2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 章節(jié)檢測(cè)教師講解版（新高考專(zhuān)版）

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布章節(jié)檢測(cè)（基

礎(chǔ)卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（2021?安徽蕪湖市?蕪湖一中高二期中（理））三名防控新冠疫情志愿者分別報(bào)名參加

甲、乙兩個(gè)社區(qū)服務(wù)，每個(gè)人限報(bào)其中一個(gè)服務(wù)社區(qū).則不同的報(bào)法種數(shù)是（）

A.12種B.9種C.8種D.6種

【答案】C

【詳解】

由題意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2種選擇，即2種情況，則不同的報(bào)法種數(shù)是

2x2x2=8種，

故選：C.

2.（2021?防城港市防城中學(xué)）在區(qū)間［1,8］上任取一個(gè)整數(shù)x，則滿(mǎn)足inx?l的概率為

（）

.3門(mén)8-ece-1

A.—B.—C.---D.---

4477

【答案】A

【詳解】

由題意，在區(qū)間［1,8］上任取一個(gè)整數(shù)x,共有8種可能，而滿(mǎn)足lnx'1,即有3,

3

4,5,6,7,8,共6種可能，所以所求概率是:

故選：A.

3.（2021?福清龍西中學(xué)高二期中）若?展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的

（x+-）-

x

常數(shù)項(xiàng)為（）

A.10B.20C.30D.120

【答案】B

【詳解】

根據(jù)題意可得2"=64,解得〃=6,

則（x+）展開(kāi)式的通項(xiàng)為C；x6-r（-）r=C^6-2r,

XX

令6—2廠(chǎng)=0,得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為：《麥田：盤(pán)="出=20.

6{x）63x2x1

故選：B.

4.(2021?山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高二期中(理))已知X~3(10,0.5),丫=2X-8,則后⑺=

()

A.6B.2C.4D.3

【答案】B

【詳解】

由題意，隨機(jī)變量*~8(10,0.5),可得E(X)=10x0.5=5,

因?yàn)閥=2X-8,可得E(y)=2E(X)-8=2x5-8=2.

故選：B.

5.(2021?汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中)(l+x+/)(x-2)5的展開(kāi)式中v的系數(shù)為

()

A.40B.80C.-40D.-80

【答案】A

【詳解】

(1+X+X2)(X-2)5=(1+X+X2)(-2+X)5,

所以展開(kāi)式中V的系數(shù)為或(一2)2+Cl(-2)3+C；(-2)4=40-80+80=40.

故選：A

6.(2021?山東青島市?高二期中)己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10,22),則O(3X-1)=

()

A.6B.11C.12D.36

【答案】D

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布2V(W,22),

所以D(X)=22=4,

所以。(3X-1)=32￡>(X)=9X4=36,

故選：D

7.(2021?無(wú)錫市第一中學(xué)高二期中)如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤(pán)每個(gè)檔(掛珠的桿)上

有7顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任

取3顆，至多含有一顆上珠的概率為()

檔

D-7

【答案】A

【詳解】

由題意知，從一檔的7顆算珠中任取3顆，

基本事件總數(shù)〃=C；=35,

至多含有一顆上珠包含的基本事件數(shù)有m=C'2Cj+Cf=30,

所以至多含有一顆上珠的概率為：尸=2=當(dāng)=。，

幾357

故選：A

8.（2021?曲靖市沾益區(qū)第四中學(xué)高二月考（理））某電動(dòng)汽車(chē)配件生產(chǎn)廠(chǎng)生產(chǎn)1000個(gè)配件，

已知生產(chǎn)的配件的尺寸（單位：cm）指標(biāo)J服從正態(tài)分布N（100,*）,若

P（100<^<110）=0.36,則估計(jì)該批配件尺寸超過(guò)110cm的個(gè)數(shù)為（）

A.140B.180C.280D.540

【答案】A

【詳解】

由J~N（100,52）,P（100<^<110）=0.36,可得尸（J>110）=0.5—0.36=0.14,

所以估計(jì)該批配件尺寸超過(guò)110cm的個(gè)數(shù)為140.

