2022-2023學年廣東省廣州市荔灣區(qū)高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則復數(shù)z等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.已知向量，，若與垂直，則等于（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，因為與垂直，所以，則.故選：C.3.一個小商店從一家食品有限公司購進10袋白糖，每袋白糖的標準質量是500g，為了了解這些白糖的質量情況，稱出各袋白糖的質量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質量為，標準差為s，則質量位于與之間的白糖袋數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗10袋白糖的平均質量，方差，標準差，因此，所以質量位于與之間的白糖袋數(shù)是7.故選：B4.已知事件A，B，且，，則（）A.若，則，B.若A，B互斥，則，C.若A與B相互獨立，則，D.若A與B相互獨立，則，〖答案〗D〖解析〗對于A，如果，那么，，A錯誤；對于B，如果A與互斥，那么，，B錯誤；對于C，如果A與相互獨立，那么，C錯誤；對于D，如果A與相互獨立，那么，，D正確.故選：D5.已知，，是同一平面內的三個向量，則（）A.若，，則B.若是非零向量，，則是的充要條件C.若，，，則可以作為基底D.若，，兩兩的夾角相等，且，，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，取，則，，但的方向不能確定，∴不一定成立，故A錯誤；對于B，若是非零向量，，則，則B正確；對于C，∵，∴共線，∴不可以作為基底，故C錯誤；對于D，，因為兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況，當夾角為時，；當夾角為時，．故D錯誤.故選：B.6.某小區(qū)從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW·h之間，進行適當?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A.小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300B.小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175C.可以估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5D.小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有380戶〖答案〗C〖解析〗對于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為，故A錯誤；對于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為，因為，，故小區(qū)用電量中位數(shù)在，設為，則，解得，故B錯誤；對于C，因為，，故估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在，設為，則，解得，故C正確；對于D，樣本中小區(qū)用電量不小于250kW·h頻率為,所以小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有戶，故D錯誤.故選：C．7.已知母線長為a的圓錐的側面展開圖為半圓，在該圓錐內放置一個圓柱，則當圓柱的側面積最大時，圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設圓錐底面半徑為，高為，圓柱底面半徑為，高為，則，則，故，所以由，得，所以圓柱的側面積，當且僅當，即時，等號成立，此時，圓柱的體積為.故選：B.8.如圖，設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，則該坐標系中和兩點間的距離為（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗因為該坐標系中和，所以則，所以=即該坐標系中和兩點間的距離為：故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9.已知復數(shù)，，則（）A.B.復平面內對應的點的集合是單位圓C.D.復平面內滿足的點的集合是線段〖答案〗BC〖解析〗取，，則，，則，故A錯誤；設復平面內對應的點的坐標為，，∴，∴，則復平面內對應的點的集合是單位圓，故B正確；∵，，，∴，故C正確；由得，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D錯誤.故選：BC10.在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數(shù)字，記事件“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有，共16件，其中事件A包含的基本事件有，共8件，事件B包含的基本事件有，共8件，事件C包含的基本事件有，共8件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含基本事件有，共4件，所以，，，，故ABD正確；C錯誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關于對稱B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減D.函數(shù)滿足〖答案〗BC〖解析〗，由，解得，令，得，故A錯誤；由得，，當時，，則函數(shù)關于點對稱，故B正確；當，即時，單調遞減，令，則函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，故C正確；取，則，，，故D錯誤.故選：BC.12.