人教版七年級數(shù)學(xué)下冊《垂線段的性質(zhì)》易錯拔尖練習(xí)題

易錯拔尖：垂線段的性質(zhì)（原卷版）

＞易錯點

對垂線段的性質(zhì)理解不透徹而致錯

1.（2021秋?襄汾縣期末）點P為直線機外一點，點A,B,C為直線機上三

點，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線冽的距離為（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

＞拔尖角度

角度1利用垂線段的性質(zhì)比較大小

1.（2021春?豐城市期末）如圖所示，直線A3,CD相交于點。，P是CD上

―占

八、、?

（1）過點P畫A3的垂線段PE.

（2）過點P畫CD的垂線，與A5相交于R點.

（3）說明線段PE,PO,三者的大小關(guān)系，其依據(jù)是什么？

角度2利用垂線段的性質(zhì)解實際應(yīng)用題

2.（2022春?定州市月考）如圖，直線。和匕分別表示鐵路與河流，碼頭、火

車站分別位于A、3兩點.

（1）從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說明理由.

（2）從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說明理由.

（3）從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說明理由.

角度3利用垂線段的性質(zhì)進(jìn)行方案設(shè)計

3.（2015秋?北侖區(qū)期末）如圖，平原上有A,B,C,。四個村莊，為解決當(dāng)

地缺水問題，政府準(zhǔn)備投資修建一個蓄水池.

(1)不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池8點的位置，使它到四個村莊

距離之和最??；

(2)計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據(jù).

角度4利用垂線段的性質(zhì)解決絕對值問題

4.在如圖所示的直角三角形ABC中，斜邊為BC,兩直角邊分別為AB,AC,

BC=cijAC=b,AB=c.

(1)試用所學(xué)知識說明，斜邊3C是最長的邊;

(2)試化簡|a-b\+\c-ci\+\b+c-a\.

角度5開放探究問題

5.如圖，隨意畫一個銳角NMON和一個鈍角NWO'N',畫出NMON的角

平分線。尸和O'N'的角平分線P'.

(1)在。P上任取一點A.畫A3L0M,ACLON,垂足分別為3,C兩

占?

八'、，

(2)在P'上任取一點A',畫A'3,±0/M',A'C±0'

N',垂足分別是中，C兩點;

(3)通過度量線段A3,AC,A'B',A'C的長度，發(fā)現(xiàn)A3AC,

A'BA'C.(填“=”或"W")

（4）通過上面的畫圖和度量，和同學(xué)們交流一下，有什么猜想，請用一句

話表述出來.

參考答案與試題解析

易錯拔尖：垂線段的性質(zhì)（解析版）

＞易錯點

1.（2021秋?襄汾縣期末）點P為直線機外一點，點A,B,C為直線機上三

點，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線機的距離為（）

A.4cmB.2cmC.小于2croD.不大于2c機

思路引領(lǐng)：根據(jù)點到直線的距離是直線外的點與直線上垂足間的線段的長，

再根據(jù)垂線段最短，可得答案.

解：當(dāng)PC,加時，PC的長是點尸到直線機的距離，即點P到直線機的距

離2cm,

當(dāng)PC不垂直直線加時，點尸到直線機的距離小于PC的長，即點P到直線

m的距離小于2cm,

綜上所述：點P到直線機的距離不大于2cm,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了點到直線的距離，利用了垂線段最短的性質(zhì).

誤點警示：垂線段最短，但這三條線段中最短的線段卻不一定是垂線段，只

能說是有可能是垂線段，本題易錯選B.

＞拔尖角度

角度1利用垂線段的性質(zhì)比較大小

1.（2021春?豐城市期末）如圖所示，直線A3,CD相交于點。，P是CD上

一點.

（1）過點P畫A3的垂線段PE.

（2）過點P畫CD的垂線，與A3相交于R點.

（3）說明線段PE,PO,三者的大小關(guān)系，其依據(jù)是什么？

c

思路引領(lǐng)：(l)作PELA3,垂足為E;

(2)過點P作NDPR=90°,其中PR交A3于點B

(3)利用垂線段最短，即可作出判斷.

解：(1)(2)如圖所示.

(3)PE<PO<FO,其依據(jù)是“垂線段最短”.

總結(jié)提升：本題需利用垂線段的性質(zhì)來解決問題.

角度2利用垂線段的性質(zhì)解實際應(yīng)用題

2.(2022春?定州市月考)如圖，直線。和6分別表示鐵路與河流，碼頭、火

車站分別位于A、3兩點.

(1)從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說明理由.

(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說明理由.

(3)從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)兩點之間線段最短解決問題；

(2)(3)根據(jù)垂線段最短畫出圖形即可.

解：(1)如圖，線段A3即為所求，理由是兩點之間線段最短;

(2)如圖，線段AD即為所求，理由是垂線段最短；

(3)如圖，線段3H即為所求，路上垂線段最短.

bHA

a-^B

總結(jié)提升：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運用所學(xué)知識解決問題.

角度3利用垂線段的性質(zhì)進(jìn)行方案設(shè)計

3.（2015秋?北侖區(qū)期末）如圖，平原上有A,B,C,。四個村莊，為解決當(dāng)

地缺水問題，政府準(zhǔn)備投資修建一個蓄水池.

（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它到四個村莊

距離之和最小；

（2）計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據(jù).

?C

?D

E---------------------F

思路引領(lǐng)：（1）由兩點之間線段最短可知，連接A。、BC交于H,則H為

蓄水池位置；

（2）根據(jù)垂線段最短可知，要做一個垂直ER的線段.

解：（1）???兩點之間線段最短，

連接AD,BC交于H,則H為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最小.

（2）過“作HGLEE垂足為G.

“過直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池

H中開渠最短的根據(jù).

總結(jié)提升：本題考查了線段和垂線的性質(zhì)在實際生活中的運用.

角度4利用垂線段的性質(zhì)解決絕對值問題

4.在如圖所示的直角三角形ABC中，斜邊為BC,兩直角邊分別為AB,AC,

BC=cijAC=b,AB=c.

(1)試用所學(xué)知識說明，斜邊3C是最長的邊;

(2)試化簡|a-b\+\c-a\+\b+c-ci\.

思路引領(lǐng)：(1)利用垂線段最短即可確定出AC、AB.3c的長短關(guān)系，問

題即可解答；

(2)由三角形三邊關(guān)系可以得到AC+AB>BC,結(jié)合(1)即可去掉絕對值

號，然后合并同類項解答題目.

解：(1)?.?點C與直線A3上點A、5的連線中，C4是垂線段，

：.AC<BC.

?.?點3與直線AC上點A,C的連線中，A3是垂線段，

：.AB<BC,

：.AB.AC、中，斜邊3c最長.

(2)'：AC<BC,AB<BC,AC+AB>BC,

.,.a-b>Q,c-a<0,b+c-aX)

，原式=。-萬一(c-tz)+b+c-a=a.

總結(jié)提升：本題考查線段長短比較及去絕對值問題，側(cè)重考查知識點的記憶、

理解、應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是掌握線段長度比較方法.

角度5開放探究問題

5.如圖，隨意畫一個銳角NMON和一個鈍角O'N',畫出NMON的角

平分線。尸和O'N'的角平分線OP'.

0

圖1圖2

(1)在0P上任取一點A.畫ACLON,垂足分別為3,C兩

占?

八'、，

(2)在P'上任取一點A',畫A'3,±0/M',A'C±0'

N1,垂足分別是9，C兩點；

(3)通過度量線段AB,AC,A'B',A'C的長度，發(fā)現(xiàn)ABAC,

A，B'C.(填“=”或"W")

(4)通過上面的畫圖和度量，和同學(xué)們交流一下，有什么猜想，請用一句

話表述出來.

思路引領(lǐng)：(1)(2)利用直角三角板畫出ACLON,A'B