故選：A

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.（2021?江蘇省江陰市第一中學(xué)高一月考）已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)分別為1,

2,3,4,乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,5,6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨

機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5"，事件3="抽取的兩個(gè)小

球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（）

A.事件A發(fā)生的概率為JB.事件A3發(fā)生的概率為工

22。

C.事件A5發(fā)生的概率為：2D.至少抽到一個(gè)有標(biāo)號(hào)為3的小球的概率為：2

【答案】BCD

【詳解】

由題意知，從甲罐，乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有C：C；=20個(gè)基本事件，

其中事件A包含的基本事件有：

（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共有11個(gè)基本事件；

事件B包含的基本事件有：（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共有8個(gè)基本

事件，

對(duì)于A中事件A發(fā)生的概率為尸=工，所以A不正確；

20

對(duì)于B中，由以上可得事件B是事件A的子事件，所以事件A3的概率為薪，

所以B正確；

對(duì)于C中，由事件B是事件A的子事件，所以事件A8概率為4=弓，所以C正確；

對(duì)于D中，可分為三種情況：當(dāng)甲罐中抽到3,乙罐不是3時(shí)，有C：種；當(dāng)甲罐不是3,乙

罐是3時(shí)，有C；；當(dāng)甲罐抽到3且乙罐也是3時(shí)，有1種，所以至少抽到一個(gè)有標(biāo)號(hào)為3

的小球的概率為"=<+<+1=2,所以D正確.

205

故選：BCD.

10.（2021?福清龍西中學(xué)高二期中）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州

亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的

是（）

A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為54

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為用C：

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方

法數(shù)為（c；c；+c；c；）可

D.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝

任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是M

【答案】ABC

【詳解】

解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為4',即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為點(diǎn)4=240#&C：,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法

數(shù)為（爭(zhēng)+竽）用，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

④每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任

四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C；C：A；+C；M，即選項(xiàng)D正確，

綜合①②③④得：選項(xiàng)D正確，

故選：ABC

11.(2021?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué))若隨機(jī)變量x~N(O,l),(p(x)=P^<x),其中x>0,下列

等式成立的有()

A.P(周<尤)=1-20(尤)B.0(2x)=20(x)

C.(p{-x)=\-(p{x)D.尸(|4>無(wú))=2-20(%)

【答案】CD

【詳解】

因?yàn)榕玿)=PC?x),

因?yàn)榕玿)=P(q,,x),所以Pe<-x)=P(J>x)=l-e(X),

P(|^\<x)=l-2(l-<p(x))=2(p{x}-1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

夕(2x)=PC,,2x),2w(x)=2P4,x),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，。(-x)=1-o(x),故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)镻C<-x)=PC>x)=l”(無(wú))，所以尸(|目>勸=2-2夕⑶，故選項(xiàng)D正確.

故選：CD

12.(2021?山東高二其他模擬)下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互

相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻

璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，

最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為1,2,3,……，6,用X表示小球落入

格子的號(hào)碼，則()

C.P(X=3)=P(X=4)=《3

D.D(X)=-

【答案】BC

【詳解】

設(shè)y=x—1,依題意，Y~B

所以p（x=i）=p（x=6）=p（y=o）=c；

5

p(X=2)=P(X=5)=P(y=l)=C'

32

5

尸(X=3)=尸(X=4)=P(y=2)=C：D(X)=D(Y)=5x

故選：BC.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分,

第二空3分。）

13.（2021?陜西高二期末（文））某中學(xué)開(kāi)展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識(shí)，弘揚(yáng)憲法精神”的知

識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲同學(xué)答對(duì)第一道題的概率為芻，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為：，用事件A表示

“甲同學(xué)答對(duì)第一道題”，事件B表示“甲同學(xué)答對(duì)第二道題”，則尸（8|A）=.

【答案】43

【詳解】

由已知可知：P（AB）=1,

3

故答案為：—

4

14.（2021?湖南高一期末）2021年湖南新高考實(shí)行“3+1+2模式”，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必

選，物理與歷史2選1,政治、地理、化學(xué)和生物4選2,共有12種選課模式.今年高一小

明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治，假設(shè)他們都對(duì)后面三科沒(méi)有偏好，則他們選課相同的概率為

【答案】|

【詳解】

今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治，假若他們都對(duì)后面三科沒(méi)有偏好,

則基本事件有

（地，地），（地，化），（地，生），

（化，地），（化，化），（化，生），

（生，地），（生，化），（生，生）共9個(gè)，

他們選課相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有3個(gè)，

所以他們選課相同的概率]=].

故答案為：g.

15.（2021?天津?yàn)I海新區(qū)?紫云中學(xué)高二期中）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)

數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，而7與8不相鄰，則這樣的八位數(shù)共有

個(gè).

【答案】1920

【詳解】

先將1和2捆綁，3和4捆綁，然后與5、6全排列，再將7和8插空，

所以所有的符合題意的八位數(shù)有=1920.

