四川省南充市2024屆高三高考適應(yīng)性考試（一診）考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

南充市高2024屆高考適應(yīng)性考試（一診）

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上

無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.拋物線f=4y的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-lB.x=1C.y=-1D.y=l

2.當(dāng)1＜相＜2時，復(fù)數(shù)加-1+（加-2），在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知正方形ABCD的邊長為1,則|通+前—百|(zhì)=（）

A.0B.V2C.272D.4

4.已知直線m,n和平面a,nua,,則“m//〃”是"m//?！钡模ǎl件

A,充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

ff、

5.已知全集。=氏，集合A={x|log3（x—1）〉1},3=伊1+丁=1,則能表示關(guān)系的圖是（）

A.

6.某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表.發(fā)現(xiàn)銷售量y

（萬件）與時間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：

y=0.48x+0.56.則下列說法錯誤的是（）

時間X（月）12345

銷售量y（萬件）11.62.0a3

A.由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬件

B,表中數(shù)據(jù)的樣本中心點為（3,2.0）

C.a=2.4

D.由表中數(shù)據(jù)可知，y和1成正相關(guān)

7.二項式的展開式中常數(shù)項為（）

A.-60B.60C.210D.-210

8.已知：2"1=3,2"-3=』，則下列說法中錯誤的是（）

3

3

A.a+b=2B.1<Z?<—C.b-a<iD.ab>l

2

9.如圖，正方體—的棱長為2,E,E分別為BC,CQ的中點，則平面AEF截正方體所得

的截面面積為（）

39

A.-B.-C.9D.18

22

10.如圖1是函數(shù)/（x）的部分圖象，經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭坪蜕炜s變換后，得到圖2中g(shù)（x）的部分圖

象，則（）

圖2

C.方程g(x)=log1X有4個不相等的實數(shù)解

4

D.g(x)>—的解集為i—卜2k,—F2左］，kEZ

2\66)

2

H.已知雙曲線％2—\二i的左右焦點分別為耳，瑪，左右頂點分別為a，4,尸為雙曲線在第一象限上

的一點，若COS/尸耳耳二；,則可?詞=()

A.-2B.2C.5D.-5

2

12.已知函數(shù)/(x)=ln%-----1-2-m(0<加<3)有兩個不同的零點玉，x2(<x2),下列關(guān)于玉，x2

的說法正確的有()個

巴3

①三<e2'"…2

②%>③e3<x2<-------④石元2〉1

石m+23-m

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y-1V0

13.滿足約束條件卜-y+3Vo的平面區(qū)域的面積為.

x+2>0

14.已知函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，且/(x)=<2貝廳(八3))=-

15.已知圓臺OR的上下底面半徑分別為百和3百，若存在一個球同時與該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相

切，則該圓臺的體積為.

附：圓臺體積公式為：v=g(s上+JS±S『+S〉J/z

16.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,A3==1,P為AABC內(nèi)一點，且ZPAB=ZPBC=ZPCA=a,

則tana-.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.已知數(shù)列｛4｝是首項為2的等比數(shù)列，且應(yīng)是6%和。3的等差中項.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝的公比q〉0,設(shè)數(shù)列也｝滿足“=---------------，求也｝的前2023項和乙,3?

log2a?-log2a,i+1

18.2023年秋季，支原體肺炎在全國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人，某市醫(yī)院傳染病

科在該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人的情況，并將調(diào)查結(jié)果整理如

下：

有慢性疾病沒有慢性疾病合計

未感染支原體肺炎6080140

感染支原體肺炎402060

合計100100200

(1)是否有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)?

(2)現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，再從6人中隨機(jī)抽出4人作為醫(yī)學(xué)研

究對象并免費治療.按以往的經(jīng)驗，有慢性疾病的老人每人的研究治療費用為2萬元，沒有慢性疾病的老人每

人的研究治療費用為1萬元，記抽出的這4人產(chǎn)生的研究治療總費用為自(單位：萬元)，求自的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

附表:

P(K2")

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：K2=-------')--------(其中〃=。+匕+c+d)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如圖，在四棱錐C—ABDE中，DEL平面BCD,AB=AD=2BBD=4,DE=272.

