2017年華東師大版九年級上冊數(shù)學全冊教案(含教學反思)

二次根式

21.1二次根式

曾教學自標

【知識與技能】

1.理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答具體題目.

2.理解JZ(a20)是非負數(shù)和(JZ)Ja.

3.理解〃了=2(a20)并利用它進行計算和化簡.

【過程與方法】

1.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題.

2.通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出(a20)是一個非負數(shù)，用具

體數(shù)據(jù)結合算術平方根的意義導出(JZ)2=a(a，0),最后運用結論嚴謹解題.

3.通過具體數(shù)據(jù)的解答,探究并利用這個結論解決具體問題.

【情感態(tài)度】好=「(心°)

(-a(a<0)

通過具體的數(shù)據(jù)體會從特殊到一般、分類的數(shù)學思想，理解二

次根式的概念及二次根式的有關性質.

【教學重點】

1.形如JZ(a》0)的式子叫做二次根式.

2.4a(a》0)是一個非負數(shù)；(JZ)Ja(a》0)及其運用.

rp-_卜(心0)

3.I-a(a<0)

【教學難點】

利用“JZ(a》0)”解決具體問題.

關鍵：用分類思想的方法導出a(a20)是一個非負數(shù)；用探究的方法導出

而_(a(a^0)

I-a(a<0)

;J教學國外

一、情境導入，初步認識

回顧：

當a是正數(shù)時，JZ表示a的算術平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當a是零時，JZ等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術平方根.

當a是負數(shù)時，JZ沒有意義.

【教學說明】通過對算術平方根的回顧引入二次根式的概念.

二、思考探究，獲取新知

概括：&(a^O)表示非負數(shù)a的算術平方根，也就是說，布(a>0)是一個非負

數(shù)，它的平方等于a.即有：

(1)-fa>0；(2)(y[a)'=&(a20).

形如JZ(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在JZ中，a的取值必須滿足a20,即二次根式的被開方數(shù)必須是非負數(shù).

思考：必等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3等，分別計算對應的必的值，看看有什么

規(guī)律.

概括：當a20時，J/=a；當a<0時，

三、運用新知，深化理解

1.x取什么實數(shù)時，下列各式有意義？

(1)有干；

x-2

(3)V(.r-3)2；(4)后二開+

2.計算下列各式的值:

(1)(V18)2(2)(;y)2

(3)(，)2(4)(35)2

3.若而FT+"T=0,求，嚴4+/嚴4的值.

4.化筒：

(1)。；(2)7(-4)2；

(3)5(4)“-3尸.

5.若-3WxW2時，試化簡I久-2I

+“久+3尸.

【答案】(2)xN-I且xN

2(3)全體實數(shù)(4)x=y

29

2.(1)18(2)|-(3)W(4)453.2

316

4.(1)3(2)4(3)5(4)35.5

【教學說明】可由學生搶答完成，再由老師總結歸納.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關性質：(1)(JZ)2=a(a>0)；(2)當a20時,

-a；當aVO時，->fa^--a.

2.通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

【教學說明】教師引導學生回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

；,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題21.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

本節(jié)課從復習算術平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計算，理解二次

根式的有關性質，經歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學知識與技能，體驗

教學活動的方法.

二次根式的乘除法

1.二次根式的乘法

:,教與目標

【知識與技能】

理解G?血=肩（a》b,b20）,并利用它們進行計算和化筒.

【過程與方法】

由具體數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出&?血=而（a>O,b2O）并運用它進行計算.

【情感態(tài)度】

通過探究五?北=疝（a2O,b2O）,培養(yǎng)特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學生對事

物規(guī)律的觀察發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學生的學習興趣.

【教學重點】

4a?4b=4ab（a>O,b》O）,及它的運用.

【教學難點】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出彼?孤=施（a'O,b》O）.

教學國土

一、情境導入，初步認識

1.填空：

（1）口X9=.

.4x9一三.............；.

（2）Mx后=,

V16x25=；

（3）7100x736=,

v100x36=.

參照上面的結果，用或“="填空.

口x?4西

V16x岳_______716x25.

7100X底7100x36

2.利用計算器計算填空.

乏x8B；

叵x5師

5xB廝

口x5圓.

【教學說明】由學生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出彼?加=而（a》O,b》O）.

二、思考探究，獲取新知

（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規(guī)律.

教師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個二次根式的積等于這樣一個二次根式，它

的被開方數(shù)等于前兩個二次根式的被開方數(shù)的積.

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a?Jb->[ab(a>0,b20).：

例1計算:

(1)5x7；

(3)Ox吊

解：（1）5x療=V55；

⑶。x歷=\行又力=;92x3=9瓦

【教學說明】引導學生應用公式

\[a?Jb-4ab(a20,b20).

三、運用新知，深化理解

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為15cm和12cm,那么此直角三角形斜邊長是（）

A.3-\/2cmB.3j^cmC.9cmD.27cm

2.化簡〃J-L的結果是（）

a

B.7

C.—V—aD.—而

3.等式7%-1,\!x+1='/久2-1成立一的條

件是（）

A.，三1B.xN-1

C.—D.x^l或NW-1

4.下列各等式成立的是（）

A.45x25:85

B.53x42=205

C.48x32=75

1).58x4正=20B

【答案】LB2.C3.A4.D

【教學說明】可由學生搶答完成，再由教師總結歸納.

四、師生互動，課堂小結

1.由學生小組討論匯報通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與

同伴交流.

2.教師總結歸納二次根式的乘法規(guī)定八?揚=〃石（a^O.b^O）.

【教學說明】教師引發(fā)學習回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

,＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

這節(jié)課教師引導學生通過具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出6-四=疝（a20,b20）,

并學會它的應用，培養(yǎng)學生由特殊到一般的探究精神，培養(yǎng)學生對于事物規(guī)律的觀察、發(fā)現(xiàn)

能力，激發(fā)學生的學習興趣.

積的算術平方根

教學目標

【知識與技能】

1.^M\[ab-y/a?Jb(a20,b20)；

2.isffly[ab-y/a?Jb(a》O,b》O).

【過程與方法】

利用逆向思維，得出施=&?新(a》O,b》O),并運用它解題和化簡.

【情感態(tài)度】

讓學生推導=?后(a》O,b》O)以訓練逆向思維，通過嚴謹解題，增強學生

準確解題的能力.

【教學重點】

4ab-y[a?y/b(a20,b20)及其運用.

【教學難點】

4ab-4a(a20,b20)的理解與應用.

:'教學國土

一、情境導入，初步認識

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為石?北=/常(a20,b20).反過來，

4ab=y[a?y[b(a>0,b20).

【教學說明】引導讓學生通過復習上節(jié)課學習的二次根式的規(guī)定，利用逆向思維，得出

?4b(a》O,beO).

二、思考探究，獲取新知

例1化簡：

(I)XAT16；(2)V16x81；

(3)\/81x10()；(4)\M

解：(l)\^VT6=9X而=3X4=12；

(2)V16x8l=xMx聞=4x9=36；

(3)\/81x100=畫x7100=9x10

=90；

(4)\M=\/9x6=尺x6=3E

【教學說明】引導學生利用灰石=JZ?北(a》0,b》0)直接化簡即可.

例2判斷下列各式是否正確，不正確的請改正：

(1)7(-4)x(-9)=口x小;

(2)思義在'=4x備后

=4信x氏'=4尤=8H.

【教學說明】注意引導學生理解并掌握積的算術平方根應用的條件：a20,b20.

三、運用新知，深化理解

1.化簡：(1)V20;(2)V18;(3)V24：(4)754.

2.自由落體的公式為s=^gt2(g為重力加速度，它的值為10m/s2),若物體下落的高度

2

為120m,則下落的時間是s.

