2024年中考數(shù)學(xué)重點：平面直角坐標系壓軸題

2024年中考數(shù)學(xué)重點專題：平面直角坐標系壓軸題

1.如圖，在平面直角系中，點A的坐標是(0,4),在x軸上任取一點8,連接作

線段AB的垂直平分線心過點B作x軸的垂線〃，記34的交點為尸.設(shè)點尸的坐標

k.y

4-

3-

2-

1-

Illi1111A

-4-3-21234%

-1-

-2-

—3-

—4-

備用圖

⑴用含x,y二個字母的代數(shù)式表示外的長度.

(2)當(dāng)點B在X軸上移動時，點尸也隨之運動，請求出點尸的運動路徑所對應(yīng)的函數(shù)解析

式.

2.如圖1,在平面直角坐標系中，點2的坐標是(。，2),動點A從原點。出發(fā)，沿著無

軸正方向移動，是以為斜邊的等腰直角三角形(點48、尸順時針方向排列).

圖1圖2

⑴當(dāng)點A與點。重合時，得到等腰直角△O3C（此時點P與點C重合），貝i]8C=

.當(dāng)。4=2時，點尸的坐標是；

⑵設(shè)動點A的坐標為",0）?>0）.

①點A在移動過程中，作尸軸于M,PNLOA于N,求證：四邊形PMCW是正方

形；

②用含f的代數(shù)式表示點尸的坐標為：（,）；

⑶在上述條件中，過點A作y軸的平行線交的延長線于點0,如圖2,是否存在這

樣的點4使得-4。的面積是A03的面積的3倍？若存在，請求出A的坐標，若不

存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，直線y=丈+3分別交x軸，y軸于

⑴求乙鉆。的度數(shù)；

⑵點C是線段48上一點，連接OC,以O(shè)C為直角邊作等腰直角OCD，其中OC=8,

試卷第2頁，共12頁

且點。在第三象限，連接AO.設(shè)點C的橫坐標為f,ACD的面積為S,求S與/之間

的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量f的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，點E為x軸正半軸上的一點，連接3E,點F是班的中點，連接

Cf"并延長交x軸于點G,過點。作D"〃CF交x軸于點“，若NA￡B-/ADH=45。，

CG=3DH,求點。的坐標.

4.如圖，在直角平面坐標系中，ABC的邊在x軸上，且AB=3,點A的坐標為(-5,0),

點C的坐標為(2,5).

(1)求這樣的.ASC一共幾個？并寫出符合條件的點B的坐標;

(2)試求，ABC的面積.

5.如圖，平面直角坐標系中有點8(1,0)和y軸上一動點A(0,-a),其中a>0,以點A為

直角頂點在第四象限內(nèi)作等腰直角ABC,設(shè)點C的坐標為(G").

(1)當(dāng)a=2時，點C的坐標為

(2)動點A在運動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化，若不變，請求出其值；若

發(fā)生變化，請說明理由.

(3)當(dāng)。=3時，在坐標平面內(nèi)是否存在一點尸(不與點C重合)，使,與.ABC全等？

若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

于點求點尸的坐標;

試卷第4頁，共12頁

(2)如圖2,點尸(0,力)為y軸正半軸上一動點，以轉(zhuǎn)為直角邊作等腰直角三角形APC,

點。(%,九)在第一象限，ZAPC=90°,當(dāng)點P運動時，力一汽的值是否發(fā)生變化？

若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

⑶如圖3,點尸在y軸負半軸上，以AP為直角邊作等腰直角三角形APC,ZAPC=90°,

點C在第一象限，點H在AC延長線上，作軸于G,當(dāng)//(私2),探究線段尸”、

AG、OP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

7.已知在平面直角坐標系中，4(4,0),3(0,3),以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等

腰直角三角形ABC,AB=AC,ABAC=90°.

⑴直接寫出03的值.

⑵求點C坐標.

(3)若點A3是劉V軸正半軸上的動點，BQ,4。分別是乙煙和/BAx的角平分線,

交點為Q,求NQ的大小.

8.在平面直角坐標系中，點A3分別在x軸負半軸、》軸正半軸上運動，且滿足

AB=BC,NABC=90。，點C在第二象限.

