浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一章數(shù)與式第4講分式及其運(yùn)算講解篇

第4講分式及其運(yùn)算1．分式的概念考試內(nèi)容考試要求分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有，且B≠0)的式子叫做分式．a(chǎn)有意義的條件分母不為0.值為零的條件分子為0，且分母不為02.分式的基本性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求分式的基本性質(zhì)eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(M是不為零的整式)．c約分把分式的分子和分母中的約去，叫做分式的約分．通分根據(jù)分式的，把異分母的分式化為分式，這一過(guò)程叫做分式的通分．3.分式的運(yùn)算考試內(nèi)容考試要求分式的乘除法eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc).c分式的乘方(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n為整數(shù))．分式的加減法eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)，eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式的混合運(yùn)算在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．遇到有括號(hào)，先算括號(hào)里面的．考試內(nèi)容考試要求基本方法1.乘方時(shí)一定要先確定乘方結(jié)果的符號(hào)，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù)．c2.在分式的加減運(yùn)算中，如需要通分時(shí)，一定要先把分母可以分解因式的多項(xiàng)式分解因式后再找最簡(jiǎn)公分母，分式的乘除運(yùn)算中，需要約分時(shí)，也要先把可以分解因式的多項(xiàng)式分解因式再約分．3.分式求值：可根據(jù)所給條件和求值式的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化和溝通．主要有以下技巧：①整體代入法；②參數(shù)法；③平方法；④代入法；⑤倒數(shù)法．1．(2015·麗水)分式－eq\f(1,1－x)可變形為()A．－eq\f(1,x－1)B.eq\f(1,1＋x)C．－eq\f(1,1＋x)D.eq\f(1,x－1)2．(2016·臺(tái)州)化簡(jiǎn)eq\f(x2－y2,（y－x）2)的結(jié)果是()A．－1B．1C.eq\f(x＋y,y－x)D.eq\f(x＋y,x－y)3．(2017·湖州)要使分式eq\f(1,x－2)有意義，x的取值應(yīng)滿足______________________________．4．(2017·舟山)若分式eq\f(2x－4,x＋1)的值為0，則x的值為_(kāi)___________________．5．(2015·湖州)計(jì)算：eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2,a－b).【問(wèn)題】(1)從三個(gè)代數(shù)式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意選擇兩個(gè)代數(shù)式構(gòu)造成分式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)該分式的值．(2)通過(guò)對(duì)(1)的解答，你能想到與分式相關(guān)的哪些信息．【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理分式概念，以及分式相關(guān)的性質(zhì)，探究分式化簡(jiǎn)方法．類(lèi)型一分式的概念eq\a\vs4\al(例1)分式eq\f(2x＋6,x2－9).(1)若分式有意義，則x的取值范圍是________；(2)若分式的值為0，則x的值為_(kāi)_______；(3)把分式化為最簡(jiǎn)分式________．【解后感悟】分式有意義，首先求出使分母等于0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義；分式的值為0的條件是：首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，當(dāng)它使分母的值不為0時(shí)，這就是所要求的字母的值；化為最簡(jiǎn)分式是分母、分子因式分解，再約分．1．已知分式eq\f(x2－4,x－2)，若分式無(wú)意義，則x的取值范圍是____________________；若分式的值為零，則x＝____________________.2．(2016·濱州)下列分式中，最簡(jiǎn)分式是()A.eq\f(x2－1,x2＋1)B.eq\f(x＋1,x2－1)C.eq\f(x2－2xy＋y2,x2－xy)D.eq\f(x2－36,2x＋12)類(lèi)型二分式的約分和通分eq\a\vs4\al(例2)計(jì)算：(1)(2016·淄博)eq\f(1－4a2,2a＋1)＝________；(2)eq\f(2x,x－1)＋eq\f(x＋1,1－x)＝________；(3)eq\f(2,x＋1)－eq\f(x－2,x2－1)＝________；(4)1－a－eq\f(1,a－1)＝________.【解后感悟】分式化簡(jiǎn)關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，若分子和分母有多項(xiàng)式，先將其因式分解，然后將相同的因式約去即可．分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母．3．(1)(2016·麗水)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.eq\f(1,a＋b)B.eq\f(2,a＋b)C.eq\f(a＋b,ab)D．a(chǎn)＋b(2)(2015·紹興)化簡(jiǎn)eq\f(x2,x－1)＋eq\f(1,1－x)的結(jié)果是()A．x＋1B.eq\f(1,x＋1)C．x－1D.eq\f(x,x－1)(3)若a、b都是正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(2,a＋b)，則eq\f(ab,a2－b2)＝____________________.(4)(2016·荊州)當(dāng)a＝eq\r(2)＋1，b＝eq\r(2)－1時(shí)，代數(shù)式eq\f(a2－2ab＋b2,a2－b2)的值是.(5)(2015·臺(tái)州)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\f(1,a＋1)－eq\f(a,（a＋1）2)，其中a＝eq\r(2)－1.類(lèi)型三分式的運(yùn)算與求值eq\a\vs4\al(例3)(1)(2016·內(nèi)江)化簡(jiǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a－3)＋\f(9,3－a)))÷eq\f(a＋3,a)＝________.(2)(2015·黃岡)化簡(jiǎn)：eq\f(b,a2－b2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,a＋b)))＝________.