288727142022屆高考數(shù)學滬教版一輪復(fù)習-講義專題10數(shù)列的極限復(fù)習與檢測

專題10數(shù)列的極限復(fù)習與檢測專題10數(shù)列的極限復(fù)習與檢測

學習目標

1.數(shù)列極限的概念，

2.數(shù)列極限的運算法則，

3.常用的數(shù)列極限公式，

4.無窮等比數(shù)列各項的和。知識梳理

1、在無限增大的變化過程中，如果數(shù)列中的項無限趨向于某個常數(shù)，那么稱為數(shù)列的極限，記作．換句話說，即：對于數(shù)列，如果存在一個常數(shù)，對于任意給定的，總存在自然數(shù)，當時，不等式恒成立，把叫做數(shù)列的極限，記為．

重點1

幾個常見的極限：（1）C=C（C為常數(shù)）；（2）=0；（3）qn=0（|q|＜1）；（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；（5）．重點2

幾個常見的極限：

（1）C=C（C為常數(shù)）；（2）=0；（3）qn=0（|q|＜1）；（4）=（k∈N*，a、b、c、d∈R且c≠0）；（5）．重點3

數(shù)列極限的四則運算法則：設(shè)數(shù)列，當時，； ； ；特別地。如果c是常數(shù)，那么．例題分析

例1．已知數(shù)列滿足，則下列選項錯誤的是（）A．數(shù)列單調(diào)遞增 B．數(shù)列無界C． D．【答案】D【詳解】，所以數(shù)列單調(diào)遞增，恒成立，故A，B正確；，，所以，所以，故C正確：因為，所以，結(jié)合數(shù)列單調(diào)遞增，所以，故D錯誤，故選：D.例2．已知數(shù)列中，，，記，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④.則（）A．①③正確 B．①④正確 C．②③正確 D．②④正確【答案】D【詳解】①，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以與同號，又因為，所以，即，故①錯；，由①知，數(shù)列是遞增數(shù)列且恒小于，所以，所以即恒成立，故②正確；因為，，等價于，因為數(shù)列是遞增數(shù)列且恒小于，所以存在，當時，有，因為為固定的值，記為，趨向于，，所以，所以，故③錯誤；因為，，，所以等價于，因為恒成立，所以恒成立，故④正確；故選：D.跟蹤練習1．等差數(shù)列?的前項和為和，若，則（）A． B． C． D．2．無窮等比數(shù)列中，，則首項的取值范圍是（）A． B． C． D．3．，則（）A． B．4 C．1 D．4．無窮等比數(shù)列的各項和為（）A． B． C． D．5．“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”是“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要6．若，數(shù)列是由數(shù)列中，由小到大（指下標）排序而成，則（）A． B．C．不一定有極限 D．的極限與有關(guān)7．將正奇數(shù)1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原則排成如下的數(shù)陣，已知由上往下數(shù)，從第2行開始，每一行所有的正整數(shù)的個數(shù)都是上一行的2倍．設(shè)是位于這個數(shù)陣中第行（從上往下數(shù)）、第列（從左往右數(shù)）的數(shù)．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）若，求、的值；（3）若記這個數(shù)陣中第行各數(shù)的和為，數(shù)列的前n項和為，求極限的值．8．已知無窮數(shù)列的首項為，其前項和為，且（），其中為常數(shù)且．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式，并求的值；（2）設(shè)，，是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項成立？若存在，求出滿足條件的所有值；若不存在，請說明理由．（3）求證：數(shù)列中不同的兩項之和仍為此數(shù)列中的某一項的充要條件為存在整數(shù)且，使得．9．設(shè)是公差為的等差數(shù)列，且，是等比數(shù)列，其前項和為，為坐標原點，向量，，點列滿足，其中.（1）求：與的通項公式；（2）求：10．已知為等差數(shù)列的前項和，若，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對于數(shù)列極限有如下常用結(jié)論：，設(shè)，用記號表示，試求的值.（3）從（2）的數(shù)列中取出部分項按原來的前后順序組成一個無窮等比數(shù)列，且滿足它的各項和等于，試求出的通項公式.

參考答案1．C【詳解】因為，所以，解得.故選：C2．B【詳解】由題意，無窮等比數(shù)列中，，可得，且且，所以，因為且，所以且.即首項的取值范圍是.故選：B.3．B【詳解】當時，極限不存在，所以，，所以，所以，故選：B4．C【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，所以前項和為，所以無窮等比數(shù)列的各項和為，故選：C5．C【詳解】都存在，所以，，所以與存在，故充分性成立；記，，則，，由題意，都存在，所以，，所以都存在，故必要性成立，所以“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”是“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”的充分必要條件.故選：C.6．A【詳解】根據(jù)數(shù)列極限的特點，一個數(shù)列若極限存在，則去掉前面有限項后，構(gòu)成的新數(shù)列極限依然存在且與原數(shù)列的極限相等，所以.故選：A.7．（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）由已知，這個數(shù)陣的第n行有個數(shù)，所以前行一共有個數(shù)（2）令，滿足不等式的最大整數(shù)為10．解得所以（3）由題意，，所以所以，8．（1）（）；；（2）存在；的值為；（3）證明見解析．【詳解】（1）由，得數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列．故（）；．（2）是等差數(shù)列，，得，又因為，所以．故，所以（），，當時，，不等式成立；當時，不等式都不成立．所以滿足條件的所有的的值為．（3）①先證必要性：任取等差數(shù)列中不同的兩項和（），存在，使得，則，得，故存在，使得，使得，．再證：運用反證法．假設(shè)當時，不成立，則恒成立．對于不同的兩項、，應(yīng)存在，使得，即，故，又因為是小于的整數(shù)，故．所以假設(shè)不成立，故．②再證充分性：當，，，任取等差數(shù)列中不同的兩項和（），，因為且，所以，綜上①②可得，等差數(shù)列中不同的兩項之和仍為此數(shù)列中的某一項的充要條件為存在整數(shù)且，使得得證．9．（1）；（2）.【詳解】（1）是公差為的等差數(shù)列，且，，又當時，，當時，，且符合的