2022-2023學年江蘇省南京市江寧區(qū)高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市江寧區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故選：D2.已知點，，若，則點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，設(shè)，則，因為，所以，解得，所以點的坐標為，故選：A3.一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（）個．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)黃球的個數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，解得.故選：B.4.在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.5.已知，則（）A. B.2 C. D.7〖答案〗D〖解析〗由得,所以，故選：D6.從這個整數(shù)中隨機選擇兩個不同的數(shù)，設(shè)“選到的兩個數(shù)的和能被整除”為事件，“選到的兩個數(shù)的和能被整除”為事件，則事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，事件為“選到的兩個數(shù)的和能被或整除”，從這個整數(shù)中隨機選擇兩個不同的數(shù)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共種，因此，.故選：C.7.在中，，邊上的高等于，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，邊上的高等于，又，則，由余弦定理可得，，所以．故選：D．8.已知正四棱錐的體積為，底面邊長為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正四棱錐的外接球的球心在正四棱錐的高所在直線上，如圖，連接交于點，連接，正四棱錐的底面邊長為，設(shè)高為，∴，解得，設(shè)球的半徑為，，則，解得，則球的體積為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分．9.隨機抽取某班20名學生在一次數(shù)學測驗中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面說法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為48B.為便于計算平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差70C.為便于計算方差，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差與原數(shù)據(jù)的方差相差70D.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是84.5〖答案〗ABD〖解析〗對于A，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)為：，所以這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差70，故B正確；對于C，原數(shù)據(jù)的方差為：，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差為：所以將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等，故C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第百分位數(shù)，即，所以，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是84.5，故D正確；故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.已知復數(shù)、，則B.已知復數(shù)、，則C.復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應點的集合是一條直線D.設(shè)（為虛數(shù)單位），則〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，設(shè)，，則，所以，，A對；對于B選項，取，，則，，此時，B錯；對于C選項，設(shè)，則，，由可得，化簡可得，因此，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應點的集合是一條直線，C對；對于D選項，，則，D對.故選：ACD.11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由，得，即，A選項正確，C選項錯誤；，兩邊同時平方，得，即，化簡得，由，則，，所以，B選項正確，D選項錯誤故選：AB12.如圖，多面體的所有棱長均為，則（）A.B.平面平面C.直線與平面所成的角為D.點到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，如圖，設(shè)，連接、，則為、的中點，因為，為的中點，則，同理，因為，、平面，所以，平面，同理可證平面，因為、有公共點，則、、三點共線，且，又因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，故，A對；對于B選項，取中點為，在、中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，易知四邊形是邊長為的正方形，則，，所以，，，同理可得，所以，，故，B錯；對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱錐，連接、交點為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，可得，則為等腰直角三角形，所以，，C對；對于D選項，因為，且，則，因為平面，則，因為是邊長為的等邊三角形，則，設(shè)點到平面的距離為，由，即，則，因為為的中點，所以，點到平面的距離為，D對.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．其中第16題第一空2分，第二空3分．13.__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.如圖，用，，三種不同的元件并聯(lián)連接成系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其他元件影響．當元件，，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知元件，，正常工作的概率分別為，，，則系統(tǒng)正常工作的概率為__________．〖答案〗〖解析〗記事件：“系統(tǒng)正常工作”，則：“元件，，均不正常工作”，因為每個元件是否正常工作相互獨立，則，所以.故〖答案〗為：15.已知正方體棱長為2，為棱中點，過，，三點的平面截正方體，所得截面面積為__________．〖答案〗〖解析〗取的中點為,連接,則,又,故,則梯形梯形即為截面四邊形，由于,,所以梯形為等腰梯形，則高為,所以面積為，故〖答案〗為：16.以為鈍角的中，，，①當時，面積為__________．②當最大時，面積為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗過A作，垂足為，如圖，則，所以，又，所以．所以面積為.設(shè)，則在直角三角形中，,由于,所以，當且僅當，即時取“=”，由正切函數(shù)的單調(diào)性知此時也最大．此時的面積為，故〖答案〗為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，的夾角為，且，．（1）求．（2）（其中），當取最小值時，求與的夾角的大?。猓海?），所以．（2），故當時，最?。藭r，；，．因為與的夾角范圍為，故與的夾角為．18.在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．解：（1）在中，由正弦定理得．由題設(shè)知，，所以．由題設(shè)知，，所以．（2）由題設(shè)及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．19.海水養(yǎng)殖場更新了某水產(chǎn)品的網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法，收獲時隨機抽取100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：），其頻率分布直方圖如下：（1）求頻率直方圖中值，并估計箱產(chǎn)量的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）．（2）若先用分層抽樣的方法從箱產(chǎn)量在和的網(wǎng)箱中抽取6個網(wǎng)箱，然后再從抽出的這6個網(wǎng)箱中任意選取2個網(wǎng)箱做進一步檢測，求這2個網(wǎng)箱中至少有1個箱產(chǎn)量在的概率．解：（1）由頻率分部直方圖可得，解得．眾數(shù)為；前三組的頻率為，設(shè)中位數(shù)為，則，故．（2）箱產(chǎn)量在和的比值為2：1，故6個網(wǎng)箱中有4個在中，將4個網(wǎng)箱記為，有2個在中，記為從6個中抽出2個網(wǎng)箱，共有15種方法，都在中的有這1種，故這2個網(wǎng)箱中至少有1個箱產(chǎn)量在的概率為．20.已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）因為，，因為，即，展開可得，若，則，這與矛盾，所以，，因此，.（2）因為，所以，，展開得，即，即，即，解得．21.如圖，三棱柱中，，，，，．