天津市紅橋區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析） (二)

天津市紅橋區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1,已知全集。={-2,T0,1,2,3,4},集合。={-2,0,1,2},8={-1,0,2,3},則，U討=C

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}C.{0,2}D.{-2,1}

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為8={-1,0,2,3},所以28={-2,1,4},

又/={-2,0,1,2},所以/U之8={-2,0,1,2,4},

故選：B.

2.已知a,beR,貝是“小蛇>/。24”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】

舉出反例，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)a=1,6=-2時,a*產(chǎn),

202420U

當(dāng)。=-2,6=1時，fl>b,a<b,

所以“a>方”是“「24>’24”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

06

3.設(shè)a=log。$0.6,/>=0.255，c=o.6,則“，b,c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】

利用塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【詳解】因為>=logo,5X在（0,+°0）上單調(diào)遞減，所以logojlvlogo_50-6<logojOS即

0<a<1.

因為y=x°6在（o,+e）上單調(diào)遞增，又0.25-03=0.5-°-6=2°6,0.6-°-6=f-^,

試卷第1頁，共17頁

又所以

2>g>l,2°6故6〉c〉l,所以6>c>a.

故選：C.

4.已知函數(shù)/'3=4k-4,則/(x)的圖象大致為()

(x-2)

【答案】A

【分析】

由特值法，函數(shù)的對稱性對選項一一判斷即可得出答案.

|0-2|2

【詳解】因為「(0)=右0一4=]一4<0,故C錯誤；

(0—2)4

卜x+4-2|\-x+^\x-^

又因為/(r+4)=」-------4———--4——-_4=|

八)(-x+4-2)72(-x+2)2(x-2)2A7

故函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于X=2對稱，故B錯誤;

當(dāng)x趨近2時，趨近1，(》-2)2趨近0,所以/卜)=三'-4趨近正無窮，故D

(工-2)

錯誤.

故選：A.

5.已知仍wl,logam=2,logb加=3,則1。8仍加二()

11-56

A.—B.—C.-D.一

6565

【答案】D

【分析】

由對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】由換底公式得，log.,。"—=5，bg“*="—=；,

log”m210gzlm3

試卷第2頁，共17頁

,116

所以log0/,m=----------=-------------------=—

log.,ablog,,,a+logmb5

故選：D.

6.已知正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為()

A.16兀B.207tC.87tD.57r

【答案】B

【分析】

根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)正六棱柱下底面的中心為。'，其外接球的圓心為點O,

則△N3O,為等邊三角形，

故/。'=2,CM即為其外接球的半徑A,

所以及=/。=y/AO'2+OO'2=VF+F=y/5，

7.已知直線歹=丘與圓C:(x+2)2+/=3相切，交曲線/=28(°>0)于點?，若

尸|=8,。是坐標(biāo)原點，則以尸為圓心，以P為半徑的圓與圓C的位置關(guān)系為()

A.相交B.內(nèi)含C.外離D.外切

【答案】C

【分析】

根據(jù)點到直線的距離求得左，再聯(lián)立直線與拋物線方程得點尸坐標(biāo)及圓方程，再考慮圓

心距即可.

【詳解】

根據(jù)J?=也,解得k=±A/3，

結(jié)合拋物線的對稱性，只需考慮后=內(nèi)的情形，

試卷第3頁，共17頁

了=女

￡解得x=0,3'

聯(lián)立或4

>=02回

y=------

3

，解得P=6,

所以10Pl==%=8

3

此時點P（4,4A回），圓尸的方程為6-4）2+3-4a）2=36,

因為圓C和圓尸的圓心距［=7（-2-4）2+（0-473）2=2而'＞百+6，

所以兩圓外離.同理當(dāng)上=-括時，兩圓也外離.

故選：C.

