2024年高考第一次模擬考試-數(shù)學(xué)（江蘇卷2）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)（江蘇卷02）?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合要求的。

1.已知集合/={x|y=lg（x-2）},集合8=*卜2-4工+34。},則入8=（）

A.[1,3]B.[1,+<?）C.（2,3]D.（2,+oo）

【答案】B

[解析]/={x|y=lg（x_2）}={/彳-2

S=lx|x2-4x+3<o|=|1<x<3j,

所以，/。8={小>2}u{x|l4x43}={耳x訓(xùn)，故選：B.

2.已知（l+i）z=2i,則復(fù)數(shù)二的共粗復(fù)數(shù)是（）

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【答案】C

【解析】由。+巾=方可得z=11T=l+i,

所以復(fù)數(shù)z的共軟復(fù)數(shù)是1-i,故選：C

3.已知向量入3滿足|昨2,|年1,二人若0+母，0-刀）,則實(shí)數(shù)4的值為（）

廠9

A.2B.2V3C.4D.-

【答案】c

【解析】valb,：.a-b=o

?(a+b)_1_(a-46),??(a+b)?(Q—AZ))=a—A,b=0

V|tz|=2,|S|=1,4-/I=0,即4=4.故選：C.

4.記函數(shù)〃x）=sin］ox+：卜0＞0）的最小正周期為T.若］＜7＜兀，且〃尤”,貝!）0=（）

【答案】C

TTTT27r

【解析】根據(jù)最小正周期J＜T＜兀，可得［＜臼＜兀，解得2＜。＜4；

220）

又"X"/1］,即x=］是函數(shù)/0）的一條對(duì)稱軸，

71717t3

所以10+：=3+析,左eZ,解得0=：+3左，左eZ.

又2＜。＜4,當(dāng)左=1時(shí)，。=土故選：C

4

5.2022年北京冬奧會(huì)參加冰壺混雙比賽的隊(duì)伍共有10支，冬奧會(huì)冰壺比賽的賽程安排如下，先進(jìn)

行循環(huán)賽，循環(huán)賽規(guī)則規(guī)定每支隊(duì)伍都要和其余9支隊(duì)伍輪流交手一次，循環(huán)賽結(jié)束后按照比賽規(guī)

則決出前4名進(jìn)行半決賽，勝者決冠軍，負(fù)者爭(zhēng)銅牌，則整個(gè)冰壺混雙比賽的場(chǎng)數(shù)是（）

套

BEIJING20吠

A.48B.49C.93D.94

【答案】B

【解析】由已知可得循環(huán)賽的比賽場(chǎng)數(shù)為或=10x￥9=45場(chǎng)，

故總場(chǎng)數(shù)為45+2+1+1=49場(chǎng),故選：B.

6.函數(shù)y=2k-Lsin（萬x）的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】???函數(shù)j，=2g"sin(G),.?./(0)=2.sin0=0,排除CO,

電=2%嗚>。,排除3,故選：A

7.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球O的球面上.若該圓錐的底面半徑為26，高為6,則球。的

表面積為()

A.32萬B.48萬C.647rD.80萬

【答案】C

【解析】因?yàn)?>20，故球心在圓錐的內(nèi)部且在高上，設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,

則有(6-4)2-/=(2白>,解得〃=2,則圓半徑尺=6-4=4,

表面積S=4%7?2=64萬.故選：C

8.已知實(shí)數(shù)。，be(l,+s),且2g+6)=e2"+21n6+l,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

【答案】D

【解析】因?yàn)?(a+6)=e2"+21nb+l,所以e?。一2"-1=2(b-lnb-1)=2?"-Inb-1),

函數(shù)/(力=/-工-1=廠3=砂-1>0,/四在(0,。)上單調(diào)遞增，且"0)=0,因?yàn)?/p>

6>lnlnb>0n/(lnb)>0

所以/(2a)=2/(ln6)>/(ln6),所以2a>ln6,即63,

又e?"-2a-1>2(e“-。-1),所以/(2a)=2/(lnb)>2/(a)，所以a<In6,即6<e",綜上，e"<6<e?".

