廣東省汕尾市2024年普通高中高三年級教學質量測試數學試題

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2024年普通高中高三級教學質量測試

數學

本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處。

2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改

液、修正帶、刮紙刀。考試結束后，請將本試題及答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合知=|x|l<x2<9|,N=|x|-2<x<\\,則MnN=

A.{彳3<%<-B.2</<-1>

C.{x\-3<%<3)D.\x\-3<x<3Hx^W

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標為（1,-1）,則二-2i=

1

A.-1-3iB.1-iC.1-3iD.-1+i

1

3.設a=lg4,b=log30.9,c=20,貝（J

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.從2019年初，某生產新能源汽車零件的企業(yè)不斷引進技術，此后每年的零件銷售額均比

上一年增加15%,已知該企業(yè)從2019年到2023年底的零件總銷售額為202萬元，則該企

業(yè)2019年的銷售額約為（參考數據：1.154=1.75,1.155=2.01）

A.30萬元B.35.2萬元C.40.4萬元D.42.3萬元

5.已知角a的終邊經過點（-3,2萬），則tan（a+^）=

A.竽B.一乎C.2后D.-2#

6.數學家歐拉在1765年發(fā)現了九點圓，即在任意的三角形中，三邊的中點、三條高的垂足、

三條高的交點（垂心）與三角形頂點連線的中點，這九個點共圓，因此九點圓也稱作歐拉

圓.已知在△麴（:中，A（-2,0）,8（4,4）,C（2,2）,則△ABC的九點圓的半徑為

.RyWD

A'3'_3rJ2'2

高三?數學第1頁（共4頁）

7.已知兩圓錐的底面積分別為孑，4TT,其側面展開圖中圓心角之和為2K,則兩圓錐的母線

長之和的最小值為

7Q

A-yB.-c.4D.5

8.函數/(%)=L、^+彳-1的所有零點之和為

A.-2B.-1C.1D.2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數y與第%(%=

1,2,3,4,5)天的數據如表所示.

X12345

y2110a15a90109

根據表中數據可知所y具有較強的線性相關關系，其經驗回歸方程為夕=20%+10,則

A.樣本相關系數在(0,1］內B.當/=2舊寸，殘差為-2

C.點(3,15a)一定在經驗回歸直線上D.第6天到該醫(yī)院就診人數的預測值為130

10.已知函數/(%)及其導函數尸(芯)的定義域均為R,若/(2-/)是不恒為。的奇函數，則

A./(2)=0B./(2-x)+以/-2)=0

C./(%+2)為奇函數D./(工+2)為偶函數

11.已知函數/(%)=4sin(a)x+(p)(A>0,

其部分圖象如圖所示，則

A/(f)4

B./(%)的圖象關于直線,=2對稱

1O

C.于(X)在區(qū)間［外等］上單調遞增

D.將/(*)的圖象向右平移專個單位后所得圖象關于原點對稱

12.已知拋物線C：/=2p彳(p>0)的焦點為^^g,0),經過點M(2,1)的直線，與C交于

A,B兩點，且拋物線C在4,8兩點處的切線交于點尸，。為48的中點，直線PZ)交C

于點E,貝I」

A.點P在直線/-y+l=0上B.E是尸。的中點

C.\FA\■\FB\=\FP\2D.PDly軸

高三?數學第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

?fL

13.已知向量。=(-7,6),5=(5,-3).貝川。+川=?

14.在二項式卜+為『的展開式中，若常數項恰是所有奇數項的二項式系數之和的5倍，則

實數a的值為.(用數字作答)

15.若雙曲線的同一支上存在兩點4,B,使得△048(。為原點)為等邊三角形，則稱雙曲線

為“優(yōu)美雙曲線”，已知雙曲線。是“優(yōu)美雙曲線”，則C的離心率的取值范圍

是./

16.如圖，在四棱柱ABCD-ApBG，中，底面

為正方形，AB=4,4B=BC；,叫_18%且/K77/

二面角當-B，-G的正切值為無若點P在，///\\//

底面ABCD上運動，點Q在四棱柱ABCD-------制、

AiBiClD1內運動？BQ=y,則P&+PQ的最―C.