（1）證明：．（2）求三棱柱的體積．（3）求二面角的平面角余弦值大?。?）證明：取中點，連接，，，，，是正三角形，．，，，平面平面，∴平面．又平面，；（2）解：由題設(shè)知與都是邊長為2的等邊三角形，所以．又，則，故．因為，所以平面，即為三棱柱的高，又的面積，故三棱柱的體積．（3）解：過作于點，連接，因為，，，平面，所以平面，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，故，．則即為二面角的平面角．在中：，，所以，所以．22.如圖，設(shè)中角、、所對的邊分別為、、，為邊上的中線，已知，，．（1）求邊、的長度；（2）求的面積；（3）點為上一點，，過點的直線與邊、（不含端點）分別交于、．若，求的值．解：（1）因為，所以，，即，所以，，即，即．又因，所以，.（2）設(shè)，因為為邊上的中線，所以，，則，，，①整理得，即，得或，由①，得，所以，，則，故，因此，．（3）由（2）知，，為的中點，則．設(shè)，，其中、．所以，得．又、、三點共線，則、共線，設(shè)，則，所以，，因為、不共線，則，即，由，得，又，所以，即，又因為，所以，，所以，，解得，所以：，，所以．江蘇省南京市江寧區(qū)2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，故選：D2.已知點，，若，則點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，設(shè)，則，因為，所以，解得，所以點的坐標為，故選：A3.一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（）個．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)黃球的個數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，解得.故選：B.4.在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.5.已知，則（）A. B.2 C. D.7〖答案〗D〖解析〗由得,所以，故選：D6.從這個整數(shù)中隨機選擇兩個不同的數(shù)，設(shè)“選到的兩個數(shù)的和能被整除”為事件，“選到的兩個數(shù)的和能被整除”為事件，則事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，事件為“選到的兩個數(shù)的和能被或整除”，從這個整數(shù)中隨機選擇兩個不同的數(shù)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，事件所包含的基本事件有：、、、、、，共種，因此，.故選：C.7.在中，，邊上的高等于，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，邊上的高等于，又，則，由余弦定理可得，，所以．故選：D．8.已知正四棱錐的體積為，底面邊長為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗正四棱錐的外接球的球心在正四棱錐的高所在直線上，如圖，連接交于點，連接，正四棱錐的底面邊長為，設(shè)高為，∴，解得，設(shè)球的半徑為，，則，解得，則球的體積為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分．9.隨機抽取某班20名學生在一次數(shù)學測驗中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面說法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為48B.為便于計算平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差70C.為便于計算方差，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差與原數(shù)據(jù)的方差相差70D.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是84.5〖答案〗ABD〖解析〗對于A，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)為：，所以這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差70，故B正確；對于C，原數(shù)據(jù)的方差為：，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差為：所以將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等，故C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第百分位數(shù)，即，所以，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是84.5，故D正確；故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.已知復數(shù)、，則B.已知復數(shù)、，則C.復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應點的集合是一條直線D.設(shè)（為虛數(shù)單位），則〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，設(shè)，，則，所以，，A對；對于B選項，取，，則，，此時，B錯；對于C選項，設(shè)，則，，由可得，化簡可得，因此，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應點的集合是一條直線，C對；對于D選項，，則，D對.故選：ACD.11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由，得，即，A選項正確，C選項錯誤；，兩邊同時平方，得，即，化簡得，由，則，，所以，B選項正確，D選項錯誤故選：AB12.如圖，多面體的所有棱長均為，則（）A.B.平面平面C.直線與平面所成的角為D.點到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，如圖，設(shè)，連接、，則為、的中點，因為，為的中點，則，同理，因為，、平面，所以，平面，同理可證平面，因為、有公共點，則、、三點共線，且，又因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，故，A對；對于B選項，取中點為，在、中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，易知四邊形是邊長為的正方形，則，，所以，，，同理可得，所以，，故，B錯；對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱錐，連接、交點為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，可得，則為等腰直角三角形，所以，，C對；對于D選項，因為，且，則，因為平面，則，因為是邊長為的等邊三角形，則，設(shè)點到平面的距離為，由，即，則，因為為的中點，所以，點到平面的距離為，D對.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．其中第16題第一空2分，第二空3分．13.__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.如圖，用，，三種不同的元件并聯(lián)連接成系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其他元件影響．當元件，，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知元件，，正常工作的概率分別為，，，則系統(tǒng)正常工作的概率為__________．〖答案〗〖解析〗記事件：“系統(tǒng)正常工作”，則：“元件，，均不正常工作”，因為每個元件是否正常工作相互獨立，則，所以.故〖答案〗為：15.已知正方體棱長為2，為棱中點，過，，三點的平面截正方體，所得截面面積為__________．〖答案〗〖解析〗取的中點為,連接,則,又,故,則梯形梯形即為截面四邊形，由于,,所以梯形為等腰梯形，則高為,所以面積為，故〖答案〗為：16.以為鈍角的中，，，①當時，面積為__________．②當最大時，面積為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗過A作，垂足為，如圖，則，所以，又，所以．所以面積為.設(shè)，則在直角三角形中，,由于,所以，當且僅當，即時取“=”，由正切函數(shù)的單調(diào)性知此時也最大．此時的面積為，故〖答案〗為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，的夾角為，且，．（1）求．（2）（其中），當取最小值時，求與的夾角的大?。猓海?），所以．（2），故當時，最?。藭r，；，．因為與的夾角范圍為，故與的夾角為．18.在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．解：（1）在中，由正弦定理得．由題設(shè)知，，所以．由題設(shè)知，，所以．（2）由題設(shè)及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．19.海水養(yǎng)殖場更新了某水產(chǎn)品的網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法，收獲時隨機抽取100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：），其頻率分布直方圖如下：（1）求頻率直方圖中值，并估計箱產(chǎn)量的眾數(shù)和中位