2023-2024學年北京市西城區(qū)北京第四十三中學數(shù)學高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學年北京市西城區(qū)北京第四十三中學數(shù)學高一下期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如果圓上總存在點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．2．給出函數(shù)為常數(shù)，且，，無論a取何值，函數(shù)恒過定點P，則P的坐標是A． B． C． D．3．已知,,,是球球面上的四個點，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知點，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A． B． C． D．5．已知點在第三象限，則角的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若線性方程組的增廣矩陣是5b1102bA．1 B．2 C．3 D．47．一張方桌的圖案如圖所示，將一顆豆子隨機地扔到桌面上，假設豆子不落在線上，下列事件的概率：（1）豆子落在紅色區(qū)域概率為；（2）豆子落在黃色區(qū)域概率為；（3）豆子落在綠色區(qū)域概率為；（4）豆子落在紅色或綠色區(qū)域概率為；（5）豆子落在黃色或綠色區(qū)域概率為.其中正確的結論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個8．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.79．正方體中，異面直線與BC所成角的大小為（）A． B． C． D．10．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在軸上有一點，點到點與點的距離相等，則點坐標為____________.12．設,滿足約束條件,則的最小值是______.13．已知是第二象限角，且，且______.14．“”是“數(shù)列依次成等差數(shù)列”的______條件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.15．已知sin＝，則cos＝________．16．若是三角形的內角，且，則等于_____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)已知：數(shù)列，滿足①求數(shù)列的前項和；②記集合若集合中含有個元素，求實數(shù)的取值范圍.18．己知點，直線l與圓C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B兩點，且OA⊥OB．（1）若直線OA的方程為y＝一3x，求直線OB被圓C截得的弦長；（2）若直線l過點（0，2），求l的方程．19．已知圓過點.（1）點，直線經過點A且平行于直線，求直線的方程；（2）若圓心的縱坐標為2,求圓的方程.20．已知圓過點和，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）求直線：被圓截得的弦長.21．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大小；(2)求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

將圓上的點到原點的距離轉化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點的距離為：如果圓上總存在點到原點的距離為即圓心到原點的距離即故答案選B【點睛】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關鍵.2、D【解析】試題分析：因為恒過定點，所以函數(shù)恒過定點.故選D.考點：指數(shù)函數(shù)的性質.3、B【解析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結果.【詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點，設球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【點睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問題，幾何體的外接球、內切球問題，關鍵是球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.4、A【解析】

根據(jù)單位向量的定義即可求解.【詳解】,向量的方向相反的單位向量為，故選A.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，向量的單位向量的概念，屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)間基本關系和各象限三角函數(shù)符號的情況即可得到正確選項.【詳解】因為點在第三象限，則，，所以，則可知角的終邊在第二象限.故選：B.【點睛】本題考查各象限三角函數(shù)符號的判定，屬基礎題.相關知識總結如下：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：.6、C【解析】

由題意得5×3421+【詳解】由題意得5×3421+解得b1則b2【點睛】本題主要考查了線性方程組的解法，以及增廣矩陣的概念，考查運算能力，屬于中檔題.7、B【解析】試題分析：方桌共有塊，其中紅色的由塊，黃色的由塊，,綠色的由塊，所以（1）（2）（3）結論正確，故選擇B.這里表面上看是與面積相關的幾何概型，其實還是古典概型考點：古典概型的概率計算和事件間的關系.8、B【解析】

分析：由公式計算可得詳解：設事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，則因為所以，故選B.點睛：本題主要考查事件的基本關系和概率的計算，屬于基礎題．9、D【解析】

利用異面直線與BC所成角的的定義，平移直線，即可得答案．【詳解】在正方體中，易得．異面直線與垂直，即所成的角為.故選：D．【點睛】本題考查異面直線所成角的定義，考查對基本概念的理解，屬于基礎題.10、A【解析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點睛】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設點的坐標，根據(jù)空間兩點距離公式列方程求解.【詳解】由題：設，點到點與點的距離相等，所以，，，解得：，所以點的坐標為.故答案為：【點睛】此題考查空間之間坐標系中兩點的距離公式，根據(jù)公式列方程求解點的坐標，關鍵在于準確辨析正確計算.12、1【解析】

