2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布專項(xiàng)練習(xí)題（附答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布小專題

一、單選題

1.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)得變量“若J在（0,2）內(nèi)取值的概率為0.8,則4在（1,2）

內(nèi)取值的概率為（）

A.0.2B.0.1C.0.8D.0.4

2.太行山脈有很多優(yōu)美的旅游景點(diǎn).現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到太行山脈，都準(zhǔn)備從C、

D、E、F,4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.設(shè)事件/為“甲和乙至少一人選擇C，，事

件3為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則條件概率尸（洌/）=（）

3.下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)。的值是（）

X3459

a1j_J_

P---FCl

2676

4.某校高二年級(jí)1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)f~"（100。2）（滿分150分）.統(tǒng)

計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的］.則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成

4

績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（）

A.80B.100C.120D.200

5.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（2,〃），且P（J＜4）=0.8,則P（0＜《＜2）等于（）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

6.下列說(shuō)法中正確的是（）

（,P（A）

A.P（A\B）＜P（AB）B.尸（/忸）x=而是可能的

C.P（4B）=P⑷P（B）D.尸（蟲(chóng)）=0

7.某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示

4人中的團(tuán)員人數(shù)，則尸（X=3）=（）

45

A.BcD.

21-0-A2?

8.設(shè)X?y?NJ2。；)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的

B.尸(萬(wàn)沁)"-5)

D.對(duì)任意正數(shù)乙P(X>t)>P(Y>t)

二、多選題

9.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從

甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以4，4和4表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球,

再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以8表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是()

2A

A.F(S)=-B.P(44)=1T

c.事件8與事件4相互獨(dú)立D.4，4,4兩兩互斥

10.設(shè)隨機(jī)變量X表示從I到〃這〃個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，y表示從I到X這X個(gè)

整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，則下列正確的是()

A.當(dāng)〃=3時(shí)，尸(X=2,Y=l)=g

B.當(dāng)〃=4時(shí)，尸(x+y=4)=卷

C.當(dāng)n=k(后22且左eN*)時(shí)，P(X=k,Y=l)=^

D.當(dāng)"=2時(shí)，/的均值為3

4

11.如果。是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則真命題是()

A.J取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)

B.取所有可能值的概率之和為1

C.J取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和

D.。在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和

12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且項(xiàng)X）=1.6,則（）

X0123

p0.1ab0.1

A.。=0.3B.6=0.5

C.P(X<l)=0AD.P(X>l)=0.6

三、填空題

13.一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的9個(gè)球，其中黃球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，綠

球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件A“取出的兩個(gè)球顏色不同”，記事件3“取出一

個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則尸（3]/）=.

14.已知0＜尸（/）＜1,且P（B|/）=P（8）若尸（勾=0.6,尸（3|彳）=0.3,,則

P（AB）=.

15.設(shè)隨機(jī)變量J?8（2,0,〃=24+1,若￡信）=（,則。?=,

E⑺+D⑺=.

16.己知4,4為兩所高校舉行的自主招生考試，某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過(guò)的概率

均為該同學(xué)一旦通過(guò)某所高校的考試，就不再參加其他高校的考試，設(shè)該同學(xué)通過(guò)高校

的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,貝IJE（X）=,D{X）=.

答案:

1.D

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得答案.

【詳解】因?yàn)樽兞縂N0,力(b>o),P(0<X<2)=0.8,

所以P(l<X<2)=0.4.

故選：D.

2.D

【分析】先求出事件/發(fā)生的概率和事件N和事件8共同發(fā)生的概率，利用條件概率公式即

可求出.

【詳解】由題兩位游客從4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，共有4x4=16種,

其中事件/的情況有4x4-3x3=7種,

事件A和事件B共同發(fā)生的情況有2*3=6種,

所以尸(4)=［，尸(”)=2=)

IoIoo

3

P(AB)6

所以P(劇/)=8_=

尸⑷77

16

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：W解得°=上

26269

故選：C.

4.D

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，確定成績(jī)不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的

-=]=:，即可求得成此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生數(shù).

214J8

【詳解】由題意可知：成績(jī)X~N(100,〃)，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=100對(duì)稱，

3

又因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的一，

由對(duì)稱性知：成績(jī)不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的g=

214J8

所以此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生約有：1x1600=200A.

O

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】；.〃=2,

尸（0<J<2）=尸（2<J<4）=<4）一尸（J<2）=0.8-0.5=0.3.

故選：C.

6.B

【分析】利用條件概率的公式可判斷ABD,利用獨(dú)立事件的定義可判斷C.

【詳解】選項(xiàng)A：故A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B：當(dāng)P（B）=1時(shí)，「（川町=牛胃=磊="/），可能成立，故B正確；

選項(xiàng)C：尸（48）=尸（㈤尸（8）當(dāng)且僅當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)成立，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：=故D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.D

【分析】X=3表示出抽取的4人中有3個(gè)團(tuán)員，分別求出從這10人中任選4人參加某種活

動(dòng)方法總數(shù)，以及抽取的4人中有3個(gè)團(tuán)員的方法總數(shù)，由古典概率的公式即可得出答案

【詳解】X=3表示出抽取的4人中有3個(gè)團(tuán)員，

所以尸（X=3）=等=器=/.