已知正方體，點分別處線段、的中點，則（）A.B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面的交點是的重心〖答案〗CD〖解析〗對于A，記的中點為，連接，交于，連接，，易得同時是與的中點，，在正方體中，，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，不妨設，則在，易得，則是正三角形，因為是的中點，易得，所以與不垂直，則與不垂直，故A錯誤；對于B，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，又，所以是直線與所成的角（或補角），因為是正三角形，是的中點，所以，故B錯誤；對于C，連接，如圖，由選項B可知平面與平面是同一個面，在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，又是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，記到平面的距離為，則，而易得，記直線與平面所成的角為，則，故C正確；對于D，不妨設直線與平面的交點為，連接，如圖，易得，又，所以三棱錐是正三棱錐，故要證是的重心，只需要證面，即面即可，因為在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，而平面，故，同理，又平面，所以面，所以直線與平面的交點是的重心，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復數(shù)z在復平面內對應的點位于第二象限，且，則z等于______．（寫出一個即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設，，因為復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，所以，，又因為，所以，顯然當時，符合題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知，，當向量，的夾角θ等于時，向量在向量上的投影向量為______．〖答案〗〖解析〗顯然為單位向量，而，向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是.故〖答案〗為：15.如圖，長方體木塊中，，，E，F(xiàn)，G分別是線段，，DC的中點，平面上存在點P，滿足平面EFG，則點D與滿足題意的點P構成的平面截長方體所得截面的面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，∵，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，又平面，，平面，∴平面平面，又平面平面，平面平面，∴，∵E，F(xiàn)分別是線段，的中點，∴，則點在上，∴點D與滿足題意的點P構成的平面截長方體所得截面為，∵，的等腰三角形，邊上的高為，∴．故〖答案〗為：．16.如圖，已知直線，A是直線，之間的一定點，并且點A到，的距離分別為，，B，C分別為直線，上的動點，且滿足，則面積的最小值為______．〖答案〗〖解析〗依題意，當點在過點垂直于的直線同側時，，設，則，在中，，因此的面積，而，即，，當且僅當，即取等號，當與重合時，，，，當與重合時，，同理，當在過點垂直于的直線兩側時，則有，，或，，，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）解不等式，；（2）證明：．（1）解：，則，因為，則，解得.（2）證明：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，〖解析〗式變?yōu)?，再向右平移個單位長度，則，.故原等式成立.18.如圖，兩點都在河的對岸（不可到達），為了測量兩點間的距離，在兩點的對岸選定兩點，測得，并且在兩點分別測得，，，，（1）求兩點間的距離；（2）設與相交于點，記與的面積分別為，，求．解：（1）在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，則.（2）在中，，，則，由，得，，所以在中，，，則，在中，，，則，所以.19.如圖，在正三棱柱中，，，點P，Q分別為線段，的中點．（1）證明平面ABC；（2）求多面體的體積．（1）證明：取AB的中點，連接PD，CD，在中，因為P，D分別為中點，所以，且，正三棱柱中，，因為為棱的中點，所以，且，于是，所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而，又因為平面平面ABC，所以平面ABC；（2）解：取BC的中點E，連接AE，因為AB＝AC，所以，正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又平面，所以平面，點P為線段的中點，則點P到平面的距離，則多面體的體積.20.某品牌計算機售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內維修次數(shù)最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購買1臺這種品牌的計算機，求下列事件的概率：A＝“在保修期內需要維修”；B＝“在保修期內維修不超過1次”；（2）若某人購買2臺這種品牌的計算機，2臺計算機在保修期內是否需要維修互不影響，求這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次的概率．解：（1）設“一年內需要維修次”，，事件兩兩互斥，因為一年內需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以,，，（2）這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次，則兩臺均未維修或1臺維修0次另1臺維修1次，或1臺維修0次另1臺維修2次，或2臺各維修1次，所以，這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次的概率為.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD相交于點O，E為CD的中點，，，（1）證明：平面平面ABCD；（2）當點A到平面PCD的距離最大時，求側面PAB與底面ABCD所成二面角的大?。?）證明：在四棱錐中，由正方形，得，而，，則，有，又為的中點，，于是，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在四棱錐中，延長交于，連接，如圖，由于正方形的對角線與相交于點，為的中點，則為的中點，有，于是是側面與底面所成二面角，令，由（1）知平面，而平面，則平面平面，在平面內過作于，而平面平面，于平面，又平面，平面，則平面，因此點到平面距離等于點到平面距離，由，得，而，在中，由余弦定理得：，又，即有，則，令，顯然，，，當且僅當，即時取等號，當時，，，而，從而，所以當點到平面距離最大時，側面與底面所成二面角的大小為.22.某工藝品加工廠生產線一天能生產200件某款產品，該產品市場評級規(guī)定：工藝質量指標值大于或等于10的為A等品，小于10的為B等品．廠家將A等品售價定為160元/件，B等品售價定為140元/件．下表是檢驗員在現(xiàn)有生產線上隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第i件產品的工藝質量指標值，．