Q=4COS。;(]])272.
【分析】(I)由曲線G的參數(shù)方程消去參數(shù)3即得曲線a的普通方程.由曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)a,
X-夕cos。
得曲線C2的普通方程,根據(jù)《.八,即得曲線C2的極坐標(biāo)方程;(H)由(I)知,曲線C2的極坐
y-psmO
標(biāo)方程為。=4cos6,設(shè)點(diǎn)尸(4cos0.曲線Ci的普通方程化為極坐標(biāo)方程得QCOS6—。sin6+1=0,
(\7T\1
則點(diǎn)Q—o,O,~+P.由Spo°=xx|OP|x|OQ|=l,求出/,即求的值.
Icosp+sm[32)2
x=---,
【解析】(1)曲線a的參數(shù)方程為〈(/為參數(shù)),
2r+l
y=----
“r+1
消去參數(shù)f,得曲線。直角坐標(biāo)方程為:x-y+l=O.
x=2+2cosa
曲線G的參數(shù)方程為《c.(a為參數(shù)),消去參數(shù)a,
y=2sina
得直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0,
x=pCOS0c
根據(jù)《.萬、得曲線C2的極坐標(biāo)方程為Q=4COS8.
y-psmff
(II)由曲線C2的極坐標(biāo)方程為。=4cos8,設(shè)點(diǎn)尸(4cos/7,6).
由于直線Ci的極坐標(biāo)方程為夕cos6>-/?sine+l=0,
1冗Q
可得點(diǎn)Q,--FB,
cos/?+sin/32)
11JI
7他=于43外嬴亦旃=1,‘cos嶺
.?.Q9=4cos/=2jL
【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化,屬于中檔題.
12.(2020?南昌市新建一中高三)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸非負(fù)半軸為極軸,長度單位相
74371
同,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為爐=---,直線/過點(diǎn)(1,0),傾斜角為二.
7-cos264
(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,寫出直線/的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式;
(2)已知直線/交曲線C于A,8兩點(diǎn),求|AB|.
—1區(qū)
fy2*4F24
【答案】(1)土+2-=1,La是參數(shù))(2)§
4307
【分析】(1)將曲線C用二倍角余弦整理,22=/+9,0cose=x,°sine=y代入,即可求出其直
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