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位：t/hnP)數(shù)據(jù)為：9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜

交水稻近五年的產(chǎn)量(單位：t/hn?)數(shù)據(jù)為：9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則()

A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差

B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)

C.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差

D.甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)

【答案】ABD

【解析】對(duì)A,10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0.4,故A對(duì)；

對(duì)B,=1(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,弓=:(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=而，故

B對(duì)；

對(duì)C,因?yàn)榧?、乙平均值都?0,所以牖二［、一1。］；。。2-—)，

（9.6-10）2+（9.7-10）2+（10.2-10J+^0.5-10）

舐=

5

顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,60%x5=3為整數(shù)，故甲的60百分位數(shù)也等2=10.0,

乙的60百分位數(shù)為竺號(hào)"=101>10.0,故D對(duì).

故選：ABD

10.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布6(4,0),其數(shù)學(xué)期望E(x)=2,隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布

N(p,4),且尸(X=3)+尸則()

11

A.p=—B.p=—

42

i3

C.P(Y>l-a)=-D.P(Y>l-a)=-

【答案】BD

【解析】因?yàn)镋(X)="=2,所以p=g,即A錯(cuò)誤，B正確；

易知/?因?yàn)槭?X=3)=C：所以尸?<0)=：,

a

所以P(y>l-a)=“即C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)=cosx+cos2x,則下列說法正確的有()

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)/(x)的最小值為-2

C.函數(shù)/(x)的最大值為2D.函數(shù)/(x)在(0,2兀)上有兩個(gè)極值點(diǎn)

【答案】AC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-%)=cos(-x)+cos(-2%)=cosx+cos2x=/(x),所以

函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故正確；

、(1丫9

對(duì)于B選項(xiàng)，f(x)=cosx4-cos2x=2cos2x+cosx-1=21cosx+I>

所以，當(dāng)cosx=時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值故錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由于/(X)=2(COSX+￡|故當(dāng)cosx=l時(shí)，函數(shù)/(X)有最大值2,故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x￡(0,2K),/'(x)=-sinx-2sin2x=-sinx(l+4cosx),令/'(x)=0得了=?；?/p>

1

cosx=——,

4

令cosx=-;在(0,2兀)上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為外,馬，則X]egn,

所以，當(dāng)xe(O,xJ時(shí)，/'(無)<0,“X)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(4無)時(shí)，〃(尤)>0,/(尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)當(dāng)尤eg尤2)時(shí)，r(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減；當(dāng)有6,2勸時(shí)，〃(尤)〉0,〃x)單調(diào)遞增；

所以，/(X)在X=7t處取得極大值，在尤=再和X=X?處取得極小值，

所以，函數(shù)“X)在(0,2勸上有三個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤.

故選：AC

12.已知四棱柱48co-44CQ的底面N88為正方形，M=AB,N4/3=幺40=60。，則()

A,點(diǎn)4在平面48CD內(nèi)的射影在/C上

B.NG，平面4瓦)

C.ZG與平面的交點(diǎn)是△//￡)的重心

D.二面角片--。的大小為45。

【答案】ACD

【解析】設(shè)方;=Z,AB=b，AD=c，正方形的邊長(zhǎng)為1,

一一1一一1

貝!=lxlxcos60。=5,a-c=lxlxcos60°=—,b-c=09

對(duì)選項(xiàng)A：AA{=AB,4/5=4/0=60。，根據(jù)對(duì)稱性知，點(diǎn)4在平面力58內(nèi)

的射影在/氏4。的角平分線上，即在/C上，正確；

對(duì)選項(xiàng)B：ACX=a+b+cfAXB=-a+b9

4c1?A#=(a+6+c)(-a+6)=-Q+6-a,c-b.c=-5w0,

對(duì)選項(xiàng)c：設(shè)/c,助相交于o,4G與4。交于。點(diǎn)，

。即為AQ與平面A、BD的交點(diǎn)，

AQAQ

則/°為△4AD中80邊上的中線，故。為△4助的重心，正確;

CzCzAky

對(duì)選項(xiàng)D：連接與A與4G相交于H,連接“。，根據(jù)對(duì)稱性知HOLAD,

又AC，BD,"Ou平面43。，/Cu平面C&),

故ZHOC為二面角B.-BD-C的平面角,

—?-1-1-

HC=-a+—b+—c,

22

>>*1（-*1-1-*21-21-*2->■—一—I->—1>>

故HC=-a+—b+—c=a+—b+—c-a'b-a-c+—c-b=—故HC=,

（22）444292

6

HO=AAX=\9OC=—,故/〃OC=45。，正確

2

故選：ACD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若tan，=3sin2，，'為銳角，則cos2，=.

2

【答案】

【解析】tan9=3sin2，n電”.=6sin0cos0,

cos。

???，是銳角,Asin^O,

21

:.cos6=—,

6

cos20=2cos20-l=2x—-1=--.

63

14.定義在R上的奇函數(shù)〃x）滿足〃1-3x）=/（3x）,請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式

心)=

【答案】sin口（/sin口等其他符合條件的函數(shù)也可）

【解析】依題意〃x）是定義在R上的奇函數(shù),

由于/（l-3x）=/（3x）,所以=

所以〃x）的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，

所以〃x+2)=/[+x+m]“q_(xd=4-X-)

=_/(x+l)=_/1+x+,=_/]WG…)，

所以/（X）是周期為2的周期函數(shù).

/（%）=/sin◎是定義在R上的奇函數(shù)，且最小正周期為三=2,

71

/gj=/sin5=/,所以/（x）關(guān)于尤=g對(duì)稱，符合題意.

15.在平面直角坐標(biāo)系Mv中，已知點(diǎn)尸（1,2）,直線/：y=foc+/n與圓。：/+/=5交于4,5兩

點(diǎn)，若AP4B為正三角形,則實(shí)數(shù)加的值是.

【答案】=

【解析】由題意可知尸（L2）在圓上，

如圖,

y

設(shè)48中點(diǎn)為H,連接尸區(qū)則PH過點(diǎn)。，且PH，/B,

設(shè)直線/的斜率為4,貝產(chǎn)==-J,

K（）p/

故》=京+加即為y='%+加,

因?yàn)闉檎切?，則。點(diǎn)為△尸的中心,

I-\m\_V5

則OH=嘰曲,故了〒=3,解得加=±；,

22卜14

結(jié)合P（l,2）在圓上，AP43是圓的內(nèi)接正三角形，可知機(jī)＜0,

22

16.設(shè)過雙曲線C東等=1（。＞0）＞0）左焦點(diǎn)下的直線/與。交于M,N兩點(diǎn),若麗=3聞7,且

OM-FN=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為

【答案】V7

【解析】如圖,

由麗=3而可知|網(wǎng)|=3乙=|尸N]=t,

由雙曲線的定義可知|Mj=f+2。，I叫|=3"2a,

由麗?麗=0可知(W工FN,

又。為五6中點(diǎn)，”為FP中點(diǎn)，可知0Mli尸乙，則尸

從而相為線段兒W的垂直平分線，附巴卜|人5|,即f+2a=3/2a,

所以f=2a,貝！|AMV2為正三角形，|尸閭=2氐，

在直角乙中，附『+|尸"『引尸閭2,即(4團(tuán)2+(2百°)2=(2C)2,所以e=V7.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.(本小題滿分10分)在①ccosA=43asinC;?(a-Z))(sinA+sinB}-(c-V3Z,)sinC；③

36cos/+acos8=Gb+c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.

問題：在AASC中，角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

⑴求角A的大??；

(2)若。為線段C8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CB=2BD,AD=6,AC=25求2BC的面積.

