2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-利用垂線段最短求最值三大類型含“胡不歸”（知識(shí)解讀）

11利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”）

（知識(shí)解讀）

【專莖彼明】

初中幾何的最值問題，主要是求一條或兩條線段長(zhǎng)度的最大（最小）值，三

角形或四邊形周長(zhǎng)的最小值，對(duì)一些簡(jiǎn)單問題可以通過諸如“兩點(diǎn)之間線段最

短”“垂線段最短”等定理解決

【方放技巧】

類型一：一動(dòng)一定型

如圖，已知直線1外一定點(diǎn)A和直線1上一動(dòng)點(diǎn)B,求A、B之間距離的最

小值。通常過點(diǎn)A作直線1的垂線AB,利用垂線段最短解決問題，即連接直

線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

類型二：兩動(dòng)一定型

如圖，直線AB,AC相交于點(diǎn)A,點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、P,點(diǎn)N分別是AC,AB上一

動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)尸，N的位置，使MP+PN的值最小.

解題思路：

一找：

第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M；

第二步：過點(diǎn)M'作N_LAB于點(diǎn)、N,交AC于點(diǎn)P；

二證：證明"P+PN的最小值為N.

類型三：一定兩動(dòng)型（胡不歸問題）

“胡不歸”問題即點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí)的“PA+k-PB（O<k<l）"型

最值問題.

問題：如圖①，已知sin/MBN=k，點(diǎn)P為ZMBN其中一邊BM上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP,則當(dāng)“PA+k?PB”的值

最小時(shí)，點(diǎn)P的位置如何確定？

解題思路：

過點(diǎn)P作PQ_LBN于點(diǎn)Q,則k?PB=PB?sin/MBN=PQ,

/.可將求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值（如圖②）,

當(dāng)A、Q、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PQ的值最?。ㄈ鐖D③），此時(shí)AQ±BN.

BNBQNBQ

圖①圖②圖③

【舞例今折】

【典例1】模型分析

問題：如圖，點(diǎn)A為直線/外一定點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)尸的位置，使

AP的值最小.

解題思路：

一找：過點(diǎn)A作直線/的垂線交直線/于點(diǎn)P；

二證：證明AP是點(diǎn)A到直線/的最短距離.

請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程.

P

【變式1-1］如圖，在矩形ABC。中，AC=8,/BAC=30°,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

連接BP.

(1)線段的最小值為：

(2)若以AP,2尸為鄰邊作團(tuán)AP3Q,連接PQ,則線段尸。的最小值為

ADAD

BCBC

備用圖

【變式1-2］如圖，在RtA4BC中，AB=3,BC=4,經(jīng)過點(diǎn)8且與邊AC相切的動(dòng)圓與AB,

BC分別相交于點(diǎn)P，Q,則線段尸。的最小值為

【變式1-3］如圖，RtzMBC斜邊AC的長(zhǎng)為4,0c的半徑為1,RtA4BC與OC重合的面

積為2L,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作OC的切線PQ,切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為.

【典例2］如圖，在△ABC中，AC=BC=6,S“BC=12,點(diǎn)。為A8中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別

是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

BN

【變式2-1］如圖，在菱形ABC。中，AC=6,BD=8,對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在AC,BC上，則EM+MN的最小值為.

【變式2-3］如圖，在矩形A8C。中，AB=4,8C=6,點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，EFLBC

于點(diǎn)EGLC。于點(diǎn)G,連接尸G,則EF+PG的最小值為

【變式2-4］如圖，已知二次函數(shù)y=-!/+3x+2的圖象與x軸交于A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的

22

左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為無軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,

MN,求AM+MN的最小值.

【典例3】模型分析

問題：如圖，點(diǎn)A為直線/上一定點(diǎn)，點(diǎn)8為直線/外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線/上一動(dòng)點(diǎn),

試確定點(diǎn)P的位置，使（0＜左＜1）的值最小.