【答案】1.(1)26(2)3J2(3)2J6

(4)3R2.2B

【教學說明】可由學生自主完成分組討論，小組代表匯報，再由老師總結歸納.

四、師生互動，課堂小結

1.通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

2.教師總結歸納積的算術平方根等于各因式算術平方根的積，即

>fab=y[a?4b(a》O,b》O).

【教學說明】教師引導學生回顧知識點，讓學生大膽發(fā)言，進行知識提煉和知識歸納.

：'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

章4教學反思

本課時教學以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學生獨立思考的時間，提供

學生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學生提供一個交流合作的機會，培養(yǎng)學生獨立探究、

合作學習的能力，訓練逆向思維，通過嚴謹解題，增加學生準確解題的能力.

二次根式的除法

：,敦與目標

【知識與技能】

1.理解小=

2(a>0,b>0)和(a>0,b>0),并運用它們進行計算.

4b廠存

2.利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出

逆向等式及利用它們進行計算和化簡.

3.理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【過程與方法】

1.先由具體數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,(a20,b>0),并用它進行計算.

4a

2.再利用逆向思維,(a>0,b>0),并運用它進行解題和化簡.

訪

3.理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

【情感態(tài)度】

yfa

通過探究(a>0,b>0)培養(yǎng)學生由特殊到一般的探究精神;讓學生推導

忑

(a^0,b>0)以訓練逆向思維，通過嚴謹解題，增強學生準確解題的能力.

【教學重點】

fa_4a

(a20,b>0),(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化

d廠而

簡.

2.最簡二次根式的運用.

【教學難點】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.最簡二次根式的運用.

教學畫旌

一、情境導入，初步認識

（學生活動）請同學們完成下列各題.

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向公式.

2.填空：

(/1)\J9-

\/yf6-

x/廊16

/2X口

\(/)二

畫

/3\

\|/)廊=

河

/4

\(:=

先

見

于

-二

16

36：

32

2\

二

-)一

(17zB

(3叫

也7

4JX

-Z一=

J3一5

行

J&4

.

5

?:

2

3一

7

7_

一

區(qū)

【教學說明】每組推薦一名學生上臺闡述運算結果，最后教師點評.

二、思考探究，獲取新知

剛才同學們都練習得很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習和回答，我

們可以得到：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

4a_[a

(a20,b>0)

4bVb

反過來,(a>0,b>0)

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

例1計算:

3xq=23；

【教學說明】

\[a

直接利用

而(a>0,b>0)

例2化簡:

IT

(i)\M；(2)

64'

⑶匕(4)日

5臨

角翠：（I）=3氏

J3

(2)---?

64后8'

155

5一5x5-5；

(4}--6*2_B

MKx僅二爹.

觀察上面各小題的最后結果，發(fā)現(xiàn)這些二次根式有這些特點：

（1）被開方數(shù)中不含分母；

（2）被開方數(shù)中所含的因數(shù)（或因式）的基的指數(shù)都小于2.

【教學說明】利用二次根式的乘法、除法規(guī)定來化簡，要求最后結果化成最簡二次根式.

三、運用新知，深化理解

L化簡:

(2)-V172-132；

(4)77^,

2.已知；亍=寧，則〃的取值范圍

是

3.如圖，在RtZXABC中,NC=90°,AC=2.5cm,BO6cm,求AB的長.

A

C

【答案】1.⑴號(2)-2廊(3)

,6~3(4)3+22.0<aWl3.6.5cm

【教學說明】第1題可由學生自主完成，第2題、3題教師可給予相應的指導.

四、師生互動，課堂小結

請若干學生口述小結，老師再利用電子課件將小結放映在屏幕上.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習題21.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

本課時教學突出學生主體性原則，即通過探究學習，指導學生獨立思考，通過具體數(shù)據(jù)

得出規(guī)律，再讓學生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個人的體驗，從中獲取成功

的體驗后，激發(fā)學生探究的激情.

二次根式的加減法

教學目標

【知識與技能】

1.掌握同類二次根式的概念，會判斷同類二次根式，會合并同類二次根式.

