2023屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷B（新高考II卷專(zhuān)用）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷B（新高考II卷專(zhuān)用）數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，即；由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知：；.故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)是第三象限的點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為；；的虛部為；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，它在第四象限，故選：B3．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．〖答案〗A〖解析〗雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，不妨取，依題意圓心到直線(xiàn)的距離，即，即；所以雙曲線(xiàn)的離心率；故選：A4．已知為遞増等差數(shù)列，等比數(shù)列以為前兩項(xiàng)且公比為3，若，則（

）A．13 B．41 C．57 D．86〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題，所以，即，所以，所以，又因?yàn)闉楣葹?的等比數(shù)列，所以，解得，故選：B．5．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選：C.6．云臺(tái)閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺(tái)山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量云臺(tái)閣的高度，在云臺(tái)閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)）測(cè)得樓頂A，云臺(tái)閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺(tái)閣的高度為（

）（，，精確到1）A．42 B．45 C．51 D．57〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.7．現(xiàn)有五名志愿者分配到甲，乙，丙三個(gè)不同社區(qū)參加志愿者活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少安排一人，則和分配到同一社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗把分成三組有和兩種情況，①當(dāng)為時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)為；②當(dāng)為時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)為，所以基本事件的總數(shù)為；和分配到同一社區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)為，所以和分配到同一社區(qū)的概率為，故選：C.8．設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則.因?yàn)?，，所以恒成?則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，不等式可化為，即恒成立.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式在上恒成立，所以在上恒成立.令，則.令，得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以，故所求實(shí)數(shù)的取值范固為.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，正確的命題有（

）A．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機(jī)變量，則C．在拋骰子試驗(yàn)中，事件，事件，則D．在線(xiàn)性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于1，表示回歸的效果越好〖答案〗BD〖解析〗A：因?yàn)榍遥?，所以，A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯(cuò)誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD10．已知，且，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B． C． D．〖答案〗ABC〖解析〗由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；，時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，.過(guò)C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)P，作C的兩條切線(xiàn)，其中A?B為切點(diǎn).則下列判斷正確的是（

）A． B．拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為C．以線(xiàn)段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切 D．直線(xiàn)恒過(guò)焦點(diǎn)F〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示：因?yàn)闉镃上一點(diǎn)，且，所以，解得，A正確；拋物線(xiàn)方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，B不正確；由，得，設(shè)，則直線(xiàn)PA的方程為，由點(diǎn)A在直線(xiàn)上，得，即，則直線(xiàn)PB的方程為，由點(diǎn)B在直線(xiàn)上，得，即，所以直線(xiàn)AB的方程為，所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，C正確；設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C，由圖象和拋物線(xiàn)定義知：，所以以線(xiàn)段AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切，D正確.故選：ACD12．在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，為空間中任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是B．的最小值為C．若，則平面截此正方體所得截面的面積是D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于，如圖1，易知四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線(xiàn)與所成的角或補(bǔ)角.又點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，可知是等邊三角形，所以直線(xiàn)與所成角的取值范圍是故A正確對(duì)于B，如圖2，展開(kāi)平面，使平面與平面共面，過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，則，即的最小值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于，如圖3，平面截此正方體所得截面，所以，作，則，所以，則.又因?yàn)?，所以，所以，則，可求出，故C正確.對(duì)于，如圖4，因?yàn)?，所以在一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.又因?yàn)?，所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢球表面.設(shè)的中點(diǎn)為，要使三棱錐的體積最大，即到平面的距離最大，所以當(dāng)平面，且平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)為等邊三角形，設(shè)其中心為，三棱錐的外接球的球心為的外心為，連接，則，所以，此時(shí)三棱錐外接球的表面積故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗或〖解析〗二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為且所以的通項(xiàng)公式為①當(dāng)時(shí)①式的被減數(shù)變?yōu)楫?dāng)時(shí)①式的減數(shù)變?yōu)樗哉归_(kāi)式中的系數(shù)為所以，或故〖答案〗為：或14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).〖答案〗（不唯一）〖解析〗性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對(duì)值即變成偶函數(shù).故〖答案〗為：（不唯一）15．若，且滿(mǎn)足，則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè).由可得：，兩式相除得：.又，且解得：.因?yàn)椋?，解得?故〖答案〗為：.16．在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則的面積的取值范圍為_(kāi)_______.〖答案〗8〖解析〗如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，，，由余弦定理得得，可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即，解得，或，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，故〖答案〗為?3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所?（2）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€(xiàn)，所以，所以，所以，所以邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)為：.18．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.（1）求證：；（2）求二面角的大小.（1）證明：由于四邊形為菱形，則平面平面又平面平面平面，又平面（2）解：如下圖，取的中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，又，則，，由（1）知平面，則可取為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，則，，令得，設(shè)二面角的平面角為，則，由題知二面角的銳二面角，所以二面角大小為.19．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè)，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.天數(shù)x123456抗體含量水平y(tǒng)510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型？（給出到斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者的前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，求其中的y值小于50的天數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：其中.3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87參考公式：；，.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型.理由：方程表示的是直線(xiàn)，而方程表示的是曲線(xiàn)，散點(diǎn)圖表示的是曲線(xiàn).（2），，設(shè)，則有，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，則該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL.（3）由表中數(shù)據(jù)可知，前三天的值小于50，故的可能取值為0，1，2，3.，，，，故的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)與橢圓的左?右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.（1）解：橢圓離心率為，即，點(diǎn)與橢圓的左?右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，，，，故橢圓的方程為.（2）解：由直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則聯(lián)立得，，則，.，.原點(diǎn)到的距離，為定值.22．（12分）已知函數(shù)，．（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（3）證明：．（1）解：由已知可得：，即恒成立，又則有．（2）解：由已知可得：，，令，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以存在使得，則有正負(fù)遞增遞減又有，，所以在上，則在上單調(diào)遞增，所以最小值為．（3）證明：由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以單調(diào)遞增且，所以，，從而當(dāng)時(shí)，令，，，…，得到，，，…，，相加得：2023屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷B（新高考II卷專(zhuān)用）數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，即；由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知：；.故選：A.2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（