解題思路：

一找：找?guī)в邢禂?shù)左的線段AP;

二構(gòu)：在直線/下方構(gòu)造以線段A尸為斜邊的直角三角形；

①在直線/上找一點(diǎn)P,以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角NN4P',使sin/N4P=A；

②過點(diǎn)2作BE，⑷V于點(diǎn)E,交直線/于點(diǎn)尸，構(gòu)造RtaAPE；

三轉(zhuǎn)化：化折為直，將心產(chǎn)轉(zhuǎn)化為PE;

四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長(zhǎng).

請(qǐng)根據(jù)“解題思路”寫出求姑尸+3尸最小值的完整過程.

B

【變式3-1］如圖，四邊形A3C。為菱形，ZB=60°,A3=4,點(diǎn)E為上的定點(diǎn)，且

AE<ED,尸為AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝!J旅+近代的最小值為

2

【變式3-2］如圖，在正方形ABC。中，42=10,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是49

的中點(diǎn)，點(diǎn)歹為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+退4尸的最小值為

2

【變式3-3】如圖，在Rt^ABC中，AC=10,/C=30°，點(diǎn)。是2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+C。

的最小值為.

11利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”）

（知識(shí)解讀）

【名敦彼明】

初中幾何的最值問題，主要是求一條或兩條線段長(zhǎng)度的最大（最?。┲?，三

角形或四邊形周長(zhǎng)的最小值，對(duì)一些簡(jiǎn)單問題可以通過諸如“兩點(diǎn)之間線段最

短”“垂線段最短”等定理解決

【方放技巧】

類型一：一動(dòng)一定型

如圖，已知直線1外一定點(diǎn)A和直線1上一動(dòng)點(diǎn)B,求A、B之間距離的最

小值。通常過點(diǎn)A作直線1的垂線AB,利用垂線段最短解決問題，即連接直

線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

類型二：兩動(dòng)一定型

如圖，直線AB,AC相交于點(diǎn)4點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、P,點(diǎn)N分別是AC,AB上一

動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P,N的位置，使MP+PN的值最小.

解題思路：

一找：

第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M；

第二步：過點(diǎn)作ATNLAB于點(diǎn)、N,交AC于點(diǎn)P；

二證：證明"P+PN的最小值為N.

類型三：一定兩動(dòng)型(胡不歸問題)

“胡不歸”問題即點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí)的“PA+k-PB(O<k<l)"型

最值問題.

問題：如圖①，已知sin/MBN=k，點(diǎn)P為ZMBN其中一邊BM上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP,則當(dāng)“PA+k?PB”的值

最小時(shí)，點(diǎn)P的位置如何確定？

解題思路：

過點(diǎn)P作PQXBN于點(diǎn)Q,則k?PB=PB?sin/MBN=PQ,

可將求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值（如圖②）,

當(dāng)A、Q、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PQ.的值最?。ㄈ鐖D③）,此時(shí)AQ_LBN.

【典例今折】

【典例1】模型分析

問題：如圖，點(diǎn)A為直線/外一定點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)尸的位置，使

AP的值最小.

解題思路：

一找：過點(diǎn)A作直線/的垂線交直線/于點(diǎn)尸；

二證：證明AP是點(diǎn)A到直線/的最短距離.

請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過程.

A

P

【解答】解：如圖所示：

A

*

?

?

-----------1

P

于點(diǎn)尸，

：.AP是點(diǎn)A到直線I的最短距離.

【變式1-1］如圖，在矩形ABC。中，AC=8,NA4c=30°,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),

連接BP.

(1)線段BP的最小值為；

(2)若以AP,8尸為鄰邊作團(tuán)AP8。，連接P。，則線段尸。的最小值為

ADAD

BCBC

備用圖

【答案】(1)2e(2)V3

；AC=8,ZBAC=30°,

.".AB=AC*cos30°=4?,

.?.8尸最小=AB.sin30°=2我；

故答案為：2?；

(2)根據(jù)題意，作圖如下：

,/四邊形APBQ是平行四邊形，

VAO=AAB=2V3-PQ=2OP,

2

要求P。的最小值，即求。P的最小值，當(dāng)OPLAC時(shí)，OP取最小值,

.?.OP=AO?sin30。=?,

的最小值為

故答案為：V3.

