2024屆北京市大興區(qū)中考數(shù)學(xué)最后沖刺模擬試卷含解析

2024屆北京市大興區(qū)名校中考數(shù)學(xué)最后沖刺模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.太原市出租車的收費標準是：白天起步價8元（即行駛距離不超過3km都需付8元車費），超過3km以后，每增

加1km,加收1.6元（不足1km按1km計），某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是xkm,出租車費為16元，那么x的最

大值是（）

A.11B.8C.7D.5

2.方程x（x+2）=0的根是（）

A.x=2B.x=0C.xi=0,X2=-2D.XI=0,X2=2

3.某城2014年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，到2016年底增加到363公頃，設(shè)綠化面積平均每年的增長

率為x,由題意所列方程正確的是（）.

A.300（1+%）=363B.300（1+%）2=363C.300（1+2x）=363D.300（1-%）2=363

4.下列敘述，錯誤的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的四邊形是矩形

5.觀察圖中的“品”字形中個數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出”的值為

C.103D.139

6.如圖是一個正方體被截去一角后得到的幾何體，從上面看得到的平面圖形是（）

7.平面直角坐標系中的點P（2-m,-m）在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）

2

-1017—101

—1017—1012

8.已知。。的半徑為5,且圓心O到直線1的距離是方程x2-4x-12=0的一個根，則直線1與圓的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

9.從邊長為。的大正方形紙板中挖去一個邊長為力的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然

后拼成一個平行四邊形（如圖乙）。那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（）

B.(?+=a2+lab+b1

C.=cr-2,ab+b~D.=(a+b)(a—b)

2

10.如圖，一次函數(shù)y=x-l的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象在第一象限相交于點A,與x軸相交于點5,點C在

x

y軸上，若AC=3C,則點C的坐標為（）

D.(0,3)

11.納米是一種長度單位，1納米=10-9米,已知某種植物花粉的直徑約為35000納米，那么用科學(xué)記數(shù)法表示該種花

粉的直徑為（）

A.3.5x104米B.3.5義1。7米C.3.5x10-5米D.3.5x10-9米

12.已知關(guān)于x的方程x2-4x+c+l=0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)c的值為（）

A.-1B.0C.1D.3

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.設(shè)[X）表示大于x的最小整數(shù)，如[3尸尸-1,則下列結(jié)論中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序

號）①[0）=0;②[x）-x的最小值是0；③[x）-x的最大值是0；④存在實數(shù)x,使[x）-x=0.5成立.

14.從-1,2,3,-6這四個數(shù)中任選兩數(shù)，分別記作m,n,那么點（m,n）在函數(shù)=二圖象上的概率是—.

15.已知一個正六邊形的邊心距為若，則它的半徑為.

16.如圖，在，中，A3=8,尸、。為對角線AC的三等分點，延長。尸交A5于點M,延長MQ交。于點N,

17.在如圖所示的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格點，AB與CD相交于

M,則AM：BM=_.

18.如圖，在平面直角坐標系中，矩形045c的兩邊04,OC分別在x軸和y軸上，并且04=5,OC=L若把矩形

0ABe繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A恰好落在5c邊上的Ai處，則點C的對應(yīng)點G的坐標為.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如今，旅游度假成為了中國人慶祝傳統(tǒng)春節(jié)的一項的“新年俗”，山西省旅發(fā)委發(fā)布的《2018年“春節(jié)”假日

旅游市場總結(jié)分析報告》中稱：山西春節(jié)旅游供需兩旺，實現(xiàn)了“旅游接待”與“經(jīng)濟效益”的雙豐收，請根據(jù)圖表信息

解決問題：

（1）如圖1所示，山西近五年春節(jié)假日接待海內(nèi)外游客的數(shù)量逐年增加,2018年首次突破了“千萬”大關(guān)，達到萬

人次，比2017年春節(jié)假日增加萬人次.

（2）2018年2月15日-20日期間，山西省35個重點景區(qū)每日接待游客數(shù)量如下:

2月15日2月16日2月17日2月18日（初2月19日2月20日

日期

（除夕）（初一）（初二）三）（初四）（初五）

日接待游客數(shù)量

7.5682.83119.5184.38103.2151.55

（萬人次）

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.萬人次.