根據(jù)不等式組，畫出可行域，數(shù)形結合求解即可.【詳解】由題可知，可行域如下圖所示：容易知：，可得：，結合圖像可知，的最小值在處取得，則.故答案為：1.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的基礎問題，只需作出可行域，數(shù)形結合即可求解.13、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系求出，然后利用誘導公式可求出的值.【詳解】是第二象限角，則，由誘導公式可得.故答案為：.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.14、必要非充分【解析】

通過等差數(shù)列的下標公式，得到必要條件，通過舉特例證明非充分條件，從而得到答案.【詳解】因為數(shù)列依次成等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列下標公式，可得，當，時，滿足，但不能得到數(shù)列依次成等差數(shù)列所以綜上，“”是“數(shù)列依次成等差數(shù)列”的必要非充分條件.故答案為：必要非充分.【點睛】本題考查必要非充分條件的證明，等差數(shù)列通項的性質，屬于簡單題.15、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.16、【解析】∵是三角形的內角，且，∴故答案為點睛：本題是一道易錯題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，(2)①②【解析】

(1)計算得到：得證.(2)①計算的通項公式為，利用錯位相減法得到.②將代入集合M，化簡并分離參數(shù)得，確定數(shù)列的單調性，根據(jù)集合中含有個元素得到答案.【詳解】(1)，為等比數(shù)列，其中首項，公比為.所以，.(2)①數(shù)列的通項公式為①②①-②化簡后得.②將代入得化簡并分離參數(shù)得，設，則易知由于中含有個元素，所以實數(shù)要小于等于第5大的數(shù)，且比第6大的數(shù)大.，，綜上所述.【點睛】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列的通項公式，錯位相減法，數(shù)列的單調性，綜合性強計算量大，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得直線OB的方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線OB的距離，之后應用圓中的特殊三角形，求得弦長；（2）根據(jù)題意，可判斷直線的斜率是存在的，設出其方程，與圓的方程聯(lián)立，得到兩根和與兩根積，根據(jù)OA⊥OB，利用向量數(shù)量積等于零得到所滿足的等量關系式，求得結果.【詳解】（1）因為直線OA的方程為，，所以直線OB的方程．從而圓心到直線OB的距離為：所以直線OB被團C截得的弦長為：．（2）依題意，直線l的斜率必存在，不妨設其為k，則l的方程為，又設，．由得，所以，．從而．所以．因為，所以，即，解得．所以l的方程為．【點睛】該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有兩直線垂直的條件，直線被圓截得的弦長，直線方程的求解，屬于簡單題目.19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出直線的斜率，由直線與直線平行，可知這兩條直線的斜率相等，再利用點斜式可得出直線的方程；（2）由題意得出點在線段的中垂線上，可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式求出圓的半徑，于此可寫出圓的標準方程．【詳解】（1）直線過點，斜率為，所以直線的方程為，即；（2）由圓的對稱性可知，必在線段的中垂線上，圓心的橫坐標為：，即圓心為：，圓的半徑：，圓的標準方程為：.【點睛】本題考查直線的方程，考查圓的方程的求解，在求解直線與圓的方程中，充分分析直線與圓的幾何要素，能起到簡化計算的作用，考查計算能力，屬于中等題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設出圓心坐標和圓的標準方程，將點帶入求出結果即可；（Ⅱ）利用圓心到直線的距離和圓的半徑解直角三角形求得弦長.【詳解】解：（Ⅰ）由題意可設圓心坐標為，則圓的標準方程為，∴解得故圓的標準方程為.（Ⅱ）圓心到直線的距離，∴直線被圓截得的弦長為.【點睛】本題考查了圓的方程，以及直線與圓相交求弦長的知識，屬于基礎題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可根據(jù)三角函數(shù)相關公式將化簡為，然后根據(jù)即可求出角的大??；(2)本題