⑴如圖1,當(dāng)點A(Y,O),3(0,2)時，點C的坐標為；

(2)以為直角邊作等腰直角△080(08=班),ZOBD=90°),如圖2,連接AD和0C

且相交于點尸，判斷AD和0C的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

(3)以。3為直角邊作等腰直角△030(03=%),N0%>=90。)，如圖3,連接CO交V軸

于點Q,在點A3的運動過程中，判斷8。與Q4的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑴直接寫出2點坐標;

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⑵如圖2,若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角ACD,ZACD=9Q°,

連接0D,求ZAOD度數(shù)；

(3)如圖3,過點A作y軸的垂線交y軸于E,尸為x軸負半軸上一點，G在E尸的延長線

上，以EG為直角邊作等腰用EG",過A作x軸的垂線交EH于點連接府，等

AM-FM

式=1是否成立?若成立，請證明；若不成立，說明理由.

OCF二

10.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+4交坐標軸于A、B兩點，過x軸負半

軸上一點C作直線交y軸正半軸于點。，且△AO叵△DOC.

⑴OC=,OD=

⑵點1,4)是線段CD上一點，作ONLOM交AB于點N,連接MN,求點N的坐標;

⑶若E。/)為直線A3上的點，尸為y軸上的點，請問：直線CC上是否存在點。使

得△EPQ是以￡為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出此時0點的坐標;

若不存在，請說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標系中，已知A（。，。）、B（0,6）分別在坐標軸的正半軸上.

⑴如圖1,若a、b滿足（a-4y+|6-3|=0,以B為直角頂點，48為直角邊在第一象限

內(nèi)作等腰直角，ABC,則點C的坐標是；

⑵如圖2,若點。是Q4的延長線上一點，以。為直角頂點，8D為直角邊在第

一象限作等腰直角連接AE,求證：ZABD=ZAED-,

（3）如圖3,設(shè)=GNABO的平分線過點。（3,-3）,請求出a-b+c的值，并說明理

由.

12.在平面直角坐標系中，點40,“）在y軸正半軸上，直線/平分坐標系的第二、四象

限，點B是直線/上一動點.

試卷第8頁，共12頁

⑴如圖1,點A關(guān)于x軸的對稱點為尸點，則點尸的坐標為,當(dāng)尸B最短時，

點B的坐標為；(結(jié)果均用a表示)

(2)如圖2,當(dāng)ABLy軸，且垂足為點A時，以Q4為邊作正方形ABQO,M在x軸的正

半軸，且以為邊在x軸上方作正方形。跖忸，連接⑷V,若QW=6,

兩個正方形面積之和為20,求...A/7N的面積；

⑶如圖3,當(dāng)ABLy軸，且垂足為點A時，點尸在線段。8上運動(不與端點重合)，

點C是線段昉的中點，連接ARAC,以A為直角頂點，”為直角邊在第二象限內(nèi)

作等腰RtZ\E4尸，連接OE,交AC于點G,探究線段OE與AC的關(guān)系，并說明理由.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C都在坐標軸上，A0=3O=CQ5c=8.

(2)過點C作x軸的垂線/,動點P從點C出發(fā)，沿著直線/向上運動，若點P的速度是

1個單位/秒，時間是t,連接PAPB,請用含t的式子表示SPAB.

(3)在(2)的條件下，連接AP,以AP為斜邊，在AP下方作等腰直角△”￡?,連接3。

并延長至點。連接P。，QC,當(dāng)點。為8。中點時，請判斷△PC。的形狀，并說明理

由.

14.如圖，在平面直角坐標系中，40,2),8(3,0),過點8作直線/y軸，點P是直線

/上的動點，以AP為邊在AP右上側(cè)作等腰直角△APQ,使NAPQ=90。.