（3）根據(jù)圖2中的信息預(yù)估：2019年春節(jié)假日山西旅游總收入比2018年同期增長的百分率約為,理由

是.

（4）春節(jié)期間，小明在“青龍古鎮(zhèn)第一屆新春廟會”上購買了A,B,C,D四枚書簽（除圖案外完全相同）.正面分別

印有“剪紙藝術(shù)”、“國粹京劇”、“陶瓷藝術(shù)”、“皮影戲”的圖案（如圖3）,他將書簽背面朝上放在桌面上，從中隨機挑

選兩枚送給好朋友，求送給好朋友的兩枚書簽中恰好有“剪紙藝術(shù)”的概率.

陶

國

煎

皮

安

粹

紙

舞

藝

京

藝

技

術(shù)

劇

術(shù)

圖3

20.（6分）某電器商場銷售甲、乙兩種品牌空調(diào)，已知每臺乙種品牌空調(diào)的進價比每臺甲種品牌空調(diào)的進價高20%,

用7200元購進的乙種品牌空調(diào)數(shù)量比用3000元購進的甲種品牌空調(diào)數(shù)量多2臺.求甲、乙兩種品牌空調(diào)的進貨

價；該商場擬用不超過16000元購進甲、乙兩種品牌空調(diào)共10臺進行銷售，其中甲種品牌空調(diào)的售價為2500元

/臺，乙種品牌空調(diào)的售價為3500元/臺.請您幫該商場設(shè)計一種進貨方案，使得在售完這10臺空調(diào)后獲利最大,

并求出最大利潤.

21.（6分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點，點A的坐標是（3,0）,點C的坐

標是（0,-3）,動點尸在拋物線上.

（1）b=,c=,點3的坐標為；（直接填寫結(jié)果）

（2）是否存在點P,使得AACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存

在，說明理由；

（3）過動點尸作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點O,過點。作x軸的垂線.垂足為后連接EF當線段E歹

的長度最短時，求出點P的坐標.

22.（8分）在△ABC中，NACB=45。.點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD,以AD為一邊且

在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC.如圖①，且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如果ABKAC,如圖②，且點D在線段BC上運動.（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=4Q\BC=3,CD=x,求線段CP

的長.（用含x的式子表示）

23.（8分）石獅泰禾某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件,

為了迎接“十一”國慶節(jié)，商店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝

降價1元，那么平均可多售出2件.設(shè)每件童裝降價x元時，每天可銷售件，每件盈利元；（用x的代

數(shù)式表示）每件童裝降價多少元時，平均每天贏利1200元.要想平均每天贏利2000元，可能嗎？請說明理由.

24.（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+l）.試證明：無論P取何值此方程總有兩個實數(shù)根；若

原方程的兩根看，滿足婷+々2-西%2=3/+1，求0的值.

25.（10分）某高科技產(chǎn)品開發(fā)公司現(xiàn)有員工50名，所有員工的月工資情況如下表:

員工管理人員普通工作人員

人員結(jié)構(gòu)總經(jīng)理部門經(jīng)理科研人員銷售人員高級技工中級技工勤雜工

員工數(shù)（名）1323241

每人月工資（元）2100084002025220018001600950

請你根據(jù)上述內(nèi)容，解答下列問題：該公司“高級技工”有名；所有員工月工資的平均數(shù)x為2500元，中位數(shù)

為元，眾數(shù)為元；小張到這家公司應(yīng)聘普通工作人員.請你回答右圖中小張的問題，并指出用（2）中

的哪個數(shù)據(jù)向小張介紹員工的月工資實際水平更合理些；去掉四個管理人員的工資后，請你計算出其他員工的月平均

工資歹（結(jié)果保留整數(shù)），并判斷了能否反映該公司員工的月工資實際水平.

歡迎你來我們公司應(yīng)

聘！我公司員工的月平均工

資是25QQ元，薪水是較高的.

這個經(jīng)理的介紹

部

門能反映該公司員工的

經(jīng)小月工資實際水平嗎？

理張

26.（12分）如圖，以A5邊為直徑的。。經(jīng)過點P,C是。。上一點，連結(jié)PC交A3于點E,且NACP=60。，PA=PD.試

判斷尸。與。0的位置關(guān)系，并說明理由；若點C是弧AB的中點，已知A5=4,求CE?CP的值.

_3

27.（12分）已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-l,0）、B兩點（A在B左），y軸交于點C（0,-3）.

4

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段BC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；

（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上.是否存在以B、C、E、P為頂點且以BC為一邊的平行四邊形？若存在,

求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、B

【解析】

根據(jù)等量關(guān)系，即(經(jīng)過的路程-3)X1.6+起步價2元SL列出不等式求解.

【詳解】

可設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程為xkm,

根據(jù)題意可知:(x-3)xl.6+2<l,

解得：x<2.

即此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程最多為2km.

故選B.

【點睛】

考查了一元一次方程的應(yīng)用.關(guān)鍵是掌握正確理解題意，找出題目中的數(shù)量關(guān)系.

2、C

【解析】

試題解析：x(x+1)=0,

nx=0或x+l=0,

解得xi=0,xi=-l.

故選C.

3、B

【解析】

先用含有x的式子表示2015年的綠化面積，進而用含有x的式子表示2016年的綠化面積，根據(jù)等式關(guān)系列方程即可.

【詳解】

由題意得，綠化面積平均每年的增長率為x,則2015年的綠化面積為300(1+x),2016年的綠化面積為300(1+x)

(1+x),經(jīng)過兩年的增長，綠化面積由300公頃變?yōu)?63公頃.可列出方程：300(1+x)2=363.故選B.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，找準其中的等式關(guān)系式解答此題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理對選項逐一進行分析，即可判斷出答

案.

【詳解】A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，不符合題意；

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，不符合題意；

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意；

D.對角線相等的平行四邊形是矩形，故D選項錯誤，符合題意，

故選D.

【點睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟練掌握相關(guān)判定定理是解答

此類問題的關(guān)鍵.

5、A

【解析】

觀察可得，上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,9,11,左邊的數(shù)為21，22,23,…，所以b=26=64,又因上邊的數(shù)與

左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù)，所以a=ll+64=75,故選B.

6、B

【解析】

根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形可得俯視圖為正方形以及右下角一個三角形.

【詳解】

從上面看，是正方形右邊有一條斜線，如圖：

故選B.

【點睛】

考查了三視圖的知識，根據(jù)俯視圖是從物體的上面看得到的視圖得出是解題關(guān)鍵.

7、B

【解析】

2-m>0

根據(jù)第二象限中點的特征可得：1八，

—m>0

12

在數(shù)軸上表示為：?一

—1012

故選B.

考點：（1）、不等式組；（2）、第一象限中點的特征

8、C

【解析】

首先求出方程的根，再利用半徑長度，由點O到直線a的距離為d,若d<r,則直線與圓相交;若d=i?，則直線與圓相切;若d>r,

則直線與與圓相離.

【詳解】

Vx2-4x-12=0,

（x+2）（x-6）=0,

解得:xi=-2（不合題意舍去），X2=6,

???點O到直線1距離是方程X2-4X-12=0的一個根，即為6,

點O到直線1的距離d=6,r=5,

Ad>r,

???直線1與圓相離.

故選：C

【點睛】

本題考核知識點：直線與圓的位置關(guān)系.解題關(guān)鍵點：理解直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.

9、D

【解析】

分別根據(jù)正方形及平行四邊形的面積公式求得甲、乙中陰影部分的面積，從而得到可以驗證成立的公式.

【詳解】

陰影部分的面積相等，即甲的面積=a2-b2,乙的面積=(a+b)(a-b).

即:a2-b2=(a+b)(a-b).

所以驗證成立的公式為：a2-b2=(a+b)(a-b).

故選：D.

【點睛】

考點：等腰梯形的性質(zhì)；平方差公式的幾何背景；平行四邊形的性質(zhì).

10、B

【解析】

根據(jù)方程組求出點A坐標，設(shè)C(0,m),根據(jù)AC=BC,列出方程即可解決問題.

【詳解】

,y=x-l「x=2。xr=—l1

由｛2，解得?或.

y=-U=ily=-2

X

AA(2,1),B(1,0),

設(shè)C(0,m),

VBC=AC,

.\AC2=BC2,

即4+(m-1)2=l+m2,

??m=29

故答案為(0,2).