(1)求證：AE//BCD；

(2)若BCLCD,二面角A-BC-D的正切值為2&，求直線CE與平面ABC所成角的正弦值.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=e*(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

(1)設(shè)函數(shù)/z(x)=也也，若xe(O,乃)時，/i(x)2后恒成立，求機(jī)的取值范圍;

sinx

(2)證明：/(x)與g(x)有且僅有兩條公切線，且/(x)圖象上兩切點橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

r2

21.如圖，橢圓E:—+/=1的四個頂點為A,B,C,D,過左焦點耳且斜率為左的直線交橢圓E于N

51

兩點.

(1)求四邊形A5CD的內(nèi)切圓的方程；

(2)設(shè)R(1,O),連結(jié)MR,NR并延長分別交橢圓E于尸，Q兩點，設(shè)PQ的斜率為左則是否存在常數(shù)X,

使得k=2左'恒成立？若存在,求出X的值；若不存在，說明理由.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.在直角坐標(biāo)系中，直線G的參數(shù)方程為＜(/為參數(shù)，0＜a＜一),把G繞坐標(biāo)原點逆

[y=tsina2

7T

時針旋轉(zhuǎn)為得到。2，以坐標(biāo)原點。為極點，X軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.

(1)寫出。2的極坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=8sin。，且G與G交于點A，。2與G交于點2(43與點。不重合)，

求△AOB面積的最大值.

23.已知函數(shù)/(%)=|x—4|—卜+2].

(1)若/(%)-。2+5。20恒成立，求。取值范圍；

(2)若/(x)的最大值為M,正實數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=M,求Ja+l+J/?+2+Jc+3的最大值.

2024屆南充一診理科數(shù)學(xué)參考答案

一'選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求.

題號123456789101112

選項cDCABABDBDcD

填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.114.-315.78萬16.-

------------------------2

三'解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題必考題，每

個試題考生必須作答.第22、23題為選考題，考試根據(jù)要求作答.

（一）必考題

17.解：（1），.?數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列且應(yīng)是6a2和火的等差中項

，2。4=6%+。3即=6。"+%/

整理得：2q2—"6=0

a

解得：q=2或q=_Q...............................................................................................4分

n1n

當(dāng)q=2時，an=a1-q-=2.

當(dāng)時，%=%.尸=2.(—|嚴(yán).

.?.%=2"或4=2?(—3)""(neN*).....................................................................................6分

(2):由(1)得,若q>0,an=T

]_]_]_j___1_

..............................8分

nn+i

log2an-log2an+llog22-log22〃(〃+l)n〃+l

2023=0+62T卜^2022+^2023

1111111、

—(Z1----)+(Z------)+?,,+(z---------------)+(---------------)

2232022202320232024

_112023

分

--2024-2024'...........................................................................................................12

n(ad-be)2200(60x20-80x40)2

18解:（1）.由題意得片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x100x140x60

9.524>7.8794分

21

故有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)..........5分

(2).現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，則6人中

有慢性疾病4人，無有慢性疾病2人........................................6分

再從6人中隨機(jī)抽出4人，則抽出的4人中可能有以下3種組合：

①有慢性疾病4人；此時q=8萬元

②有慢性疾病3人，無有慢性疾病1人；此時J=7萬元

③有慢性疾病2人，無有慢性疾病2人；此時J=6萬元

所以4的可能取值為8,7,6................................................................................................8分

「4io

故P(4=8)=2=百；0?=7)=專=A；=6)=C：C；_6

66虧一百

故4的分布列為：

6

487

.........................................11分

182

P

15155

則《的數(shù)學(xué)期望白+(萬元)...

E?=8x7x\+6xU............................................12分

19(1).方法一：

證明：取AD的中點E,連結(jié)4F

???AD=AB

AF±BD

???BD=4AD=26

DF=2AF=^AD2-DF2=272

?/DE±平面8co

DE±BD

DE=272

AFUDE,AF=DE

四邊形FDE4為矩形...........