⑴如圖1當(dāng)點尸落在點B時，則點。的坐標是；

學(xué)生甲認為點。的坐標一定跟點尸有關(guān)，于是進行了如下探究：

(2)如圖2,小聰同學(xué)畫草圖時，讓點P落在＜、P］、8不同的特殊位置時(［在x軸上、

與x軸平行、當(dāng)。落在x軸上時對應(yīng)點A),畫出了幾個點對應(yīng)的2、Q”2三個

不同的位置，發(fā)現(xiàn)2、2、2在同一條直線上，請你根據(jù)學(xué)生甲的猜測及題目條件，

求出點。所在直線的解析式；

(3)在(2)中，雖然求出了點。所在直線的解析式，但是小明同學(xué)認為幾個特殊點確定

解析式是一種猜測，當(dāng)點尸在/上運動時，所有的。點都在一條直線上嗎？就解設(shè)了點。

的坐標為5y),希望用一般推理的方式求出X和y滿足的關(guān)系式，請你幫助小明給出解

試卷第10頁，共12頁

答.

15.在平面直角坐標系中，直線A3與x軸交于點4(-6,0),與y軸交于點3,且

4450=45°.

⑴求點8坐標和ABO的面積；

(2)如圖2,點。為。4上的一條延長線的一個動點，以8。為直角邊，以點。為直角頂

點，作等腰三角形qBDE,求證

⑶如圖3,AF平分，0AB,點M是射線AF上一動點，點N是線段4。上一動點，判

斷是否存在這樣的點M,N,使得。暇+NM的值最小，若存在，求出此時點N的坐

標，并加以說明；若不存在，則說明理由.

試卷第12頁，共12頁

參考答案:

1.（1）解：過點A作A//，于點H,如圖所示:

.?.04=4,OB=\x\,

：.AH=OB^x\,BH=OA=4,

：.HP=\4-y\,

根據(jù)勾股定理，得PA=4AH2+Hp2=J/+(4_?="f+y2_8y+]6,

即PA=7%2+r-8y+16；

(2)根據(jù)題意，可知點8坐標為(x,0),

V點P在線段AB的垂直平分線上，

PA=PB,

?y2=%2+y2_8y+]6,

.**y——%2+2

8

2.(1)解：???△O5C是等腰直角三角形，

BC=AC,ZC=90°,

：?OB=4iBC，

??,點8的坐標是(0,2),

???OB=2,

.?.BC=冷后；

答案第1頁，共31頁

OA=OB=2,

???.OAB是等腰直角三角形，

ZOAB=ZOBA=45°,

??,一ABP是等腰直角三角形，

:.ZABP=ZBAP=45°,

：.ZOBP=ZOAP=ZAOB=90°,

???四邊形加有是矩形，

.?.BP=OA=2,AP=OB=2,

工點尸的坐標為(2,2)；

故答案為：0;(2,2)；

(2)解：①???PM_Ly軸，PN_LQ4軸，

???ZPMB=ZPNA=ZPNO=ZMON=90。，

:?ZANP=/BMP=ZMPN=90。，四邊形是矩形,

,/是等腰直角三角形，

AZAPB=9Q°fBP=AP,

：.ZMPB=ZAPNf

在ABPM和，APN中，

'：ZANP=ZBMP=90°,ZMPB=ZAPN,BP=AP,

：.4BPM經(jīng)4APN,

???PM=PN,

???四邊形?MON是正方形；

②由①得：ABPM沿4APN,

:?BM=AN,

???四邊形尸MON是正方形，

：.OM=ON,

；?OB+BM=OA—AN,

??,點A的坐標為。,0)(90),

：?ON=t,

?：OB=2,

答案第2頁，共31頁

：.2+AN=t-AN,

：.OM=ON=^=-

2

t+2t+2

???點尸的坐標為

22

/+21+2

故答案為:

22

（3）解：存在,

設(shè)點A的坐標為（〃2,0）（〃120）,則。4=根,

S=—OAxOB=—x2m=m,

AOnRB22

m+2m+2,則。”=等

由（2）②得：點P的坐標為

2'2

根據(jù)題意得："MP=AAOB=ZOAQ=90°,

四邊形。4QW是矩形,

Z77+2

MQ=OA=m,AQ=OM=—^—

?C14c八41m+21/2C\

,,SABQ=—AQxOA=—mx---=—\^m+2mj,

VAQB的面積是^AOB的面積的3倍,

；(加2+2〃?)=3m,

解得：7〃=10或0（舍去）,

即存在點A（10,。），使得二AQB的面積是AC?的面積的3倍.

