黑龍江省大慶大慶二中、二十三中、二十八中、十中2024年高一下數(shù)學期末質量檢測試題含解析

黑龍江省大慶大慶二中、二十三中、二十八中、十中2024年高一下數(shù)學期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、是圓：上的兩個動點，，，若是線段的中點，則的值為（）A． B． C． D．2．若實數(shù)x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+3．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項和為，且，則()A． B． C． D．5．下列函數(shù)中是偶函數(shù)且最小正周期為的是（）A． B．C． D．6．有一個容量為200的樣本，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為（）A．48 B．60 C．64 D．727．不等式的解集是：A． B．C． D．8．在直角中，，線段上有一點，線段上有一點，且，若，則（）A．1 B． C． D．9．在中，，，，點P是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且（），則的最大值為（）A．6 B． C． D．610．已知數(shù)列，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則=A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則在方向上的投影為______.12．已知（），則________.（用表示）13．某海域中有一個小島（如圖所示），其周圍3.8海里內(nèi)布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域的處出發(fā)由西向東直線航行，在處望見小島位于北偏東75°，漁船繼續(xù)航行8海里到達處，此時望見小島位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續(xù)前進，試問漁船有沒有觸礁的危險？答：______.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）14．P是棱長為4的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.15．經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.16．已知均為正數(shù)，則的最大值為______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．數(shù)列的前項和.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和，并求使成立的實數(shù)最小值.18．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）對于，，定義．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范圍．19．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前n項和為，證明．20．設是兩個相互垂直的單位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．21．設平面三點、、.（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求；（3）求向量在上的投影．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題意得,所以，選A.2、A【解析】

利用基本不等式得x2y2【詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【點睛】本題考查基本不等式求最值問題，解題關鍵是掌握基本不等式的變形應用：ab≤(a+b)3、B【解析】由解得為函數(shù)的定義域.令，消去得，圖像為橢圓的一部分，如下圖所示.，即直線，由圖可知，截距在點處取得最小值，在與橢圓相切的點處取得最大值.而，故最小值為.聯(lián)立，消去得，其判別式為零，即，解得（負根舍去），即，故.【點睛】本題主要考查含有兩個根號的函數(shù)怎樣求最大值和最小值.先用換元法，將原函數(shù)改寫成為一次函數(shù)的形式.然后利用和的關系，得到的可行域，本題中可行域為橢圓在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值來求函數(shù)的最大值和最小值.4、D【解析】

通過和關系，計算通項公式，再計算，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】，取，兩式相減得：是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.故答案選D【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，前N項和，意在考查學生的計算能力.5、A【解析】

本題首先可將四個選項都轉化為的形式，然后對四個選項的奇偶性以及周期性依次進行判斷，即可得出結果．【詳解】中，函數(shù)，是偶函數(shù)，周期為；中，函數(shù)是奇函數(shù)，周期；中，函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，周期；中，函數(shù)是偶函數(shù)，周期.綜上所述，故選A．【點睛】本題考查對三角函數(shù)的奇偶性以及周期性的判斷，考查三角恒等變換，偶函數(shù)滿足，對于函數(shù)，其最小正周期為，考查化歸與轉化思想，是中檔題．6、B【解析】

由，求出，計算出數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率，即可求解.【詳解】由,解得，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，故選B.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率、頻數(shù)，屬于中檔題.7、C【解析】

把不等式轉化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、D【解析】

依照題意采用解析法，建系求出目標向量坐標，用數(shù)量積的坐標表示即可求出結果．【詳解】如圖，以A為原點，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，意在考查學生數(shù)形結合的能力．9、B【解析】