8.某中學(xué)有學(xué)生近600人，要求學(xué)生在每天上午7：30之前進校，現(xiàn)有一個調(diào)查小組

調(diào)查某天7：00~7：30進校人數(shù)的情況，得到如下表格（其中縱坐標(biāo)V表示第x-1分鐘

至第x分鐘到校人數(shù)，14x430,xeN*,如當(dāng)x=9時，縱坐標(biāo)了=4表示在7：08~7：

09這一分鐘內(nèi)進校的人數(shù)為4人）.根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，甲同學(xué)得到的回歸方程是

y=3.6x-27（圖中的實線表示），乙同學(xué)得到的回歸方程是y=0.82e°.（圖中的虛線

表示），則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.7：00~7：30內(nèi)，每分鐘的進校人數(shù)了與相應(yīng)時間x呈正相關(guān)

B.乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好

C.根據(jù)甲同學(xué)得到的回歸方程可知該校當(dāng)天7：09~7：10這一分鐘內(nèi)的進校人數(shù)一

定是9人

試卷第4頁，共17頁

D.該校超過半數(shù)的學(xué)生都選擇在規(guī)定到校時間的前5分鐘內(nèi)進校

【答案】C

【分析】對于A,根據(jù)散點圖判斷；對于B,由圖象結(jié)合函數(shù)的圖象特征判斷；對于C,

由回歸方程得到的只能是估計值判斷；對于D,根據(jù)統(tǒng)計表判斷.

【詳解】對于A,根據(jù)散點圖知，7：00?7：30內(nèi)，每分鐘的進校人數(shù)V與相應(yīng)時間x

呈正相關(guān)，故A正確；

對于B,由圖知，曲線y=0.82e°」6*的擬合效果更好，故乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更

好，故B正確；

對于C,表格中并未給出對應(yīng)的值，而由甲的回歸方程得到的只能是估計值，不一定就

是實際值，故C錯誤；

對于D,全校學(xué)生近600人，從表格中的數(shù)據(jù)知，7：26~7：30進校的人數(shù)超過300,

故D正確，

故選：C.

TT

9.將函數(shù)/（幻的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向左平移]單位，得到函數(shù)

g（x）=sin（2x+0）[o<e<1^的部分圖象（如圖所示）.對于VX],x2&{a,b],且玉片馬,

若g（xj=g（xj,都有g(shù)a+%）=乎成立,則下列結(jié)論中不正確的是（）

C.g（無）在n,—上單調(diào)遞增

D.函數(shù)/（X）在0,,的零點為演"2,…,尤"，則再+2匕+2%+…+2X"_[+x"=芋

【答案】C

【分析】

X,+x

由題意可得函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間[凡句上的對稱軸為X=-----9再結(jié)合

2

試卷第5頁，共17頁

g(Xi+%)=日可求出夕，即可判斷A；再根據(jù)平移變換和周期變換得原則即可判斷B,

再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別判斷CD即可.

【詳解】對于A,由題意可知函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間［a,6］上的對稱軸為x=土言，

貝l］x=O與x=±+z關(guān)于x=土產(chǎn)對稱，

又g(X］+X?)=，結(jié)合圖象可得g(0)=g(X1+x2)=!

所以sin0=1,又0<0</所以夕=5，

所以g(x)=sin12x+；j,故A正確；

對于B,g(x)二si“2x+；［右移1個單位得到函數(shù)ksinQxj)的圖象，

再將其橫坐標(biāo)縮短為原來的g得到/(x)=sin(4x-］J的圖象，故B正確；

?十.「3兀1gc?！?兀10兀

對于C,由工￡再受，得+-,,

3兀

所以g(x)在耳彳上不單調(diào)，故C錯誤；

jr7T

對于D,令/=4x-、，則/e-J,5TI,

兀

函數(shù)y=sinf在一］,5兀上有6個零點"，占G%陽"&<J<J<%<4<%)，

貝|4+右=兀，t2+t3=3n,t3+t4=5TI,4+4=7兀，t5+t6=9n,

故4+2t〔+2t3+2,4+2t$+J=4(X]+2x2+2X3+2x4+2X5+Xf)—10x—=25TI

所以X]+2X2+2X3+—F2X"T+x0=——71,故D正確;

故選：C.

【點睛】思路點睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路:

(1)將函數(shù)解析式變形為y=/sin(ox+0)+B(0>0)或y=/cos(ox+夕)+8(0>0)的

形式；

(2)將0X+?？闯梢粋€整體；

(3)借助正弦函數(shù)y=sinx或余弦函數(shù)戶cosx的圖象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、

周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.