3.⑴解：在y=x+3中，當(dāng)x=0時，＞=3,當(dāng)＞=0時，0=x+3解得x=—3,

/.A(-3,0),3(0,3),

OA=OB=3,

???ZBAO=ZABO,

ZAOB=90°,

???ZBAO=ZABO=45°.

(2)解：如圖1,過點。作軸于點艮

答案第3頁，共31頁

:點C的橫坐標為t,

**.CR=—t,

在RtBCR中,VZBRC=90°,ZCBR=45°,

：./BCR=90°-ZCBR=45°=/CBR,

BR=CR=—t,

/.BC=JBR2+CR2=J(-r)2+(-f)2=,

,/ZCOD=ZAOB=90°,

ZAOD+ZAOC=90°,ZBOC+ZAOC=90°,

ZAOD=ZBOC,

XVOA=OB,OD=OC,

：.AAOD-BOC(SAS),

ZOAD=ZOBC=45°,AD=BC=一衣，

在RtAAOB中，AB=[OA+OB，=732+32=372，

在.ACD中，Z.CAD=ZOAC+ZOAD=45°+45°=90°,AC=AB-BC=3五+瓜

A5=1ADXAC=1X(-V2Z)(3>/2+萬卜-t2-3t.

(3)解：如圖所示，連接OF,

圖2

答案第4頁，共31頁

NBOE=90。,BF=EF,

；.OF=BF=EF,

：.ZFOE=ZFEO,

設(shè)NADH=a,

：.ZAEB=a+45°,

：.ZFOE=ZFEO=a+45°,ZAHD=/OAD—ZADH=45?！猘,

,:DH〃CG,

：.ZCGO=ZAHD=45°-a,

：.NCFO=NFOG+NFGO=450+a+45。-a=90。,

取OC的中點K,連接尸K交OB于點尸，過點尸作也，。3于點￡,過點K分別作

于點M,KNLFL交EL的延長線于點N,連接KL.

???四邊形RWLN是矩形；

VZCFO=90°,CK=OK,

：.FK=OK=CK,

'：BF=OF,FL1OB,

：.BL=OL,

:.KL//BC,

：.ZOLK=ZOBC=45°,

：.ZNLK=ZNLO-ZOLK=90°-45°=45°,

:,KM=KN,

：.RtZ\KOM^RtZ\KFN,

：.ZKOM=ZKFN,

又丁ZOPK=/FPL,

：.ZKOM+ZOPK=ZKFN+ZFPL=90°,

???ZOKP=9Q°f

：.FK_LOC,

???CF=OF,

：.ZCFK=ZOFK=45°f

：.NOW=45。，

VZCOD=90°,OC=OD,

答案第5頁，共31頁

ZOCD=ZODC=-(l80°-ZCOD)=45°=ZOCF,

延長OO交CG于點Q,取OE的中點R.

VBF=EF,OR=ER,

13

：.FR=-OB=~,FR//OB,

22

：.AFRO=ZAOB=90°,

VZOCD=ZOCQ,OC=OC,ZCOD=ZCOQ,

:./\COD^/\COQ,

OD=OQ,

同理方會△QO廠,

：.CF=FQ,

VZOHD=ZOGQ,ZDOH=ZQOG,OD=OQ,

：.Z\ODH^/\OQG,

.?.DH=GQ,

令DH=根，貝ijGQ=m,CG=3m,CQ=CG-GQ=3m-m=2m,CF=FQ=：CQ=m=OF,

FG=FQ+GQ=2m,

在RtaOPG中，OG=+FG?=+(2,7t)2=&n,

?/Se=-xOFxFG=-xOGxFR,

△OFG22

—xmx2m=—xJ5mx-,

222

解得根=［有，

4

在Rtaco尸中，OC=，。尸2+CF?=+=61=二屈=0口,

4

取GR的中點T,過點D作DS，x軸于點S.

?：FQ=GQ,RT=GT,

13

AQT=-FR=-,QT//FR,

24

AOTQ=NORF=90°=ZOSD,

Z\ODS沿4OQT,

3

???DS=QT=-,

4

答案第6頁，共31頁

在RtAODS中，OS=yJOD2-DS2=^(V10)2-(1)2=:,

...點D的坐標為.

