專題03 面積比例問題（原卷版）

專題03面積比例問題一、知識(shí)導(dǎo)航除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結(jié)論，對(duì)面積比例的分析，往往比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：（1）計(jì)算；（2）轉(zhuǎn)化．本文結(jié)合19年各地中考題，簡(jiǎn)要介紹關(guān)于比例條件的一些運(yùn)用方法．策略一：運(yùn)用比例計(jì)算類綜合與探究：如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）的面積等于的面積的時(shí)，求的值；【分析】（1）可重設(shè)解析式為交點(diǎn)式：，展開得：，常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，-8a=6，解得：，故拋物線解析式為：．（2）考慮△AOC和△BCD并無太多關(guān)聯(lián)，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導(dǎo)△BCD的面積．，，此問題變?yōu)槊娣e定值問題，就不難了．【小結(jié)】利用面積比計(jì)算出所求三角形面積，再運(yùn)用處理面積定值的方法即可解決問題．策略二：轉(zhuǎn)化面積比如圖，B、D、C三點(diǎn)共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉(zhuǎn)化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對(duì)于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點(diǎn)E，則．策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．以2019連云港中考填空壓軸為例：【2019連云港中考】如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心作與直線相切，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最大值是．

【分析】AP、AT均為動(dòng)線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉(zhuǎn)化線段．構(gòu)造“A”字型線段比：過點(diǎn)P作PQ∥DB與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．BC=3，，，，，，故最大值為．思路2：構(gòu)造“8”字型線段比是否可行？雖然問題是的比值，為便于構(gòu)造“8”字，可轉(zhuǎn)化為“+1”，即求的最大值，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BD延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，可得：，考慮到AB是定線段，故只要PQ最大即可．但是本題P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故很難分析出點(diǎn)P在何位置，PQ取到最大值，若P點(diǎn)換個(gè)軌跡路線，或許就很容易分析了．二、典例精析例一、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）如圖，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）．（2）根據(jù)可得CD：BD=1：2，故D點(diǎn)是線段BC靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，又B（-3,0）、C（0,3），∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）．例二、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖，連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)，連接，．交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉(zhuǎn)化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點(diǎn)E（0，5），（為何是這個(gè)點(diǎn)？因此此時(shí)OC：CE=3：2）過點(diǎn)E作BC的平行線交x軸于G點(diǎn)，EG與拋物線交點(diǎn)即為所求D點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯(lián)立方程，得：，解得：，．故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．思路2：轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比過點(diǎn)D作DG∥y軸交BC邊于點(diǎn)G，則，又OC=3，故點(diǎn)G滿足DG=2即可．這個(gè)問題設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．也可以構(gòu)造水平“8”字，過點(diǎn)D作DG∥x軸交BC于點(diǎn)G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實(shí)本題分析點(diǎn)的位置也能解：思路3：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，根據(jù)OF：DF=3：2，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)F在直線BC上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．這個(gè)計(jì)算的方法要求能理解比例與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由D點(diǎn)坐標(biāo)如何得到F點(diǎn)坐標(biāo)．三、中考真題演練1．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨，的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，，關(guān)于y軸對(duì)稱．分米，點(diǎn)A到x軸的距離是分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為，將拋物線向右平移個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為．若，求m的值．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的的值．3．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2023·湖北十堰·中考真題）已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)面積是面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；5．（2023·湖南永州·中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸于