2022-2023學(xué)年廣東省深圳市兩校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版） - 副本

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市兩校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以的虛部是4.故選：A2.已知向量，且，則（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，解得；故選：B.3.在中，，，，則邊AC的長為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故選：C.4.如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，因為在中，∥，所以為異面直線與所成角，因為在中，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5.下列命題中成立的是（）A.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D.各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體〖答案〗B〖解析〗對A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個面都是三角形,但這個多面體不是棱錐，如圖，故A錯誤；對B，若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；對D，各個側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯誤.故選：B.6.如圖，位于A處的海面觀測站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，并在原點等待營救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，則該船到救助處B的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗由已知得海里，海里，，在中由余弦定理得海里.故選：D.7.“中國天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.8.在銳角三角形分別為內(nèi)角所對的邊長，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗因為，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對于A，平面可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為且，則必有，所以C正確；對于D，因為，則必有，所以D正確.故選：CD10.下列說法中錯誤的是（）.A.若，則B.若且，則C.若為非零向量且，則D.若，則有且只有一個實數(shù)，使得〖答案〗ABD〖解析〗A選項，當(dāng)為時，與不一定平行，故A錯誤；B選項，由且，可得或，故B錯誤；C選項，由得，所以，∴，故C正確；D選項，若，時，，但是不存在，使得，故D錯誤；故選：ABD.11.的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則符合條件的有兩個D.若，則為等腰三角形〖答案〗AB〖解析〗A選項，在三角形中大角對大邊，所以，由正弦定理得，所以A選項正確；B選項，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項正確；C選項，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，C錯誤；D選項，因為，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.故選：AB12.如圖，已知正方體的棱長為為正方形底面內(nèi)的一動點，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得C.若，則點在正方形底面內(nèi)運動軌跡長度為D.若點是的中點，點是的中點，過作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由題意及圖形可知平面平行于平面，則點P到平面距離為定值.則，又為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，作，交線段于，連接因為面面，面面，面，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因為為線段上一點，在直角中不可能有，故不存在相應(yīng)的點P，使，故B錯誤；對于C，如圖有平面.理由如下：連接由題可得，又，則平面.因平面，則.同理可證得，又，則平面，得平面.故點軌跡為平面與底面交線，即為線段,又，故C正確；對于D，如圖取中點為，連接.由題可得平面.因平行于，平面，則.又，則平面.又取中點為，則，有四點共面因為平面，所以平面平面.則平面即為平面.設(shè)平面分別與交于，因為面面，面，面所以，又都是中點，故是中點.同理可證是中點，所以平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長為2，則，故截面面積為，故D正確.故選：ACD第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個模為5，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限的復(fù)數(shù)__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，則滿足即可.所以符合題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.中，，，則此三角形的外接圓半徑是___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，因為，所以，設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，解得故〖答案〗為：15.已知某圓臺的上、下底半徑和高的比為，母線長為，則該圓臺的體積為______（）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)圓臺的上、下底面半徑和高分別為、、，上底面半徑為，下底面半徑為，高，可得母線長為cm，即cm，解之得，所以圓臺的上底面半徑為cm，下底面半徑為cm，高cm．由此可得圓臺的體積為cm．故〖答案〗為：．16.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點M滿足，則_______；若點P是正六邊形邊上的動點（包括端點），則的最大值為_______．〖答案〗①.1②.〖解析〗由題可知，∴，∴，結(jié)合以及正六邊形的幾何特征可知為的中點，所以要使最大，可知當(dāng)在處時，最大，此時最大，即.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù).（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).解：（1）.（2）由得，又，則，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）從下列①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個條件成立：①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由正弦定理得；（2）選①②：，由（1）知：，由，又，則，所以，故.選②③：，由①知：，由，則，由，故.選①③：，，，，由（1）知：，則.19.已知在中，是邊的中點，且，設(shè)與交于點．記，．（1）用，表示向量，；（2）若，且，求的余弦值．解：（1）（2）∵三點共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.20.已知各棱長均為2的直三棱柱中，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：如圖連接，交于點，連接，因為為平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面平面，所以平面，（2）解：因為三棱柱是直三棱柱且所有棱長均為2，在中，，所以，所以為直角三角形，設(shè)到平面的距離為，因為，，解得，所以到平面的距離為.21.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，且（1）證明：；（2）若，求.（1）證明：在中，因為，所以，又因為，所以，即在中，根據(jù)正弦定理，得，故.（2）解：在中，，又由（1）知，，所以，在中，根據(jù)余弦定理，得，又由已知，，得，所以，則，即，因為，則，所以或，所以或，又點在邊上，且，，所以必有一個大于等于，所以.22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為，所以平面．