4.1）解：如圖所示，符合條件的ABC有兩個，分別為“ABC、AB2C,

其中4（一2,0）、為（一8,。）；

(2)點C的坐標為(2,5),

?■?^BC=1X|-2-(-5)|X5=^=7.5.

5.(1)解：如下圖，過點C作軸于點E,則NCE4=NAO8,

???ABC是等腰直角三角形，

Z.AC^BA,ZBAC=90°,

：.ZACE+Z.CAE=900=ZBAO+Z.CAE,

：.ZACE=NBAO.

在△ACE和B4O中，

ZCEA=ZAOB

<NACE=ZBAO

AC=BA

答案第7頁，共31頁

ACE段BAO(AAS),

B(0,l),A(0,-2),

：.BO=AE=1,AO=CE=2,

：.OE=l+2=3,

：.C(2,-3)；

(2)解：動點A在運動的過程中，c+d的值不變.理由如下：

由(1)知，ACE^BAO,

VB(O,D,A(0,-?),

BO=AE=l,AO=CE=a,

OE=1+a,

C(a.,—1—(￡),

又：點C的坐標為(Gd),

c+d=a—l—a=—\,艮Plc+d的值不變；

(3)解：存在一點P,使一上旬與ABC全等，

符合條件的點P的坐標是(4,-1)或(-3,-2)或(-2,1),

分為三種情況討論：

①如下圖，過點P作PELx軸于點E,則/PfiA=/AC?=NP￡B=90°,

Z.NEPB+NPBE=90°,NPBE+ZABO=90°,

/EPB=ZABO,

在△尸EB和△3OA中，

ZEPB=ZOBA

-NPEB=ZBOA,

PB=BA

：.APEB^ABOA(AAS),

答案第8頁，共31頁

PE=BO=1,EB=AO=3,

???OE=3+1=4,

即點尸的坐標是（4「1）,

②如下圖，過點。作軸于點過點尸作軸于點E,

則ZCMB=ZPEB=9Q°.

*/ACAB^APAB,

：.ZPBA=ZCBA=45°,BC=BP,

：.ZCBP=90°,

ZMCB+/CBM=90°,/CBM+ZPBE=90°,

：?ZMCB=/PBE,

在.CMB和△5EP中，

NMCB=/EBP

</CMB=/BEP,

BC=PB

ACMB^ABEP(AAS),

??.PE=BM,CM=BE.

?.?C(3,-4),B(l,0),

PE=2,OE=BE-BO=4-1=3,

即點尸的坐標是(-3,-2)；

③如下圖，過點P作軸于點E,則NBEP=N3Q4=90。.

答案第9頁，共31頁

,:ACAB^APBA,

AB=BP,ZCAB=ZABP=90°,

??.ZABO+ZPBE=90°,ZPBE+ZBPE=90°,

：.ZABO=ZBPE.

在△3Q4和LPEB中，

/ABO=NBPE

<ZBOA=ZPEB,

BA=PB

：.ABOA^APEB(AAS),

PE=BO=1,BE=OA=3,

：.OE=BE-BO=3-1=2,

即點P的坐標是(-2,1),

綜上所述，符合條件的點尸的坐標是(4,-1)或(-3,-2)或(-2,1).

6.(1)-三角形樨是等腰直角三角形，

:.AE=AB,ZEAB=90°,

:.ZFAE+ZBAO=90°.

■.EF_Lx軸，

.\ZEFA=9Q0,

:.ZAEF+ZFAE=90°,

:.ZAEF=Z.OAB.

QNAOB=90。，

.\ZEFA=ZAOB.

在△AE尸和二BAO中，

答案第10頁，共31頁

NAEF=ZBAO,

<ZEFA=ZAOB,

AE=BA,

:.^AEF^BAO(AAS),

：.AF=BO=3,

.\OF=2+3=5,

??.尸(-5,0)；

(2)不變，理由如下：

如圖2,作CF_Ly軸于尸，

圖2

/=OF,

:,ZPFC=ZCFO=90°,

:./FPC+/FCP=9。。.

.三角形APC是等腰直角三角形，ZAPC=90°,

:.PA=PC9

ZAPO-^-ZOPC=90°.

..ZAPO=/PCF.

又ZAOP=ZPW=90。.