）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的虛部為 D．在復(fù)平面內(nèi)是第三象限的點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋缘墓曹棌?fù)數(shù)為；；的虛部為；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，它在第四象限，故選：B3．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．〖答案〗A〖解析〗雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，不妨取，依題意圓心到直線(xiàn)的距離，即，即；所以雙曲線(xiàn)的離心率；故選：A4．已知為遞増等差數(shù)列，等比數(shù)列以為前兩項(xiàng)且公比為3，若，則（

）A．13 B．41 C．57 D．86〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題，所以，即，所以，所以，又因?yàn)闉楣葹?的等比數(shù)列，所以，解得，故選：B．5．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選：C.6．云臺(tái)閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺(tái)山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量云臺(tái)閣的高度，在云臺(tái)閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)）測(cè)得樓頂A，云臺(tái)閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺(tái)閣的高度為（

）（，，精確到1）A．42 B．45 C．51 D．57〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以在中，，故，在中，，則，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故選：D.7．現(xiàn)有五名志愿者分配到甲，乙，丙三個(gè)不同社區(qū)參加志愿者活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少安排一人，則和分配到同一社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗把分成三組有和兩種情況，①當(dāng)為時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)為；②當(dāng)為時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)為，所以基本事件的總數(shù)為；和分配到同一社區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)為，所以和分配到同一社區(qū)的概率為，故選：C.8．設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則.因?yàn)?，，所以恒成?則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，不等式可化為，即恒成立.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式在上恒成立，所以在上恒成立.令，則.令，得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以，故所求實(shí)數(shù)的取值范固為.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，正確的命題有（

）A．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機(jī)變量，則C．在拋骰子試驗(yàn)中，事件，事件，則D．在線(xiàn)性回歸模型中，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于1，表示回歸的效果越好〖答案〗BD〖解析〗A：因?yàn)榍?，所以，所以，A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯(cuò)誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD10．已知，且，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B． C． D．〖答案〗ABC〖解析〗由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；，時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，.過(guò)C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)P，作C的兩條切線(xiàn)，其中A?B為切點(diǎn).則下列判斷正確的是（

）A． B．拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為C．以線(xiàn)段為直徑的圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切 D．直線(xiàn)恒過(guò)焦點(diǎn)F〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示：因?yàn)闉镃上一點(diǎn)，且，所以，解得，A正確；拋物線(xiàn)方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，B不正確；由，得，設(shè)，則直線(xiàn)PA的方程為，由點(diǎn)A在直線(xiàn)上，得，即，則直線(xiàn)PB的方程為，由點(diǎn)B在直線(xiàn)上，得，即，所以直線(xiàn)AB的方程為，所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，C正確；設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C，由圖象和拋物線(xiàn)定義知：，所以以線(xiàn)段AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切，D正確.故選：ACD12．在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，為空間中任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是B．的最小值為C．若，則平面截此正方體所得截面的面積是D．若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于，如圖1，易知四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線(xiàn)與所成的角或補(bǔ)角.又點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，可知是等邊三角形，所以直線(xiàn)與所成角的取值范圍是故A正確對(duì)于B，如圖2，展開(kāi)平面，使平面與平面共面，過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，則，即的最小值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于，如圖3，平面截此正方體所得截面，所以，作，則，所以，則.又因?yàn)椋?，所以，則，可求出，故C正確.對(duì)于，如圖4，因?yàn)?，所以在一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.又因?yàn)?，所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢球表面.設(shè)的中點(diǎn)為，要使三棱錐的體積最大，即到平面的距離最大，所以當(dāng)平面，且平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)為等邊三角形，設(shè)其中心為，三棱錐的外接球的球心為的外心為，連接，則，所以，此時(shí)三棱錐外接球的表面積故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗或〖解析〗二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為且所以的通項(xiàng)公式為①當(dāng)時(shí)①式的被減數(shù)變?yōu)楫?dāng)時(shí)①式的減數(shù)變?yōu)樗哉归_(kāi)式中的系數(shù)為所以，或故〖答案〗為：或14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).〖答案〗（不唯一）〖解析〗性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對(duì)值即變成偶函數(shù).故〖答案〗為：（不唯一）15．若，且滿(mǎn)足，則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，設(shè).由可得：，兩式相除得：.又，且解得：.因?yàn)?，所以，解得?故〖答案〗為：.16．在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則的面積的取值范圍為_(kāi)_______.〖答案〗8〖解析〗如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即，解得，或，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，故〖答案〗為?3四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所?（2）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€(xiàn)，所以，所以，所以，所以邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)為：.18．（12分）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.（1）求證：；（2）求二面角的大小.（1）證明：由于四邊形為菱形，則平面平面又平面平面平面，又平面（2）解：如下圖，取的中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得，又，則，，由（1）知平面，則可取為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，則，，令得，設(shè)二面角的平面角為，則，由題知二面角的銳二面角，所以二面角大小為.19．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，所以；（2）證明：，則，所以，所以.20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè)，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬(wàn)國(guó)