八年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 第06課 勾股定理（原卷版+解析）

第06課勾股定理

號目標導(dǎo)航

課程標準

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條

邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題.

趣:知識精講

知識點01勾股定理

直角三角形兩直角邊的等于斜邊的.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜

邊長為c,那么_______________.

勾：直角三角形較短的直角邊

股：直角三角形較長的直角邊

弦：斜邊

注意：

(1)勾股定理揭示了一個直角三角形之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

知識點02勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.

下圖中：

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.

方法三：下圖所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

知識點03勾股定理的作用

(1)已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊;

(2)用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

(3)利用勾股定理，作出長為6的線段.

Q能力拓展

考法01勾股定理的理解

【典例1］已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為()

A.12B.7+#jC.12或7+4D.以上都不對

【即學(xué)即練】如圖,一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面1米處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量

AB=2m,則樹高為()米

C

A.75B.73C.>/5+1D.3

考法02勾股定理證明的理解

【典例2】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽

弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,

較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為()

A.9B.6C.4D.3

【即學(xué)即練】如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓

方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如

圖所示，如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的短直角邊為a,較長直角邊為b,

那么（a+b＞的值為（）

【即學(xué)即練】如圖，"趙爽弦圖"由4個全等的直角三角形所圍成，在RtZXABC中，AC=b,BC=a,,若

圖中大正方形的面積為42,小正方形的面積為5,求（a+6）2的值.

考法03數(shù)軸上畫無理數(shù)

【典例3】如圖，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為。，貝壯的值為（）

A.-1-75B.1-75C.-75D.-1+75

【即學(xué)即練】如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a,則a的值是（）

A.75+1B.V5-1C.-V5+1D.-6-1

考法04勾股定理的簡單應(yīng)用

【典例4】如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZZ）=90°,AB=BC=2,CD=1,求AO的長.

【即學(xué)即練】在AABC中，A8=15,BC=14,AC=13,求AABC的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.

RDC

【即學(xué)即練】如圖，一架梯子長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米.

⑴這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？

【即學(xué)即練】（古代數(shù)學(xué)問題）印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過"荷花問題"，該問題是：“平平湖

水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；"漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能

算諸君請解題，湖水如何知深淺？"請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個問題.

【即學(xué)即練】在AABC中，AB=10,AC=2a6,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于（）

A.10B.8C.6或10D.8或10

【即學(xué)即練】在R5ABC中，ZC=90°,若AC+BC=14cm,則R3A3C的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

考法05折疊與勾股定理

【典例5】如圖，把長方形沿AE對折后點。落在BC邊的點尸處，BC=5cm,AB=4c〃z,

求：（1）CP的長；（2）EF的長.

【即學(xué)即練】如圖，已知長方形ABC。中，AB=Scm,BC=Wcm,在邊C￡）上取一點E,將△ADE折疊使

點。恰好落在2C邊上的點E求斯的長.

考法06勾股定理與最短路徑

【典例6】如圖，長方體的長為15寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體

的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是（）

D.32

【即學(xué)即練】如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點繞到正上方8點共四圈，已知易拉罐底面

周長是12cm,高是20cm,那么所需彩帶最短的是（）

A.13cmB.4^/61cmC.4^/34cmD.52cm

【即學(xué)即練】如圖所示，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角

C處捕食，則它爬行的最短距離是（）

3J4+儲

A.3Jl+7CB.3A/2cD.3J1+后

?2

【即學(xué)即練】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一些蜂蜜,

此時一只螞蟻正好也在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，那么螞蟻要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的

14C.15D.16

底面半徑為9cm,一只螞蟻從點A沿圓柱外壁爬到點B處吃食，要

【即學(xué)即練】如圖,圓柱的高為8cm,

71

爬行的最短路程是（

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【即學(xué)即練】如圖,將一根25cm長的細木棒放入長、寬、高分別為8cm、6cm和1073cm的長方體無蓋盒

子中，求細木棒露在盒外面的最短長度是多少？

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.等腰三角形的底邊和腰長分別是10和12,則底邊上的高是（）

A.13B.8C.2西D.7119

2.我國是最早了解勾股定理的國家之一.下面四幅圖中，不能用來證明勾股定理的是（）

A.1B.43C.2D.75

4.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

5.如圖，矩形OABC的邊OA長為2,邊AB長為1,OA在數(shù)軸上，以原點。為圓心，對角線OB的長為半

徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）

A.25B.2.72C.6D.6

6.如圖，一只螞蟻從長、寬都是4,高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線

B.10C.4&D.2折

7.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它

落在斜邊上，且與AE重合，則CO等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

8.如圖，已知ABCD是長方形紙片，CD=3,在CD上存在一點E,沿直線AE將，AED折疊，D恰好落在

BC邊上的點F處，MS^AFB=6,貝l|_AED的面積是（）.

題組B能力提升練

9.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.

10.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼制成一個大

正方形（如下圖），設(shè)勾a=3,弦c=5,則小正方形ABCD的面積是

11.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm,3dm,2dm,A和8是這個臺階兩個相對

的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是

__________dm.

A20

R

12.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一

只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm.

螞蟻.4

C理蜜

13.在AABC中，AB=J/,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為.

14.在平面直角坐標系中，若點M(l,3)與點N(x,3)之間的距離是5,則x的值是.

15.如圖，一只螞蟻從長、寬都是6,高是16的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到3點，那么它所爬行的最短

路線的長為.

題組C培優(yōu)拔尖練

16.如圖，把長方形紙片ABCD沿E尸折疊，使點B落在邊AD上的點8'處，點A落在點A處.

4,

4

⑴試說明3￡=如；

(2)設(shè)AE=a,AB=b,BF=c,試猜想。，b,c之間的關(guān)系，并說明理由.

17.己知：如圖，在AABC中，ZC=90°,。為AB的中點，E、尸分別在AC、BC±,且ED_LFD于。.

求證：AE-+BF1=EF2.

18.如圖，AAOB,ACOD是等腰直角三角形，點D在AB上,

⑴求證：AAOC^ABOD；

(2)若AD=3,BD=1,求CD.

19.如圖，在一.A5c中，，AB=AC,點。是BC上一動點、連接AD,過點A作AE,AD,并且始終保持

AE=AD,連接CE,

⑴求證：ABD=,ACE；

⑵若A尸平分ND4E交BC于尸，

①探究線段BO,DF,FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

②若BD=3,CF=4,求的長，

20.如圖，公路MN和公路尸。在點尸處交會，公路尸。上點A處有學(xué)校，點A到公路MN的距離為80m,

現(xiàn)有一拖拉機在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行駛，拖拉機行駛時周圍100m以內(nèi)都會受到噪音

的影響，試問該校受影響的時間為多長？

第06課勾股定理

e目標導(dǎo)航

課程標準

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條

邊長求出第三條邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題.

隕知識精講

知識點01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,

斜邊長為c,那么/+〃=02.

弦

a勾

A------------cC

〃股

勾：直角三角形較短的直角邊

股：直角三角形較長的直角邊

弦：斜邊

注意：

(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程

求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c1—b1,b2=c~—a2,c~=(?+/?)"—lab.

知識點02勾股定理的適F

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.

下圖中：

c_cj_1,化間可證；

十D小正方形一D太正方略4X14Z?+S-a)2二片

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.

joIc_c4x_cib+(b—a)2—c~

下圖中：4~十》正方形EFGH-》正方形ABCD,2,化簡可證

方法三：下圖所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

S梯形=g(a+Z?)?(a+6)-S梯形=2sA+SAABE=2?g"+g，，化簡得證；

知識點03勾股定理的作用

(1)已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

(2)用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

(3)利用勾股定理，作出長為新的線段.

a能力拓展

考法01勾股定理的理解

【典例1】已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為()

A.12B.7+幣C.12或7+夕D.以上都不對

【答案】C

【解析】

【詳解】

設(shè)RtAABC的第三邊長為X,①當4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，由勾股定理得，

X=V32+42=5.此時這個三角形的周長=3+4+5=12；②當4為直角三角形的斜邊時，x為直

角邊，由勾股定理得，x=行導(dǎo)=近，此時這個三角形的周長=3+4+旨=7+?.故選C

【即學(xué)即練】如圖,一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面1米處折斷，樹尖B恰好碰到

地面,經(jīng)測量AB=2m,則樹高為()米

C

A.75B.>/3C.75+1D.3

【答案】C

【解析】

【詳解】

由題意可知，AC=1,AB=2,ZCAB=90°

據(jù)勾股定理則BC=AC-+AB2=A/12+22=&m；

.?.AC+BC=(l+75)m.

