2023-2024學年江蘇省南通市如東中學、栟茶中學數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年江蘇省南通市如東中學、栟茶中學數(shù)學高一下期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．2．已知向量，，，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋2)，那么在此數(shù)列中()A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大C．有唯一項a8最大 D．有唯一項a7最大4．若，均為銳角，且，，則等于（）A． B． C． D．5．在直角梯形中，，，，，，則梯形繞著旋轉而成的幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．7．某市舉行“精英杯”數(shù)學挑戰(zhàn)賽，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校所有學生的成績均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖所示，該校有130名學生獲得了復賽資格，則該校參加初賽的人數(shù)約為（）A．200 B．400 C．2000 D．40008．已知的定義域為，若對于，，，，，分別為某個三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”，下例四個函數(shù)為“三角形函數(shù)”的是（）A．； B．；C．； D．9．如圖，在中，，點在邊上，且，則等于（）A． B． C． D．10．若直線與圓交于兩點，關于直線對稱，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則______.12．設變量滿足條件，則的最小值為___________13．已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點，若，則的離心率為__________．14．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.15．等比數(shù)列的首項為，公比為，記，則數(shù)列的最大項是第___________項.16．觀察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4），……請你根據(jù)給定等式的共同特征，并接著寫出一個具有這個共同特征的等式（要求與已知等式不重復），這個等式可以是__________________.（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，求證：.18．平面四邊形中,.(1)若,求;(2)設,若,求面積的最大值.19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.20．設數(shù)列為等比數(shù)列，且，，（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，數(shù)列的前項和，求證：.21．如圖，已知在側棱垂直于底面三棱柱中，，，，，點是的中點.（1）求證：；（2）求證：（3）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【詳解】如圖，設是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點睛】本題考查球的體積，關鍵是確定球心位置求出球的半徑．2、A【解析】

利用坐標表示出，根據(jù)垂直關系可知，解方程求得結果.【詳解】，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查向量垂直關系的坐標表示，屬于基礎題.3、A【解析】，所以，令，解得n≤7，即n≤7時遞增，n＞7遞減，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….所以a7＝a8最大．本題選擇A選項.4、B【解析】

先利用兩角和的余弦公式求出，通過條件可求得，進而可得.【詳解】解：，因為，則，故，故選：B.【點睛】本題考查兩角和的正切公式，注意角的范圍的確定，是基礎題.5、A【解析】

易得梯形繞著旋轉而成的幾何體為圓臺,再根據(jù)圓臺的體積公式求解即可.【詳解】易得梯形繞著旋轉而成的幾何體為圓臺,圓臺的高,上底面圓半徑,下底面圓半徑.故該圓臺的體積故選：A【點睛】本題主要考查了旋轉體中圓臺的體積公式,屬于基礎題.6、C【解析】

利用圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標為（0,0），所以.故選C【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、A【解析】

由頻率和為1，可算得成績大于90分對應的頻率，然后由頻數(shù)÷總數(shù)=頻率，即可得到本題答案.【詳解】由圖，得成績大于90分對應的頻率=，設該校參加初賽的人數(shù)為x，則，得，所以該校參加初賽的人數(shù)約為200.故選：A【點睛】本題主要考查頻率直方圖的相關計算，涉及到頻率和為1以及頻數(shù)÷總數(shù)=頻率的應用.8、B【解析】由三角形的三邊關系，可得“三角形函數(shù)”的最大值小于最小值的二倍，因為單調遞增，無最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函數(shù)”的條件，即B正確，單調遞增，最大值為4，最小值為1，故排除C，單調遞增，最小值為1，最大值為，故排除D.故選B.點睛：本題以新定義為載體考查函數(shù)的單調性和最值；解決本題的關鍵在于正確理解“三角形函數(shù)”的含義，正確將問題轉化為“判定函數(shù)的最大值和最小值間的關系”進行處理，充分體現(xiàn)轉化思想的應用.9、C【解析】

在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，則可得CD.【詳解】在中，由余弦定理可得.又，故為直角三角形，故.因為，且為銳角，故.由利用正弦定理可得，代值可得，故.故選：C.【點睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎題.10、A【解析】

由題意，得直線是線段的中垂線，則其必過圓的圓心，將圓心代入直線，即可得本題答案．【詳解】解：由題意，得直線是線段的中垂線，所以直線過圓的圓心，圓的圓心為，，解得.故選：A.【點睛】本題給出直線與圓相交，且兩個交點關于已知直線對稱，求參數(shù)的值．著重考查了直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由誘導公式求解即可.【詳解】因為所以故答案為：【點睛】本題主要考查了利用誘導公式化簡求值，屬于基礎題.12、-1【解析】

根據(jù)線性規(guī)劃的基本方法求解即可.【詳解】畫出可行域有：因為.根據(jù)當直線縱截距最大時,取得最小值.由圖易得在處取得最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的基本運用,屬于基礎題.13、【解析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時，可將條件中提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉化為關于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．14、.【解析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎題.15、【解析】

求得，則可將問題轉化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，利用二次函數(shù)的基本性質求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項公式可得，，則問題轉化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，，當時，取得最大值，此時為偶數(shù).因此，的最大項是第項.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列前項積最值的計算，將問題進行轉化是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解析】

觀察式子特點可知，分子上兩余弦的角的和是，分母上兩個正弦的角的和是，據(jù)此規(guī)律即可寫出式子【詳解】觀察式子規(guī)律可總結出一般規(guī)律：，可賦值，得故答案為：【點睛】本題考查歸納推理能力，能找出余角關系和補角關系是解題的關鍵，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

(1)結合,構造數(shù)列,證明得到該數(shù)列為等差數(shù)列,結合等差通項數(shù)列計算方法,即可.(2)運用裂項相消法,即可.【詳解】（1）由，（即），可得，所以，所以數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以，即.（2），所以，因為，所以.【點睛】本道題考查了等差數(shù)列通項計算方法和裂項相消法,難度一般.18、（1）；（2）【解析】

(1)法一：在中，利用余弦定理即可得到的長度；法二：在中，由正弦定理可求得，再利用正弦定理即可得到的長度；（2）在中，使用正弦定理可知是等邊三角形或直角三角形，分兩種情況分別找出面積表達式計算最大值即可.【詳解】（1）法一：中，由余弦定理得，即，解得或舍去，所以.法二：中，由正弦定理得，即.解得，故，.由正弦定理得，即，解得.（2）中，由正弦定理及，可得，即或，即或.是等邊三角形或直角三角形.中，設，由正弦定理得.若是等邊三角形，則.∵當時，面積的最大值為；若是直角三角形，則.當時，面積的最大值為；綜上所述，面積的最大值為.【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，面積公式，三角函數(shù)最值的相關應用，綜合性強，意在考查學生的計算能力，轉化能力，分析三角形的形狀并討論是解決本題的關鍵.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【詳解】(1)連接交于點，連接，因為底面為平行四邊形，所以為中點.在中,又為中點，所以.又平面，平面，所以平面.(2)因為底面為平行四邊形，所以.又即，所以.又即.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.【點睛】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內且線垂直于兩個平面的交線.而面面垂直的證明可以通過線面垂直得到，也可以通過證明二面角是直二面角.20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將已知條件轉化為等比數(shù)列的基本量和，得到的值，從而得到數(shù)列的通項；（2）根據(jù)題意寫出，然后得到數(shù)列的通項，利用列項相消法進行求和，得到其前項和，然后進行證明.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，因為，所以，所以所以；（2），所以，所以.因為，所以.【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計算，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于簡單題.2