【解析】(D若選擇①，■:ccosA=y/3asinC????sinCcosA=VJsin/sinC，

丁sinCw0,:.cosA=VJsinA,

即tanA-，

3

TT

,?*AG(0,7i)/.A=—；

6

若選擇②，{a-Z?)(sinA+sinB)=(c-V3Z?)sinC,

(Q-b)(a+b)=c(c-6b)，

：?a2—b2=c2—y/3bc9

：?a2=b2+c2-6bef

TT

■:AG(0,7t)/.A——；

6

若選擇③，,?,36cos4+acosB=>/^b+c,

：?3sinBcos/+sin/cosB二百sinB+sinC,

3sinBcos24+sin^4cos5=V3sin5+sin(^4+B)，

3sinBcosA+smAcos8=6sin8+sinNcosB+cos^4sinB,

二2sin8cos/=GsinB,又；8?(0,兀).sinBW0,

cosA=，?；Ne(0,兀)，A=—?

26

(2)設(shè)BD=x,AB=y,ZABD=0,

在AABC中，用余弦定理可得AC?

BP12=4x2+y2-2x2xyCOS(K-6))①，

又?:在^ABC中，BC2=AC2+AB2-2ACAB-cosNCAB,

BP4x2=12+/-2x2V3yCOSZCAB.BP4x2=/-6>>+12,即x\一-6.+12②,

在AABD中，用余弦定理可得AD2=BD2+BA?-2BD-BA-cosNABD,

BP3=x2+y2-2xycos0③，③x2+①可得6/+3/=18,

將②式代入上式可得V=2,x=1,邑”,=：?NC?sin/=百.

18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛%｝,當(dāng)〃e[2i,2k)時(shí)，a?=2\左eN*.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

為國(guó).

⑴求。2，a209

⑵求使得S“<2022成立的正整數(shù)n的最大值.

k

【解析】⑴因當(dāng)與時(shí)，an=2,左eN*,而Zepr?),則%=2?=4,又20425T2),

貝!1=2,=32,

所以4=4,%0=32.

k

(2)因當(dāng)〃￡[2匕2,時(shí)，an=29左eN*,

2

當(dāng)〃w[2°,2i）時(shí)，％=21當(dāng)〃￡[2）22）時(shí)，a2=a3=29當(dāng)〃￡[2?,2?）時(shí)，%=%=…=%=2,,

當(dāng)〃￡[2、24）時(shí)，6=。9=…二須=2、當(dāng)及w[2—25）時(shí)，ai6=%=…=%=2、，

當(dāng)〃wpl）時(shí)，a32=/3=…=4=2‘，

123453579

fM531=2+2x2+4x2+8x2+16x2=2+2+2+2+2=682,

1234563579n

XS63=2+2x2+4x2+8x2+16x2+32x2=2+2+2+2+2+2>2022,

則有S〃<2022時(shí)，31<n<63,由S〃二邑1+（〃-31>26=682+（〃-31〉26<2022得：

33515

?<31+—=51—,而〃eN*,于是得〃”m=51,

1616

所以使得S.<2022成立的正整數(shù)〃的最大值是51.

19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐N-3CD中，AABC是正三角形，平面48cl平面BCZ）,

BD1CD,點(diǎn)E,尸分別是8C,DC的中點(diǎn).

(1)證明：平面/CD_L平面/跖；

(2)若N8CD=60。，點(diǎn)G是線段&D上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，平面他G與平面/CD所成

的銳二面角最小.

【解析】⑴⑴因?yàn)锳48C是正三角形，點(diǎn)E是5c中點(diǎn)，所以4EL5C,

又因?yàn)槠矫?BC_L平面BCD,平面4BCn平面4Eu平面4BC,

所以NE_L平面BCD,

又因?yàn)?。。匚平?(7。，所以。_L4E,

因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別是5C,C。的中點(diǎn)，所以EF//BD,

又因?yàn)锳D_LCD,所以CD_LEF,又因?yàn)镃D_L4E,AE^EF=E,

NEu平面4EF,EFu平面NE產(chǎn)，所以CDJ_平面

又因?yàn)镃Du平面4CD,所以平面Na)_L平面NEF.