故答案為：1920

16.（2021?浙江效實(shí)中學(xué)高二期中）袋中有黑球和白球共7個(gè)球，已知從中任取2個(gè)球都

是白球的概率為;.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球（甲先），每次摸出1球且不放回，直

到摸出白球?yàn)橹?則袋中原有白球的個(gè)數(shù)為,甲摸到白球而終止的概率為.

22

【答案】3天

【詳解】

從袋中任取兩球的試驗(yàn)有C；個(gè)基本事件，它們等可能，設(shè)袋中有〃個(gè)白球，則取出兩個(gè)白

球的事件有C；個(gè)基本事件，

于是得太=皆尸=亍，解得〃=3,

所以袋中原有白球的個(gè)數(shù)為3；

甲摸到白球終止的事件/是甲第一次摸到白球、第三次摸到白球、第五次摸到白球的事件的

和，它們互斥，

3433432122

P（A）=—H-----------1----------------1=—,

7765765435

22

所以甲摸到白球而終止的概率為百.

22

故答案為：3；—

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解

答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17.(2021?福清西山學(xué)校高二期中)已知

(1+2%—%2)*57—CLQ+ClyX+a?/++*

(1)求UQ+%+Cl?++〃14；

(2)%++%++113"

【答案】(1)128；(2)128.

【詳解】

⑴令x=l,則戊+劭+石2H-----I■國(guó)4=27=128?

1

(2)令*=-1,則%—囪+4―&+…一a13+&4=(—2)=-128.

結(jié)合(1)得：2(@+續(xù)+…+加)=256,

女1+&+35+，?，+313=128.

18.(2021?廣東肇慶?高二期末)《全民健身計(jì)劃》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《計(jì)劃》)每五年一規(guī)劃，就

今后一個(gè)時(shí)期深化體育改革、發(fā)展群眾體育、倡導(dǎo)全民健身新時(shí)尚，推進(jìn)健康中國(guó)建設(shè)作出

部署.《計(jì)劃》要求，各地要加強(qiáng)對(duì)全民健身事業(yè)的組織領(lǐng)導(dǎo)，建立完善實(shí)施全民健身計(jì)劃

的組織領(lǐng)導(dǎo)協(xié)調(diào)機(jī)制，要把全民健身公共服務(wù)體系建設(shè)擺在重要位置，納入當(dāng)?shù)貒?guó)民經(jīng)濟(jì)和

社會(huì)發(fā)展規(guī)劃及基本公共服務(wù)發(fā)展規(guī)劃，把相關(guān)重點(diǎn)工作納入政府年度民生實(shí)事并加以推進(jìn)

和考核.某單位響應(yīng)《計(jì)劃》精神，為緩解員工的精神壓力與身體壓力、提升工作效率，在辦

公樓內(nèi)設(shè)置了專(zhuān)業(yè)的員工健身房，要求員工每周在健身房鍛煉120分鐘以上，并規(guī)定周鍛煉

時(shí)長(zhǎng)不少于145分鐘為“優(yōu)秀健康工作者”，給予獎(jiǎng)勵(lì).該單位分為A5兩個(gè)員工數(shù)相等的部

門(mén)，現(xiàn)從兩部門(mén)中各隨機(jī)抽取10名員工，統(tǒng)計(jì)得到員工在健身房的周鍛煉時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)，

得到如下莖葉圖.

AB

2399

827

4210014568

21159

(1)計(jì)算這兩組數(shù)的平均數(shù)，比較哪個(gè)部門(mén)的平均健身時(shí)間更長(zhǎng)？

(2)用這20名員工的周鍛煉時(shí)長(zhǎng)估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該單位員工中隨機(jī)抽取3

人，記其中“優(yōu)秀健康工作者”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望及方差.

一一Q

【答案】（1）4=141（分鐘），/=137（分鐘），A部門(mén)的平均健身時(shí)間更長(zhǎng)；（2）E（X）=—,

D（X）=—.

''100

【詳解】

解：（l）A,8兩部門(mén)10名員工的周鍛煉時(shí)長(zhǎng)平均數(shù)分別為

—128+134+138+140x2+141+142+144+151+152

4=-----------------------------------------------------------------=141（分鐘）,

—122+123+129x2+132+137+145+146+148+159

xB=-----------------------------------------------------------------=137（分鐘），

故A部門(mén)的平均健身時(shí)間更長(zhǎng).

（2）由莖葉圖，知20名員工中共有6人為“優(yōu)秀健康工作者”，

將頻率視為概率，從單位隨機(jī)抽取I人是“優(yōu)秀健康工作者”的概率為本.

則x-力高

所以E（X）=3X2=2,D（X）=3x—X—=—

''10IOv7IOIO100

19.（2021?福建三明?高三其他模擬）為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作

組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路.該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的

交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類(lèi)別的機(jī)動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，

得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（I）試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速（同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

（2）設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車(chē)的行車(chē)速度v服從正態(tài)分布其中〃，/分別取自該調(diào)查

樣本中機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速和車(chē)速的方差52（經(jīng)計(jì)算$2=210.25）.

（i）請(qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)（精確到個(gè)位）：

（ii）現(xiàn)從經(jīng)過(guò)該公路的機(jī)動(dòng)車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車(chē)速低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)為X,

求X的數(shù)學(xué)期望.

附注：若。~N(〃,cr2),貝！|尸(〃—b<jw〃+cr)=0.6827,P(〃-2b<44〃+2b)=0.9545,

尸(〃一3。<JW〃+3b)=0.9973.參考數(shù)據(jù)：29?=841.

【答案】(1)70.5千米/時(shí)；(2)(i)1587輛，(ii)E(X)=8.4135.

【詳解】

(1)由圖知：v=(45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0.01)x10=70.5

千米/時(shí).

.,.這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速為70.5千米/時(shí).

(2)由(1)及題設(shè)知：vW0.5,210.25),則〃=70.5,。=14.5,

=0]5865,

(i)P(v>85)=P(v>^+er)=1-0+

.,.10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)10000x0.1586571587輛.

（ii）由（2）知：車(chē)速低于85千米/時(shí)的概率為尸=1-0.15865=0.84135,故

X5（10,0.84135）,

/.E(X)=10x0.84135=8.4135.

20.（2021?無(wú)錫市第一中學(xué)高二期中）某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，進(jìn)入決賽的條

件為：先參加初賽，初賽時(shí)，電腦隨機(jī)產(chǎn)生5道數(shù)學(xué)文化試題，能夠正確解答3道及以上的

參賽者進(jìn)入決賽.若學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為：

（1）求甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率；

（2）進(jìn)入決賽后，采用積分淘汰制，規(guī)則是：參賽者初始分為零分，電腦隨機(jī)抽取4道不

同的數(shù)學(xué)文化試題，每道試題解答正確加20分，錯(cuò)誤減10分，由于難度增加，甲正確解答

每道試題的概率變?yōu)?，求甲在決賽中積分1的概率分布，并求數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）下；（2）概率分布見(jiàn)詳解，E（X）=0

243

【詳解】

⑴甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率為P=C：.前出嘿；

（2）甲正確作答0,1,2,3題時(shí)獲得的積分分別為T(mén)O,-10,20,50,80,

16

P(X=-40)

81

32

P(X=-10)=C：

81

224__8_

P(X=20)=C；

81-27

41

P(X=80)

-81

故積分對(duì)應(yīng)的分布列為:

X-40-10205080

1632881

P

8181278181

16q?QQi

故決賽對(duì)應(yīng)積分的數(shù)學(xué)期望為E（X）=-40x”+（_10）x7T+20X《7+50XS+80X^7=0

olol27olol

21.（2021?重慶市第七中學(xué)校高三月考）為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出（單位：百元）

的情況，相關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取了某大學(xué)的1000名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下

所示的頻數(shù)分布表：

組另U[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)22504502908

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布N（51,152）.若該所

大學(xué)共有學(xué)生65000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；

（2）己知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在［80,100］范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生,

現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪(fǎng)，記選出的男生人數(shù)為y.求y的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：若X,貝（I尸（〃一cr<X<〃+cr）=0.6826,尸（〃一2b<X<〃+2<r）=0.9544,

P（〃一3cr<X<〃+3cr）=0.9973.

9

【答案】（1）1482;（2）分布列為見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為?1.

O

【詳解】

（1）由題意得：〃=51,b=15,，+2b=81,根據(jù)正態(tài)分布的公式得至I］：

,、1-P(U-2(T<X<U+2<T}1-0,9544

P(x2〃+2b)=——--------——--------=—-=0.0228,

再乘以總數(shù)得到結(jié)果0.0228X65000=1482.

估計(jì)有1482位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上

（2）F的可能取值為0,1,2,3.

p(y=o)="5

28

p(y=l)=l^=1125

'7Cl28

pa=2)=c2?rl15

56

P(丫=3)=裊$

C8JO

y的分布列為:

Y0123

515151

P

282856