答:樹高為(1+君)米.

故選C.

考法02勾股定理證明的理解

【典例2】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如

圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)

直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正

方形的邊長為（)

A.9B.6C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

已知ab=8可求出四個三角形的面積，用大正方形面積減去四個三角形的面積得到小正方形

的面積，根據(jù)面積利用算術(shù)平方根求小正方形的邊長.

【詳解】

每一個直角三角形的面積為Jab='x8=4,

22

4x—ab+（a-b）2=25,

2

.-.（a-b）2=25-16=9,

「.a—b=3,

故選D.

【點睛】

本題考查勾股定理的推導(dǎo)，有較多變形題，解題的關(guān)鍵是找出圖形間面積關(guān)系，同時熟練運

用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【即學(xué)即練】如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家

趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》）,它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小

正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,

直角三角形的短直角邊為a,較長直角邊為b,那么（a+b）2的值為（）

A.13B.19C.25D.169

【答案】C

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13,4xgab=13-1=12,即2ab=12,則（a+b）、

/+2必+/=13+12=25,故選C.

考點：勾股定理的證明；數(shù)學(xué)建模思想；構(gòu)造法；等腰三角形與直角三角形.

【即學(xué)即練】如圖，"趙爽弦圖"由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt^ABC中，AC=b,

BC=a,,若圖中大正方形的面積為42,小正方形的面積為5,求①+力？的值.

【答案】（0+行=79

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可求出S-。）2=5,2ab=37,然后根據(jù)完全平

方公式的變形即可求出結(jié)論.

【詳解】

解:小正方形面積=S-a）2=5

4個小直角三角形的面積=4x；必=42-5

2ab=37

（a+6）2=（b-dy+4ab=5+2x37=79

【點睛】

此題考查的是全等三角形的性質(zhì)和完全平方公式的變形，掌握全等三角形的性質(zhì)、正方形的

面積公式、三角形的面積公式和完全平方公式的變形是解決此題的關(guān)鍵.

考法03數(shù)軸上畫無理數(shù)

【典例3】如圖，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為。，貝I"的值為（）

A.-1-qB.1-^/5C.-75D.一1+6

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)勾股定理得出圓弧的半徑，然后得出點A的坐標.

【詳解】

解：A/12+22=A/5

...由圖可知：點A所表示的數(shù)為：-1-75

故選：A

【點睛】

本題主要考查的就是數(shù)軸上點所表示的數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.解決這個問題的關(guān)鍵就是求出斜邊

的長度.在數(shù)軸上兩點之間的距離是指兩點所表示的數(shù)的差的絕對值.

【即學(xué)即練】如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a,則a的值是（）

A.75+1B.75-1C.-6+1D.-y/5-l

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題解析：由勾股定理得：爐百=點，

數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是君-1.

a=A/5-1；

故選B.

考法04勾股定理的簡單應(yīng)用

【典例4】如圖，在四邊形48cp中，ZB=ZD=90°,AB=BC=2,CD=1,求的長.

【答案】AD=近.

【解析】

【分析】

連接AC.在RtAABC中，由勾股定理求出AC?.在RtaAOC中，由勾股定理求出AD的長

即可.

【詳解】

連接AC.

■：AB=BC^2,：.AC2=8.

ZD=90°,/.AD2=AC2-CD1.

'：CD=1,：.AD2=7,/.AD=V7.

【點睛】

本題考查了勾股定理.熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】在AA8C中，AB=15,BC=14,AC=13,求AABC的面積.

某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程.

RDC

【答案】84.

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)題意利用勾股定理表示出AD2的值，進而得出等式求出答案.

試題解析：作于

RD

如圖所示：設(shè)3￡>=x,則CD=14-%.

在Rt"8D中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-%2,

在RtAAC。中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2=132-(14-X)\

.?.152-X2=132-(14-^)\

解之得：x=9.