為了提高產品質量，該廠計劃通過增加生產工序來改進生產工藝，已知增加生產工序每年需花費30萬元，改進后該條生產線產能不變，但生產出的每件產品工藝質量指標值均提高0.05．（1）若將隨機抽取的16件產品中各等級產品的頻率視為概率，估計改進后該廠的年收益是否增加，并說明理由．（一年按365天計算）（2）根據(jù)隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值，估計改進后該廠一天生產的所有產品的工藝質量指標值的平均數(shù)和方差．解：（1）改進后該廠的年收益增加了，理由如下：依題意，可知原生產線生產A等品的概率為，生產B等品的概率為，所以原生產線一天的收益為（元），即萬元，改進后的生產線隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值為：10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00則改進后的生產線生產A等品的概率為，生產B等品的概率為，所以改進后的生產線一天的收益為（元），即萬元，則改進后該廠的年收益比原來的多（萬元）.所以改進后該廠的年收益增加了.（2）因為原來隨機抽取的16件產品的工藝質量指標值的平均數(shù)為和方差為，而且改進后該條生產線產能不變，但生產出的每件產品工藝質量指標值均提高0.05，所以估計改進后該廠一天生產的所有產品的工藝質量指標值的平均數(shù)為，改進后方差，所以方差不變，仍為.廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則復數(shù)z等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.已知向量，，若與垂直，則等于（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，因為與垂直，所以，則.故選：C.3.一個小商店從一家食品有限公司購進10袋白糖，每袋白糖的標準質量是500g，為了了解這些白糖的質量情況，稱出各袋白糖的質量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質量為，標準差為s，則質量位于與之間的白糖袋數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗10袋白糖的平均質量，方差，標準差，因此，所以質量位于與之間的白糖袋數(shù)是7.故選：B4.已知事件A，B，且，，則（）A.若，則，B.若A，B互斥，則，C.若A與B相互獨立，則，D.若A與B相互獨立，則，〖答案〗D〖解析〗對于A，如果，那么，，A錯誤；對于B，如果A與互斥，那么，，B錯誤；對于C，如果A與相互獨立，那么，C錯誤；對于D，如果A與相互獨立，那么，，D正確.故選：D5.已知，，是同一平面內的三個向量，則（）A.若，，則B.若是非零向量，，則是的充要條件C.若，，，則可以作為基底D.若，，兩兩的夾角相等，且，，，則〖答案〗B〖解析〗對于A，取，則，，但的方向不能確定，∴不一定成立，故A錯誤；對于B，若是非零向量，，則，則B正確；對于C，∵，∴共線，∴不可以作為基底，故C錯誤；對于D，，因為兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況，當夾角為時，；當夾角為時，．故D錯誤.故選：B.6.某小區(qū)從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW·h之間，進行適當?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A.小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300B.小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175C.可以估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5D.小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有380戶〖答案〗C〖解析〗對于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為，故A錯誤；對于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為，因為，，故小區(qū)用電量中位數(shù)在，設為，則，解得，故B錯誤；對于C，因為，，故估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在，設為，則，解得，故C正確；對于D，樣本中小區(qū)用電量不小于250kW·h頻率為,所以小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有戶，故D錯誤.故選：C．7.已知母線長為a的圓錐的側面展開圖為半圓，在該圓錐內放置一個圓柱，則當圓柱的側面積最大時，圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，設圓錐底面半徑為，高為，圓柱底面半徑為，高為，則，則，故，所以由，得，所以圓柱的側面積，當且僅當，即時，等號成立，此時，圓柱的體積為.故選：B.8.如圖，設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，則該坐標系中和兩點間的距離為（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗因為該坐標系中和，所以則，所以=即該坐標系中和兩點間的距離為：故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9.已知復數(shù)，，則（）A.B.復平面內對應的點的集合是單位圓C.D.復平面內滿足的點的集合是線段〖答案〗BC〖解析〗取，，則，，則，故A錯誤；設復平面內對應的點的坐標為，，∴，∴，則復平面內對應的點的集合是單位圓，故B正確；∵，，，∴，故C正確；由得，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D錯誤.故選：BC10.在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數(shù)字，記事件“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗依題意，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有，共16件，其中事件A包含的基本事件有，共8件，事件B包含的基本事件有，共8件，事件C包含的基本事件有，共8件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含的基本事件有，共4件，事件包含基本事件有，共4件，所以，，，，故ABD正確；C錯誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關于對稱B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減D.