線性代數(shù)總結(jié)

一行列式的計(jì)算性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等性質(zhì)2互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào)推理如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)ｋ，等于用數(shù)ｋ乘此行列式.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．計(jì)算行列式技巧：1、分析，探求行列式的結(jié)構(gòu)2、化零，盡可能把行列式化為爪型3、對(duì)角化1，邊化－14、靠邊，把行列式化為三角形行列式行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零計(jì)算行列式常用方法：化零，展開.二、關(guān)于線性方程組的解1對(duì)于n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的特殊線性方程組（Cramer法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于0，齊次和非齊次線性方程組都僅有唯一解。齊次的是零解；非齊次解為（i=1,2,…,n）如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.例子：解線性方程組用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2一般線性方程組的解。有解的充分必要條件：。求解步驟：（1）將增廣矩陣化成行階梯行，若，則有解，繼續(xù)化簡成行最簡行；（2）由的行最簡行可得到的一個(gè)特解；（3）行最簡行除去最后一列，即A的行最簡行，可得的一個(gè)基礎(chǔ)解系：；則所要求的通解為。相應(yīng)的若求奇次線性方程組的解，只需要將系數(shù)矩陣A化成行最簡行，求出一個(gè)基礎(chǔ)解系，則通解為。例子：化簡增廣矩陣1、因，所以線性方程組無解.2、解方程組的增廣矩陣為因，所以線性方程組有無窮多解.即其中ｃ為任意常數(shù).三矩陣的初等變換及應(yīng)用1求矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)矩陣的秩＝行最簡形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)例子：設(shè)A＝，求矩陣A的秩所以，2求矩陣的逆例子：求矩陣的逆。。所以3解簡單的矩陣方程，其中A可逆。由，其中A可逆，知X＝A－1B故例子，；，求X。所以X＝。4（向量空間不考）求過渡矩陣設(shè)R3中兩組基為：，，和，，。求由前一組基到后一組基的過渡矩陣。由，故；即所以過渡矩陣為。5求一組向量最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組表示。行最簡式。例子：求的一個(gè)最大無關(guān)組。，可見，，又