2020-2021學(xué)年紹興市柯橋區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年紹興市柯橋區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共41.0分）

1.直線xcosa-y+l=0的傾斜角的取值范圍是（）

A.碎，爭B.[0幣U耳㈤

C.日于D.內(nèi)加⑤爭

2.在平行六面體4BCD-4津1（71。1中，禧=%屈+2丫近+3z*,則x+y+z=（）

A.1B.76C.76D.73

3.。=：是“直線（。+1）刀+3￡1'+1=0與直線（&-1）%+9+1））/-3=0相互垂直”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖，網(wǎng)格線上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，

那么該幾何體的體積是（）

A.3

B.2

5.設(shè)/是空間一條直線，a和0是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若〃/a,l//p,貝布〃0B.若a_L/?,l//a,則U￡

C.若al/7,Ila,貝”〃.D.若“/a,則a1/?

6.等軸雙曲線％2一產(chǎn)=1上一點(diǎn)p與兩焦點(diǎn)&,6連線互相垂直，則的面積（）

1

A.；B.2C.1D.4

7.圓Q:M+y2=16與圓C2：%2+y2+2x+2y-7=0的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.在每條棱長都相等的底面是菱形的直棱柱ZBCD—AiBiCiDi中，乙4BC=全側(cè)棱4Al與對(duì)角線

BDi所成的角為。，則。為（）

A-7BjC.=

9.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：^-，=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左、右

頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PFlx軸，過點(diǎn)4的直線1與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E,直線BM與

y軸交于點(diǎn)N,若[0E|=2|0N|,則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.2C.|D.g

10.如圖正方體ABCD-&B1C15,M,N分別為為必和441的中點(diǎn)，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）

①C\M"AC；②BD1J.4C；③BQ與AC的所成角為60。；④B出、C】M、BN三條直線交于一

點(diǎn).

A.1

B.2

C.3

D.4

二、單空題（本大題共6小題，共30.0分）

11.已知雙曲線立-乃=1,以原點(diǎn)為圓心，以雙曲線的實(shí)半軸長為半徑

412

長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于4,B,C,D四點(diǎn)，四邊形ABCD

的面積為_______________

12.設(shè)4(3,2,1),6(1,0,5),則AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

13.一個(gè)小球放入一長方形容器內(nèi)，且與有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，若小球上一點(diǎn)到這三個(gè)面的

距離分別為4、5、5,則該小球的半徑是

14.如圖，正方體ZBCD-&B1GD1的棱長為3,點(diǎn)M在4B上，且14Ml=1|4B],點(diǎn)P在平面4BCD上，

且動(dòng)點(diǎn)P到直線45的距離與P到點(diǎn)M的距離相等，在平面直角坐標(biāo)系x4y中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

是,此曲線的焦點(diǎn)為.

15.拋物線C：y2=2久與直線,：y=x-^交于A,B兩點(diǎn),貝.

16.若橢圓各5=1和雙曲線?一?=1有相同的焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，貝iJPFi?

PF2的值是.

三、多空題(本大題共1小題，共6.0分)

17.已知圓/+y2=io,AABC內(nèi)接于此圓，4點(diǎn)的坐標(biāo)(1,3).若AABC的重心G(|,令，則線段BC的

中點(diǎn)坐標(biāo)為一(1)_,直線BC的方程為_(2)_.

四、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知曲線C：x2+y2—2x—4y+m=0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)

(I)當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；

(n)若曲線C與直線x+2y-3=0交于M、N兩點(diǎn)，且。M1ON,求沉的值.

19.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐尸-45CZ)中，P4_L底面43CD,45cZ)是矩形,

E是棱PD的中點(diǎn)，P4=4D=4,AB=3.

(1)證明尸5//平面2C￡；

(2)求直線PB與平面P4C所成角的正弦值

20.如圖，在組合體中，4BCD-&BiC也是一個(gè)長方體，P-48CD是一個(gè)

四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)PC平面CC1。1。且PD=PC=V5.

(I)證明：PD1平面PBC；

(H)求弘與平面4BCD所成的角的正切值；

(迎)若4a=a,當(dāng)a為何值時(shí)，PC〃平面ABQ

21.經(jīng)過拋物線C：'2=2口刀(2>0)焦點(diǎn)尸的直線與(；相交于點(diǎn)4(七,%),B(x2,y2).

(1)證明：%乃=-p2,X62=?

(2)經(jīng)過點(diǎn)4B分別作C的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,證明：

(i)M41MB；(ii)點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上.

22.設(shè)豈(一c,0),尸2(。,0)分別是橢圓E：^+%2=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn).

(1)若點(diǎn)「(遮,2)在橢圓后上，且?=K，求橢圓E的方程；

(II)已知橢圓E的離心率為爭若過點(diǎn)Fi(—c,0)的直線交橢圓E于4,8兩點(diǎn)，且|4Fi|=3|FiB|.證明:

AB1AF2.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：設(shè)直線xcosa-y+1=0的傾斜角為仇則tern。=cosa,

vcosa6[—1,1].

???—1<tand<1.

ee[0幣u岑㈤.

故選：B.

設(shè)直線xcosa—y+1=0的傾斜角為氏可得：tand=cosa,由于cos€[—1,1].可得—1Wtan。W1.

即可得出.

本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查了空間平行六面體的性質(zhì)、空間向量基本定理、數(shù)形結(jié)合方法，屬于基礎(chǔ)題.

如圖所示，在平行六面體ABC。-4B1GD1中，AC[=AB+BC+CC[=AB+BC-C^C，與宿=

xAB+2yBC+3zQ?比較即可得出.

解：如圖所示，

在平行六面體4BCD-&B1C1D1中，

A=AB+BC+CQ=AB+BC—CjC>

與宿=xAB+2yBC+32京比較可得:

%=1,2y=1,—1=3z.

117

則％+y+z=l+---=-.

236

故選：B.

3.答案:A

解析：解：對(duì)于直線(a+1)%+3ay+1=0與直線(a-l)x+(Q+l)y-3=0,

當(dāng)a=0時(shí)，分別化為：%+1=0,—x4-y—3=0,此時(shí)兩條直線不垂直，舍去;

當(dāng)a=—1時(shí):分別化為：—3y+l=0,—2x—3=0,此時(shí)兩條直線相互垂直，因此Q=-1滿足條

件；

當(dāng)a*—l,0時(shí)，兩條直線的斜率分別為：一受，冷，由于兩條直線垂直，可得一手x==-1,

3aa+13aa+1

解得a=；或一1(舍去).

綜上可得：兩條直線相互垂直的充要條件為：。=；或-1.

4

"a=是“直線(a+l)x+3ay+1=0與直線(a-l)x+(a+l)y-3=0相互垂直”的充分

而不必要條件.

故選：A.

對(duì)a分類討論，利用兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系即可得出.

本題考查了兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

4.答案：D

解析：解：由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S-ABC,]

其中S21平面力BC,△力BC是等腰直角三角形，

AB=AC=2,SA=1,如圖，\

???該幾何體的體積：4k……V....—>C

V=1><S^ABCXSA/

=|x(ix2x2)xl

2B

——.

3

故選：D.

由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S-ABC,其中$4_L平面ABC,△ABC是等腰直角三角形，

AB=AC=2,SA=1,由此能求出該幾何體的體積.

本題考查幾何體的體積的求法，考查幾何體的三視圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能

力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

5.答案：D

解析：解：由1是空間一條直線，a和4是兩個(gè)不同的平面，知:

在4中：若〃/a,////?,則a與S相交或平行，故A錯(cuò)誤；

在B中：若aJ.0,/〃a,則/與口相交、平行或luA，故B錯(cuò)誤；

在C中：若a11a,貝也與0相交、平行或，u口，故C錯(cuò)誤；

在。中：若l〃a,I10,則由面面垂直的判定定理得a_L￡,故。正確.

故選：D.

在4中，a與0相交或平行；在B中，1與0相交、平行或1u/?；在C中，/與0相交、平行或Iu/?；在。中，

由面面垂直的判定定理得a1/7.

本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系的合理運(yùn)用.

6.答案：C

解析：解：：雙曲線/一y2=1中，a=b=i,

c=yja2+b2=V2>得焦距I&F2I=2>/2

設(shè)|PFi|=m,\PF2\=n,

???PFr1PF2,瓶2+n2=因尸2產(chǎn)=8...①

由雙曲線的定義，得—川=2a=2…②

①②聯(lián)立，得mn=2

???△P&F2的面積S=-mn=1

故選：C.

2

算出雙曲線的焦距|產(chǎn)$21=2企，利用勾股定理得出|P&『+\PF2\=2,結(jié)合||PFil-|PBII=2聯(lián)

解得出|PFi|?|PFz|的值，即可算出4PF/2的面積.

本題給出等軸雙曲線的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求三角形的面積.著重考查了雙曲線的定義與簡

單幾何性質(zhì)、勾股定理與三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題.

7.答案：B

解析：解：易知：圓G的圓心為G(0,0),半徑為&=4.

圓C2：(x+I)2+(y+I)2=9,故圓心。2(—1,一1)，半徑為氏2=3.

所以IGC2I=J(一1-0)2+(-1_0)2=V2,

所以1<夜<7,即治-/?2<|C￡I<&氏2，

故兩圓相交，所以兩圓有兩條公切線.

故選：B.

先判斷兩圓的位置關(guān)系，即可得到公切線的條數(shù).

本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷方法，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：連結(jié)

???在每條棱長都相等的底面是菱形的直棱柱ABC。-中,

AAJ/BB1,

ND/BI是側(cè)棱44i與對(duì)角線BQ所成的角9,

設(shè)直棱柱ABCD—4B1GD1的棱長為1,由N4BC=p

得B[D]=Vl+l—2xlxlxcosl200=V3>

tan8=tan/DiBB]=1=A/3,

故選：C.

連結(jié)8。],由已知得是側(cè)棱A①與對(duì)角線BDi所成的角6,由此利用余弦定理能求出。=今

本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

9.答案：A

解析：解：???|0E|=2|0N|,

.,.設(shè)E(0,—2m),m>0,

則4(—a,0),8(a,0),

則AE的方程為5+V二=1,

BN的方程為工+上=1,

am

則直線4E,BN的交點(diǎn)為P(-c,t)

則S+5=i，且X==

即e一工」=1,且一e+$=

2mm1,

即2e——m=2且m—e+—=1,

兩式相加得e=3,

故選：A.

設(shè)出N,E的坐標(biāo)，利用截距式求出直線AE,BN的方程，利用直線4E,BN的公共點(diǎn)是M,建立方

程進(jìn)行求解即可.

本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合直線交點(diǎn)坐標(biāo)M,

建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

10.答案：C

解析：

根據(jù)平行的定義，可判斷①；先證明4CL平面BDD］,可判斷②；根據(jù)AAiBCi為等邊三角形，可

判斷③；根據(jù)公理3判斷出三線共點(diǎn)，可判斷④

本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系

等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔.

解：???正方體ABCD-AiBiCiA，M,N分別為萬5和441的中點(diǎn),

A^CJ/AC,GM與4cl相交，故①錯(cuò)誤；

BDLAC,DDT1AC,故ACL平面B。。］，故孫：C,故②正確；、

連接8必，則△&BC］為等邊三角形，即BQ與41cl的所成角為60。；

由①中AiCJ/AC,可得BQ與AC的所成角為60。，故③正確：

④由MN〃ADi〃BC「可得GM、BN共面，

則GM、BN必交于一點(diǎn)，

且該交點(diǎn)，必在B1公上，

故GM、BN三條直線交于一點(diǎn)，故④正確；

故選：C.

11.答案：4>/3

解析：

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，注意運(yùn)用方程思想和代入法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于

中檔題.

以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為/+y2=*雙曲線的兩條漸近線方程為

y=±V5x，將漸近線方程與圓方程聯(lián)立，即可得出結(jié)論.

解：以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為％2+y2=4,

雙曲線的兩條漸近線方程為y=±V3x，

N+滂4,解得x=±1

由

y=±V3x.y=土后

二四邊形4BCC即矩形4BCD的面積為

4X|±1|x|±V3|=4V3,

故答案為4g.

12.答案：(2,1,3)

解析：

本題給出線段48的端點(diǎn)坐標(biāo)，求中點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了空間直角坐標(biāo)系內(nèi)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的知識(shí),

屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)直接加以計(jì)算，即可4B的中點(diǎn)M的坐標(biāo).

W：???71(3,2,1),B(1,0,5),

.?.設(shè)ZB中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y,z),可得

x=|(3+1)=2,y=^(2+0)=1,z=1(1+5)=3,

即得M坐標(biāo)為(2,1,3).

故答案為：(2,1,3).

13.答案:3或11

解析：解：如圖，

設(shè)長方體的三個(gè)面共點(diǎn)為。，以O(shè)E,OF,OG所在直線分別為x軸,

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?小球與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，二設(shè)球心4(r,r,r),

又???小球上一點(diǎn)P到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5,

點(diǎn)為P(5,4,5),

則65=(r,r,r),OP=(5,4,5).

由麗=OP-OA=(5,4,5)-(r,r,r)=(5-r,4-r,5-r).

|Q/=(5—r)2+(4-r)2+(5-r)2=r2.

即「2-14「+33=0,解得：「=3或「=11.

故答案為：3或11.

小球在長方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，則小球的球心4到三個(gè)接觸面的距離相等，小球上

一點(diǎn)P到這三個(gè)面的距離分別為4、5、5,若以三個(gè)面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以其中兩個(gè)面的交線

為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系后，球心和小球上的點(diǎn)的坐標(biāo)可知，向量市和前的坐標(biāo)可求，由向量

減法的三角形法則可得向量都，向量通的模就是小球的半徑，由半徑相等列式可求這只小球的半徑.

本題考查了求外切多面體，考查了空間點(diǎn)、線、面間的距離的計(jì)算，利用空間向量處理該題起到事

半功倍的效果，屬中檔題.

14.答案：x2=2y+8(0,-今

解析：解：作PNL4D,則PNL面4。山4

作N，_L4iDi，N,H為垂足，

由三垂線定理可得PH1久久.

以4。，AB,441為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：

zA6C

設(shè)P(x,y,0),由題意可得M(0,l,0),W(x,0,3),

\PM\=\pH\,

■?y/x2+(y—l)2=Jy2+9,

整理，得/=2y+8,

化為久2=2(x+4),

由2P=2,得p=1,

所以拋物線差焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,：-4),即(0,-9.

故答案為：x2=2y+8,(0,-今.

以AD,AB,力&為x軸，y軸,z軸，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y,0),由題意可得M(0,l,0),HQ,0,3),

\PM\=\pH\,由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，由軌跡方程得出對(duì)應(yīng)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo).

本題考查了點(diǎn)的軌跡方程求法問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.答案4

解析：解：拋物線焦點(diǎn)為c，o)

直線，：y=x-p代入拋物線方程得/—3x+0.25=0

***X]+%2=3

根據(jù)拋物線的定義可知=X1+^+X2+^=X1+X2+P=3+1=4

故答案為：4.

直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y,根據(jù)韋達(dá)定理求得%i+亞的值，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知

\AB\=Xj+x2+P求得答案.

本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義.

16.答案:16

解析：解：因?yàn)闄E圓卷+3=1和雙曲線5-9=1有相同的焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2,

設(shè)P在雙曲線的右支上，

利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF/+\PF2\=2x5=100

l^il-1^2|=2X3=60

由①②得：IPFjl=8,\PF2\=2.

???|PFi|.\PF2\=16.

故答案為：16.

根據(jù)點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合橢圓和雙曲線的第一定義求出與仍七1的表達(dá)式，解

方程，即可求出仍尸山仍尸2|的值.

本題主要考查圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，

運(yùn)用第一定義，考查運(yùn)算能力，屬中檔題.

17.答案：

x—y—1=0

解析：

要求三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可先將它們的坐標(biāo)設(shè)出來，根據(jù)重心的性質(zhì)，我們不難求出BC邊上中點(diǎn)。的

坐標(biāo)，及BC所在直線的斜率，代入直線的點(diǎn)斜式方程即可求出答案.

本題考查三角形重心的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于中檔題.

解：設(shè)BQq,%),C(x2,y2),

???重心G的坐標(biāo)為(|,|),???紅產(chǎn)=|,瞥坦=|，

求得%1+42=1，%+丫2=-1，故BC的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為：

又??,點(diǎn)B、C在圓%2+y2=10上，二好+資=10,%2+y2=10-

兩式相減，得：(/+%2)(與一次)+(%+丫2)。1一月)=0,二8。的斜率為號(hào)=1.

???邊BC所在的直線方程為y+[=1x(%-1),即x-y-1=0.

故答案為：｝；x—y-1=0.

18.答案：解：(I)由題意可知：D?+￡,2—4F-(—2/+(—4)2—4TH=20—4m>0,

解得：m<5；

(11)設(shè)叭%1必),/V(x2,y2),

由題意OMION,得到麗?而=0，即％1%2+y，2=0①，

聯(lián)立直線方程和圓的方程：lx2+y2-2x-4y+m=0,

(%+2y—3=0

消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：5y2-I2y+3+m=0,

???直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

b2-4ac=122—4x5xm>0,即m+3<y,即m<g,

又由(I)m<5,ni<三，

由韋達(dá)定理：yi+72=%、2=等②，

又點(diǎn)MQi，%),N(X2，V2)在直線％+2y—3=。上，

%i=3-2yx,x2=3-2y2,

代入①式得:(3-2%)(3-2y2)+y/2=0>即5yly2-6(%+y2)+9=0,

將②式代入上式得到：3+m-y+9=0,

解得：m=Y<y,

則m=y.

解析：(I)根據(jù)曲線方程滿足圓的條件求出血的范圍即可；

(II)設(shè)/V(x2,y2),由題意OM_LON,得到麗?前=0,利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則列

出關(guān)系式，聯(lián)立直線與圓方程組成方程組，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)

交點(diǎn)，得到根的判別式大于0,求出m的范圍，利用韋達(dá)定理求出％+、2與%為，由點(diǎn)

可。2，%)在直線％+2丫-3=0上，表示出與與犯，代入得出的關(guān)系式中，整理即可確定血的值?