利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據(jù)平面向量平行四邊形法則可知點軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結果.【詳解】由余弦定理得：如圖，取，作，交于在內(nèi)（包含邊界）點軌跡為線段當與重合時，最大，即故選：【點睛】本題考查向量模長最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應用；解題關鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運算確定動點軌跡，根據(jù)軌跡確定最值點.10、A【解析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點睛：形如的模型，求通項公式，用累加法。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由平面向量投影的定義可得出在方向上的投影為，從而可計算出結果.【詳解】設平面向量與的夾角為，則在方向上的投影為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量投影的計算，熟悉平面向量投影的定義是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關系，結合角所在的象限，即可求解.【詳解】因為，所以，故，解得，又，，所以.故填.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)之間的關系，三角函數(shù)在各象限的符號，屬于中檔題.13、無【解析】

可過作的延長線的垂線，垂足為，結合角度關系可判斷為等腰三角形，再通過的邊角關系即可求解，判斷與3.8的大小關系即可【詳解】如圖，過作的延長線的垂線，垂足為，在中，，，則，所以為等腰三角形。，又，所以，，所以漁船沒有觸礁的危險故答案為：無【點睛】本題考查三角函數(shù)在生活中的實際應用，屬于基礎題14、【解析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結果一樣，另外一種是以側棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【點睛】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，求解的關鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉移到平面中來求15、【解析】

由題可知，直線在x上軸截距為-3，再利用截距式可直接求得直線方程【詳解】∵直線過（0，5），∴直線在y軸上的截距為5，又直線在兩坐標軸上的截距之和為2，∴直線在x軸上的截距為2-5=-3∴直線方程為,即5x-3y+15=0【點睛】直線方程有五種基本形式，在只知道橫縱截距的情況下，截距式是最快捷的一種方式16、【解析】

根據(jù)分子和分母的特點把變形為，運用重要不等式，可以求出的最大值.【詳解】（當且僅當且時取等號）,（當且僅當且時取等號），因此的最大值為.【點睛】本題考查了重要不等式，把變形為是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解析】

（1）由已知可先求得首項，然后由，得，兩式相減后可得數(shù)列的遞推式，結合得數(shù)列是等比數(shù)列，從而易得通項公式；（2）對數(shù)列可用錯位相減法求其和．不等式恒成立，可轉化為先求的最大值．【詳解】（1）由得.由，可知，可得，即.因為，所以，故因此是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知.所以①兩邊同乘以得②①②相減得從而于是，當是奇數(shù)時，，因為，所以.當是偶數(shù)時，因此.因為，所以，的最小值為.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，前項和公式，考查錯位相減法求和．適用錯位相減法求和的數(shù)列一般是，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．18、（1）或（2）（3）【解析】

（1）由題,由可得,進而求解即可；（2）由題意得到,進而求解即可；（3）由可得,整理可得關于的函數(shù),進而求解即可【詳解】（1）由題,,因為,所以,則,因為,所以或（2）由題,,因為,所以,當時,,因為是以為最小正周期的周期函數(shù),所以（3）由（1）,由題,,若,則,則,因為,所以【點睛】本題考查共線向量的坐標表示,考查垂直向量的坐標表示,考查解三角函數(shù)的不等式19、（1）;（2）見解析.【解析】【試題分析】（1）借助題設中的數(shù)列遞推式探求數(shù)列通項之間的關系，再運用等比數(shù)列的定義求得通項公式；（2）依據(jù)（1）的結論運用錯位相減法求解，再借助簡單縮放法推證：（1）當時，得，當時，得，所以，（2）由（1）得：，又①得②兩式相減得：，故，所以.點睛：解答本題的思路是充分借助題設條件，先探求數(shù)列的的通項公式，再運用錯位相減法求解前項和．解答第一問時，先借助題設中的數(shù)列遞推式探求數(shù)列通項之間的關系，再運用等比數(shù)列的定義求得通項公式；解答第二問時，先依據(jù)（1）中的結論求得，運用錯位相減求和法求得，使得問題獲解．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ），則存在唯一的使，解得所求參數(shù)的值；（Ⅱ）若，則，解得所求參數(shù)的值．【詳解】解：（Ⅰ）若，則存在唯一的，使，，當時，；（Ⅱ）若，則，因為是兩個相互垂直的單位向量，當時，.【點睛】本題考查兩個向量平行、垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式的應用．21、（1）；（2）；（3