AEUBD

?：AE(Z平面8coBDu平面8co

ZE〃平面BCD6分

方法二：

證明：取的中點/，連結(jié)4F

?/AD=AB=273,BD=4

AF1BD

AF=^AD'-DF2=2V2.........................................2分

DE±平面BCD,DEu平面ZADE

平面A&DE±平面8co

???AFu平面A8DE,平面ZADEA平面BCD=BD

AF±^-^BCD...................................................................

AFIIDE,AF=DE

，四邊形FOEN為矩形.......................................5分

AE//BD

???AE<z平面8coBDu平面8co

.,.ZE〃平面8co................................................................................6分

(2)取8C的中點M,連結(jié)7M.

?//BCD=90°

：.CF=FB=2,

■：AFUDE,DEL平面BCD

AF±平面8co

AF±CF

又CF=2,AF=141

:.AC=^AF2+CF2=2V3

:.AC=AB

???M為8C的中點

:.BCLMF,BCLAM

為二面角Z-8C-。的平面角

Ap1—

放ZUFA/中，tanZAMF=——=2J2

MF

:.FM=\

CD=2,BC=2438分

方法一：以C為坐標(biāo)原點，CD為x軸，C8為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

C(0,0,0),￡>(2,0,0),￡(2,0,2回，Z(l,?2揚，5(0,273,0).

CE=(2,0,272),C4=(1,V3,2V2)，CB=(0,273,0)

x+6y+2A/2Z=0

設(shè)平面NBC的法向量7=(x,y/),由=°得＜

n?CB=220=0

取z=T得：n=(272,0,-1)10分

設(shè)直線CE與平面ABC所成角為，,

-**n*CF2后>2-

貝Usin6=cos<n,CE>=——

n-CE2百x3

二.直線CE與平面48c所成角的正弦值為....................12分

9

方法二：

過C作8。的垂線交8。于女

CH±BD

?.?DEL平面BCD,Su平面BCD

DE±CH

又BDCWE=D

CH1平面ZBDE

在A5c。中，由SMC。=L5CXCD=L8DXCH,得CH=6

又S岫AE=S^)AE=2，ExDE=2A/2

??明ME=自叩XCH=gx2后Xg=半

MB=BC=CA=2V3

.?.AA8C為等邊三角形，SMBC=373

設(shè)點E到平面NBC的距離為/z,由/YBC=

故點E到平面ABC的距離為空.

.............................................11分

3

又MACDE中,DE=242,CD=2

CE=273

所以直線CE與平面NBC所成角的正弦值為—紅=逅...........

CE9

注：以下方法酌情給分

由EE〃平面4BC知，E、E到平面4BC的距離相等，如右圖，

(

取5C中點過/作FV±于N,則可證EN±平面48C,即E到平面48c的距離等于FV.

20題:(1).由丸(x)22得:到322

sinx

n;v

/.xG(0")時m>四，恒成立..................1分

ex

令(p(x)二行sinx(0<%<TT)

ex

,四(cosx-sinx).....................2分

jrjr

由(p\x)>0得：0<x<a；由9'(x)<0得：i<x<乃

9(x)在(0,工)上單調(diào)遞增；在(工，切上單調(diào)遞減

44

"OOmax=。(?)=64...........................4分

兀

所以加的取值范圍為［/7,+00)....................5分

(2).由已知/(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱

g(x)=lnx....................6分

設(shè)公切線與/(外=優(yōu)相切于點3/),與g(x)=lnx相切于點93)

由f(x)=",g'(x)=!知公切線可分別表示為：

X

y-es=es(x-5),即、=+—或yTn/=；(x7),即y=；x+ln/—l

.?.一、=：……①由①②消去/得：/(I—s)=—l—S

/(I-s)=ln/-1……②

即e%s—l)—s—1=0....................8分.......(*)

令R(x)=(x—l)ex-x-1,則F'(x)=xex-1,

顯然x<0時，F(xiàn)f(x)<0

當(dāng)x>0時，令〃(x)=F'(x)=xex-l,

〃'(x)=(x+l)ex>0,故〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

又尸(0)=—1<0,F,(l)=e-l>0

x

3x0e(0,1)使得/(%)=xoe0-1=0

.,.當(dāng)時，F(xiàn)'(x)<0,2x)單調(diào)遞減；當(dāng)x〉xo時，F(xiàn)(x)〉0,E(x)單調(diào)遞增.......10分