:.AD=12.

=|BC-AD=)X14X12=84.

【即學(xué)即練】如圖，一架梯子AB長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米.

(1)這個梯子的頂端距地面有多高？

(2)如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？

【答案】⑴12米；⑵

【解析】

【分析】

⑴利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度.

⑵由⑴可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次

使用勾股定理，己知梯子的底端距離墻的距離為5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行

的距離.

【詳解】

解：(1)根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO/ABjB?=“3—2=12(米);

答：這個梯子的頂端距地面有12米高；

⑵梯子下滑了1米即梯子距離地面的高度為0A，=12-5=7(米)，根據(jù)勾股定理：0B，=

7A'B'2-G!A'2=A/132-72=2V30(米)，

/.BB,=OB,-06=(2730-5)米

答：當梯子的頂端下滑1米時，梯子的底端水平后移了(2回-5)米.

【點睛】

本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中正確的使用勾股定理求0B，的長度是解題

的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】（古代數(shù)學(xué)問題）印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過"荷花問題"，該問

題是："平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；"漁人觀看

忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？"請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答

這個問題.

【答案】水深3.75尺.

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條

件求解.

【詳解】

解：設(shè)水深x尺，則荷花莖的長度為x+0.5,

根據(jù)勾股定理得：（X+0.5）2=X2+4

解得：x=3.75.

答：湖水深3.75尺.

【點睛】

本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出題中各個量之間的關(guān)系，建立等式進行求解.

【即學(xué)即練】在AABC中，AB=10,AC=2&LBC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于（）

A.10B.8C.6或10D.8或10

【答案】C

【解析】

【詳解】

分兩種情況：

在圖①中，由勾股定理，得

CD=yjAC2-AD2=7（2A/10）2-62=2；

BC=BD+CD=8+2=10.

在圖②中，由勾股定理，得

CD=VAC2-AD2=7（2A/W）2-62=2；

BC=BD-CD=8-2=6.

故選C.

A

【即學(xué)即練】在R54BC中，ZC=90°,若AC+BC=74cm，AB=Wcm,則Rt^ABC的面積是

()

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100,根據(jù)完全平方公式求出2AC?BC=96,得到|AC?BC=24,

得到答案.

【詳解】

,?ZC=90°,

.-.AC2+BC2=AB2=100,

VAC+BC=14,

.?.(AC+BC)2=196,

即AC2+BC2+2AC?BC=196,

2AC?BC=96,

《AC?BC=24,即RtAABC的面積是24cm2,

故選：A.

【點睛】

此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜

邊長為C,那么水+b2=c2.

考法05折疊與勾股定理

【典例5】如圖，把長方形沿AE對折后點。落在8c邊的點尸處，BC=5cm,

求：(1)C「的長；(2)所的長.

【答案】⑴2cTH；(2)2.5cm

【解析】

【分析】

⑴由折疊的性質(zhì)可得AP=AD在RAlBF中根據(jù)勾股定理可求得即7的長，mCF=BC-BF

即可求得答案；

⑵在放ACE/中，設(shè)EF=xcm,則CE=(4-X)CMJ,根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可.

【詳解】

解：⑴：四邊形A8CO是長方形，

：.CD=AB=4,AD=BC=5、/慶NC=90°,

:長方形沿AE對折后點n落在BC邊的尸處，

AADE^AAFE,

：.DE=EF,AF=AD=5

在RfAABB中，有AB2+B產(chǎn)=A產(chǎn)，

BF=^AF--AB-=3,

CF=BC-BF=2；

(2)由⑴知：8C=4￡>=5、DE=EF

在Rt4CEF中,設(shè)EF=xm,則CE=(4-x)m

由勾股定理得：CF2+CE2=EF2

22+(4-x)2=x2,解得x=2.5,

即：EF=2.5cm

【點睛】

本題考查了翻折變換及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是把相關(guān)的量轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中,

利用勾股定理求解.

【即學(xué)即練】如圖，已知長方形ABC。中，AB=8cm,BC=Wcm,在邊C￡>上取一點E,

將△AOE折疊使點。恰好落在BC邊上的點F,求EF的長.

【答案】5cm

【解析】

【分析】

先根據(jù)折疊求出AF=10,進而用勾股定理求出8尸，即可求出CR最后用勾股定理即可得

出結(jié)論.

【詳解】

解：?..四邊形ABCO是矩形，

.\AD=BC=10cm,CD—AB=8cmf

由折疊可知：RtAADE^RtAAFE,

ZAFE=90°,AF=10cm,EF=DE,

設(shè)EF=xcm,則DE=EF=xcm,CE=CD-CE=（8-x）cm,

在RtZ\A3尸中，由勾股定理得：AB^BF^AF2,

即82+BF2=102,

BF=6cm,

:?CF=BC-BF=1Q-6=4（cm）,

在Rtz\EC尸中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2,

即x2=（8-X）2+42,

.\x=5

即：EF的長為5cm.

【點睛】

本題考查勾股定理、圖形的翻折變換、全等三角形，方程思想等知識點，關(guān)鍵是熟練掌握勾

股定理，運用方程求解.

考法06勾股定理與最短路徑

【典例6】如圖，長方體的長為15寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如

果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是（）

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題解析：將長方體展開，連接A、B,

根據(jù)兩點之間線段最短，

⑴如圖，BD=10+5=15,AD=20,

、

%

A

由勾股定理得：AB=.

(2)如圖,BC=5,AC=20+10=30,

⑶只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖:

.,.BD=CD+BC=20+5=25,AD=10,

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：

；.AB=；

由于25<5729<5737,

故選B

【即學(xué)即練】如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點繞到正上方B點共四圈,

已知易拉罐底面周長是12cm,高是20cm,那么所需彩帶最短的是（）

A.13cmB.476?cmC.4734cmD.52cm

【答案】D

【解析】

【分析】

本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，"化曲面為平面”，用勾股定理解決..要求彩帶的長，需

將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)"兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，借助于勾股定

理.

【詳解】

如圖，

由圖可知，彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達頂端的B處，將易拉罐表面切開

展開呈長方形，則螺旋線長為四個長方形并排后的長方形的對角線長，設(shè)彩帶最短長度為

xcm,

：?易拉罐底面周長是12cm,高是20cm,

X2=(12X4)2+202X2=(12X4)2+202,

所以彩帶最短是52cm.

故選D.

【點睛】

本題考查了平面展開一最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱

底面周長，高等于圓柱的高，

【即學(xué)即練】如圖所示，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓

柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是()

A.35/177B.3后c.3"，D.3&+川

【答案】C

【解析】

【詳解】

分析：要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定

理即可求解.

詳解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長.

在RtAADC中，ZADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長，AD=1.5n,

3?4+兀

所以AC=

2

故選C.

點睛：本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾

股定理解答.

【即學(xué)即練】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點C

處有一些蜂蜜，此時一只螞蟻正好也在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，那么

螞蟻要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距離是（）

螞蚊.4

C睢蜜

【答案】C

【解析】

【分析】

如圖：過C作CQLEF于Q,作A關(guān)于EH的對稱點/V,連接A（交EH于P,連接AP,則

AP+PC就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出AQ,CQ,根據(jù)勾股定理求出A，C即可.

【詳解】

如圖：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH,

過C作CCUEF于Q,作A關(guān)于EH的對稱點AT連接A，C交EH于P,連接AP,則AP+PC

就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，

；AE=A'E,A'P=AP,

.*.AP+PC=A'P+PC=A'C,

*.*CQ=—xl8cm=9cm,A/Q=12cm-4cm+4cm=12cm,

在RtaAQC中，由勾股定理得：AZC=7122+92=15cm,

【點睛】

本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，找出最短路線是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】如圖，圓柱的高為8cm,底面半徑為9cm,一只螞蟻從點A沿圓柱外壁爬到

71

點8處吃食，要爬行的最短路程是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

這種求最短的一般都是空間想象，把圓柱體展開成平面的矩形.這個矩形長為底面周長，寬為

圓柱體的高.兩點之間直線最短.所以展開后畫圖連接AB,然后根據(jù)勾股定理，即可得解.

【詳解】

底面圓周長為2%—=12cm,底面半圓弧長為6cm,

71

展開圖如圖所示，連接AB,

VBC=8cm,AC=6cm,

AB=VAC2+BC2=A/62+82=10

故選C.