(2)在平面5。中，過點(diǎn)E作垂足為

設(shè)5c=4,貝！I"=2百，DF=FC=l,EF=^3-

以｛麗，而，或｝為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則￡(0,0,0),/(0,0,2V3),C(-1,V3,0),。(1,6,0),

設(shè)G(l,g0),則礪=(0,0,2V3),AD=(1,若,-2百),c5=(2,0,0),EG=(l,y,0),

設(shè)平面NEG的法向量為%=（再，%,zj,

n-EA=Q得］2后=0

由，l,令乂=-1,故￡

4?EG=0'U+W=0=(j,-l,0)?

設(shè)平面ACD的法向量為n2=（x2,y2,z2），

噓皿。味+氏一2底源令一，則…，2」），

設(shè)平面AEG與平面ACD所成的銳二面角為。，

-t—22

當(dāng)y=0,cos（9最大，此時(shí)銳二面角。最小，

故當(dāng)點(diǎn)G為BD的中點(diǎn)時(shí)，平面AEG與平面ACD所成的銳二面角最小.

20.（本小題滿分12分）我國(guó)風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測(cè)氣象和國(guó)土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為

了了解汛期人工測(cè)雨量x（單位：dm）與遙測(cè)雨量y（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組

雨量數(shù)據(jù)如下：

樣本號(hào)i12345678910

人工測(cè)雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遙測(cè)雨量”5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

Ixi~yi\0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010

并計(jì)算得Xx：=353.6,=361.7,X善乂=357.3,x2?33.62,y2?34.42,Ty23402.

i=li=li=l

(1)求該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并判斷它們是否具有

線性相關(guān)關(guān)系；

(2)規(guī)定：數(shù)組(xi,yi)滿足|x廠叫＜0.1為“I類誤差”；滿足0.1W|x廠叫＜0.3為“II類誤差”；滿足

|x廠”佇0.3為“III類誤差”.為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“I類誤差”、“H類誤差”中隨機(jī)抽

取3組數(shù)據(jù)與“III類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與

數(shù)學(xué)期望.

￡（%-初乂-7）

附：相關(guān)系數(shù)「=:J304.5a17.4.

、之「歹）2

VZ=1i=l

1010

Z（士-?乂-歹）?那一1Oxy

【解析】（1）因?yàn)?==口。T］。

之3一元）它（％一7）2（*-10/）x（?；-10y2）

VZ=1i=lVi=l1=1

代入已知數(shù)據(jù),

357.3-10x34.0217.1

得,n/-----~—?0.98

^（353.6-10x33.62）x（361.7-10x34.42）V304.5

所以汛期遙測(cè)雨量U與人工測(cè)雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

(2)依題意，“I類誤差”有5組，“II類誤差”有3組，“HI類誤差”有2組.

若從“I類誤差”和“n類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，抽到“I類誤差”的組數(shù)

X的所有可能取值為0,1，2,3.

則尸(x=o)!*，

產(chǎn)吠=1)=年=竺，

尸(X=2)=屋6=型="，

'JC；5628，

（—_C；-56-28?

所以X的概率分布為

+2吟+3檢戈.

另解：因?yàn)閄?以3,5,8),所以￡(丫)=尊=泉

OO

22

21.(本小題滿分12分)已知曲線C由C]:「+勺=l(a>6>0,x0)和C2:/+/=6?(x<0)兩部分

ab

組成，G所在橢圓的離心率為。上、下頂點(diǎn)分別為45右焦點(diǎn)為RCR軸相交于點(diǎn)

四邊形B\FB』)的面積為百+1.

⑴求見6的值;

(2)若直線/與G相交于48兩點(diǎn)，|//=2,點(diǎn)尸在上，求AP/5面積的最大值.

c出

a2f?=2

【解析】(1)由題意知^（b+c）-2b=j3+l\b=l'

a2=b2+c2

(2)①當(dāng)A8斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為'=h+"7,

y=kx+m/

（1+4A：2）x2++4m29-4=0,

22Skmx

x+4y=41）

A=64//-40+4陰（4/-4）=16（4Ar2-m2+l）>0,

-8km八

---r>0

1+3^>\m\>\

且9

±^>o

〔1+4公

4d4k2—冽2+1224722