L/]0N_LUNJ.

故選：D.

8.C

【分析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖像可得M<4，0<l</可判斷AB,由密度曲線與

橫軸所圍成的圖形的面積的意義可判斷CD.

【詳解】A選項(xiàng)：X?N?,。；）、丫?N（4，b；）的密度曲線分別關(guān)于x=4、x=〃2對(duì)稱，

因此結(jié)合所給圖像可得從<4，所以玖丫》〃?）〈尸（丫》〃。，故A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)：又X~N(M，CT：)的密度曲線較丫~"(〃2，峭)的密度曲線“瘦高”,

所以0<巧<%,所以尸(XW4)〉尸(XWbJ,故B錯(cuò)誤；

CD選項(xiàng)：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：

對(duì)任意正數(shù)f,P{X<t}>P[Y<t}.尸(X2QV尸故c正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

9.BD

【分析】根據(jù)已知得出P(4),尸(4)1(4)，P(切4)1(8㈤)，尸(為4)，然后即可根據(jù)概率

的乘法公式以及全概率公式，得出答案.

5171a5

【詳解】由已知可得，尸⑷-P(A)=-=T,尸⑷=6,尸(引4)=77，

1XJ乙1.\JJL17XL

44

尸(切4)=開(kāi)，尸(見(jiàn)4)=1T.

對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，

p(8)=p(43)+尸(40+尸([8)=尸(4)尸(同4)+尸(4)尸(邳4)+尸(4)尸(即4)

1514349

=-x--1—x--1--x—=—,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

211511101122

對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)己知，即可計(jì)算尸(同4)=：,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，尸(48)=尸(4)尸(8|4)=；x'=2，

100

尸(4)尸⑻=于藥=石片P08),故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由己知可知，4，4,4兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

10.BCD

【分析】此題考查條件概率、概率的乘法公式以及隨機(jī)變量的分布列與均值，本題要注意兩個(gè)

隨機(jī)變量x,y的取值范圍.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)〃=3時(shí)，P(X=2)=；,P(y=l|X=2)=g,

則尸(X=2,y=l)=尸(X=2).尸0=1|X=2)=|<|=I，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)〃=4時(shí)，由X+y=4,X>Y,可得X=3,y=l或X=2,Y=2,

所以尸(x+y=4)=尸(x=3,y=i)+P(￥=2,y=2)=}.%/故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)n=k"22且左eN*)時(shí)，P(X=左)=：,尸(y=11X=左)=:,則

P(X=A,y=l)=j,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)"=2時(shí)，/的可能取值為1,2,

1113

則尸(y=1)=尸(x=i,y=1)+尸區(qū)=2,丫=1)=^<1+^丁“

尸a=2)=尸(x=2,y=2)=gx；W，

所以y的均值為lx】+2x：=：,故D正確.

444

故選：BCD

11.ABC

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的求法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，隨機(jī)變量取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，則隨機(jī)變量J取所有可能值的概率之和為1,所以B正確；

對(duì)于C中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得隨機(jī)變量。取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的

概率之和，所以C正確；

對(duì)于D中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，隨機(jī)變量推某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各

個(gè)值的概率之和，所以D不正確.

故選：ABC.

12.ABCD

【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，列出方程組

0.1+。+/?+0.1=1

解出。力的值即可得到答案.

0x0.1+lx〃+2x6+3x01=1.6

O.l+a+6+O.l=1Ia=0.3

【詳解】根據(jù)題意,解得4故A、B正確;

0X0.1+1XQ+2X"3x0.1=1.66=0.5

又尸(X<1)=尸(X=0)+尸(X=1)=0.1+0.3=0.4,

P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=0.5+0.1=0.6,故C、D正確.

故選：ABCD.

3

13.—

13

【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】事件A“取出的兩個(gè)球顏色不同”，包括一個(gè)黃球一個(gè)藍(lán)球，

一個(gè)黃球一個(gè)綠球以及一個(gè)藍(lán)球一個(gè)綠球，三種情況,

則〃（/）=C；C；+C；C；+C；C；=26,

事件8“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”,

貝I|M/2）=C；C；=6,

所以尸⑷/）=n號(hào)（AB=]石63

13,

嗚

14.0.12/—

25

【分析】由尸（引4）=尸（8）,可得48相互獨(dú)立，再結(jié)合已知條件，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法

公式，即可求解.

【詳解】由尸（//）=尸（8）可得43相互獨(dú)立,

叉尸（可=0.6,尸（4）=1一尸（7）=0.4,

又因?yàn)槭?|1）=0.3,所以P（B）=0.3,

所以P(/8)=尸(/)P(B)=04x0.3=0.12

故0.12.

437,3