【變式1-2］如圖，在RtAMC中，AB=3,BC=4,經(jīng)過點(diǎn)8且與邊AC相切的動(dòng)圓與AB,

BC分別相交于點(diǎn)P,Q,則線段尸。的最小值為.

【解答】解：取P。的中點(diǎn)O,過。點(diǎn)作。DLAC于。，過8點(diǎn)作8HLAC于H,連接

0B,如圖，

在RtZXABC中，：AB=3,BC=4,

?'?AC—yj32+^2=5,

?./H?AC=AAB?函

22

?RH—3X4—12

55

\'ZPBQ=90°,

；.P。為OO的直徑，

?；OO與AC相切，OD_LAC,

：.OD為。0的半徑，

,.?。8+。。，卸7（當(dāng)且僅當(dāng)￡＞點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)），

OB+OD的最小值為BH的長(zhǎng)，

即O。的直徑的最小值為絲，

5

線段p。的最小值為」2.

5

故答案為：12.

5

【變式1-3］如圖，Rt^ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4,0c的半徑為1,RtZXABC與OC重合的面

積為_2L,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作OC的切線PQ,切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為

6'

【答案】V3

【解答】解：設(shè)NC=〃。，

?..n△ABC與OC重合的面積為二三，

6

.n兀?12=兀

,360V

解得w=60,

即NC=60°,

：RtZ\ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4,ZC=60°,

：.BC=1AC=2,

2

連接C。，CP,如圖，

為0c的切線，

：.CQLPQ,

：.ZCQP=90°,

222

；?pQ=VCP-CQ=VCP-I，

...當(dāng)CP最小時(shí)，P。最小，

:當(dāng)時(shí)，CP最短，此時(shí)CP=CB=2,

：.PQ的最小值為五W=?.

故答案為：V3.

【典例2］如圖，在△ABC中，AC=BC=6,%ABC=12,點(diǎn)。為A8中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別

是C￡＞和2C上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

A

【解答】解：如圖，???C4=CB,。是A2的中點(diǎn),

.?.CD是NACB的平分線，

.,.點(diǎn)N關(guān)于CO的對(duì)稱M在AC上，

過點(diǎn)B作BHLAC于點(diǎn)H.

-/AC=6,S/^ABC—12,

2

解得BH=4,

'：BM+MN=BM+MN'NBH=4,

:*BM+MN的最小值為4.

故答案為：4.

【變式2-1］如圖，在菱形ABCD中，AC=6,BD=S,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在AC,BC上，則￡70+皿的最小值為.

【答案】24

5

【解答】解：如圖,

?.?四邊形ABCD是菱形,

；.AC平分NBC￡),ACLBD,OA=OC=3,0B=0D=4,

，CD=VOC2-K)D2=V32+42=5，

在CO上取一點(diǎn)N',使得CN=CN',連接MN',過點(diǎn)A作AHLC。于點(diǎn)H.

:菱形ABC。的面積=

2

.A?=AC>BD=6X8=24

CD5

,:CN=CN',ZMCN=ZMCN',CM=CM,

：.AMCN沿△MCN'(SAS),

：.MN=MN',

：.EM+MN=EM+MN'2AH=純

5

J.ME+MN的最小值為建.

5

故答案為：24

5

【變式2-3］如圖，在矩形ABC。中，AB=4,8c=6,點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，EFLBC

于點(diǎn)F,EGLCD于點(diǎn)G,連接FG,則EF+FG的最小值為

【答案】Z2

13

【解答】解：如圖，在A。上取一點(diǎn)P,使得PD=PB,連接BP,PC,EC,過點(diǎn)C作

C/L8產(chǎn)于點(diǎn)J,過點(diǎn)E作EKL8P于點(diǎn)K.

:四邊形ABC。是矩形,

：.AD=BC=6fAD//BC,ZA=90°,

設(shè)PD=PB=x,則/=(6-x)2+42,

?丫=13

3

??SAPBC=1-PB-CJ=1X6X4,

22

.*.CJ=衛(wèi)，

13

'：AD//CB,

NADB=ZDBC,

'：PD=PB,

：.ZPDB=ZPBD,

NPBD=ZPBC,

；EK_LBC,EKIBP,

：.EF=EK,

；EG_LCD,

:.NEFC=NFCG=NCGF=90°,

，四邊形EFCG是矩形，

：.FG=EC,

：.EF+FG=EK+CE,CJ=衛(wèi)，

13

C.EF+FH的最小值為衛(wèi).

13

故答案為：衛(wèi).

13

【變式2-4］如圖，已知二次函數(shù)y=-工/+m+2的圖象與無軸交于A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的

22

左側(cè))兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為無軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,

MN,求AW+MN的最小值

【答案】4

【解答】解：將x=o代入y=-工/+區(qū)x+2得y=2,

22

...點(diǎn)C坐標(biāo)為2,

令0=-^LX2+—X+2,

22

解得xi=-LX2—4,

，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0），點(diǎn)2坐標(biāo)為（4,0）,

■,-AC=VA02+OC2=>fiC=VoB^+OC^=2V5>AB=5,

"：AC2+BC2=AB2,

...△ACB為直角三角形，ZACB=90°,

點(diǎn)A關(guān)于直線8c的對(duì)稱點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,4）,

是A4,的垂直平分線，

：.A'M^AM,即AM+MN^A'M+MN,

：.當(dāng)A'NLx軸時(shí)，AM+MN的最小值為A,N的長(zhǎng)度，

故答案為：4.

【典例3】模型分析

問題：如圖，點(diǎn)A為直線/上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線/外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線/上一動(dòng)點(diǎn),

試確定點(diǎn)P的位置，使MP+BP(0<^<1)的值最小.

解題思路：

一找：找?guī)в邢禂?shù)4的線段AP;

二構(gòu)：在直線/下方構(gòu)造以線段A尸為斜邊的直角三角形；

①在直線/上找一點(diǎn)P',以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角/NAP',使sin/M4P=&；

②過點(diǎn)2作BE，4V于點(diǎn)E,交直線/于點(diǎn)P,構(gòu)造Rt^APE；

三轉(zhuǎn)化：化折為直，將抬尸轉(zhuǎn)化為PE；

四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長(zhǎng).

請(qǐng)根據(jù)“解題思路”寫出求最小值的完整過程.

B

【解答】解：如圖，在直線/上找一點(diǎn)P,以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作/N4P',使sin/NAP

=k,過點(diǎn)2作BELAN于點(diǎn)E,交直線/于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求的位置，理由如下:

"：BELAN,

：.ZAEP=90°,

：.sinZNAP'=^L=k,

AP

：.PE=kAP,

■:BELAN,

：.點(diǎn)B到AN的最短線段為BE,

;BE=PE+BP,

即BE=kAP+BP,

此時(shí)，kAP+BP的值最小.

【變式3-1］如圖，四邊形A8C。為菱形，ZB=60°,AB=4,點(diǎn)E為AO上的定點(diǎn)，且

AE<ED,尸為AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ后產(chǎn)+近八？的最小值為

2

【答案】3M

【解答】解：過點(diǎn)尸作切于點(diǎn)連接E8,過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)

???四邊形A3CO是菱形，

：.AB=BC=6,

VZB=60°,

???△ABC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC=6fAM=AB-sin60°=3?,ZACB=60°,

：.FH=CF^sin60°=近第，

_2

...EF+^3-FC^EF+FH^EH,

2

當(dāng)E、F、〃三點(diǎn)依次在同一直線上，且即，BC時(shí)，

EF+^3-FC=EF+FH=EH=AM=3V3的值最小，

2

故答案為：3/\/3-

【變式3-2］如圖，在正方形ABC。