二、填空題

試卷第6頁，共17頁

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)-r一=________

1-1

【答案】l+3z73z+l

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.

4+2i(4+2i)(l+i)4+6i+2i22+6i

【詳解】=l+3i

i-i一(i-i)(i+i)---2

故答案為：l+3i

6

11.已知二項式2尤+,則其展開式中含/的項的系數(shù)為.

【答案】4320

【分析】

求出展開式得通項，再令x的指數(shù)等于2,即可得解.

6

,6—k

【詳解】2x+展開式的通項為TM=C：(2X)=2,A士3yx3

4

令6-§左=2,得斤=3,

所以含尤2的項的系數(shù)為23x3?諼=4320.

故答案為：4320.

2

12.已知雙曲線--匕=1與拋物線/=8x的一個交點為4尸為拋物線的焦點，若

m

\AF1=5,則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】y=±>/3x

【分析】設(shè)4豌,％),根據(jù)條件，利用拋物線的定義得到無。=3,進而得到只=24,代

入雙曲線方程中，可得〃?=3,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為拋物線V=8x的準(zhǔn)線方程為》=-2,設(shè)/(%,%),

因為|/尸|=5,所以％+2=5,得到％=3,所以y；=8x3=24,

,?,24

又4(%,%)在雙曲線上，所以9-----=1,得到〃?=3,

m

2

故雙曲線為--弓_=1,其漸近線方程為y=±Gx.

故答案為：y=±V3x.

13.甲、乙兩位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計贏2局者勝，分出勝負(fù)即停

試卷第7頁，共17頁

3

止比賽.已知甲每局贏的概率為W，每局比賽的結(jié)果相互獨立.本次比賽到第3局才分出

勝負(fù)的概率為,本次比賽甲獲勝的概率為.

12Q1

【答案】一/0.48—/0.648

25125

【分析】

空1：根據(jù)獨立事件的乘法公式求解本次比賽到第3局才分出勝負(fù)的概率；

空2：利用獨立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲獲勝的概率即可.

【詳解】

到第3局才分出勝負(fù)，則前兩局甲、乙各贏一局，其概率為白二+二乂;=二.

555525

339

若甲獲勝，分2種情況：①甲連贏2局，其概率為='工二二,

5525

②前兩局甲、乙各贏一局，第三局甲贏，其概率為葭23+2葭上色.

555555125

故甲獲勝的概率為2+黑=2.

25125125

小林心d1281

故合案為：石‘示

TT

14.如圖，在平行四邊形/BCD中，ZABC=-,E為CD的中點，尸為線段ZE上一點,

且滿足而="而+:而，貝＞1能=;若Y/3CD的面積為26，則網(wǎng)的最

小值為.

2

【答案】

3

【分析】設(shè)方=后在前€[0』],由平面向量線性運算及基本定理可得加，由

4__?-?

BC\-I結(jié)合基本不等式可得|加|的最小值.

【詳解】由題意，設(shè)萬=上衣

試卷第8頁，共17頁

—?2—?2—?

所以5P=—A4+—BC,

33

由YN8CZ1的面積為26，得到國.網(wǎng)f=25得到明?網(wǎng)=4,

所以網(wǎng)=小軻個網(wǎng)+?對而=:F行i+舒,產(chǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)|數(shù)|=|第卜2時，等號成立，

所以|加|的最小值為孚.

故答案為：］；迪.

33

15.設(shè)函數(shù)/(x)=1)|,|<"-3,若〃x)=a有四個實數(shù)根A,々，尤3，x4>且

［(X—4),x>3

1Z\1

XX

西<工2<%3<%4，貝IJ工(13+4)1+丁的取值范圍__________.

【答案】

【分析】作出歹=/(%)的圖象，根據(jù)圖象確四個根間的關(guān)系，從而得到

1113

-(x3+x4)x1+—=1+2^-一,且［<玉<2,再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.