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標問題、勾股定理、方程組等知識，解題的關(guān)鍵是會利用方程組確定兩個

函數(shù)的交點坐標，學(xué)會用方程的思想思考問題.

11,C

【解析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl(T,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是

負指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】

35000納米=35000x10-9米=3.5x10'米.

故選c.

【點睛】

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axio?其中10a|VlO,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的

數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

12>D

【解析】

分析：由于方程7-4*+。+1=0有兩個相等的實數(shù)根，所以A="-4ac=0,可得關(guān)于c的一元一次方程，然后解方程求

出c的值.

詳解：由題意得，

(-4)2-4(C+1)=0,

c=3.

故選D.

點睛：本題考查了一元二次方程。好+勵+。=0(a/0)的根的判別式A="-4ac：當△>()時，一元二次方程有兩個不相等

的實數(shù)根；當△=()時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、④

【解析】

根據(jù)題意[X)表示大于x的最小整數(shù)，結(jié)合各項進行判斷即可得出答案.

【詳解】

①[0)=1,故本項錯誤；

②[x)-x>0,但是取不到0,故本項錯誤；

③[x)-x《L即最大值為1,故本項錯誤；

④存在實數(shù)x,使[x)-x=0.5成立，例如x=0.5時，故本項正確.

故答案是：④.

【點睛】

此題考查運算的定義，解題關(guān)鍵在于理解題意的運算法則.

14、1.

【解析】

試題分析：畫樹狀圖得：

開始

-13

z\/N小Z\

n-13-623-62-1-62-13

?.?共有12種等可能的結(jié)果，點(m,n)恰好在反比例函數(shù)=:圖象上的有：(2,3),(-1,-6),(3,2),(-6,

X

-1),.?.點(m,n)在函數(shù)-圖6象上的概率是：4=*1■.故答案為士1.

.X1233

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；列表法與樹狀圖法.

15、2

【解析】

試題分析：設(shè)正六邊形的中心是。，一邊是AS過。作0GLA5與G,在直角AOAG中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得

OA.

解：如圖所示，

在RtAAOG中,OG=5NAOG=30。,

:.OA=OG^cos30°=—

2

故答案為2.

點睛：本題主要考查正多邊形和圓的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于利用正多邊形的半徑、邊心距構(gòu)造直角三角形并利用解直

角三角形的知識求解.

16、1

【解析】

根據(jù)平行四邊形定義得：DC〃AB,由兩角對應(yīng)相等可得：ANQC^AMQA,ADPC^AMPA,列比例式可得CN

的長.

【詳解】

V四邊形ABCD是平行四邊形，

；.DC〃AB,

AZCNQ=ZAMQ,NNCQ=NMAQ,

.,.△NQC^AMQA,

同理得：△DPC^AMPA,

VP,Q為對角線AC的三等分點,

.CN_CQ_1CP_CD_2

"AMAQ2fQ—而一I，

設(shè)CN=x,AM=lx,

.8_2

??9

2x1

解得，x=l,

/.CN=1,

故答案為1.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似的判定方法是關(guān)鍵.

17、5：1

【解析】

根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似即可解答本題.

【詳解】

解：

作AE〃BC交DC于點E,交DF于點F,

設(shè)每個小正方形的邊長為a,

貝山DEF<^ADCN,

?_E_F___D__F__1

"CN~DN~3'

1

EF=-a,

3

VAF=2a,

AE=—a,

3

,/△AME-^ABMC,

.AM_AE_-a_5

??------=------=3=—

BMBC+12

4a

故答案為：5：1.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

【解析】

直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONG三邊關(guān)系，再利用勾股定理得出答案.

【詳解】

過點Ci作CiN±x軸于點N,過點Ai作AiM±x軸于點M,

由題意可得：ZCiNO=ZAiMO=90°,

Z1=Z2=Z1,

則4AiOM^AOCiN,

VOA=5,OC=1,

.,.OAi=5,AiM=l,

.\OM=4,

.?.設(shè)NO=lx,則NG=4x,OCi=l,

則（lx）2+（4x『=9,

3

解得：X=±-（負數(shù)舍去），

912

則NO=M，NCl=y,

912

故點C的對應(yīng)點Ci的坐標為：（-g，—）?

912

故答案為（-,，y）.

