考向28 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專(zhuān)題（新高考地區(qū)專(zhuān)用）

考向28等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．（2021·全國(guó)高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.2．（2016·全國(guó)高考真題（文））已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求；（Ⅱ）求出通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列求和公式來(lái)求.試題解析：（Ⅰ）由已知，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.記的前項(xiàng)和為，則【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.1、等比數(shù)列基本運(yùn)算的解題技巧(1)求等比數(shù)列的基本量問(wèn)題，一般是“知三求二”問(wèn)題，其核心思想是解方程(組)，一般步驟是：①由已知條件列出首項(xiàng)和公比的方程(組)；②求出首項(xiàng)和公比；③求出項(xiàng)數(shù)或前n項(xiàng)和等其余量．(2)運(yùn)用整體思想，達(dá)到設(shè)而不求的目的；運(yùn)用等比定理，即q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)達(dá)到化簡(jiǎn)目的；運(yùn)用分類(lèi)討論思想，討論q＝1和q≠1等問(wèn)題．2、利用等比數(shù)列性質(zhì)解題應(yīng)注意的2點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．3、等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝ab.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.【知識(shí)拓展】1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類(lèi)討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知遞增等比數(shù)列，，，，則（）A．8 B．16 C．32 D．642．（2021·河南鄭州十一中高二期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則（）．A．或32 B．或64 C．2或 D．2或3．（2021·吉林長(zhǎng)春市·高三（理））若無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)均大于1，且滿(mǎn)足，，則公比________.4．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則___________.1．（2021·赤峰二中（理））在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1·a4=32，a2+a3=12，則下列說(shuō)法中，正確的是（）①數(shù)列{}是等比數(shù)列；②a3=4；③數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列；④數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④2．（2021·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（文））已知公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·高三（理））已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（）A．4或 B．4 C． D．4．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則的前12項(xiàng)和為（）A．90 B．60 C．45 D．325．（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列前20項(xiàng)和為（）A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．3806．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）（多選題）已知正項(xiàng)的等比數(shù)列中，，設(shè)其公比為，前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．7．（2021·長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育研究中心（長(zhǎng)春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心）高三（文））已知公比大于1的等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則公比等于________.8．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足且，令，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于___________.9．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（文））在①，②，③，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.10．（2021·全國(guó)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，若數(shù)列滿(mǎn)足，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．（2021·全國(guó)高三）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三）已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且是等差數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求使得的的取值范圍.1．（2021·山東高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（）A． B．5 C． D．92．（2020·山東高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（）A．256 B．-256 C．512 D．-5123．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線(xiàn)和圓 B．直線(xiàn)和橢圓 C．直線(xiàn)和雙曲線(xiàn) D．直線(xiàn)和拋物線(xiàn)4．（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．325．（2020·全國(guó)高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–16．（2021·全國(guó)高考真題）（多選題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A． B．C． D．7．（2013·重慶高考真題（理））已知是等差數(shù)列,,公差,為其前項(xiàng)和,若,,成等比數(shù)列,則_____.8．（2021·湖南高考真題）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.9．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2020·海南高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.1．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)檫f增等比數(shù)列中，所以，又，解得，所以，解得，所以，故選：D2．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)由，可求得，再由可求出，從而可求出的值【詳解】∵數(shù)列為等比數(shù)列，，解得，設(shè)數(shù)列的公比為，，解得或，當(dāng)，則，當(dāng)，則．故選：B．3．【答案】2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件，以及的各項(xiàng)均大于1，即可得和的值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，解得：或，由無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)均大于1可知，所以，因?yàn)?，即，解得?故答案為：2.4．【答案】【分析】依題意可得，即數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，?故答案為：1．【答案】C【分析】由題中條件，計(jì)算基本量，可得，依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義，依次判斷即可【詳解】由題意，{an}為等比數(shù)列，a1·a4=32，a2+a3=12由等比數(shù)列的性質(zhì)：或又公比q為整數(shù)，數(shù)列{}，，且，因此數(shù)列{}為等比數(shù)列，故①正確；，故②不正確；數(shù)列{Sn+2}，且，因此數(shù)列{}為等比數(shù)列，故③正確；數(shù)列{log2an}，，因此數(shù)列{}為等差數(shù)列，故④正確；故選：C2．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，若，可得，然后再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法即可得到結(jié)果．【詳解】由于公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)，所以，若，則，所以，即或，所以公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用求解出公比，然后將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式，由此求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，所以，且，所以解得或，為保證有意義，則，所以，所以，故選：B4．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得公比，然后再計(jì)算和．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以，同理，所以．故選：C．5．【答案】A【分析】從等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足的等式中，解出公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，也就得到了數(shù)列的通項(xiàng)公式，而后使用等差數(shù)列求和公式求和.【詳解】根據(jù)題意，所以，從而有，所以，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和等于故選：.6．【答案】ABD【分析】由，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式和的值，再由，，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，即，解得或，又由正?xiàng)的等比數(shù)列，可得，所以，所以A正確；數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以B正確；則，所以C不正確；由，則，，所以，所以D正確.故選：ABD.7．【答案】2【分析】由等比數(shù)列以及，可知，由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知，聯(lián)立方程求解，根據(jù)可解的答案.【詳解】解：由題意得則，又因?yàn)榻獾茫夯颍ㄉ崛ィ┕蚀鸢笧椋?8．【答案】【分析】首先由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可得、的通項(xiàng)公式，再利用乘公比錯(cuò)位相減，分組求和即可求解.【詳解】由可得，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則的前項(xiàng)的和等于，令，前項(xiàng)的和為，則，，兩式相減可得：，所以，所以前項(xiàng)的和為，故答案為：.9．【答案】條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.【分析】（1）若選擇①②，可設(shè)公比為，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程，求出后可求通項(xiàng).若選擇③，利用可得，從而可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得所求的通項(xiàng).（2）利用分組求和和裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）若選①，設(shè)等比數(shù)列的公比為.，，而，解得或.，，.若選②，設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，由可得.，，即.，，.若選③，當(dāng)時(shí)，，即，也滿(mǎn)足，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則.（2）由（1）知，.10．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用遞推作差法求出通項(xiàng)公式，且證明當(dāng)時(shí)也符合，再利用構(gòu)造法結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）借助分組求和、等差、等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）由得當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)也滿(mǎn)足上式，所以的通項(xiàng)公式為，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．11．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即得解；（2）由題得，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）由，得，又，作差得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有；（2）由題得，所以．12．【答案】（1）；（2），使得的的取值范圍是，.【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)列方程，化簡(jiǎn)求得，結(jié)合求得，由此求得.（2）由（1）求得等差數(shù)列的前三項(xiàng)，進(jìn)而求得，化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合差比較法求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，得，即，所以，整理得，解得.由，得，所以，所以.（2）由（1）得，所以，，所以等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以.由，得，即.令，故有.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，而.所以使得的的取值范圍是，.1．【答案】D【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D2．【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以，故選：A.3．【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線(xiàn)，為直線(xiàn).故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.4.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6.【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.7.【答案】