2.掌握二次根式加減乘除混合運算的方法.

【過程與方法】

通過二次根式的加減法運算培養(yǎng)學生的運算能力.

【情感態(tài)度】

形成良好的思維習慣，學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識解

決問題.

【教學重點】

二次根式加減法的運算.

【教學難點】

探討二次根式加減法的運算方法，快速準確進行二次根式加減法的運算.

教學國旌

一、情境導入，初步認識

1.合并同類項：

(1)2x+3x；(2)2X-3X2+5X2.

解：⑴5x；(2)4x2.

這幾道題是你運用什么知識做的？加減法則.

2.化簡：

(1)Jy;(2),48.

解：(1)*；(2)4區(qū)

3.如何進行二次根式的加減計算?先化簡，再合并.

4.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次

根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.如2拒與30；

2冊、3冊與5冊.

二、思考探究，獲取新知

例1計算：

(1)2J2+32；

(2)2區(qū)-3區(qū)+5區(qū)；

(3)/7+2+3^9x7；

(4)3B-23+8.

解：(1)5。；(2)8優(yōu);(3)12d(4)2區(qū)

例2計算：

(1)2V12-64+3腐；

(2)("1+廊)+(5).

解：(1)14J3；(2)3回+5.

【教學說明】進行二次根式的加減運算時，必須先將其化簡，是同類二次根式才可合并.

例3計算:

(1)(條-5B)?6；

\I27

(2)(5+B)?(5。-28);

(3)(35+2))?(3后-2療)；

(4)(4+35產

解：(1)三4-152L；(2)19厲L;(3)17；

(4)61+245.

【教學說明】在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用.

三、運用新知，深化理解.

1.下列計算是否正確？為什么？

⑴底-B二癡二T；

(2)R+9=v?+9；

(3)35-J2=2J2.

2.以卜二次根式：①注；②厄;③停；

④加7中，與8是同類二次根式的是()

A.①和②B.②和③

C.①和④1).③和④

3.計算：

(1)網(wǎng)-畫+5；

(2)+(廓-歷)；

17

(3)y(J2+3)-丁(2+歷)；

(4)3\M-9Jy+3V12.

4.已知％=8+1,y=]3-1，求下列各式的值

(1)x2+2xy+y2；(2)x2-y2.

【答案】1.解：(1)不正確，此式結果為2

區(qū)-鳳

(2)不正確，此式結果為5；(3)正確.

2.C

3.解：(1)35;

(2)10J2-38；

(3)_2_78.

-44'

(4)15B.

4.解：(1)12；(2)48.

【教學說明】這類計算的簡便方法是先變形，再代入求值.

四、師生互動，課堂小結

請學生分組討論，小組代表匯報，教師展示本節(jié)課學習的知識要點.

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題21.3”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

本節(jié)課通過復習整式的加減法合并同類項，引入二次根式的概念及二次根式的合并方

法，對法則的教學與整式的加減比較學習，在理解、掌握和運用二次根式的加減法運算法則

的學習過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學思想方法，提高學生的思維品質和興趣.

一元二次方程

22.1一元二次方程

敦與目標

【知識與技能】

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax，bx+c=0(a

WO).

2.在分析、揭示實際問題的數(shù)量關系并把實際問題轉化為數(shù)學模型(一元二次方程)的

過程中，使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的工具,增加對一元二次方程的感性認識.

【過程與方法】

通過解決實際問題，把實際問題轉化為數(shù)學模型，引入一元二次方程的概念，讓學生認

識一元二次方程及其相關概念，提高學生利用方程思想解決實際問題的能力.

【情感態(tài)度】

通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情.

【教學重點】

判定一個數(shù)是否是方程的根.

【教學難點】

由實際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實際問題的根.

產,教與亙睚

一、情境導入，初步認識

問題1綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長

方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x+10)=900,整理可得

X2+10X-900=0.(1)

問題2學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩

年的年平均增長率.