此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：根的判別式，直線與圓的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，平面

向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及二元二次方程成為圓的條件，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

19.答案：(1)證明：根據(jù)題意，連結(jié)BD交4c于。，連結(jié)E0,

則E。是APB。的中位線,

PB//EO

?：PBC平面4CE,EOu平面4CE

/.PB〃平面4CE

(2)解：作BH1AC于H,連結(jié)PH

???PA_L底面4BCD,

平面PAC_L平面4BC。

由兩平面垂直的性質(zhì)定理得，BH1平面PAC

所以：4BPH就是直線PB與平面PAC所成的角.

12

???PB=5,，

./RPUBH_12

??.SinZBPH=-

即直線PB與平面P4C所成的角的正弦值為U

25

解析：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面的夾角，解直角三角形知識(shí).

(1)首先利用中位線得到線線平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線面平行.

(2)首先利用面面的垂直轉(zhuǎn)化成線面的垂直，進(jìn)一步得出線面的夾角，最后利用解直角三角形知識(shí)求

出結(jié)果.

20.答案：方法一：(I)證明：因?yàn)镻D=PC=&,CD=AB=2,

所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD1PC.

因?yàn)?BCD-&當(dāng)口劣是一個(gè)長方體，所以BC_1面。的/0,

而P6平面CC15D,所以PDu面CCi。]。，所以8CJ.PD.

因?yàn)镻D垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,

所以由線面垂直的判定定理，可得PD_L平面PBC.

(II)解：過P點(diǎn)在平面CCiDi。作PE1CC于E,連接4E.

因?yàn)槊?BCD1面PCD,所以PE1面ABC。，

所以NP4E就是24與平面2BCC所成的角.

因?yàn)镻E=1>AE=V10>所以tanz_P4E=—=~^==^

AEvio10

所以P4與平面2BCD所成的角的正切值為運(yùn).

10

(HI)解：當(dāng)a=2時(shí)，PC〃平面ABiD

當(dāng)a=2時(shí)，四邊形CCi/D是一個(gè)正方形，所以NC[DC=45。，

而4PDC=45。，所以4PDC1=90。，所以GD1PD.

而PCJ.PD,GD與PC在同一個(gè)平面內(nèi)，所以PC〃C】D

而QDu面4B1G。，所以PC〃面力BiG。，所以PC〃平面4/￡>.

方法二：(I)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長力4=。,則有。(0,0,。)，/(0,1,。+1),8(3,2,。),

C(0,2,a).

于是同=(0,-1,一1)，麗=(3,1,—1)，PC=(0,1,-1)>所以而?

麗=0，PDPC=0.

所以PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的

判定定理，可得PO1平面P8C.

(D)解：4(3,0,a),所以刀=一1)，而平面4BCD的一個(gè)法

向量為元=(0,0,1).

所以cos<To,n1>=,——1=——.

'1VTixi11

所以P4與平面ZBCD所成的角的正弦值為名.

11

所以P4與平面ABCC所成的角的正切值為包.

10

(皿)解:當(dāng)=(3,2,0),所以51=(3,0,0)，福=(0,2,-辦

設(shè)平面的法向量為芯=(x,y,z),則有［竺三=3"=°,

{AB1-n2=2y-az=0

令z=2,可得平面28中的一個(gè)法向量為底=(0,a,2).

若要使得PC〃平面4當(dāng)。，則要玩:1芯，即定?荻=a-2=0，解得a=2.

所以當(dāng)a=2時(shí)，PC〃平面4B1D

解析：方法一：(I)證明PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直的判定定理，可

得P01_平面PBC；

(口)過「點(diǎn)在平面41。1。作。后，。。于以連接4E,可得4PAE就是P4與平面ABCD所成的角，從而

可求PA與平面4BCD所成的角的正切值；

(m)當(dāng)a=2時(shí)，PC〃平面48道，利用線面平行的判定可得結(jié)論；

方法二：(I)建立空間直角坐標(biāo)系，證明P。垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC,由線面垂直

的判定定理，可得PD1平面PBC；

(11)求得方=(3,-1,一1),平面ABCD的一個(gè)法向量為％=(0,0,1),利用向量的夾角公式，可求24

與平面4BCD所成的角的正切值；

(HI)求得平面AB1。的一個(gè)法向量為布=(0,a,2),要使得PC〃平面AB】。，則要玩JL五，從而可得

結(jié)論.

本題考查線面垂直，考查線面平行，線面角，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題.

21.答案：證明：(1)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為g,0),由題設(shè)4B