在.AOP和△尸尸。中，

ZAPO=ZPCF,

<ZAOP=ZPFC,

PA=CP,

/.Z\AOP^APFC(AAS),

\AO=PF.

答案第11頁，共31頁

丁尸一=OP-OF=PF=AO=2.

(3)AG=PH+OP,證明如下：

在OG上取一點Af,使MG=OP,連接并延長交轉(zhuǎn)的延長線于N,如圖3所示,

圖3

A（-2,0）,

:.AO=2,

HG_Lx軸于G,

:.HG=2,

:.AO=HG,

ZAOP=ZHGM=90°,MG=OP,

AAPO^AHMG（SAS）

:.APAO=ZMHG,AP=HM,

ZAMN=/HMG,

:.ZANM=ZHGM=90°,

ZAPC=90°,PC=APf

/.ZB4C=45°,

??.VA/W是等腰直角三角形，

ZPAH=ZMHA=45°,

又AP=HM，AH二HA,

AAPH^AHMA（SAS）,

，PH=MA,

AG=AM+MG,

答案第12頁，共31頁

:.AG=PH+OP.

7.⑴解：A（4,0）,5（0,3）,

/.OA=4,OB—3,

:.OAOB=4x3=12；

（2）解：如圖，作軸于點。，則NAO6=NCDA=90。,

.\ZACD+ZG4D=90o,

ZBAC=90°,

/.ZG4￡>+ZBAO=90°,

.\ZACD=ZBAO,

在一BAO和ACD中，

ZAOB=ZCDA=90°

<ZACD=/BAO,

AB=CA

.-BAO白ACD（AAS）,

：.AD=OB=3,CD=OA=A,

.?.QD=a4+A￡>=4+3=7,

;.C（7,4）；

5Q平分ZABy,4。平分4我，

ZABQ=:ZABy,ZBAQ=|NBAx,

答案第13頁，共31頁

ZA8O+ZABy=180°,ZBAO+ZBAr=180°,

：.ZABy=1800-ZABO,ZBAx=1SQ°-ZBAO,

ZABQ+ZBAQ=1ZABy+1ZBAx

=(180°-ZABO)+^(180°-ZBAO)

=180。-：(ZABO+ZBAO)

=180°--x90°

2

=180°-45°

=135°,

ZQ+ZABQ+ZBAQ=180°,

ZQ=180°-(ZABQ+ZBAQ)=45°.

8.(1)解：作CELy軸于點E,

由題意得NAO3=NABC=/BEC=90。，AB=BC,

：.ZBAO=90°-ZABO=Z.CBE,

/.△540絲△CBE(AAS),

CE=OB=2,BE=OA=4,

???OE=OB+BE=6,

???點。的坐標為(—2,6),

故答案為：(-2,6)；

(2)解：AD=OC且AD1OC,理由如下：

VAB=BC,ZABC=90°,OB=BD,NOBD=90。，

JZCBO=90°+ZABO=ZABD,

答案第14頁，共31頁

△C30絲△ABO(SAS),

AAD=OC,NBCO=NBAD,

,?ZBCO+AABC=ZBAD+ZAPC,

又ZABC=90°,

ZAPC=90°,即AD1OC；

(3)解：04=28。，理由如下：

作C尸，y軸于點片

同理，ABAgACBF(AAS),

CF=OB,BF=OA,

?.?OB=BD,ZOBD=90°,

；.CF=BD,CF//BD,

：.ZQCF=ZQDB,ZQFC=ZQBD=90°,

△QCF/MDB(ASA),

BQ=FQ,

：.BQ=^BF=^OA,即0A=25Q.