解：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年

底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5

(1+x)?(1+x)=5(1+x)2萬冊.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得bx'+lOxN.2=0(2)

【教學說明】教師引導學生列出方程，解決問題.

二、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結為解方程(1)和(2).顯然，這兩個方程都不是一元二次方

程.那么這兩個方程與一元二次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？

共同特點：

(1)都是整式方程

(2)只含有一個未知數(shù)

(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2

【歸納總結】上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,

這樣的方程叫做一元二次方程.通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x、bx+c=O(a、b、c是已知數(shù),

a#0).其中ax?叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)，bx叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項.

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

I1-x2=0(X)2(x2-1)=3〉

19

③2A2—3.x-1=0④-7-二=0

xx

(5)(久+3/=(久一3產(6)9%2=5-4x

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

［教學說明1(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項

系數(shù).一次項系數(shù)及常數(shù)項.

W：2x-13x+ll=0；2,-13,11.

【教學說明】將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整.

三、運用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及

常數(shù)項.

(1)5X2-1=4X

(2)4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：⑴5x-4x-l=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0；4,0,-81

(3)4X2+8X-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+l=0：3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平

方，求較短一段的長x.

解：⑴4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根，求a的值.

解：：x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根.

3

/.4a+8-5=0解得：a=—.

4

四、師生互動，課堂小結

1.只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax、bx+c=0(a/0),一元二次方程的項及系數(shù)都是根據(jù)

一般式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.

3.在實際問題轉化為數(shù)學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程的必

要性和重要性.

.>課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題22.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

學習本課時，可讓學生先自主探索再合作交流，小組內，小組之間充分交流后概括所得

結論，從而強化學生對一元二次方程的有關概念的認識，掌握建模思想，利用一元二次方程

解決實際問題.

一元二次方程的解法

1.直接開平方法和因式分解法

敦與目標

【知識與技能】

1.會用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(ar0,ab>0)的方程.

2.靈活應用因式分解法解一元二次方程.

3.使學生了解轉化的思想在解方程中的應用.

【過程與方法】

創(chuàng)設學生熟悉的問題情境，綜合運用探究式、啟發(fā)式、活動式等幾種方法進行教學.

【情感態(tài)度】

鼓勵學生積極主動的參與“教”與“學”的整個過程，激發(fā)求知的欲望，體驗求知的成

功，增強學習的興趣和自信心.

【教學重點】

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教學難點】

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

;J教學國外

一、情境導入，初步認識

問：怎樣解方程(X+1)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xi=15,X2=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)2-256=0,方程左邊分解因式，得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解x.=15,X2=-17

【教學說明】讓學生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

二、思考探究，獲取新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7;(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解:⑴一；

(2)-1±2后；

(3)4±3"

【教學說明】運用開平方法解形如(x+m)(n20)的方程時，最容易出現(xiàn)的錯誤是

漏掉負根.

例2用因式分解法解下列方程:

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)=3x+15

4

解：(1)孫=0,*2=y

91

(2)勺=y,x2=-y

⑶=-5,x2=-2

【教學說明】解這里的(2)(3)題時，注意整體劃歸的思想.

三、運用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)2-6=0

(2)x"4x+4=5

(3)(x+5)2=25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)町=1+J2,X2=1-J2

(2)/=2+5,町=2-5

(3)%[=0,、2=-1°

(4)孫=I,x2=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)久2+%=0(2)x2-28T=0

(3)3x2-6x=-3(4)4.v2-121=0

(5)(X-4)2=(5-2%)2

解：(1=0,%2=-1

(2)町=0,x2=2B

⑶久i=、2=1

(5)%]=3,久2=1

3.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地

的半徑.

解：設小圓形場地的半徑為xm.

則可列方程2nxJn（x+5）2.

解得Xi=5+5JI,X2=5-5直（舍去）.

答：小圓形場地的半徑為（5+5J5）m.

【教學說明】可由學生自主完成例題，分小組展示結果，教師點評.

四、師生互動，課堂小結

1.引導學生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對于形如a（x-k）（aWO,b》O）的方程，只要把（x-k）看作一個整體，就可轉

化為x?=n（n20）的形式用直接開平方法解.

3.當方程出現(xiàn)相同因式（單項式或多項式）時，切不可約去相同因式，而應用因式分解

法解.

.＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

教學反思

本節(jié)課教師引導學生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學生小組討

論，歸納總結探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當、熟練地運用直接開平方法和因式分

解法，在整個教學過程中注意整體劃歸的思想.

2.配方法

敦與目標

【知識與技能】

1.使學生掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程.

2.在配方法的應用過程中體會“轉化”的思想，掌握一些轉化的技能.

【過程與方法】

通過探索配方法的過程，讓學生體會轉化的數(shù)學思想方法.

【情感態(tài)度】

學生在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數(shù)學的價值，增加學生學習數(shù)學

的興趣.

【教學重點】

使學生掌握用配方法解一元二次方程.

【教學難點】

發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法.

教學國程

一、情境導入，初步認識

問題要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬分別是多少？

設場地的寬為xm,則長為(x+6)m,根據(jù)矩形面積為16m*12,34得到方程x(x+6)=16,整理

得至！Jx：'+6xT6=0.

【教學說明】創(chuàng)設實際問題情境，讓學生感受到生活中處處有數(shù)學，激發(fā)學生的主動性

和求知欲.

二、思考探究，獲取新知

探究如何解方程X2+6X-16=0?

問題1通過上節(jié)課的學習，我們現(xiàn)在會解什么樣的一元二次方程？舉例說明.

【教學說明】用問題喚起學生的回憶，明確我們現(xiàn)在會解的一元二次方程的特點：等號

左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，即(x+m):ri(n20),運用直接開平方法

可求解.

問題2你會用直接開平方法解下列方程嗎？

(1)(x+3)J25

(2)X2+6X+9=25

(3)X2+6X=16

(4)X2+6X-16=0

【教學說明】教師啟發(fā)學生逆向思考問題的思維方式，將X2+6X-16=0轉化為(x+3)J25

的形式，從而求得方程的解.

解:移項得：x2+6x=16,

2

兩邊都加上9即()；使左邊配成x+bx+(b2)2的形式，得：

一2

X2+6X+9=16+9,

左邊寫成完全平方形式，得:

(x+3)2=25,開平方，得：x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：xi=2,X2=-8.

【歸納總結】將方程左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從

而可以直接開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(X+4)2

(2)x2-x+—=(x--)"

42

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2

例2列方程：

(1)X2+6X+5=0(2)2X2+6X+2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

解：(1)(=-l,x2=-5

c5353

(2)%]=了一5,％2=~V

(3)町=5-242=-5—2

【教學說明】教師可讓學生自主完成例題，小組展示，教師點評歸納.

【歸納總結】利用配方法解方程應該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；

(2)把常數(shù)項移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a；

(4)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

(5)此時方程的左邊是一個完全平方形式，然后利用直接開平方法來解.

三、運用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

(1)2x-4x-8=0

(2)x-4x+2=0

21

(3)x-—x-l=0

2

2.如果x"-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值.

【答案】1.(1).%=1+5,/=1-5

(2)町=2+2%2=2-優(yōu)

1V171V17

⑶町，+丁…了一丁

2.-3,二二一2,(…去

【教學說明】學生獨立解答，小組內交流，上臺展示并講解思路.

四、師生互動，課堂小結

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項.

；'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中課時練習的“課時作業(yè)”部分.

：,教學反思

本節(jié)課先創(chuàng)設情境導入一元二次方程的解法，引導學生將要解決的問題轉化為已學過的

直接開平方法來解，從而探索出配方法的一般步驟，熟練運用配方法來解一元二次方程.

公式法

教學目標

【知識與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

【過程與方法】

通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公式，使學生進一步認識特殊與

一般的關系.