(3)(2015·衢州)先化簡(jiǎn)，再求值：(x2－9)÷eq\f(x－3,x)，其中x＝－1.(4)先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－1)－x＋1))÷eq\f(4x2－4x＋1,1－x)，其中x滿足x2＋x－2＝0.【解后感悟】(1)解決這類(lèi)題關(guān)鍵是把握好通分與約分．分式加減的本質(zhì)是通分，乘除的本質(zhì)是約分．(2)熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．化簡(jiǎn)求值題要將原式化為最簡(jiǎn)后再代值，從求出x的兩個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)代入求值，但要注意分式成立的條件．4．(2015·成都)化簡(jiǎn)：(eq\f(a,a＋2)＋eq\f(1,a2－4))÷eq\f(a－1,a＋2).5．先化簡(jiǎn)，再求值：eq\f(x2－4x＋4,2x)÷eq\f(x2－2x,x2)＋1，在0，1，2，三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的，代入求值．類(lèi)型四與分式有關(guān)的變形和應(yīng)用eq\a\vs4\al(例4)觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1＝eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))；第2個(gè)等式：a2＝eq\f(1,3×5)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))；第3個(gè)等式：a3＝eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))；第4個(gè)等式：a4＝eq\f(1,7×9)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))；…請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5＝______＝______；(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an＝________＝________(n為正整數(shù))；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．【解后感悟】本題是數(shù)字變化規(guī)律，要求首先分析題意，通過(guò)觀察、分類(lèi)歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．6．(1)如圖，設(shè)k＝eq\f(甲圖中陰影部分面積,乙圖中陰影部分面積)(a＞b＞0)，則有()A．k＞2B．1＜k＜2C.eq\f(1,2)＜k＜1D．0＜k＜eq\f(1,2)(2)一種商品原來(lái)的銷(xiāo)售利潤(rùn)率是47%.現(xiàn)在由于進(jìn)價(jià)提高了5%，而售價(jià)沒(méi)變，所以該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)率變成了____________________%.【注：銷(xiāo)售利潤(rùn)率＝(售價(jià)－進(jìn)價(jià))÷進(jìn)價(jià)】．【探索規(guī)律題】(2015·巴中)a是不為1的數(shù)，我們把eq\f(1,1－a)稱(chēng)為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)為eq\f(1,1－2)＝－1；－1的差倒數(shù)是eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)；已知a1＝－eq\f(1,2)，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)．a(chǎn)4是a3的差倒數(shù)，…依此類(lèi)推，則a2015＝________．【方法與對(duì)策】此題是找規(guī)律的題目，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵，該題型是中考的熱點(diǎn)．【分式的分母不能為零，除數(shù)不能為零】分式eq\f(x2－4,x2－x－2)的值是0，則x的值為_(kāi)_______．參考答案第4講分式及其運(yùn)算【考點(diǎn)概要】1．字母2.公因式基本性質(zhì)同分母【考題體驗(yàn)】1．D2.D3.x≠24.25.a＋b.【知識(shí)引擎】【解析】(1)答案不唯一．選取①、②得eq\f(a2－2ab＋b2,3a－3b)＝eq\f(（a－b）2,3（a－b）)＝eq\f(a－b,3)，當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)，原式＝eq\f(6－3,3)＝1(有6種情況)．(2)分式概念、運(yùn)算法則，注意點(diǎn)等．【例題精析】例1(1)x≠±3；(2)無(wú)解；(3)eq\f(2,x－3).例2(1)1－2a；(2)1；(3)eq\f(x,x2－1)；(4)eq\f(a2－2a＋2,1－a)例3(1)a；(2)eq\f(1,a－b)；(3)原式＝(x＋3)(x－3)·eq\f(x,x－3)＝x(x＋3)＝x2＋3x，當(dāng)x＝－1時(shí)，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2；(4)原式＝eq\f(x2－（x－1）（x－1）,x－1)·eq\f(1－x,（2x－1）2)＝eq\f(2x－1,x－1)·eq\f(1－x,（2x－1）2)＝eq\f(1,1－2x).由x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1，∵x≠1，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，原式＝eq\f(1,1－2×（－2）)＝eq\f(1,5).例4(1)eq\f(1,9×11)，eq\f(1,2)×(eq\f(1,9)－eq\f(1,11))；(2)eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n－1))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋1)))，eq\f(1,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))．(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,199)－eq\f(1,201))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,199)－\f(1,201)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,201)))＝eq\f(1,2)×eq\f(200,201)＝eq\f(100,201).【變式拓展】x＝2－2A(1)C(2)A(3)－eq\f(1,2)(4)eq\f(\r(2),2)(5)eq\f(1,（a＋1）2)，eq\f(1,2).eq\f(a－1,a－2).eq\f(x,2).當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝e