2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-定弦定角（知識解讀）

定弦定角(知識解讀)

【專莖餞明】

定弦定角題型的識別：有一個定弦，一個主動點(diǎn)，一個從動點(diǎn)，定弦所對的張

角固定不變。圖形中一般求一個從動點(diǎn)到一個定點(diǎn)線段長度最值問題，一般涉及

定弦定角最值問題

【知傭立】

若固定線段AB所對動角NP為定值，則點(diǎn)P運(yùn)動軌跡為過A、B、P三點(diǎn)的圓。

備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動皆可。

原理：同弧所對的圓周角相等；同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

請?jiān)谏戏胶竺娴膱D形中找到圓心。

【方放技巧】

解題技巧：構(gòu)造隱圓

定弦定角解決問題的步驟：

(1)讓動點(diǎn)動一下，觀察另一個動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

為一段弧。

(2)找不變的張角(這個時候一般是找出張角的補(bǔ)角)，(這個補(bǔ)角一般為60?、

45")

(3)找張角所對的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置

(4)計(jì)算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來

(6)最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

【典例臺折】

【典例1］如圖，已知矩形

(1)如圖①，請?jiān)诰匦蜛BCD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=45°的點(diǎn)尸的軌

跡；

(2)如圖②，請?jiān)诰匦蜛3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=90°的點(diǎn)P的軌

跡；

(3)如圖③，請?jiān)诰匦蜛3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=120°的點(diǎn)P的

軌跡.

圖①圖②圖③

【典例2】如圖，在AABC中,AC=3,3c=4&,ZACB=45°,AM//BC,

點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動,連BP交△APC的外接圓于D,則AD的最小值為（）

C.V2D.4M-3

【變式2】如圖，在等腰中，ZBAC=90°,AB=AC,BC=4點(diǎn)，點(diǎn)

。是AC邊上一動點(diǎn)，連接3D,以AD為直徑的圓交5。于點(diǎn)E,則線段CE

長度的最小值為

E

RC

【典例3】如圖，O。半徑為6,弦A3=6,點(diǎn)P為優(yōu)弧A3上一動點(diǎn)，AC1AP

交直線P3于點(diǎn)C,則△ABC的最大面積是()

A.6yfsB.9V3C.6A/2D.9

【變式3】如圖，O。的半徑為1,弦A3=l,點(diǎn)尸為優(yōu)弧金上一動點(diǎn)，AC±AP

交直線尸3于點(diǎn)C,則△ABC的最大面積是()

C.亨D.亨

【典例4】如圖，A(1,0)、3(3,0),以A3為直徑作OM,射線。R交

于E、R兩點(diǎn)，C為弧A3的中點(diǎn)，。為ER的中點(diǎn).當(dāng)射線OR繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

時，CD的最小值為

【變式4](2022?肇源縣二模)如圖，A(2,0)、B(6,0),以A3為直徑

作OM,射線OR交OM于E、R兩點(diǎn)，C為弧A3的中點(diǎn)，。為ER的中點(diǎn).當(dāng)

射線。R繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為.

【典例5】（2020秋?無錫期中）如圖，A3是O。的直徑，AB=2,。在。。上，

ZABC=60°,P是。。上一動點(diǎn)，。是AP的中點(diǎn)，連接CD,則CD的最

小值為.

定弦定角（知識解讀）

【專駁說跚】

定弦定角題型的識別：有一個定弦，一個主動點(diǎn)，一個從動點(diǎn)，定弦所對的張

角固定不變。圖形中一般求一個從動點(diǎn)到一個定點(diǎn)線段長度最值問題，一般涉及

定弦定角最值問題

【知鶴立】

若固定線段AB所對動角NP為定值，則點(diǎn)P運(yùn)動軌跡為過A、B、P三點(diǎn)的圓。

備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動皆可。

原理：同弧所對的圓周角相等；同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。

請?jiān)谏戏胶竺娴膱D形中找到圓心。

【方法技巧】

解題技巧：構(gòu)造隱圓

定弦定角解決問題的步驟：

（1）讓動點(diǎn)動一下，觀察另一個動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

為一段弧。

（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補(bǔ)角），（這個補(bǔ)角一般為601

45"）

（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓，確定圓心位置

（4）計(jì)算隱形圓的半徑

（5）圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來

（6）最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

【典例今析】

【典例1］如圖，已知矩形A3CD.

（1）如圖①，請?jiān)诰匦蜛BCD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=45°的點(diǎn)尸的軌

跡；

（2）如圖②，請?jiān)诰匦蜛3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=90°的點(diǎn)P的軌

跡；

（3）如圖③，請?jiān)诰匦蜛3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=120°的點(diǎn)P的

軌跡.

圖①圖②圖③

【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形A03,使乙4。3=90°,以。為

圓心，。4為半徑畫圓，

一°；

小、/c

、、一畝①

則市尸即為所求；

（2）如圖，以A3為直徑作圓,則窟即為所求（不與4、3重合）；

1

圖②

（3）如圖，作等腰△A03,使NAOB=120°以。為圓心，。4為半徑畫圓,

則篇即為所求（不與A、3重合）；.

___4______________D

B圖③

【典例2］如圖，在△ABC中，AC=3,3c=4&,ZACB=45°,AM//BC,

點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動,連BP交△APC的外接圓于。，則AD的最小值為（）

4^3V

B、/

A.1B.2C.V2D.4&-3

【答案】A

【解答】解：連接CD,則NPDCuNHCnNACBMdS。，ZBDC=\35°

,:BC=4近,

...點(diǎn)。在以BC為弦的一段圓弧上運(yùn)動，圓心角為90°,

設(shè)圓心為。，連接3。、CO、DO,

則△BC。為等腰直角三角形，

，CO=4,ZBCO=45°,

VZACB=45°,

AZACO=90°,

A0=VAC2K：02=V32+42=5,

：.AD^AO-DO=5-4=1（當(dāng)且僅當(dāng)。是AF與圓弧的交點(diǎn)時取等號），

線段A。的長的最小值為1,

故選：A.

【變式2】如圖，在等腰RtZXABC中，NR4c=90°,AB=AC,3C=46，點(diǎn)

。是AC邊上一動點(diǎn)，連接3D,以AD為直徑的圓交3。于點(diǎn)E,則線段CE

長度的最小值為.

【答案】2灰二2

【解答】解：連接AE,如圖1,

,：ZBAC=9Q°,AB=AC,BC=如,

：.AB=AC=4,

???AD為直徑，

AZAED=90°,

ZAEB=9Q°,

.?.點(diǎn)E在以AB為直徑的O。上，

;。。的半徑為2,

...當(dāng)點(diǎn)。、E、C共線時，CE最小，如圖2,

在Rt^AOC中，'：0A=2,AC=4,

?*-0C=VOA2+AC2=2?。?，

:.CE=OC-0E=2爬-2,

即線段CE長度的最小值為2泥-2.

故答案為2泥-2.

圖2

【典例3】如圖，O。半徑為6,弦A3=6,點(diǎn)P為優(yōu)弧A3上一動點(diǎn)，AC1AP

交直線P3于點(diǎn)C,則△ABC的最大面積是（）

A.6-75B.9MC.672D.9

【答案】B

作△ABC的外接圓O。，如圖1,

為等邊三角形,

AZAOB=60°,

AZAPB=1ZAOB=30°,

2

'：AC±AP,

：.ZC=60°,

,：AB^6,要使△ABC的最大面積，則點(diǎn)C到AB的距離最大,

ZACB=60°,點(diǎn)C在上，

AZADB=120°,

如圖2,

當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時,點(diǎn)C到A3的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，

且面積為返/162=9如，

4

△ABC的最大面積為973.

故選：B.

【變式3】如圖，O。的半徑為1,弦A3=l,點(diǎn)P為優(yōu)弧第上一動點(diǎn)，AC±AP

交直線P3于點(diǎn)C,則△ABC的最大面積是（）

【答案】D

【解答】解：連接。4、0B,如圖1,

為等邊三角形,

AZAOB=60°,

AZAPB=1ZAOB=30°,

2

'：AC±AP,

AZC=60°,

'：AB=1,要使△ABC的面積最大，則點(diǎn)C到A3的距離最大,

ZACB=60°,點(diǎn)C在O。上，

AZADB=120°,

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧A3的中點(diǎn)時，點(diǎn)C到A3的距離最大，此時△A5C為等邊三角

形，且面積為近A§2=返，

44

AABC的最大面積為運(yùn).

4

故選：D

【典例4】如圖，A(1,0)、3(3,0),以A3為直徑作OM,射線OR交OM

于E、R兩點(diǎn)，C為弧A3的中點(diǎn)，。為ER的中點(diǎn).當(dāng)射線OR繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

時，CD的最小值為.

【解答】解：連接如圖，

?。為跖的中點(diǎn)，

：.MD±EF,

：.ZODM=90°,

.?.點(diǎn)。在以A點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上,

當(dāng)。點(diǎn)為CA與OA的交點(diǎn)時，CD的值最小，止匕時CD=AC-1=&-1,

即CD的最小值為圾-1.

故答案為：V2-1.

【變式4](2022?肇源縣二模)如圖，A(2,0)、3(6,0),以AB為直徑

作OM,射線OR交OM于E、歹兩點(diǎn)，C為弧A3的中點(diǎn)，。為ER的中點(diǎn).當(dāng)

射線。R繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為.

【答案】2點(diǎn)二2

【解答】解：連接如圖,

,。為所的中點(diǎn)，

：.MD±EF,

.,.ZODM^90°,

.?.點(diǎn)。在以A點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，

當(dāng)。點(diǎn)為CA與OA的交點(diǎn)時，CD的值最小，此時CD=AC-2=2a-2,

即CD的最小值為26-2.