4%M2

-log(x-l),l<x<2

|log(x-l)|,l<x<32

【詳解】因為/■(元)=2，所以/(%)=Iog2(x-1),2。<3,其圖象

(X-4)2,X>3

(X—4)2,%>3

如圖所示，

又/(、)=〃有四個實數(shù)根，由圖知一log2a-1)=1082(入2-1)，得到中2=玉+%2，即

111

一+—=1,且%3+%4=8,

七超

a3

由|10g2(x-l)|=l,得到x=3或x=；,所以］<再<2,

1/、1clic1

所以:(“3+%4)/-2/H=1+2再,

4x2x2Xj

令y=l+2尤」,1<x<2,易知y=l+2x-，在區(qū)間佶,2〕上單調(diào)遞增，所以得,孔

x2x)<3ZJ

試卷第9頁，共17頁

故答案為:"1?

三、解答題

16.在/UBC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為〃，b,。.已知bsin/=acos15-￡

（1）求角B的大小;

（2）設(shè)Q=2,C=3,求sin（2Z-B）的值.

【答案】（1）8=。

⑵邁

14

【分析】（1）運用正弦定理求解;

（2）運用兩角差公式求解.

【詳解】（1）在。BC中，由正弦定理得：sin3sin4=sin/cos（B-《

因為sinZ>0,所以sin8=cos（6-；71］,可得sin?二且cos5+」sin8,

622

即sin5=百cos5,tanB=密,又BE（。,兀），可得8=]；

（2）在“BC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=l,b=y/l,

71/?

由6sin/=acosB,以及3=/,可得sin/=半,

3V7

2

因為。＜。，所以/是銳角，所以cos/=[7

因止匕sin2^4=2sinAcosA,cos2A=2cos2A-l=—

77

4A/311V3373

所以,sin（24-5）=sin2AcosB-cos2AsinB=----------X------------X--------=-----------，

727214

綜上，8=9，sin（24一5）=

3''14

17.如圖，在四棱錐尸-中，底面是邊長為1的正方形，底面，55,

尸8與平面45CQ所成角為45。，E*分別是尸C,4。中點.

試卷第10頁，共17頁

⑴求證：DE〃平面尸尸8；

(2)求平面PFB與平面EDB夾角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

V330

-77-

【分析】

(1)取網(wǎng)的中點連接證明四邊形腔。尸為平行四邊形，貝1|。￡7/尸

再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)以點。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)P8與平面所成角求出尸。，

利用向量法求解即可.

【詳解】(1)取尸8的中點連接ME,MF,

因為瓦尸分別是尸C,中點，所以MEHBC且ME=』BC,

2

又DFHBC豆DF==BC,

2

所以ME//DF且ME=D9,

所以四邊形AffiD尸為平行四邊形，所以DE//FM,

又平面尸F(xiàn)8,FMu平面PFB,

所以。E〃平面PFS；

(2)連接BD,BE,

如圖，以點。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，

因為尸D_L底面ABCD,所以ZPBD即為PB與平面ABCD所成角的平面角,

所以NPBD=45。，所以PD=BD=6，

'1

則5（l,l,0）,Z）（0,0,0）,E0,-,^-,F1,0,0j,F（0,0,V2）,

試卷第11頁，共17頁

n1?

故麗=，麗=(1,1,0),詼=V,—,----

227

設(shè)平面PFB的法向量為3=(陽為z),

n-FP=--x+sf2z=Q

2

則有，令x=2血，則y=_后,z=l

_—1

n-FB=—x+y=0

所以〃=(2后，-亞,1),

設(shè)平面的法向量為薪=(a,6,c),

m-DB=a+b=0

則有—?1y/2'令b=—y/2，貝I」a=V2,c=1,

m-DE=-b+—c=0

22

18.已知S"為數(shù)列｛g｝的前〃項和，且滿足S“=2a“+r,其中reR,且y0.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

試卷第12頁，共17頁

c2n-lIn

⑵設(shè)“=(-1嚴(yán)若對任意的“eN*,都有求實數(shù)機的取值范圍.

ri=li=l

【答案】(l)4=f-2"T

(2)-l<m<2

【分析】

(1)利用。“S’,的關(guān)系式求解即可;

(2/7-1)(2“\2w-l2n

(2)由題意有<加<，利用分組求和法分別求出再根據(jù)

\i=l/max\?=1)mini=l，=1

(2n-l)(2〃)

數(shù)列的單調(diào)性分別求出Z2，，即可得解.