函數(shù)滿足〖答案〗BC〖解析〗，由，解得，令，得，故A錯誤；由得，，當時，，則函數(shù)關于點對稱，故B正確；當，即時，單調遞減，令，則函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，故C正確；取，則，，，故D錯誤.故選：BC.12.已知正方體，點分別處線段、的中點，則（）A.B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面的交點是的重心〖答案〗CD〖解析〗對于A，記的中點為，連接，交于，連接，，易得同時是與的中點，，在正方體中，，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，不妨設，則在，易得，則是正三角形，因為是的中點，易得，所以與不垂直，則與不垂直，故A錯誤；對于B，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，又，所以是直線與所成的角（或補角），因為是正三角形，是的中點，所以，故B錯誤；對于C，連接，如圖，由選項B可知平面與平面是同一個面，在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，又是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，記到平面的距離為，則，而易得，記直線與平面所成的角為，則，故C正確；對于D，不妨設直線與平面的交點為，連接，如圖，易得，又，所以三棱錐是正三棱錐，故要證是的重心，只需要證面，即面即可，因為在正方體中，平面，而平面，則，在正方形中，易得，又平面，所以平面，而平面，故，同理，又平面，所以面，所以直線與平面的交點是的重心，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復數(shù)z在復平面內對應的點位于第二象限，且，則z等于______．（寫出一個即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設，，因為復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，所以，，又因為，所以，顯然當時，符合題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.已知，，當向量，的夾角θ等于時，向量在向量上的投影向量為______．〖答案〗〖解析〗顯然為單位向量，而，向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是.故〖答案〗為：15.如圖，長方體木塊中，，，E，F(xiàn)，G分別是線段，，DC的中點，平面上存在點P，滿足平面EFG，則點D與滿足題意的點P構成的平面截長方體所得截面的面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，∵，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面，又平面，，平面，∴平面平面，又平面平面，平面平面，∴，∵E，F(xiàn)分別是線段，的中點，∴，則點在上，∴點D與滿足題意的點P構成的平面截長方體所得截面為，∵，的等腰三角形，邊上的高為，∴．故〖答案〗為：．16.如圖，已知直線，A是直線，之間的一定點，并且點A到，的距離分別為，，B，C分別為直線，上的動點，且滿足，則面積的最小值為______．〖答案〗〖解析〗依題意，當點在過點垂直于的直線同側時，，設，則，在中，，因此的面積，而，即，，當且僅當，即取等號，當與重合時，，，，當與重合時，，同理，當在過點垂直于的直線兩側時，則有，，或，，，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）解不等式，；（2）證明：．（1）解：，則，因為，則，解得.（2）證明：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，〖解析〗式變?yōu)?，再向右平移個單位長度，則，.故原等式成立.18.如圖，兩點都在河的對岸（不可到達），為了測量兩點間的距離，在兩點的對岸選定兩點，測得，并且在兩點分別測得，，，，（1）求兩點間的距離；（2）設與相交于點，記與的面積分別為，，求．解：（1）在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，則.（2）在中，，，則，由，得，，所以在中，，，則，在中，，，則，所以.19.如圖，在正三棱柱中，，，點P，Q分別為線段，的中點．（1）證明平面ABC；（2）求多面體的體積．（1）證明：取AB的中點，連接PD，CD，在中，因為P，D分別為中點，所以，且，正三棱柱中，，因為為棱的中點，所以，且，于是，所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而，又因為平面平面ABC，所以平面ABC；（2）解：取BC的中點E，連接AE，因為AB＝AC，所以，正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又平面，所以平面，點P為線段的中點，則點P到平面的距離，則多面體的體積.20.某品牌計算機售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內維修次數(shù)最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購買1臺這種品牌的計算機，求下列事件的概率：A＝“在保修期內需要維修”；B＝“在保修期內維修不超過1次”；（2）若某人購買2臺這種品牌的計算機，2臺計算機在保修期內是否需要維修互不影響，求這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次的概率．解：（1）設“一年內需要維修次”，，事件兩兩互斥，因為一年內需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以,，，（2）這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次，則兩臺均未維修或1臺維修0次另1臺維修1次，或1臺維修0次另1臺維修2次，或2臺各維修1次，所以，這2臺計算機保修期內維修次數(shù)總和不超過2次的概率為.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD相交于點O，E為C