【點睛】

此題主要考查勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是把空間圖展開.

【即學(xué)即練】如圖，將一根25cm長的細木棒放入長、寬、高分別為8cm、6cm和106cm的

長方體無蓋盒子中，求細木棒露在盒外面的最短長度是多少？

【答案】5cm

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出盒子的對角線長即可.

【詳解】

盒子底面的對角線長為+8?=10cm,

盒子的對角線長為，IO?+（10/『=20cm,

則細木棒露在盒外面的最短長度是25-20=5cm.

【點睛】

本題考點：勾股定理的應(yīng)用.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.等腰三角形的底邊和腰長分別是10和12,則底邊上的高是（）

A.13B.8C.2^/34D.7119

【答案】D

【解析】

【分析】

先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長度.

【詳解】

解：作底邊上的高并設(shè)此高的長度為X,

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得高線平分底邊，

根據(jù)勾股定理得：52+x2=122,

解得x=VH?

【點睛】

本題考點：等腰三角形底邊上高的性質(zhì)和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊

的中垂線.然后根據(jù)勾股定理即可求出底邊上高的長度.

2.我國是最早了解勾股定理的國家之一.下面四幅圖中，不能用來證明勾股定理的是()

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)A、B、C、D各圖形結(jié)合勾股定理一一判斷可得答案.

【詳解】

解:A、有三個直角三角形，其面積分別為;ab,；ab和;

還可以理解為一個直角梯形，其面積為:(a+b)(a+b),由圖形可知：

一(a+b)(a+b)=—abn—abH—c2,

2222

整理得:(a+b)=2ab+c,a+b+2ab=2ab+c,a+b=c

能證明勾股定理；

B、中間正方形的面積=c，中間正方形的面積=(a+b>4x；xab=a+b,

a+b=c，能證明勾股定理；

C、不能利用圖形面積證明勾股定理，它是對完全平方公式的說明.

D、大正方形的面積=c,大正方形的面積=(b-a)+4x；xab=a+b?

a+b=c，能證明勾股定理；

故選C.

【點睛】

本題主要考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來證明勾股定理.

3.在R3ABC中，/B=90。，BC=l,AC=2,則AB的長是()

A.1B.73C.2D.V5

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

2

AB=JAC-BC2=J2T=5

故選B.

【點睛】

本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出AC的長，再利用平移的知識即可得出地毯的長度.

【詳解】

在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

'-AC=7A52-BC2=4米，

可得地毯長度=aC+BC=7米，

故選D

【點睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)

鍵.

5.如圖，矩形。ABC的邊0A長為2,邊AB長為1,OA在數(shù)軸上，以原點。為圓心，對角

線OB的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）

A.25B.2>/2C.D.石

【答案】D

【解析】

【分析】

本題利用實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及直角三角形三邊的關(guān)系（勾股定理）解答即可.

【詳解】

由勾股定理可知，

?.?0B=6+12=6,

...這個點表示的實數(shù)是右.

故選D.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用和如何在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)的方法，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)

勾股定理求出0B的長.

6.如圖，一只螞蟻從長、寬都是4,高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它

所行的最短路線的長是（）

f

A.9B.10C.472D.2717

【答案】B

【解析】

【詳解】

如圖（1）,AB=J42+（6+4）2

如圖(2),AB=收+(4+4)2==I。.

故選B.

圖⑴

7.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿直

線AO折疊，使它落在斜邊上，且與AE重合，則C￡）等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)翻折的性質(zhì)可知：AC=AE=6,CD=DE,設(shè)CD=DE=x,在RSDEB中利用勾股定理解

決.

【詳解】

解：在RtAABC中，

VAC=6,BC=8,

?"?AB=7AC2+BC2=V62+82二I。，

△ADE是由AACD翻折，

；.AC=AE=6,EB=AB-AE=10-6=4,

設(shè)CD=DE=x,

在RtADEB中,

DE2+EB2=DB2^

：.x2+42=（8-x）\

.*.x=3,

ACD=3.

故答案為：B.

【點睛】

本題考查翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用翻折不變性是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想去思

考問題.