【情感態(tài)度】

經歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀點.

【教學重點】

求根公式的推導和公式法的應用.

【教學難點】

一元二次方程求根公式的推導.

教學過程

一、情境導入，初步認識

用配方法解方程：(1)x?+3x+2=0(2)2x-3x+5=0

解：(1)xi=-l,X2=-2(2)無解

二、思考探究，獲取新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax、bx+c=O(aWO),你能否用上面配方法的步驟求

出它們的兩根？

問題已知ax?+bx+c=O(a￥0),試推導它的兩個根

—/>+-4ac—I)——4ac

?V1:2；，占二五-

【分析】因為前面具體數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a,b,c也當成具體數(shù)字，根

據(jù)上面的解題步驟就可以推導下去.

探究一元二次方程ax、bx+c=O(a^O)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax、bx+c=O,當l?-4ac20時，

2

將a,b,c代入式子x=-b*'b-—4ac就得到方程的根,當b-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根.

2a

—b+Jb2—4〃，，

(2)、—空巴叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教學說明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式，體驗獲取知識的過程，體會

成功的喜悅，可讓學生小組展示.

例1用公式法解下列方程：

①2X2-4XT=0②5X+2=3X?

③(x-2)(3x-5)=0④4x‘-3x+l=0

解：?xi=l+,x2=l-

22

@xi=2,x2=--

3

r5

③xi=2,\2--

④無解

【教學說明】(1)對②、③要先化成一般形式；(2)強調確定a,b,c的值，注意它們的

符號；(3)先計算b?-4ac的值，再代入公式.

三、運用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

(1)X2+X-12=0

(2)x'-y/2x--=0

4

(3)X2+4X+8=2X+11

(4)x(x-4)=2-8x

(5)X2+2X=0

(6)X2+2Vsx+10=0

解:(1)Xi=3,X2=-4;

V2+V3V2-V3

(2)XF--------,X2=--------

22

(3)xi=l,X2=-3;

(4)XF-2+V6,X2--2-y/6；

(5)xi=0,X2=-2;

(6)無解.

【教學說明】用公式法解方程關健是要先將方程化為一般形式.

四、師生互動，課堂小結

1.求根公式的概念及其推導過程.

2.公式法的概念.

3.應用公式法解一元二次方程.

廠,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.

；,教學反思

在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述，體驗知識的獲

取的過程，激發(fā)學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調試，從而提高學習效率.

一元二次方程根的判別式

F,敦與目標

【知識與技能】

i.能運用根的判別式，判斷方程根的情況和進行有關的推理論證；

2.會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍.

【過程與方法】

1.經歷一元二次方程根的判別式的產生過程；

2.向學生滲透分類討論的數(shù)學思想；

3.培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及推理論證能力.

【情感態(tài)度】

1.體驗數(shù)學的簡潔美；

2.培養(yǎng)學生的探索、創(chuàng)新精神和協(xié)作精神.

【教學重點】

根的判別式的正確理解與運用.

【教學難點】

含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應用.

*教字亙睚

一、情境導入，初步認識

用公式法解下列一元二次方程

(1)X*12+35X+6=0

(2)9X2-6X+1=0

(3)x-2x+3=0

解：(1)Xi=-2,X2=-3

(2)XFX2=—

3

(3)無解

【教學說明】讓學生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識.

二、思考探究，獲取新知

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn):在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a,b,c的值，然后求

出b?-4ac的值，它能決定方程是否有解，我們把「Yac叫做一元二次方程根的判別式，通

常用符號“A”來表示，即A=b?-4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導過程發(fā)現(xiàn):

2

zb、2I)-4ac

(*+工廠4/

【歸納結論】(1)當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：

-b+ylb2-4ac-b-yjb2—4ac

Z，M；

2a2a

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根,Xi=xz=-2；

2a

(3)當△<0時，方程沒有實數(shù)根.

例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況：

(l)2.r2-3.x-y=0；

(2)16?-24%+