（2）解：［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因為兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，設(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因為平面，，所以平面．平面中，設(shè)．在平面中，過P點作，交于F，連接．因為平面平面，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長至G，使得，連接，，則，過G點作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．廣東省深圳市兩校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以的虛部是4.故選：A2.已知向量，且，則（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，解得；故選：B.3.在中，，，，則邊AC的長為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故選：C.4.如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，因為在中，∥，所以為異面直線與所成角，因為在中，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5.下列命題中成立的是（）A.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐B.有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D.各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體〖答案〗B〖解析〗對A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個面都是三角形,但這個多面體不是棱錐，如圖，故A錯誤；對B，若棱柱有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；對D，各個側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯誤.故選：B.6.如圖，位于A處的海面觀測站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，并在原點等待營救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，則該船到救助處B的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗由已知得海里，海里，，在中由余弦定理得海里.故選：D.7.“中國天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.8.在銳角三角形分別為內(nèi)角所對的邊長，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗因為，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對于A，平面可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為且，則必有，所以C正確；對于D，因為，則必有，所以D正確.故選：CD10.下列說法中錯誤的是（）.A.若，則B.若且，則C.若為非零向量且，則D.若，則有且只有一個實數(shù)，使得〖答案〗ABD〖解析〗A選項，當(dāng)為時，與不一定平行，故A錯誤；B選項，由且，可得或，故B錯誤；C選項，由得，所以，∴，故C正確；D選項，若，時，，但是不存在，使得，故D錯誤；故選：ABD.11.的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則符合條件的有兩個D.若，則為等腰三角形〖答案〗AB〖解析〗A選項，在三角形中大角對大邊，所以，由正弦定理得，所以A選項正確；B選項，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項正確；C選項，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，C錯誤；D選項，因為，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.故選：AB12.如圖，已知正方體的棱長為為正方形底面內(nèi)的一動點，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得C.若，則點在正方形底面內(nèi)運動軌跡長度為D.若點是的中點，點是的中點，過作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由題意及圖形可知平面平行于平面，則點P到平面距離為定值.則，又為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，作，交線段于，連接因為面面，面面，面，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因為為線段上一點，在直角中不可能有，故不存在相應(yīng)的點P，使，故B錯誤；對于C，如圖有平面.理由如下：連接由題可得，又，則平面.因平面，則.同理可證得，又，則平面，得平面.故點軌跡為平面與底面交線，即為線段,又，故C正確；對于D，如圖取中點為，連接.由題可得平面.因平行于，平面，則.又，則平面.又取中點為，則，有四點共面因為平面，所以平面平面.則平面即為平面.設(shè)平面分別與交于，因為面面，面，面所以，又都是中點，故是中點.同理可證是中點，所以平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長為2，則，故截面面積為，故D正確.故選：ACD第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個模為5，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限的復(fù)數(shù)__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，則滿足即可.所以符合題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.中，，，則此三角形的外接圓半徑是___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，因為，所以，設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，解得故〖答案〗為：15.已知某圓臺的上、下底半徑和高的比為，母線長為，則該圓臺的體積為______（）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)圓臺的上、下底面半徑和高分別為、、，上底面半徑為，下底面半徑為，高，可得母線長為cm，即cm，解之得，所以圓臺的上底面半徑為cm，下底面半徑為cm，高cm．由此可得圓臺的體積為cm．故〖答案〗為：．16.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長為1，點M滿足，則_______；若點P是正六邊形邊上的動點（包括端點），則的最大值為_______．〖答案〗①.1②.〖解析〗由題可知，∴，∴，結(jié)合以及正六邊形的幾何特征可知為的中點，所以要使最大，可知當(dāng)在處時，最大，此時最大，即.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù).（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).解：（1）.（2）由得，又，則，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）從下列①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個條件成立：①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由正弦定理得；（2）選①②：，由（1）知：，由，又，則，所以，故.選②③：，由①知：，由，則，由，故.選①③：，，，，由（1）知：，則.19.已知在中，是邊的中點，且，設(shè)與交于點．記，．（1）用，表示向量，；（2）若，且，求的余弦值．解：（1）（2）∵三點共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.20.已知各棱長均為2的直三棱柱中，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.（1）證明：如圖連接，交于點，連接，因為為平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，又