2022-2023學(xué)年河北省承德市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市重點(diǎn)高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由，則，所以的虛部為．故選：A．2.下列說法中不正確的是（）A.零向量與任一向量平行 B.方向相反的兩個非零向量不一定共線C.單位向量是模為1的向量 D.方向相反的兩個非零向量必不相等〖答案〗B〖解析〗根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確；方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤；單位向量是模為1的向量，C正確；根據(jù)相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確；故選:B.3.在中，若，則（）A. B.16 C.9 D.0〖答案〗B〖解析〗由，則，所以，所以．故選：B．4.若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.5.在中，角所對的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.有兩解 C.有一解 D.有無數(shù)解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得：，，，則，，，，只能為銳角的一個值，只有一個解.故選：C.6.已知的三邊長分別為，，，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的最小內(nèi)角為，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，則．故選：B．7.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若非零向量與向量共線，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋耘c垂直，因?yàn)榕c共線，所以，則.故ABC均無法判斷，D對.故選：D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則，由，，得，又在上單調(diào)遞增，則，，解得，即，又，則當(dāng)時，，即的取值范圍是．故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.為實(shí)數(shù) B.為實(shí)數(shù)C.為實(shí)數(shù) D.為實(shí)數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)且，則，由，所以A正確；由，所以B錯誤；由為實(shí)數(shù)，所以C正確；由為實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的敘述中，正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)的大致圖象，如下圖示，由上圖象，易知：最小正周期為、上單調(diào)遞增、圖象關(guān)于直線對稱，故A，B，C正確，又，所以，故D錯誤．故選：ABC.11.已知非零向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，共線，則B.若，則C.若，則D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，由，，所以當(dāng)，同向時，，此時，故A錯誤；對于B，若，則，，兩邊平方得，故B正確；對于C，由，所以，即，故C錯誤；對于D，由，得，故D正確．故選：BD．12.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.a>c C.c>a D.〖答案〗ACD〖解析〗由正弦邊角關(guān)系知：，則，所以，而，則，A正確；由上知：，即，B錯誤，C正確；由知：，則，又，故，則，即，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知，向量在上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)向量的夾角為，由在方向上的投影向量為，則，即，所以．故〖答案〗為：．15.已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)扇形所在圓半徑為，∴如圖，設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，∴,，故，所以最大的圓周長為.故〖答案〗：16.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若為的重心，，，則__________．〖答案〗〖解析〗連接，延長交于，由題意得為的中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)?，所以，得，又，則，故．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知虛數(shù)z滿足.（1）求證：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上；（2）若是方程一個根，求與.（1）證明：設(shè)，由，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在直線上.（2）解：同（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閦是方程的一個根，所以，即，所以且，得，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以?18.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值.解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，，即，所以，可得，又因?yàn)椋?，可得，又由，所以，所以函?shù)的〖解析〗式為.（2）由題意，函數(shù).因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時，取最小值；當(dāng)，即時，取最大值.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且.（1）求角A；（2）若的周長為，且外接圓的半徑為1，判斷的形狀，并求的面積.解：（1）因?yàn)椋?，?由正弦定理得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?（2）設(shè)外接圓半徑為，則.由正弦定理，得.因?yàn)榈闹荛L為，所以.由余弦定理，得，即，所以.則.所以為等邊三角形，的面積.20.已知向量，滿足，，．（1）求向量與的夾角；（2）求．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得．而，所以，又，所以．?）因?yàn)?，，所以，所以?1.2023年的春節(jié)，人們積蓄已久的出行熱情似乎在這一刻被引爆，讓旅游業(yè)終于迎來真正意義上的“觸底反彈”.如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點(diǎn)的路線圖，景點(diǎn)A處下山至處有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到.現(xiàn)有甲?乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再從B勻速步行到.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為，索道長為，經(jīng)測量，.（1）求山路的長；（2）乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？解：（1）在中，因?yàn)椋?從而.由正弦定理，得.所以山路的長為；（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲在D點(diǎn)，乙在E點(diǎn).此時，，，所以由余弦定理得.因?yàn)?，即，故?dāng)時，甲?乙兩游客距離最短.22.已知圓的半徑為2，圓與正的各邊相切，動點(diǎn)在圓上，點(diǎn)滿足.（1）求的值；（2）若存在，使得，求的最大值.解：（1）方法1，由題意知，且，，，為的中點(diǎn).，；方法2，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)與直線垂直的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則.由得，所以.，設(shè)，則.則；（2）方法1，，，.兩邊平方得：，由（1）得，則.（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號），整理得，即的最大值為5；方法2，由（1），又，則，.可得.則，整理得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），整理得，解得.所以的最大值為5.河北省承德市重點(diǎn)高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由，則，所以的虛部為．故選：A．2.下列說法中不正確的是（）A.零向量與任一向量平行 B.方向相反的兩個非零向量不一定共線C.單位向量是模為1的向量 D.方向相反的兩個非零向量必不相等〖答案〗B〖解析〗根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確；方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤；單位向量是模為1的向量，C正確；根據(jù)相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確；故選:B.3.在中，若，則（）A. B.16 C.9 D.0〖答案〗B〖解析〗由，則，所以，所以．故選：B．4.若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.5.在中，角所對的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.有兩解 C.有一解 D.有無數(shù)解〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得：，，，則，，，，只能為銳角的一個值，只有一個解.故選：C.6.已知的三邊長分別為，，，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的最小內(nèi)角為，由正弦定理得，整理得，又余弦定理得，所以，解得，則．故選：B．7.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若非零向量與向量共線，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋耘c垂直，因?yàn)榕c共線，所以，則.故ABC均無法判斷，D對.故選：D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則，由，，得，又在上單調(diào)遞增，則，，解得，即，又，則當(dāng)時，，即的取值范圍是．故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.為實(shí)數(shù) B.為實(shí)數(shù)C.為實(shí)數(shù) D.為實(shí)數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)且，則，由，所以A正確；由，所以B錯誤；由為實(shí)數(shù)，所以C正確；由為實(shí)數(shù)，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的敘述中，正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)的大致圖象，如下圖示，由上圖象，易知：最小正周期為、上單調(diào)遞增、圖象關(guān)于直線對稱，故A，B，C正確，又，所以，故D錯誤．故選：ABC.11.已知非零向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，共線，則B.若，則C.若，則D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，由，，所以當(dāng)，同向時，，此時，故A錯誤；對于B，若，則，，兩邊平方得，故B正確；對于C，由，所以，即，故C錯誤；對于D，由，得，故D正確．故選：BD．12.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.a>c C.c>a D.〖答案〗ACD〖解析〗由正弦邊角關(guān)系知：，則，所以，而，則，A正確；由上知：，即，B錯誤，C正確；由知：，則，又，故，則，即，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知，向量在上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)向量的夾角為，由在方向上的投影向量為，則，即，所以．故〖答案〗為：．15.已知某扇形材料的面積為，圓心角為，則用此材料切割出的面積最大的圓的周長為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)扇形所在圓半徑為，∴如圖，設(shè)割出的圓半徑為，圓心為，∴,，故，所以最大的圓周長為.故〖答案〗：16.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若為的重心，，，則__________．〖答案〗〖解析〗連接，延長交于，由題意得為的中點(diǎn)，，所以，，因?yàn)?，所以，得，又，則，故．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知虛數(shù)z滿足.（1）求證：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上；（2）若是方程一個根，求與.（1）證明：設(shè)，由，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在直線上.（2）解：同（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閦是方程的一個根，所以，即，所以且，得，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以?18.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值.解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，，即，所以，可得，又因?yàn)?，即，可得，又由，所以，所以函?shù)的〖解析〗式為.（2）由題意，函數(shù).因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時，取最小值；當(dāng)，即時，取最大值.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且.（1）求角A；（2）若的周長為，且外接圓的半徑為1，判斷的形狀，并求的面積.解：（1）因?yàn)椋?，?由正弦定理得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?（2）設(shè)外接圓半徑為，則.由正弦定理，得.因?yàn)榈闹荛L為，所以.由余弦定理，得，即，所以.則.所以為等邊三角形，的面積.20.已知向量，滿足，，．（1）求向量與的夾角；（2）求．解：（1）因?yàn)椋裕?/p>