32

又尸(—2)=---+l>0,8(―1)=——<0；F(l)=-2<0,/⑵=/—3>0

ee

所以「(%)有且僅有兩個零點再，且再￡(-2,-1),x2€(1,2).................................11分

由下(再)=(土]—I)-'1一X]一]=0知：

F(-xJ=(-l)e』+1=區(qū)-1"*-1=。

e1

由X]€(―2,—1)知X[W—X]

一=X2即+%2=0

???/(X)與g(x)有且僅有兩條公切線，且/(X)圖像上兩切點橫坐標(biāo)互為相反數(shù)........12分

注：(*)處由①②消去/得：四=0或產(chǎn)=四

5-1S-1

或由①②消去S得："——/—1=0或Inf—3=0

t-1

再構(gòu)造函數(shù)證明，具體過程可參照文科20題(2)的解法，評分標(biāo)準(zhǔn)酌情處理

21解：(1).顯然四邊形4BCD為菱形，

故其內(nèi)切圓以。為圓心，半徑「為。到直線ZD的距離......1分

又由/(-括,0),。(0,1)得直線2。的方程為：x-5+后=0...............3分

網(wǎng)[5

故原點到直線的距離d===r................4分

Jl+5V6

故四邊形Z8CD內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.......5分

-6

(2).方法一：

由題意可知片(-2,0),故九W方程為:y=k(x+2).................................6分

設(shè)河(西,必)，N(x2,y2)

則直線的方程為：y=^^(x-l)

Xx-1

X22.

—+v=1

聯(lián)立3W：[5v"+(Xj-1)2]x2-10vfx+5yf-5xf+10x,-5=0……(*)

(D

%1-1

又加（XQ1）在橢圓E上，故1+%2=1,即5/2=5-X；

代入（*）式整理得：（3-西）、2一5必2%+51]-3x；=0................8分

顯然3-%產(chǎn)0,A>0

i%=q(%-1)=旦=^^

七一3Xj-1七一3苞-3

故-5產(chǎn)(*+2)................9分

同理：°(3*2-5,2k(％+2)；

1%-3%-3)

2左(再+2)2k(x?+2)

穴%1—3%2—32左[(%]+2)(%2—3)—(%+2)(%]—3)]

"’3再一53X-5(3再—5)(x—3)——5)(國—3)

22(3X2

X]-3x?-3

2k(5x2-5Xj)_5k

11分

4X2-4匹2

故I二生，^k=-kf

25

所以：存在常數(shù)4=2滿足題意...............12分

5^

方法二：

由題意可知下（-2,0）,故九W方程為:y=k（x+2）................6分

設(shè)M(XQJ,N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)

設(shè)贏=/淳

^-xl,-yl)=t(x3-l,y3)

1一苞=r(x-1)西+及3=1+￡

3侍:<7分

〔一％=優(yōu)劣+優(yōu)=0

"2

222

+V]2=1....①X-tx

\由①-②x/得:%二二+%272必2=172

1+4=1……②§

?（否+%）（*-%）+（%+優(yōu)）（%—佻）=1——

5

將(*)帶入上式得：(1+')(；一/)+o=172即：X「怎=5—5/..............9分

又?.?$+笈3=1+，

/.X]=3-2，，/=3—

了3=_:必=_；左(再+2)=左(2—；)

設(shè)蕨=〃匝，同理可得：

25

x4=3——,y,=k(2--)...........................10分

A;(2--)-^(2--)5^(---)

.../=匕-4[t=3左..............11分

匕一》4(3--)-(3--)2(---)2

t"tpi

故k=2￡,即左=4玄

25

所以：存在常數(shù)2=馬滿足題意................12分

5

22.解：(1).顯然G是過原點且傾斜角為0的直線..............1分

jr

G的極坐標(biāo)方程為。=。(0<a<5,peR)...............3分

。2的極坐標(biāo)方程為，=&+叁(0<&<三peR)...............