【點睛】

此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出小A1OM-AOC1N是解題關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)1365.45、414.4(2)93.79(3)30%；近3年平均漲幅在30%左右，估計2019年比2018年同比增長約30%

(4)-

2

【解析】

(1)由圖1可得答案；

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；

(3)由近3年平均漲幅在30%左右即可做出估計；

(4)根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解可得.

【詳解】

(1)2018年首次突破了“千萬”大關(guān)，達到1365.45萬人次，比2017年春節(jié)假日增加1365.45-951.05=414.4萬人次.

故答案為：1365.45、414.4；

QAQQ7

(2)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=93.79萬人次,

2

故答案為：93.79；

(3)2019年春節(jié)假日山西旅游總收入比2018年同期增長的百分率約為30%,理由是：近3年平均漲幅在30%左右，

估計2019年比2018年同比增長約30%,

故答案為：30%；近3年平均漲幅在30%左右，估計2019年比2018年同比增長約30%.

(4)畫樹狀圖如下：

ABCD

/N/N/N/N

BCDACDABDABe

則共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中送給好朋友的兩枚書簽中恰好有“剪紙藝術(shù)”的結(jié)果數(shù)為6,

所以送給好朋友的兩枚書簽中恰好有“剪紙藝術(shù)”的概率為▲.

2

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)

果數(shù)目m,求出概率，也考查了條形統(tǒng)計圖與樣本估計總體.

20、(1)甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調(diào)的進價為1800元；(2)當購進甲種品牌空調(diào)7臺，乙種品牌空調(diào)

3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元

【解析】

(1)設(shè)甲種品牌空調(diào)的進貨價為x元/臺，則乙種品牌空調(diào)的進貨價為1.2x元/臺，根據(jù)數(shù)量=總價+單價可得出關(guān)于x

的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購進甲種品牌空調(diào)a臺，所獲得的利潤為y元，則購進乙種品牌空調(diào)(10-a)臺，根據(jù)總價=單價x數(shù)量結(jié)合總

價不超過16000元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再由總利潤=單臺利潤x購進數(shù)

量即可得出y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【詳解】

(1)由(1)設(shè)甲種品牌的進價為x元，則乙種品牌空調(diào)的進價為(1+20%)x元，

72003000c

由題意'得(1+20%)%-x+'

解得x=1500,

經(jīng)檢驗，x=1500是原分式方程的解，

乙種品牌空調(diào)的進價為(1+20%)xl500=1800(元).

答：甲種品牌的進價為1500元，乙種品牌空調(diào)的進價為1800元；

(2)設(shè)購進甲種品牌空調(diào)a臺，則購進乙種品牌空調(diào)(10-a)臺，

由題意,得1500a+1800(10-a)<16000,

解得y<a,

設(shè)利潤為w,貝(Jw=(2500-1500)a+(3500-1800)(10-a)=-700a+17000,

因為-700<0,

則w隨a的增大而減少，

當a=7時，w最大，最大為12100元.

答：當購進甲種品牌空調(diào)7臺，乙種品牌空調(diào)3臺時，售完后利潤最大，最大為12100元.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)數(shù)量=總價+單價

列出關(guān)于x的分式方程；(2)根據(jù)總利潤=單臺利潤x購進數(shù)量找出y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.

21、(1)-2,-3,(-1,0)；(2)存在P的坐標是(1,—4)或(-2,5)；(1)當EF最短時，點P的坐標是：(2+而,

2

3、_p./2-A/103

222

【解析】

(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得從c的值，然后令y=0可求得點5的坐標；

(2)分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與馬，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得和尸2A的解析

式，最后再求得PiC和尸M與拋物線的交點坐標即可；

(1)連接OD先證明四邊形。即歹為矩形，從而得到尸，然后根據(jù)垂線段最短可求得點。的縱坐標，從而得

到點尸的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標.

【詳解】

c=-3

解：（1）???將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得:

9+3b+c=0

解得：b=-2,c=-1,

.??拋物線的解析式為y=￡-2x-3.

；令龍2—2%—3=0,解得：芯=-1,馬=3,

二點3的坐標為（-1,0）.

故答案為"2；-1；（-1,0）.

（2）存在.理由：如圖所示：

①當NACB=90。.由（1）可知點A的坐標為（1,0）.

設(shè)AC的解析式為-1.

,將點A的坐標代入得1k-1=0,解得k=l,

直線AC的解析式為產(chǎn)x-1,

/.直線CB的解析式為y=-x-l.

\?將y=-x-1與y=￡-2x-3聯(lián)立解得/=1,%=，（舍去）,

點Pi的坐標為（1,-4）.

②當NP2AC=90。時.設(shè)APi的解析式為嚴-x+b.

,將x=l,y=0代入得：-1+5=0,解得方=1,

直線APi的解析式為y=-x+1.

2

:將y=-x+1y-x-2x-3聯(lián)立解得苞=-2,x2=i（舍去）,

.?.點P2的坐標為(-2,5).

綜上所述，P的坐標是(1,-4)或(-2,5).

(1)如圖2所示：連接00.

由題意可知，四邊形。尸。E是矩形，則OO=EF.根據(jù)垂線段最短，可得當時，0。最短，即E歹最短.

由(1)可知，在R3A0C中，\"OC=OA=1,OD±AC,

.?.O是AC的中點.

又,：DF〃OC,

13

：.DF=-OC=-,

22

.?.點尸的縱坐標是-巳3，

2

：.x2-2x-3=-l，解得：2=2土,

22

...當E尸最短時，點P的坐標是：T回,3或(2-屈,_2).

2222

22、(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直,理由見解析；(2)ABKAC時，CF_LBD的結(jié)論成立，理由見解析；(3)見解析

【解析】

(1)由NACB=15。，AB=AC,得NABD=NACB=15。；可得NBAC=90。，由正方形ADEF,可得

ZDAF=90°,AD=AF,ZDAF=ZDAC+ZCAF；ZBAC=ZBAD+ZDAC；得NCAF=NBAD.可證

△DAB^AFAC(SAS),得NACF=NABD=15°,得NBCF=NACB+NACF=90°.即CFJLBD.

(2)過點A作AG_LAC交BC于點G,可得出AC=AG,易證：△GADgACAF,所以

ZACF=ZAGD=15°,ZBCF=ZACB+ZACF=90°.即CF±BD.

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=10,BC=3,CD=x,

求線段CP的長.考慮點D的位置，分兩種情況去解答.①點D在線段BC上運動，已知NBCA=15。,

可求出AQ=CQ=1.即DQ=Lx,易證△AQDs^DCP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問題.②點D在

線段BC延長線上運動時，由NBCA=15。，可求出AQ=CQ=L則DQ=l+x.過A作AQLBC交CB

延長線于點Q,則AAGDs^ACF,得CF_LBD,由AAQDS4DCP,得再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

解問題.

【詳解】

(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：

VAB=AC,ZACB=15°,

.,.ZABC=15°.

由正方形ADEF得AD=AF,

,-,ZDAF=ZBAC=90°,

/.ZDAB=ZFAC,

/.△DAB^AFAC(SAS),

/.ZACF=ZABD.

:.ZBCF=ZACB+ZACF=90°.

即CF±BD.

(2)AB/AC時，CF±BD的結(jié)論成立.

理由是：

過點A作GA±AC交BC于點G,

VZACB=15°,

，NAGD=15。，

；.AC=AG,

同理可證：AGAD咨Z\CAF

ZACF=ZAGD=15°,ZBCF=ZACB+ZACF=90°,

即CF1BD.

(3)過點A作AQ±BC交CB的延長線于點Q,

①點D在線段BC上運動時，

VZBCA=15°,可求出AQ=CQ=L

.*.DQ=1-x,△AQD^ADCP,

.CPCD

＞，DQ=AQ，

.CP

??二X1,

4-x4

2

??CP=一^-+x?

②點D在線段BC延長線上運動時，

VZBCA=15°,

AAQ=CQ=1,

.\DQ=l+x.

過A作AQ_LBC,

.,.ZQ=ZFAD=90°,

,.,ZC,AF=ZC,CD=90°,NAC'F=NCC'D,

.,.ZADQ=ZAFCr,

則AAQD^AACT.

ACF1BD,

/.△AQD^ADCP,

.CP-CD

*'DQ^AQ'

.CP

??二X

4+x4

QBDC°

綜合性題型，解題關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)全等、相似、正方形等知識點.

23、(1)(20+2x),(40-X)；(2)每件童裝降價20元或10元，平均每天贏利1200元；(3)不可能做到平均每天盈利

2000元.

【解析】

(1)、根據(jù)銷售量=原銷售量+因價格下降而增加的數(shù)量；每件利潤=原售價一進價一降價，列式即可；

(2)、根據(jù)總利潤=單件利潤x數(shù)量，列出方程即可；(3)、根據(jù)⑵中的相關(guān)關(guān)系方程，判斷方程是否有實數(shù)根即可.

【詳解】

(1)、設(shè)每件童裝降價x元時，每天可銷售20+2x件，每件盈利40-x元，

故答案為(20+2x),(40-x)；

(2)、根據(jù)題意可得：(20+2x)(40-x)=1200,

解得：占=10,々=20,

即每件童裝降價10元或20元時，平均每天盈利1200元；

(3)、(20+2x)(40-x)=2000,x2-30x+600=0，

?.?此方程無解，

,不可能盈利2000元.

【點睛】

本題主要考查的是一元二次方程的實際應(yīng)用問題，屬于中等難度題型.解決這個問題的關(guān)鍵就是要根據(jù)題意列出方程.

24、(1)證明見解析；(2)2

【解析】

分析：(1)將原方程變形為一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出4=(2p+l)2>1,由此即可證出：無

論p取何值此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出Xl+X2=5、XlX2=6-p2-p,結(jié)合X『+X22-XlX2=3p2+l,即可求出p值.

詳解：(1)證明：原方程可變形為x2-5x+6-p2-p=L

?/△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+l=(2p+l)2>1,

無論p取何值此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)?原方程的兩根為XI、X2,

?*.X1+X2=5,XlX2=6-p2-p.

又VXl2+X22-XlX2=3p2+l,

(X1+X2)2-3xiX2=3p2+l,

/.52-3(6-p2-p)=3p2+l,

25-18+3p2+3p=3p2+l,

3P=-6,

p=-2.

點睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當△時，方程有兩個實數(shù)根"；(2)

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合Xl2+X22-XlX2=3p2+l,求出p值.

25、(1)16人；(2)工中位數(shù)是1700元；眾數(shù)是1600元；(3)用1700元或1600元來介紹更合理些.(4)］能反映

該公司員工的月工資實際水平.

【解析】

(1)用總?cè)藬?shù)50減去其它部門的人數(shù)；

(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(3)由平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的特征可知，平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，用眾數(shù)和中位數(shù)映該公司員工的月工資實際

水平更合適些；

(4)去掉極端數(shù)據(jù)后平均數(shù)可以反映該公司員工的月工資實際水平.

【詳解】

(1)該公司“高級技工”的人數(shù)=50-1-3-2-3-24-1=16(人)；

(2)工資數(shù)從小到大排列，第25和第26分別是：1600元和1800元，因而中位數(shù)是1700元;

在這些數(shù)中1600元出現(xiàn)的次數(shù)最多，因而眾數(shù)是1600元;

(3)這個經(jīng)理的介紹不能反映該公司員工的月工資實際水平.

用1700元或1600元來介紹更合理些.

2500x50-21000-8400x3

(4)y=土1713(元).

46

少能反映該公司員工的月工資實際水平.

26、(1)尸。是。。的切線.證明見解析.(2)1.

【解析】

試題分析：(1)連結(jié)OP,根據(jù)圓周角定理可得NAOP=2NACP=120。，然后計算出NPAD和ND的度數(shù)，進而可得

ZOPD=90°,從而證明PD是。O的切線；

rjCE

(2)連結(jié)BC,首先求出NCAB=NABC=NAPC=45。，然后可得AC長，再證明△CAE^ACPA,進而可得「一=——，

CPCA

然后可得CE?CP的值.

試題解析：(1)如圖，PD是。O的切線.

證明如下：

連結(jié)OP,VZACP=60°,/.ZAOP=120°,VOA=OP,/.ZOAP=ZOPA=30°,,/PA=PD,NPAO=ND=30°,

ZOPD=90°,APD是。O的切線.

(2)連結(jié)BC,；AB是。。的直徑，...NACB=90。，又為弧AB的中點，...NCAB=NABC=NAPC=45。，：AB=4,

CJ