小值為________.,日.,,'

，..I':I'I's''一?.：!?■..：

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分).

已知數列｛冊-目為等差數列，02=9,。3=16.1.-1

(1)求數列I的通項公式；：(

(2)設數列｛出｝的前兀項和為S",證明：S.＜京.」4

18.(12分)

如圖，在四棱錐尸-4BC。中，底面4BCZ)為平行四邊形，4c為等邊三角形，BC=

248=2,-2=60°,4B1PC,點E滿足記=3或.]

(1)證明：平面P4C_L平面ABC0；’入

(2)求直線DE與平面PAB所成角的正弦值.

高三?數學第3頁(共4頁)

19.(12分)

為增強學生體質，某校高一(1)班組織全班同學參加限時投籃活動，記錄他們在規(guī)定時間內

的進球個數，將所得數據分成[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26]這5

組，并得到如下頻率分布直方圖：

(1)估計全班同學的平均進球個數.(同一組中的

數據用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)現按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個

數在[10,14),[14,18),[22,26]內的同學中抽

取8人進行培訓，再從中抽取3人做進一步培訓.

(i)記這3人中進球個數在[14,18)的人數為X,

求X的分布列與數學期望；

(ii)已知抽取的這3人的進球個數不全在同一區(qū)

間，求這3人的進球個數在不同區(qū)間的概率.

20.(12分)

在△48C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,△48C的面積為S,已知j=

哈+2府4

tanB

(1)求tan4；

字sinC,。為8C的中點，AD=2^5,

(2)若sinB=求。的值.

21.(12分)

已知橢圓C：<+4=1(。>6>0)的短軸長為2,,離心率為g

ab-z

(1)求橢圓(7的方程；——hi

(2)橢圓C的左、右頂點分別為4,B,直線/經過點(1,0),且與橢圓C交于M,N兩

點(均異于4,8兩點)，直線4的傾斜角分別記為a,/3,試問a-萬是否存在最

大值？若存在，求當a-0取最大值時，直線蜀Z,BN的方程；若不存在，說明理由.

22.(12分)

已知函數/'(，)=4e*+(Im:)?一肛其中%>0.

(1)當4=工時，證明：/(x)&0；

e

(2)若對任意彳e(0,+00),都有/(x)N(%+lnL)2,求人的取值范圍.

高三?數學第4頁(共4頁)

2024年普通高中高三級教學質量測試

答案及評分標準（參考）數學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

題號12345678

答案BACAADBD

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

題號9101112

答案ADACDBCBCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

四、解答題：本題共6小題，共70分。

17.（10分）

（1）解：設等差數列｛冊的公差為人

因為a2=9,a}=16,

所以，=(%-32)-(a2-22)=2,...........................................2分

所以a.-7/=a2-22+(九一2)x2=2n+1,...................................4分

所以a?=n+2n+1.......................................................5分

]

⑵證明：因為力6分

(n+2)n

_1/11\

7分

2\nn+2)1

’-1(111111111\

所以S，=了(>了+了-了+了-5+…+--,+工-小)............8分

J(I+」」一M...........................9分

2\2n+1n+2)

島++)<110分

18.（12分）

（1）證明：在△4BC中，由余弦定理得4c2=4產+BC?-248?8Ccos60°=3,……1分

^XVXAB2+AC2=BC2,^UABlAC........................................2分

又ABJ_PC,4CU平面PAC,PCPAC,ACQPC=C,所以平面P4C???3分

又42U平面48co，所以平面P4C_L平面42CD............................4分

（2）解：過點4在平面P4C內作垂直于4c的直線4Z,由（1）可得4Z,平面42cO,

以點4為原點，AB,AC,4Z所在直線分別為彳軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系，..................................................................5分

高三?數學答案及評分標準（參考）第1頁（共5頁）

則4(0,0,0),B(l,0,0),C(0,技0),D(-1,百，0),(0,yj,……6分

取y=-6，則彳=0,z=l,所以相=（0,_耳,1）是平面PAB的一個法向量...10分

設直線DE與平面PAB所成角為6,

11分

12分

19.(12分)

解：(1)該班同學的平均進球個數

5=8x0.02x4+12x0.04x4+16x0.08x4+20x0.07x4+24x00x4=17.12............3分

(2)由題意可知進球個數在[10,14),[14,18),[22,26]內的頻率分別為0.16,0.32,

0.16,頻率比為0.16：0.32：0.16=1：2：1,

所以抽取的8人中,進球個數在[10,14),[14,18),[22,26]內的人數分別為2,4,2.

...................................................................................................................................4分

(i)由題意可知,X=0,1,2,3,

C31r1c2a

所以P(X=0)=-^=-,P(X=1)=^±=-,

P(X=2)=c25cl=2&,P(X=3)*C3==1,......................................................................6分

所以X的分布列為

X0123

1331

P

147714

所以E(X)=0x畝1+1x>32x尹33x吉1=3辛............................8分

高三?數學答案及評分標準（參考）第2頁（共5頁）

（ii）記事件4="抽取的3人的進球個數不全在同一區(qū)間"，事件B="抽取的這3人的進

球個數在不同區(qū)間”,

則P（4）=國，132_

P(AB)9io分

5145T

2

所以P（“4）=/羽=.4

14

即這3個人的進球個數在不同區(qū)間的概率為2.................................12分

20.(12分)

左力/1\上目力士/日SsinAcosAcosB2“*5cosA(sinAcosB+cosAsinB)

解：(I)由題思得yr=-----f-----+cosA,即nnyr=--------------f------------,

bsinBbsinD

gr-p.ScosAsin(A+B)日口ScosAsinC1

小以b之一sin5，"2-sin5.為

由正弦定理得搭=C0Sf'C，即S=bccosA,....................................4分

b0

所以;bcsinA=bccosA,BPsinA=2cosA,

所以tan4=2....................................................................5分

(2)由已知及正弦定理得6=爭，...........................................6分

由(1)得sin4=2cosA,所以sin2A=4cos2A=1-cos2A,

解得cos4=gkos4=-亳舍去)..........................................7分

又。為BC的中點，所以石=。(同+公)，

所以|而|=；^(AB+AC)2=；\/AB2+2AB-AC+AC2,

所以275~=；\/c2+26ccosA+b2,

所以J+2xxV+卷J=80,解得c=6,

所以6=2技............................................................10分

在△48C中，由余弦定理得￡=b2+c2-26ccos4=(2石廠+62-2x2^5x6Xy=32,

解得a=4萬............................................................12分

21.(12分)

(2b=2,

解：⑴由題意得〉色解得仁I.......................................3分

￡=b2+C2,

高三?數學答案及評分標準（參考）第3頁（共5頁）

2

所以橢圓C的方程為亍+『=1..............................................4分

(2)a-3存在最大值，當a-3取最大值時，

直線4M的方程為g+3+2=0,2N的方程為島-y-2a=0,理由如下：

由(1)可得4(-2,0),2(2,0),

由題意可知直線/的斜率不為0,設直線/的方程為x=my+l,M(%,%),N(支2,y2),

?x=my+1,

聯(lián)立,/2得(/+4)丁+2畋-3=0,

1+yt，

所以八=4m2+12(機之+4)=16m2+48>0,

2nl3

...........................................6分

%+”=-Tn2+4%%=-77l2+4

3

所以〃少1%=亍(%+%)?.................................................7分

Ji3

又tana_-+2_(支2-2)力_(吵T)%_加力典f_5(力.典)f

tanjB為Oi+2)%+3)y2m%%+3%A(+yj+3y^

x2-22

13

9分

39-3'

了以+尸

所以tanG二3tana,可知0<a<8<方或女</3<ot<TT.

若a—。取最大值，則會<S<a<7T,此時tana<0,tan萬<0.

tana-tan0tana-3tana-2tana2

此時tan(a-/?)--------2---二-----------------2W

1+tanatan01+3tana1+3tana-1

+(-3tana)

tana

__________2__________=甚

2/----x(-3tana)

7tana

當且僅當-=-3tana,即tana二一g,tan萬二一行時等號成立，..........