2024年湖北省武漢市江夏區(qū)光谷實驗中學中考數(shù)學一模試卷

2024年湖北省武漢市江夏區(qū)光谷實驗中學中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）的相反數(shù)是（）

2024

A.2024B.-2024C.一」D.—5—

20242024

2.（3分）下列是幾個著名汽車品牌標志，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是

（）

C.

3.（3分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（）

A.點數(shù)的和為1B.點數(shù)的和為6

C.點數(shù)的和大于12D.點數(shù)的和小于13

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.（-3a2）3=-9a6B.（-a）2,a3=a5

C.（2x-y）2=4/-/D.a2+4a2—5a4

5.（3分）從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動，甲被選中的概率是（）

A.AB.Ac?2D.A

3239

6.（3分）如圖，兩個反比例函數(shù)＞=9和y=2i和。2,設點尸在。上，軸于點A,

A.1B.2C.3D.4

2

7.（3分）如果/+2x-2=0,那么代數(shù)式Y(jié)x+4-上的值為（）

x-2xx+2

A.-2B.-1C.1D.2

8.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,過點。作。。的切線，交A8于點石；若半徑為3,

且sinZCF￡>=2()

545

9.（3分）3月23日早晨，“母親河畔的奔跑-2013重慶國際馬拉松賽”在南濱公園門口鳴

槍開跑，甲、乙兩選手的行程y（千米）（時）變化的圖象（全程）如圖所示.有下列說

法：

B.第1小時兩人都跑了21千米

C.甲比乙先到達終點

D.兩人都跑了42.195千米

10.（3分）如圖，在正方形A8CZ）中，E是8C的中點，AELEF.有下列結(jié)論：①NBAE

=30°；②射線FE是/AFC的角平分線；③CF二~CD（）

3

AD

C.②③④D.②④

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）計算-6）2的結(jié)果是.

12.（3分）世界文化遺產(chǎn)長城總長約210001米，數(shù)21000用科學記數(shù)法表示

為.

13.（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯A8的傾斜角為37。，大

廳兩層之間的距離為6米，則自動扶梯的長約為.（sin37020.6,

cos37°-0.8,tan37°'0.75)

14.（3分）如圖，小紅同學用儀器測量一棵大樹AB的高度，在C處測得/AZ）G=30°,

CE=8米，儀器高度CO=1.5米米.

15.（3分）如圖，已知開口向下的拋物線>=辦2+bx+c與x軸交于點（-1,0）,對稱軸為

直線x—1.下列四個結(jié)論：①a/?c>0；?2a+b—02+bx+c的最大值為-4a；④若關于x

的方程辦2+6尤+c=a+l無實數(shù)根，則-1<?<0.其中正確的是（填寫序號）.

5

16.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=8,且。E=4,CE的垂直平分線交C2的延長線于

點F,連接EF交AB于點G.若G是的中點，則BC的長是.

三、解答題（共6小題，共52分）

17.（8分）解不等式組（2x+l》-l①請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

l4x-5<3（2）

-5-4-3-2-1012345

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（4）原不等式組的解集為.

18.（8分）已知：如圖，點。，E,尸分別是三角形ABC的邊8C,AB上的點，DF//CA-,

（1）求證：DE//BA.

（2）若/BFD=/BDF=2NEDC,求的度數(shù).

19.（8分）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“合格”,

“不合格”.

24

（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為，“合格”人數(shù)的百分比為;

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）扇形統(tǒng)計圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為；

（4）在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率

為.

20.（8分）如圖，A8是的直徑，點。是弦AC延長線上一點，過點C作O。的切線，

交DE于點F.

（1）求證：FC=FD；

（2）若E是08的中點，sinD=旦，。4=2

5

21.（10分）【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,在等腰直角△ABC中，點。是斜邊BC上任意一點，使NZME=90°,AD

=AE,則/ABC和NACE的數(shù)量關系為；

【拓展延伸】

（2）如圖2,在等腰AABC中，（不與點8,C重合），在的右側(cè)作等腰△

ADE,使AD=DE,連接CE,則（1）中的結(jié)論是否仍然成立；

【歸納應用】

（3）在（2）的條件下，若A2=BC=6,點。是射線BC上任意一點，請直接寫出當C。

=3時CE的長.

22.（10分）如圖,在平面直角坐標系尤Oy中，直線產(chǎn)工，與y軸交于點C,拋物線y=ax1+bx+c

2'

的對稱軸是直線X=-3且經(jīng)過A,C兩點

2

（1）求拋物線解析式.

（2）拋物線上是否存在點過點M作跖V垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂

點的三角形與△ABC相似？若存在；若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）」-的相反數(shù)是（）

2024

A.2024B.-2024c__1D?薪

2024

【解答】解:的相反數(shù)是一

20242024

故選：C.

2.（3分）下列是幾個著名汽車品牌標志,其中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是

()

A.B.

【解答】解：4該圖形是軸對稱圖形，故本選項不符合題意;

3、該圖形是軸對稱圖形，故本選項不符合題意;

C、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

。、該圖形是軸對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：C.

3.(3分)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是()

A.點數(shù)的和為1B.點數(shù)的和為6

C.點數(shù)的和大于12D.點數(shù)的和小于13

【解答】解：A、兩枚骰子的點數(shù)的和為1,故不符合題意；

B、兩枚骰子的點數(shù)之和為6,故符合題意；

C、點數(shù)的和大于12,故不符合題意；

。、點數(shù)的和小于13,故不符合題意；

故選：B.

4.(3分)下列運算正確的是()

A.(-3a2)3=-9a6B.(-a)2,ai—cc'

C.(2x-y)2=4/-y2D.a2+4a2=5a4

【解答】解：選項A：(-3a2)6=一27/，所以不符合題意；

選項8：(-a)2?a7=a2.a3=q3,所以符合題意；

選項C：(2x-y)2=2%2-4沖+；/,所以不符合題意；

選項。：a2+4ai=5a2,所以不符合題意；

故選：B.

5.(3分)從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動，甲被選中的概率是()

A.AB.AC.2D.A

3239

【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲被選中的結(jié)果有4種,

則甲被選中的概率為呈上

66

故選：C.

開始

乙丙甲丙甲乙

6.（3分）如圖，兩個反比例函數(shù)丁=9和y=2i和。2,設點尸在C1上，鞏_Lx軸于點A,

XX

【解答】解：???B4J_x軸于點A,交C2于點8,

SAPOA=AX4=2,X2=6,

82

:?S叢POB=2-1=5.

故選：A.

2

7.(3分)如果/+2x-2=0,那么代數(shù)式'?x'4x+4-上的值為()

x-2xx+2

A.-2B.-1C.1D.2

【解答】解：原式=’?1至-3)"

x-2xx+2

_x-3_x

xx+2

X(x+2)X(x+8)

__4

X2+8X

：7+2x-3=0,

.,.7+6尤=2,

則原式=-――-2,

8

故選：A.

8.(3分)如圖，在△ABC中，AB=AC,過點。作。。的切線，交于點E；若半徑為3,

且sinZCF￡>=2()

545

【解答】解：連接。如圖，

VAB=AC,

ZB=ZACB,

'：OC=OD,

J.ZOCD^ZODC,

:.NB=/ODC,

：.OD//AB,

：OP為切線，

：.OD±DF,

：.AE1EF,

在Rt/XOD尸中，-：smZCFD=^-^^.,

OF5

：.OF=7,

在RtAA￡F中，?/sin/F=3^=3,

AF5

.-.A￡=A(3+2)="

55

故選：A.

S

E

O

9.（3分）3月23日早晨，“母親河畔的奔跑-2013重慶國際馬拉松賽”在南濱公園門口鳴

槍開跑，甲、乙兩選手的行程y（千米）（時）變化的圖象（全程）如圖所示.有下列說

法：

B.第1小時兩人都跑了21千米

C.甲比乙先到達終點

D.兩人都跑了42.195千米

【解答】解：根據(jù)圖象得：

起跑后1小時內(nèi)，甲在乙的前面，不符合題意;

在跑了1小時時，甲追上乙，故選項8正確；

乙比甲先到達終點，故選項C錯誤；

兩人都跑了42.195千米，故選項。正確.

故選：C.

10.（3分）如圖，在正方形ABC。中，E是5C的中點，AELEF.有下列結(jié)論：①N8AE

=30°；②射線是NA/C的角平分線；③CF』CD（）

3

A_______________D

BC

匚E

A.①②③B.①②④C.②③④D.②④

【解答】解：：在正方形ABC。中，E是8C的中點，

：.AB=BC,BE=L

2

tanA=-^-=—,

AB2

Vtan30°=返，

8

：.ZBAE^30°,故①錯誤；

VZB=ZC=90°,AE±EF,

：.ZBAE+ZBEA=90°,ZBEA+ZCEF=90°,

：.ZBAE=ZCEF,

：.AABEsAECF,

,:AB=2BE=2CE,

：.EC=7CF,

設CB=a,則EC=BE=2q,

'.AE—EF—\[^>a,

tanZAFE--^-=2,

EF

ZAFE=ZCFE,

即射線小是NAFC的角平分線，故②正確;

"：BC=CD,BC=6CE=4CF,

.".CF=ACD；

7

作EGLAF于點G,

：尸￡平分/ABC,ZC=90°,

:.EG=EC,

：.EG=EB,

'：ZB=ZAGE=90°,

在RtAABE和RtAAGE中，

fAE=AE

lEB=EG，

.,.RtAAB￡^RtAAGE(HL),

：.AB=AG,

又?：CF=GF,AF^AG+GF,

：.AF^AB+CF,故④正確，

由上可得，②④正確，

故選：D.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）計算一6）2的結(jié)果是6.

【解答】解：?^產(chǎn)2.

故答案為：6.

12.（3分）世界文化遺產(chǎn)長城總長約21000千米，數(shù)21000用科學記數(shù)法表示為2.1X

104.

【解答】解：數(shù)21000用科學記數(shù)法表示為2.1X105.

故答案為：2.1X108.

13.（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯A2的傾斜角為37°,大

廳兩層之間的距離BC為6米，則自動扶梯A8的長約為10米.（sin37°?0.6,cos37°

-0.8,tan37°心0.75）

【解答】解：根據(jù)題意得：ZBAC=37°,ZACB=90°,

??/BC

?sinZ^BAC^7D-,

AB

?

??6—比07，

AB0，

解得：A3-10米，

即自動扶梯A8的長約為10米.

故答案為：10米.

14.（3分）如圖，小紅同學用儀器測量一棵大樹A8的高度，在C處測得NAOG=30。，

CE=8米，儀器高度CD=1.5米（1.5+4、.笈）米.

【解答】解：由題意，四邊形CDFE、四邊形CDBG均為矩形,

AADG,△AFG均為直角三角形，

所以CO=8G=1.5米，CE=O尸=5米.

在RtZXAOG中，：tan/AOG=幽，

DG

即DG=—艙—=MAG,

tan300

在RtAAFG中，,?tan/AFG=旭，

FG

即FG=—%—=近47,

tan6005

又?：DG-FG=DF=8,

???V3AG-2^1.

_3

即會反AG=8

3

：.AG=2yf3

：.AB=AG+GB=1.4+4V3（米）

故答案為：6.5+475

15.（3分）如圖，已知開口向下的拋物線丫二^^+沙龍+c與x軸交于點（-1,0）,對稱軸為

直線x=\.下列四個結(jié)論：①次2c>0；②2〃+8=（）2+陵+0的最大值為-4。；④若關于x

的方程a^+bx+c^a+1無實數(shù)根，則-l<a<0.其中正確的是②③④（填寫序號）.

5

【解答】解：.??拋物線開口向下,

二?aVO,

:拋物線交y軸于正半軸，

.?.c>0,

：-也>0,

2a

：.b>0,

abc<6,故①錯誤.

V拋物線的對稱軸是直線x=1,

?.-也=3,

2a

2?+/?=0,故②正確.

??,拋物線〉=依8+陵+。與％軸交于點(-1,0),

???拋物線交了軸于另一點(7,0),

???可以假設拋物線的解析式為(x+1)(x-7),

當％=1時，y的值最大，故③正確.

ax^+bx+c=a+S無實數(shù)根，

：.a(x+1)(x-3)=。+5無實數(shù)根，

?'.ax1-lax-la-1=0,A<7,

J.4a2-5a(-4tz-1)<7,

?\a(5〃+l)<5,

-A<fl<8,

5

故答案為：②③④.

16.(3分)如圖，矩形A8C。中，AB=8,且。E=4,CE的垂直平分線交C8的延長線于

點凡連接所交于點G.若G是AB的中點，則2C的長是7.

【解答】解：：矩形ABC。中，G是AB的中點,

：.AG=BG=XS=4,

在AAEG和△8FG中，

fZA=ZGBF=90°

<AG=BG，

ZAGE=ZBGF

/.AA￡G^ABFG(ASA),

：.AE=BF,EG=FG,

設AE=x,

貝!JCF=BC+BF=AD+BF=2^x+x=^2x,

在RtAAEG中，￡G=7AE8+AG2=VX2+16'

A￡F=32

VX+16-

垂直平分CE,

：.CF=EF,

2

**-4+6x=2-^X+15，

解得：x=8,

.\AZ）=AE+Z）E=4+3=3,

：.BC=AD=7.

故答案為：7.

三、解答題（共6小題，共52分）

17.（8分）解不等式組［2x+l）-l①請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

l4x-5<3（2）

-5-4-3-2-1012345

（1）解不等式①，得Q-1;

（2）解不等式②，得尤W2；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（4）原不等式組的解集為-1WXW2.

【解答】解：（1）解不等式①，得xN-1；

（2）解不等式②，得xW2；

（3）把把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-5-4-3-2-1012345

（4）所以原不等式組的解集為-2WxW2.

故答案為：（DxN-l；⑵xW2；（4）-1WXW2.

18.（8分）已知：如圖，點。，E,尸分別是三角形A8C的邊BC,AB上的點，DF//CA-,

(1)求證：DE//BA.

⑵若NBFD=NBDF=2/EDC,求的度數(shù).

A

???/DFB=NA,

XVZFDE=NA,

：.ZDFB=ZFDEf

：.DE//AB；

(2)設NEZ)C=%°,

ZBFD=ZBDF=2ZEDCf

：.ZBFD=ZBDF=2x°,

由(1)可知OE〃衣4,

ZDFB=ZFDE=5x°,

/.ZBDF+ZEDF+ZEDC=2x°+2x°+x°=180°,

，x=36,

又丁。石〃A3,

：.ZB=ZEDC=36°.

19.（8分）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優(yōu)秀”,“合格”,

“不合格”.

（2）補全條形統(tǒng)計圖;

（3）扇形統(tǒng)計圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為115.2。；

（4）在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為1.

一3一

【解答】解：（1）本次抽查的總?cè)藬?shù)為8?16%=50（人），

“合格”人數(shù)的百分比為1-（32%+16%+12%）=40%,

故答案為：50人，40%；

（2）補全圖形如下：

（3）扇形統(tǒng)計圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為360°X32%=115.5

故答案為：115.2。；

（4）列表如下：

甲乙丙

甲（乙，甲）（丙，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）

由表知，共有6種等可能結(jié)果,

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為上=2.

67

故答案為：1.

3

20.（8分）如圖，A8是。。的直徑，點。是弦AC延長線上一點，過點C作。。的切線,

交DE于點F.

（1）求證：FC=FD；

(2)若E是03的中點，sin￡)=3,04=2

【解答】(1)證明：連接0C,如圖，

?；CF為OO的切線，

???OC-LCF,

：.ZOCF=90°,

：.ZFCD+ZACO=90°,

V0A=0C,

：.Z0CA=ZA,

：.ZFCD+ZA=90°,

*：DE±ABf

???NO+NA=90°,

：.ZD=ZFCDf

：.FC=FD；

(2)解：連接BC,過戶點作切_LCD于H,

YE是08的中點，OA=2,

：.0E=1,

.\AE=5,

在RtZXAOE中，

Vsin￡)=.^=2,

AD5

.?.">=2x3=6,

3

VAB為直徑，

AZACB=9Q°,

AZABC+ZA=90°，

VZD+ZA=90°,

，ZABC=ZD,

在中，

sinZABC=sin￡)=-^-=A,

AB5

.*.AC=AX4=1^,

53

CD=AD-AC=5-11=4

55

,:FC=FD,FHLCD,

￡>H=CH=Ac￡>=12,

210

在RtADFH中，

,?*sin￡)=^H=&,

DF5

.?.設F”=3x,DF=6x,

：.DH=4x,

即4x=-^.,

10

解得X=W,

40

：.DF=4xH=H.

408

21.(10分)【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在等腰直角△ABC中，點。是斜邊BC上任意一點，使/ZME=90°,AD

=AE,則NA8C和NACE的數(shù)量關系為相等；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在等腰△ABC中，AB=BC(不與點2,C重合)，在AD的右側(cè)作等腰△

ADE,使A￡)=Z)E,連接CE,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立；

【歸納應用】

(3)在(2)的條件下，若A2=BC=6,點。是射線BC上任意一點，請直接寫出當C。

=3時CE的長.

【解答】解：(1)相等，:△ABC和△AOE都是等腰直角三角形,

J.AB^AC,AD=AE,

：.ZBAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

即NBAD=NCAE,

AABD^AACE(SAS),

/ABC=ZACE,

故答案為：相等；

(2)成立，

理由：'：AB=BC,

：.ZBAC^ZACB^l-x(180°-ZABC),

2

\'AD=DE,

：.ZDAE=ZDEA=LX(180°-/ADE),

2

ZABC=/ADE,

：.ZBAC=ZDAE,

；.NBAD=/CAE,AABC^AADE,

???AB二AD,

ACAE

AABDsAACE,

：.NABC=/ACE；

(3)如圖2,"：AB=BC,

：.ZBAC=ZACB=^-x(180°-AABC},

\'AD=DE,

/.ZDAE^ZDEA^l-X(180°-/ADE),

4

,//ABC=ZADE,

；./BAC=NDAE,

：./BAD=ZCAE,AABCsAADE,

?ABAD

??而隨

AABD^AACE,

?AB=BD

"ACGE'

VAB=BC=6,AC=4,

???4-_6---3-,

4CE

：.CE=2.

如圖3,\'AB=BC,

：.ZBAC=ZACB=^-x<180°-ZABC),

2

\"AD=DE,

J.ZDAE^ZDEA^^x(180°-/ADE),

2

,//ABC=AADE,

J.ZBAC^ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,AABCs△ADE,

?ABAD

,?而記

AABDsAACE,

?AB=BD