\i=l/max\'=1/min

【詳解】(1)由S"=2/+r,

當(dāng)〃=1時，ax=Sx=2ax+r,所以q=-rw0,

當(dāng)“22時,an=Sn-Sn_l=2an-2an_l,所以%=2%_i，

所以數(shù)列｛%｝是以2為公比的等比數(shù)列,

所以。，=一廠21；

3,

(2)由(1)得S(1-2)

n1-2

則b?=(-l)n+1}=(-1)"+1(1-2")=(-1)"+1+(-2)",

2i_211—(―2?〃T]-(-2廣+1

故24=4+4+?一+41=1+-----,、—

$1一(一2)3

2n+1

2n-2[l-(-2)](2f-2

Za=4+打+?一+62〃=o+

i=\>(_2)3

2n-1

而f4=一(-2廠+1=z￡±l隨n的增大而減小,

Z=133

f2n-l

所以￡耳-4+1

\i=l3

小士丁二〒隨〃的增大而增大,

試卷第13頁，共17頁

2n-l2n

因為對任意的"eN*,都有￡4＜皿＜￡白，

Z=1Z=1

所以一1＜加＜2.

221

19.已知橢圓C:=+4=l(a＞6＞0)過點(2,0),且橢圓C的離心率為J.

ab2

⑴求橢圓C的方程；

⑵若動點尸在直線x=-l上，過尸作直線交橢圓。于監(jiān)N兩點，且尸為線段跖V的中點,

再過戶作直線血W,證明：直線/恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

【答案】⑴《+片=1

43

⑵證明見解析

【分析】

(1)由點(2,0)在橢圓C上，代入橢圓的方程，再由橢圓C的離心率為十,求得。力的

值，即可求解;

(2)設(shè)尸當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線九W的方程為＞-%=40+1),聯(lián)

立方程組，根據(jù)點尸的橫坐標(biāo)求得左，結(jié)合得到片=-守，得出直線過定點;

當(dāng)直線的斜率不存在時，得到直線/為x軸，進而得到結(jié)論.

40

【詳解】⑴因為點(2,0)在橢圓。上，可得二+=1,解得/=4,

a7bT

又因為橢圓。的離心率為:，所以￡=彳，所以"幺=上，解得〃=3,

222

a2aa4

22

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

33

(2)由題意，可設(shè)尸(-1,%),且為e(-了5),

①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線九W的方程為k為=Mx+l),M(x”必),"(乙,%)，

y-y0=k(x+l)

聯(lián)立方程組/2,

——+—=1

[43

整理得(3+4后2)%2+(8@o+8左2)%+(4歹：+8①+4左2—12)=0,

貝ljA=(8@0+8左2)2—4(3+4%2)(4y；+8@o+4F—12)=48^k2-2ky.~yl+?>),

8劃0+8左2

所以再+%=-

3+4左2

試卷第14頁，共17頁

因為P為九W的中點，所以4±=-1,即一姆。+8f=2,

23+4左2

3

所以如v=a=；—仇片°）,經(jīng)檢驗，此時A>0,

41%

因為口跖11,所以--華，所以直線/的方程為》-%=-華（x+1）,

即>=一半（》+9），所以直線/恒過定點（一L,0）.

②當(dāng)直線兒W的斜率不存在時，直線的方程為x=-l,

此時直線/為x軸，也過點（-5，0）.

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化

量，即確定題目中核心變量（通常為變量上）；②利用條件找到太過定點的曲線砥x,y）=0

之間的關(guān)系，得到關(guān)于先與'J的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點

的坐標(biāo)；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情

況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).

20.已知函數(shù)/@）=竺了的圖象在（1J。））處的切線經(jīng)過點（2,e）.

⑴求。的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若關(guān)于x的不等式e'lnx-以上在區(qū)間（1,+叫上恒成立，求正實數(shù)

e

X的取值范圍.

【答案】（1）0=1,單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+e）,（-8,0）,無單調(diào)遞減