（人教A版2019選擇性必修第一冊） 專題3.13 直線與拋物線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講（舉一反三）（原卷版+解析）

專題3.13直線與拋物線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.

①若k≠0，當(dāng)>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)=0時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；

當(dāng)<0時，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).

②若k=0，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).5．直線與拋物線中的最值問題求與拋物線有關(guān)的最值的常見題型是求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值、求拋物線上一點(diǎn)到定直線的最值，解與拋物線有關(guān)的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，借助目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決.6．拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題(1)解答與拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題時，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時還要注意拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的靈活應(yīng)用.

(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與拋物線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】（2023秋?寧德期末）直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【變式1-1】（2023秋?宣城期末）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【變式1-2】（2023?河南模擬）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【變式1-3】（2020?松江區(qū)三模）若x02＞2py0（p＞0），則稱點(diǎn)（x0，y0）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外．已知點(diǎn)P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，則直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【題型2弦長問題】【方法點(diǎn)撥】①解決弦長問題，一般運(yùn)用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡化運(yùn)算過程.②涉及弦長問題，應(yīng)聯(lián)立直線與拋物線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2023秋?欽南區(qū)校級期中）已知拋物線的方程為y2＝﹣8x，則直線2x+y+8＝0被該拋物線所截得的弦長為（）A．67 B．76 C．56 【變式2-1】（2023?安徽模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），若直線y＝2x，被拋物線所截弦長為45，則拋物線C的方程為（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)【變式2-2】（2023秋?河南月考）已知拋物線C：y2＝4x，斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓E：（x﹣5）2+y2＝9相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，則弦長|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【變式2-3】（2023?陜西模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），若拋物線C上的點(diǎn)A關(guān)于直線l：y＝2x+2對稱的點(diǎn)B恰好在射線y＝11（x≤3）上，則直線AF被C截得的弦長為（）A．919 B．1009 C．1189 【題型3拋物線的焦點(diǎn)弦問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例3】（2023?遼寧二模）過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，且x1+x2=43，則弦A．163 B．4 C．103 D【變式3-1】（2023?嘉定區(qū)三模）設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長為（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．與l的斜率有關(guān)【變式3-2】（2020秋?懷仁市期末）已知直線ax+y+1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則直線與拋物線相交弦弦長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式3-3】（2023春?平頂山期末）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，過其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的斜率為1，則弦AB的長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【題型4拋物線中的面積問題】【方法點(diǎn)撥】拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與拋物線方程，求出弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2023秋?常州期中）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線x2?y23=1的右頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)M（3，0）作?斜角為45°的直線（1）求拋物線方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．【變式4-1】（2023秋?柳州月考）已知動點(diǎn)P到點(diǎn)F1（﹣1，0）的距離與到點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為22，若點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過F1作直線l與曲線C分別交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)F2M→?F【變式4-2】（2023秋?路南區(qū)校級期中）已知拋物線T：y2＝2px（p∈N+）和橢圓C：x25+y2=1，過拋物線T的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交橢圓（Ⅰ）若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面積的最大值．【變式4-3】（2023?閔行區(qū)校級開學(xué)）如圖，直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y相交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h為定值），線段AB的中點(diǎn)為D，與直線l平行的拋物線x2＝4y的切線的切點(diǎn)為C．（1）用k、b表示出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并證明CD垂直于x軸；（2）求△ABC的面積（只與h有關(guān)，與k、b無關(guān)）；【題型5拋物線中的定點(diǎn)、定值問題】【例5】（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)P（x0，2）到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．【變式5-1】（2023秋?徐州期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線x23?（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（3）若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線l過定點(diǎn)．【變式5-2】（2023秋?浙江期中）已知點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)直線l1，l2為曲線C的兩條互相垂直切線，切點(diǎn)為A，B，交點(diǎn)為點(diǎn)M．（?。┣簏c(diǎn)M的軌跡方程；（ⅱ）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【變式5-3】（2023秋?溫州月考）如圖，曲線C2與拋物線C1：y＝x2關(guān)于x軸對稱．P是C2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作C2的切線與C1自下而上依次交于兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)P作C1的切線與C1切于點(diǎn)C（P，C在y軸同側(cè)），直線BC與y軸交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，求|AB|；（Ⅱ）記△QAB和△PAC的面積分別為S1和S2，判斷S1【題型6拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】利用拋物線解決實(shí)際問題的基本步驟：

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；

②求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

③根據(jù)拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關(guān)系來解決實(shí)際應(yīng)用問題.【例6】如圖，一拋物線型石拱橋在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，橋的最大高度為16m，跨度為40m．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）求距離y軸5m的石拱橋的高度．【變式6-1】（2020秋?溫州期末）如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點(diǎn)距水面為8m，拱圈內(nèi)水面寬16m，為保證安全，要求通過的船頂部（設(shè)為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則船在水面以上部分高不能超過多少米？（2）近日因受臺風(fēng)影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：一艘頂部寬42m，在水面以上部分高為4m【變式6-2】某河上有座拋物線形拱橋，當(dāng)拱橋高出水面5m時，橋洞水面寬為8m，每年汛期，船工都要考慮拱橋的通行問題．一只寬4m，高2m的裝有防汛器材的船，露出水面部分的高為34m【變式6-3】有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求此拋物線的解析式；（2）如果限定矩形的長CD為9米，那么矩形的高DE不能超過多少米，才能使船通過拱橋．（3）若設(shè)EF＝a，請將矩形CDEF的面積S用含a的代數(shù)式表示，并指出a的取值范圍．專題3.13直線與拋物線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.

①若k≠0，當(dāng)>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)=0時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；

當(dāng)<0時，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).

②若k=0，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).5．直線與拋物線中的最值問題求與拋物線有關(guān)的最值的常見題型是求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值、求拋物線上一點(diǎn)到定直線的最值，解與拋物線有關(guān)的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，借助目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決.6．拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題(1)解答與拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題時，除了要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時還要注意拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系的靈活應(yīng)用.

(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與拋物線的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】（2023秋?寧德期末）直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】直線y＝k（x﹣1）+2過定點(diǎn)（1，2），在拋物線x2＝4y內(nèi)部，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：直線y＝k（x﹣1）+2過定點(diǎn)（1，2），∵12＜4×2，∴（1，2）在拋物線x2＝4y內(nèi)部，∴直線y＝k（x﹣1）+2與拋物線x2＝4y相交，故選：A．【變式1-1】（2023秋?宣城期末）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)A（?p2，a），則直線AF的中垂線方程為y=pa即2px＝2ay﹣p2，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，∴Δ＝0，∵線段FA的中垂線與拋物線相切．故選：B．【變式1-2】（2023?河南模擬）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，注意到直線l：x+16y﹣1＝0過點(diǎn)A（0，116），且A在拋物線C3【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標(biāo)為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4．∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，注意到直線l：x+16y﹣1＝0過點(diǎn)A（0，116且A在拋物線C3的內(nèi)部，故直線l與拋物線C3相交，故選：A．【變式1-3】（2020?松江區(qū)三模）若x02＞2py0（p＞0），則稱點(diǎn)（x0，y0）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外．已知點(diǎn)P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，則直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】利用點(diǎn)P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，可得a2＞2pb，直線l：ax＝p（y+b）與拋物線聯(lián)立，根據(jù)根的判別式即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵點(diǎn)P（a，b）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）外，∴a2＞2pb，直線l：ax＝p（y+b）與拋物線聯(lián)立可得x2﹣2ax+2pb＝0，∴Δ＝4a2﹣8pb＞0，∴直線l：ax＝p（y+b）與拋物線C相交．故選：A．【題型2弦長問題】【方法點(diǎn)撥】①解決弦長問題，一般運(yùn)用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡化運(yùn)算過程.②涉及弦長問題，應(yīng)聯(lián)立直線與拋物線的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2023秋?欽南區(qū)校級期中）已知拋物線的方程為y2＝﹣8x，則直線2x+y+8＝0被該拋物線所截得的弦長為（）A．67 B．76 C．56 【解題思路】設(shè)直線2x+y+8＝0與拋物線的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線方程求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．【解答過程】解：設(shè)直線2x+y+8＝0與拋物線的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組y2=?8x2x+y+8=0，解得x故|AB|=(?2+8故選：D．【變式2-1】（2023?安徽模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），若直線y＝2x，被拋物線所截弦長為45，則拋物線C的方程為（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)【解題思路】將直線方程代入拋物線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得p的值，求得拋物線方程．【解答過程】解：由x2=2pyy=2x，解得：x=0y=0或x=4py=8p，則交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4則(4p)2+(8p解得：p＝±1，由p＞0，則p＝1，則拋物線C的方程x2＝2y，故選：C．【變式2-2】（2023秋?河南月考）已知拋物線C：y2＝4x，斜率為k的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓E：（x﹣5）2+y2＝9相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，則弦長|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【解題思路】先確定M的軌跡是直線x＝3，求得M坐標(biāo)AB的斜率，利用弦長公式即可求解．．【解答過程】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在時，設(shè)斜率為k，則y12＝4x1，y22＝4x2，相減得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），當(dāng)l的斜率存在時，利用點(diǎn)差法可得ky0＝2，因?yàn)橹本€與圓相切，所以y0x0?5=?1即M的軌跡是直線x＝3．故M（3，5）由y0x0?5=?由此直線方程為：y=25(x?3)+5．聯(lián)立拋物線方程可得：4x2﹣24|AB|=1+k2故選：C．【變式2-3】（2023?陜西模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），若拋物線C上的點(diǎn)A關(guān)于直線l：y＝2x+2對稱的點(diǎn)B恰好在射線y＝11（x≤3）上，則直線AF被C截得的弦長為（）A．919 B．1009 C．1189 【解題思路】先根據(jù)拋物線的定義求出p的值，再設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，14m2），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，11），n≤3，根據(jù)點(diǎn)的對稱，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得直線AF【解答過程】解：拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），則p2=1，即p＝設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，14m2B點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，11），n≤3，∴11?1解得m=6n=2，或m=∴A（6，9）∴直線AF的方程為y=43x設(shè)直線AF與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，由y=43x+1x2∴D（?23，∴|AD|=(6+故直線AF被C截得的弦長為1009故選：B．【題型3拋物線的焦點(diǎn)弦問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例3】（2023?遼寧二模）過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，且x1+x2=43，則弦A．163 B．4 C．103 D【解題思路】拋物線的焦點(diǎn)弦長公式為|AB|＝x1+x2+p，代入數(shù)據(jù)，運(yùn)算即可．【解答過程】解：由題意知，p＝2，由拋物線的定義知，|AB|＝x1+x2+p=43+故選：C．【變式3-1】（2023?嘉定區(qū)三模）設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長為（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．與l的斜率有關(guān)【解題思路】根據(jù)拋物線方程可求得p的值，進(jìn)而利用拋物線的定義可求得|AB|＝x1+x2+4，根據(jù)線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離求得x1+x2的值，代入|AB|＝x1+x2+4，求得答案．【解答過程】解：拋物線方程可知p＝4|AB|=|AF|+|BF|=x由線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3得，12∴|AB|＝x1+x2+4＝10，故選：A．【變式3-2】（2020秋?懷仁市期末）已知直線ax+y+1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則直線與拋物線相交弦弦長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，代入焦點(diǎn)，可得a＝﹣1，聯(lián)立直線和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義可得弦長AB＝x1+x2+p＝6+2＝8．【解答過程】解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，由題意可得，a+1＝0，解得a＝﹣1，聯(lián)立直線y＝x﹣1和拋物線方程y2＝4x，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2＝6，由拋物線的定義可得|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故選：C．【變式3-3】（2023春?平頂山期末）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，過其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的斜率為1，則弦AB的長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【解題思路】求出拋物線以及直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義求解即可．【解答過程】解：依題意得，拋物線C的方程是y2＝4x，直線l的方程是y＝x﹣1，聯(lián)立y2=4x，y=x?1可得（x﹣1）2＝4x，即x2﹣6x設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝6，所以|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故選：D．【題型4拋物線中的面積問題】【方法點(diǎn)撥】拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與拋物線方程，求出弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2023秋?常州期中）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線x2?y23=1的右頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)M（3，0）作?斜角為45°的直線（1）求拋物線方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．【解題思路】（1）求出雙曲線的右頂點(diǎn)，得到拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，即可求解拋物線方程．（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求解三角形的面積．【解答過程】解：（1）由雙曲線x2?y23即可得拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），所以拋物線的方程為y2＝4x．（2）由題意可得直線l的方程：y＝x﹣3，將直線與拋物線聯(lián)立y=x?3y2=4x，整理可得y2﹣4y設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣12，S△AOB=12×3×|y1﹣y2【變式4-1】（2023秋?柳州月考）已知動點(diǎn)P到點(diǎn)F1（﹣1，0）的距離與到點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為22，若點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過F1作直線l與曲線C分別交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)F2M→?F【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的定義可得動點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，求出a，b的值，即可得出答案．（2）對直線l的斜率分類討論，若斜率不存在，直接求出F2M→?F2N→和S△MF2N的最值；若斜率不存在，設(shè)直線方程和點(diǎn)M，N坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，并消元得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2【解答過程過程】解：（1）動點(diǎn)P到兩頂點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）的距離之和為22，所以|PF1|+|PF2|＝22＞|F1F2|＝2則動點(diǎn)P的軌跡是F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，所以2a＝22，c＝1，即a=2，b2＝a2﹣c2＝1所以曲線C的方程為x22+y2（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，x＝﹣1，則M（﹣1，22），N（﹣1，?此時F2M→S△MF2N=12×2×②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為y＝k（x+1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立y=k(x+1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2+4k2x+2所以x1+x2=?4k22k2所以y1y2＝k（x1+1）?k（x2+1）＝k2（x1x2+x1+x2+1）=?F2M→?F2M→=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x=2(=7=7綜合①②可得，當(dāng)直線l：x＝﹣1時，F(xiàn)2M→所以S△M【變式4-2】（2023秋?路南區(qū)校級期中）已知拋物線T：y2＝2px（p∈N+）和橢圓C：x25+y2=1，過拋物線T的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交橢圓（Ⅰ）若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面積的最大值．【解題思路】（1）由題可知F是橢圓C的焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓方程即可求解；（2）由拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則聯(lián)立直線與拋物線方程，可得到AB中點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系，以及點(diǎn)G在橢圓內(nèi)部，即可進(jìn)行求解．【解答過程】解：（Ⅰ）在橢圓中，c2＝a2﹣b2＝4，所以c＝2，由p2=2，得p＝（Ⅱ）設(shè)直線l：x=my+p2，代入拋物線方程得y2﹣2mpy﹣p2＝設(shè)AB的中點(diǎn)G（x0，y0），則y0＝mp，x0由kOG?kMN=?由點(diǎn)G在橢圓內(nèi)，得(m2p+因?yàn)閜∈Z，所以p的最大值是2，△OAB面積S=1所以，當(dāng)p＝2時，△OAB面積的最大值是32【變式4-3】（2023?閔行區(qū)校級開學(xué)）如圖，直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y相交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h為定值），線段AB的中點(diǎn)為D，與直線l平行的拋物線x2＝4y的切線的切點(diǎn)為C．（1）用k、b表示出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并證明CD垂直于x軸；（2）求△ABC的面積（只與h有關(guān)，與k、b無關(guān)）；【解題思路】（1）直線l：y＝kx+b代入拋物線x2＝4y，求出D的坐標(biāo)，設(shè)切線方程為y＝kx+m，代入拋物線方程，求出C的坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；（2）利用韋達(dá)定理，表示出三角形面積，即可得出結(jié)論；【解答過程】解：（1）由直線l：y＝kx+b與拋物線x2＝4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b∴點(diǎn)D（2k，2k2+b）…（2分）設(shè)切線方程為y＝kx+m，代入拋物線方程可得x2﹣4kx﹣4m＝0，得Δ＝4p2k2+16m＝0，m＝k2，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2k，得C（2k，k2），由于C、D的橫坐標(biāo)相同，∴CD垂直于x軸．（2）∵h(yuǎn)2=|x2?x1|2=16∴S△ABC=12|CD||x2﹣x1|∴△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．【題型5拋物線中的定點(diǎn)、定值問題】【例5】（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)P（x0，2）到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．【解題思路】（1）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解拋物線方程即可．（2）①直線MN斜率不存在時，PM⊥PN不成立；②直線MN斜率不存在時，設(shè)直線MN：y＝kx+m，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，推出k、m的關(guān)系，說明直線MN過點(diǎn)H（5，﹣2），推出結(jié)果．【解答過程】解：（1）由拋物線定義，得|PF|=x0+p所以拋物線C的方程為y2＝4x．（2）證明：①直線MN斜率不存在時，PM⊥PN不成立；②直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN：y＝kx+m，y2=4xy=kx+m解得k2x2+（2km﹣4）x+m2設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x因?yàn)镻M⊥PN，所以PM→得(k所以(k得5k2+（6m﹣8）k+m2﹣4＝0，即（k+m﹣2）（5k+m+2）＝0，當(dāng)m＝﹣k+2時，過定點(diǎn)P（1，2），不符合題意；當(dāng)m＝﹣5k﹣2時，直線MN過點(diǎn)H（5，﹣2），所以點(diǎn)D在以PH為直徑的圓上，故當(dāng)Q為PH的中點(diǎn)Q（3，0）時，|DQ|=22【變式5-1】（2023秋?徐州期中）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線x23?（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（3）若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線l過定點(diǎn)．【解題思路】（1）由拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離可得p值，即得拋物線方程，（2）由拋物線的定義，可得P點(diǎn)，（3）由直線的位置關(guān)系，再聯(lián)立拋物線，可得定點(diǎn)．【解答過程】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)F為(p2，即x±3y=0解得p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x，（2）設(shè)P（x0，y0），由拋物線的定義可知x0+p解得x0＝2，將x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐標(biāo)為（2，±4）．證明：（3）由題意知直線l不能與x軸平行，故方程可設(shè)為x＝my+n（n≠0），與拋物線聯(lián)立得x=my+ny2=8x，消去x得y2﹣8my﹣8n設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），則y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0，y1y2亦即﹣8n（1+?8n64）＝0，又n≠解得n＝8，所以直線方程為x＝my+8，易得直線l過定點(diǎn)（8，0）．【變式5-2】（2023秋?浙江期中）已知點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)直線l1，l2為曲線C的兩條互相垂直切線，切點(diǎn)為A，B，交點(diǎn)為點(diǎn)M．（?。┣簏c(diǎn)M的軌跡方程；（ⅱ）求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解題思路】（1）由題意直接寫出拋物線方程即可，（2）（i）求出過A，B兩點(diǎn)的切線方程，再由題意兩切線互相垂直，得出M的軌跡方程即可，（ii）寫出AB的方程，再化簡得出定點(diǎn)即可．【解答過程】解：（1）點(diǎn)P到（1，0）的距離等于到直線x＝﹣1的距離，p2=1，則p＝∴曲線C的方程：y2＝4x，（2）設(shè)A(y124，同理可得過點(diǎn)B的切線為y=2根據(jù)l1⊥l2，可得y1y2＝﹣4．所以聯(lián)立兩條切線方程y=2可得xM＝﹣1，所以M的軌跡為x＝﹣1，（ii）由題意可得lAB的直線方程為y?y=4所以必過（1，0）．【變式5-3】（2023秋?溫州月考）如圖，曲線C2與拋物線C1：y＝x2關(guān)于x軸對稱．P是C2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作C2的切線與C1自下而上依次交于兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)P作C1的切線與C1切于點(diǎn)C（P，C在y軸同側(cè)），直線BC與y軸交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，求|AB|；（Ⅱ）記△QAB和△PAC的面積分別為S1和S2，判斷S1【解題思路】（Ⅰ）設(shè)P(x0，?x02)(x0＜0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，由（Ⅱ）lPC：y=k(x?x0)?x02，聯(lián)立y＝x2，得x2?kx+kx0【解答過程】解：（Ⅰ）由對稱性不妨設(shè)P在y軸左側(cè)，設(shè)P(x∵y＝﹣x2，∴y'＝﹣2x，∴l(xiāng)AB又lAB過拋物線y＝x2的焦點(diǎn)(0，∴x02=14，∴x聯(lián)立y＝x2，得x2設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1∴|AB|=2（Ⅱ）由對稱性不妨設(shè)P在y軸左側(cè)，設(shè)P(xlPC：y=k(x?x0)?x0∴Δ=k∵點(diǎn)C在y軸左側(cè)，∴k=2x設(shè)C（x3，y3），∴x3聯(lián)立y=?∴x2＝﹣x3，∴BC∥x軸．∴SΔQAB＝SΔQAC＝S1，∴2S∴S1【題型6拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】利用拋物線解決實(shí)際問題的基本步驟：

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；

②求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

③根據(jù)拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關(guān)系來解決實(shí)際應(yīng)用問題.【例6】如圖，一拋物線型石拱橋在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，橋的最大高度為16m，跨度為40m．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）求距離y軸5m的石拱橋的高度．【解題思路】（1）根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），并且過（20，﹣16），利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式待定系數(shù)法求它的表達(dá)式即可；（2）把x＝5代入函數(shù)表達(dá)式，解方程即可．【解答過程】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，∵拋物線過（20，﹣16），根據(jù)題意代入，得a=?即得拋物線的解析式為y=?125（2）把x＝5代入函數(shù)表達(dá)式，得y=?125×516﹣