9.(1)解：如圖，作瓶，05于點E,

：4(4,4),

?\OE=4,

,/403為等腰直角三角形，AELOB,

：.OB=2OE=8,

???8(8,0)；

答案第15頁，共31頁

(2)解：如圖，作于點孔AELOB于點、E,

???ACD為等腰直角三角形，

AC=DC,^ACD=90°,

即ZACF+ZDCF=90°,

,：/FDC+/DCF=90。,

ZACF=NFDC,

又,?NDFC=ZAEC=90°,

/.DFC^CEA(AAS),

：.EC=DF,FC=AE,

VA(4,4),

AE=OE=4,

：.FC=OE,^OF+EF=CE+EF,

：.OF=CE,

：.OF=DF,

：."0尸=45°,

AOB為等腰直角三角形，

NAO3=45°,

如圖，在AM上截取AN=Ob,連接EN,

答案第16頁，共31頁

???4(4,4),

AE=OE=4,

XZEAN=ZEOF=90°,AN=OF,

；EAN-EOF〈SAS),

NOEF=ZAEN,EF=EN,

又?:EG”為等腰直角三角形，

ZGEH=45°,即ZOEF+Z.OEM=45°,

：.ZAEN+Z.OEM=45°,

又：ZAEO=90°,

ZNEM=45°=ZFEM,

又,：EM=EM,

:.—NEM”.FEM(SAS),

：.MN=MF,

：.AM-MF=AM-MN=AN,

：.AM-MF=OF,

10.(1)解：把x=0代入y=-2x+4得：y=4,

...點8(0,4),

03=4,

把y=o代入y=-2x+4得：x=2,

點A(2,o),

OA=2,

'：AAOB^ADOC,

答案第17頁，共31頁

OC=OB=4,OD=OA=2，

故答案為：4,2；

(2)解：設(shè)直線C￡＞對應(yīng)的函數(shù)表達式為：y=kx+b,

VOC=4,OD=2,

C(T,O),0(0,2),

f-4k-i~Z?—0

把C(T,0),。(0,2)代入尸乙+》得，c一,

\b=2

k=L

解得＜2,

b=2

直線。對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=gx+2,

?,“號

AAOB^ADOC,

：?NOBA=NOCD,OB=OC,

又"：ON10M,

：.ZMON=90°f

即ZMOD+ZBON=90°,

???ZCOD=90°,

即/COM+ZMOD=90°,

??.ZBON=ZCOM,

???OBN^OCM(ASA),

：?OM=ON,

分別過點M、N作ME,光軸于點E,軸于點尸,

答案第18頁，共31頁

,?ZBON=ZCOM,OM=ON,

：.OFN^OEM(AAS),

3

OF=OE=1,FN=EM=-,

2

???點N的坐標為g，l］；

(3)解：直線CO上存在點Q,使是以E為直角頂點的等腰三角形.

V￡(1-6)為直線43上的點，

/.Z?=-2xl+4=2,

磯1,2),

①當(dāng)點P在點8下方時，如圖，連接DE,過點。作交DE的延長線于M點,

,/0(0,2),

OE/y軸，OE=1,點M的縱坐標為2,ZM=NEDP=90°,

,/△即。是以E為直角頂點的等腰直角三角形，

答案第19頁，共31頁

EP=EQ,ZPEQ=90°,

：.ZQEM+APED=90°=ZQEM+ZEQM,

：.NDEP=NEQM,

,DEP^MQE(AAS),

：.MQ=DE=1,

點的縱坐標為3,

把＞=3代入y=；x+2中得：x=2,

.??點Q(2,3)；

②當(dāng)點尸在點B上方時，如圖，過￡點作軸，過點。作。于M點，過尸

點作PNLEM交ME的延長線于N點.

；.N點的橫坐標為1,

則PN=1,

△即。是以E為直角頂點的等腰三角形,

EP=EQ,NPEQ=9Q°,

：.ZQEM+APEN=90°=APEN+ZNPE,

NMEQ=NNPE,

.?…EQM結(jié)PEN(AAS),

：.EM=PN=1,

?：E(l,2),

答案第20頁，共31頁

.?.M點的縱坐標為1,

，。點的縱坐標為1,

把y=i代入y=；x+2中得：尤=—2,

；?。(-2,1)；

綜上所述，直線8上存在點。使得是以E為直角頂點的等腰直角三角形，。點的

坐標為(2,3)或(-2,1).

11.⑴解:(a-4/+b-3|=0,(A-4)2>0,|^-3|>0,

二.a—4=0,b—3=0,

a=4,Z?=3,

A(a,0)、B(0,b),

OA=4,OB=3,

如圖，過點。作CN，y軸于N,

則NBNC=90。，

ZABC=ZAOB=90°f

\?CBN?ABO90?,ZBAO+ZABO=90°,

:./CBN=/BAO,

ZBNC=ZAOB=90°fBC=AB,

:..BNC”AOB(AAS),

:.BN=AO=4,CN=BO=3,

:.ON=OB+BN=1,

/.C(3,7),

答案第21頁，共31頁

故答案為：(3,7)；

(2)證明：如圖，過E作軸于尸，則NEED=90。，

a=b,

OA=OB,

QZAOB=90°,

.?.OAB是等腰直角三角形，

:.ZABO=ZBAO=45°f

5DE是等腰直角三角形，NBDE=90。,

BD=DE，

NEDF+NBDO=900,/DEF+/EDF=90。,

:.ZBDO=ZDEFf

ZEFD=ZDOB=90°,

:.ADEF"BDO(AAS),

:.AEDF=ZDBO,DF=OB,EF=ODf

OB=OA,

:.DF=OA,

:.DF+AD=OA+OD,即AF=O￡),

:.AF=EF,

.二皿是等腰直角三角形，

:.ZEAF=ZAEF=45°,

ZEDF=ZEAF+ZAED=45。+ZAED,ZDBO=ZOBA+ZABD=45。+ZABD,

.\ZABD=ZAED；

(3)解：如圖，過點。作。M_Ly軸于M,軸于“，DG_L&1交區(qū)4的延長線于G,

答案第22頁，共31頁

。(3,-3),

/.DM=DH=OM=OH=3,

BO平分ZABO,DMLOB,DGLAB,

:.DM=DG,

BD=BD,

.-.Rt3DG烏RtBDM(HL)f

同理可得：RtADH^RtAT>G(HL),

/.AH=AG,

OA=a,OB=b,AB=c,

:.a—b+c=OA—OB+AB

=(OH+-OM)+(BG—AG)

=3+AH-BM+3+BG-AG

—6,

即a—b+c=6.

12.(1)解：：點A關(guān)于x軸的對稱點為尸點，

.?.點尸的坐標為。-0;

由垂線段最短，當(dāng)尸3，/時，PB最短,過點8作軸于。點，如圖,

..?直線/平分坐標系的第二、四象限，

ZBOD=45°,

,：PB11,

：.NBOD=NOPB=45°,

.OBP是等腰直角三角形，OB=PB,

VBD±y^\,OP=a,

答案第23頁，共31頁

小正方形邊長為仇7">6),

m+b=6

則

歷+/?2=20，

(m+b)?=m2+b2+2mb=36,

mb=8,

(m—bp=m2+b2—2mb=4,

/.m—b=2,

m=4,b=2,

:?S^HN~—b(m—b)=2；

(3)解：。石=2AC且0E1AC,理由如下：

如圖所示，延長AC至點Q,使得CQ=AC,連接30,

??.AQ=2AC,

VAC=QC,BC=FC,ZACF=NQCB,

答案第24頁，共31頁

AAC產(chǎn)且AQCB(SAS),

QB=AF=AEfQB//AF,

：.ZQBA+ZBAF=180°,

又丁ZEAF=ZBAO=90°,

???NB4F+/E4Q=180。，

ZQBA=/EAO,

又???BA=AO,

AQBA之AEAO(SAS),

OE=AQ=2AC,ZBAQ=ZAOE,

ZAOE+ZGAO=ZGAO+ZBAQ=90°,

???ZAGO=90°,

C.OE1AC,

13.(1)OB=OC,BC=8,

,\OB=OC=4,

OA=OB=4,

/.A(0,4),

故答案為：0,4；

(2),OC=4,

.*.C(4,0).

PC.LBC,

???P(40,

：.OA=OB=OC=4,PC=t,

①當(dāng)0Vf<8時，如圖1,

答案第25頁，共31頁

^OA.OB+^OA+PCVOC-\BC.PC

=-21+16,

②當(dāng)/>8時，如圖2,

*…C-W。*(…)X。。

=216,

-2f+16,(0<f<8)

綜上所述,

2r-16,(r>8)

（3）△PC。是等腰直角三角形；

如圖4,延長至"，使DP=DH,連接3",AH,

圖4

一ADP是等腰直角三角形,

.:">垂直平分叨，

:.AP=AH,ZPAH=2ZPAD=90°,