8.如圖，已知ABCD是長方形紙片，CD=3,在CD上存在一點E,沿直線AE將..AED折

疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且以AFB=6,貝Ij的面積是().

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)面積求出BF、AF、CF,設(shè)DE為X,列方程求出即可.

【詳解】

解：ABCD是長方形紙片，

；.AB=CD=3,

S^AFB=\ABBF,

/.6=-x3BF,

2

；.BF=4,

22

.,.AF=VAB+BF=5>

；.AF=AD=BC=5,CF=1,

設(shè)DE為x,EF=DE=x,EC=3-x,

x2=(3-x)2+l,

解得，X=I，

SAAED===

故選：B.

【點睛】

本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程.

題組B能力提升練

9.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.

【答案】5或?qū)?/p>

【解析】

【詳解】

試題分析：己知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊,因此分兩種情況討論：

①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：乒?=々；

②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為："了=5；

...第三邊的長為：近或5.

考點：L勾股定理；2.分類思想的應(yīng)用.

10.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方

形拼制成一個大正方形（如下圖），設(shè)勾a=3,弦c=5,則小正方形ABCD的面積是

【答案】L

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理可得股b=4,則小正方形ABCD的邊長為b-a,最后根據(jù)正方形面積公式計算

即可.

【詳解】

解：；勾a=3,弦c=5

???股b"—/='52—32=4

;小正方形ABCD的邊長為b-a=4-3=l

.,.小正方形ABCD的面積是1.

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

11.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm,3dm,2dm,A和8是這

個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到2點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬

到8點的最短路程是dm.

A20

R

【答案】25

【解析】

【分析】

先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答即可.

【詳解】

如圖所示.

?..三級臺階平面展開圖為長方形，長為20,寬為(2+3)x3,.?.螞蟻沿臺階面爬行到8點最短

路程是此長方形的對角線長.

設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到2點最短路程為X,由勾股定理得:X2=202+[(2+3)X3K=252,解得：x=25.

故答案為25.

B

【點睛】

本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形

的長和寬即可解答.

12.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一

滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂

蜜的最短距離為cm.

【答案】15.

【解析】

【分析】

過C作CQ_LEF于Q,作A關(guān)于EH的對稱點A-連接A(交EH于P,連接AP,則AP+PC

就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出A，Q,CQ,根據(jù)勾股定理求出A，C即可.

【詳解】

沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH,

過C作CCUEF于Q,作A關(guān)于EH的對稱點A-連接AC交EH于P,連接AP,則AP+PC

就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，

CQ=gxl8cm=9cm,A/Q=12cm-4cm+4cm=12cm,

在R3AQC中，由勾股定理得：A(C=7122+92=15cm,

故答案為15.

13.在AABC中，AB=取，AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為.

【答案】9或1

【解析】

【詳解】

【分析】AABC中，NACB分銳角和鈍角兩種：

①如圖1,NACB是銳角時，根據(jù)勾股定理計算BD和CD的長可得BC的值；

②如圖2,NACB是鈍角時，同理得：CD=4,BD=5,根據(jù)BC=BD-CD代入可得結(jié)論.

【詳解】有兩種情況：

①如圖1,；AD是AABC的高，

ZADB=ZADC=90°,

由勾股定理得：BD=S]AB2-AD2=^(A/34)2-32=5,

CD=yjAC2-AD2=A/52-32=4，

BC=BD+CD=5+4=9；

②如圖2,同理得：CD=4,BD=5,

，BC=BD-CD=5-4=1,

綜上所述，BC的長為9或1；

故答案為9或1.

圖2

【點睛】本題考查了勾股定理的運用，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵，并注意運用了分類討論的

思想解決問題.

14.在平面直角坐標系中，若點M(l,3)與點N(x,3)之間的距離是5,則x的值是.

【答案】-4或6

【解析】

【詳解】

分析：點M、N的縱坐標相等，則直線MN在平行于X軸的直線上，根據(jù)兩點間的距離，可

列出等式|x-l|=5,從而解得X的值.

解答：解：?.?點M(l,3)與點N(x,3)之間的距離是5,

/.|x-l|=5,

解得x=-4或6.

故答案為一4或6.

15.如圖，一只螞蟻從長、寬都是6,高是16的