2024年重慶市烏江高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷（附答案解析）

2024年重慶市烏江新高考協(xié)作體高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?重慶模擬）已知aER,則是“三<2”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

2.（5分）（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=l,則|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

3.（5分）（2024?重慶模擬）大多數(shù)居民在住宅區(qū)都會注意噪音問題.記p為實際聲壓，通

常我們用聲壓級工（p）（單位：分貝）來定義聲音的強弱，聲壓級乙（p）與聲壓"存在

近似函數(shù)關(guān)系：LQ）=出99，其中。為常數(shù)，且常數(shù)po（8>0）為聽覺下限閾值.若

在某棟居民樓內(nèi)，測得甲穿硬底鞋走路的聲壓P1為穿軟底鞋走路的聲壓02的100倍，且

穿硬底鞋走路的聲壓級為乙（pi）=60分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級LS的3倍.若

住宅區(qū)夜間聲壓級超過50分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為p',則

（）

__-1

7

A.a=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

/

C.4=10,p<10VT0p2D.〃=10,p/<joPi

4.（5分）（2024?重慶模擬）函數(shù)/（x）=sin（2x—a）-的最小正周期是（）

7171

A.—B.TiC.2irD.-

24

5.（5分）（2024?重慶模擬）過直線2x-y+l=0上一點尸作圓（x-2）?+y2=4的兩條切線

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,則點尸的橫坐標(biāo)為（）

33715

A.0B.-C.+JD.+爭

6.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)/（x）滿足：Yx,yEZ,f（x+y）=f（x）+fCy）+2xy+l

成立，且/（-2）=1,則/（2幾）=（）（左N*）

A.4n+6B.8?-1C.4n2+2n-1D.8n2+2n-5

XV

7.（5分）（2024?重慶模擬）已知雙曲線=—77=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為

azbz

Fi,Fi,尸為雙曲線上的一點，/為△「八F2的內(nèi)心，且/A+2/工=2百，則C的離心率

為（）

5「

A.3B.-C.V3D.2

2

8.（5分）（2024?重慶模擬）已知點A（無o,yo）是雙曲線C：*，=l（a>0,b>0）±

位于第一象限內(nèi)的一點，F(xiàn)i,3分別為C的左、右焦點，C的離心率和實軸長都為2,

過點A的直線/交x軸于點M（上，0）,交y軸于點N,過為作直線AM的垂線，垂足為

xo

H,則下列說法錯誤的是（）

A.C的方程為1=1

B.點N的坐標(biāo)為（0,--）

C.OH的長度為1,其中。為坐標(biāo)原點

D.四邊形面積的最小值為4次

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

（多選）9.（5分）（2024?重慶模擬）有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點。出

發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子，若是奇數(shù)點向上，則向左移動一個

單位，若是偶數(shù)點向上，則向右移動一個單位，則扔出〃次骰子后，下列結(jié)論正確的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原點。的概率為］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率一

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

（多選）10.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)f（x）=1。典當(dāng)，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）值域為R

B.函數(shù)/（x）是增函數(shù)

17

C.不等式y(tǒng)（3x-l）+f（3x）<0的解集為（看，（）

D-/（-2^3）+/（-2^22^------1■‘（-》+,（-1）+/（。）+/⑴+渴）+…+

1

^2023^=0

（多選）11.（5分）（2024?重慶模擬）將函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點的橫坐標(biāo)縮短為

原來的工，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移三個單位長度，得到y(tǒng)=/（x）的圖象，

318

貝U（）

A.7（x）的圖象關(guān)于直線久=強對稱

B.f（x）的圖象關(guān)于點（余，0）對稱

C./（%）的圖象關(guān)于直線x=-與對稱

JDO

D.f（x）的圖象關(guān)于點（一90）對稱

（多選）12.（5分）（2024?重慶模擬）如圖，在棱長為2的正方體A8CO-AiBiCiDi中，E

為棱的中點，尸為底面A8CD內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.過點Ai,E,Ci的平面截正方體所得的截面周長為3&+24

B.存在點F,使得。RL平面ALECI

C.若。LF〃平面AiECi,則動點尸的軌跡長度為遮

D.當(dāng)三棱錐尸-A1EC1的體積最大時，三棱錐尸-A1E。外接球的表面積為UTT

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2024?重慶模擬）設(shè)非空集合AU{1,2,…，9}滿足VQ,10-則這樣的

A的個數(shù)為.

14.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)f（x）=cos（苧+由（3>0）在區(qū)間耳，印上單調(diào)遞

增，那么實數(shù)3的取值范圍是.

15.（5分）（2024?重慶模擬）若關(guān)于x的不等式。忘—+匕尤+（:W？（a>0）的解集為{x|-1

WxW3},則3a+b+2c的取值范圍是.

22

xy、1

16.（5分）（2024?重慶模擬）已知橢圓C：—+—=l（a>b>0）的離心率為5，左頂點是

A,左、右焦點分別是Q,F2,M是C在第一象限上的一點，直線與C的另一個交

27

點為N.若MF?〃AN,且△ANF1的周長為4~a,則直線MN的斜率

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2024?重慶模擬）某區(qū)域市場中5G智能終端產(chǎn)品的制造全部由甲、乙兩公司

提供技術(shù)支持.據(jù)市場調(diào)研及預(yù)測，5G商用初期，該區(qū)域市場中采用的甲公司與乙公司

技術(shù)的智能終端產(chǎn)品各占一半，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢的

體現(xiàn)，每次技術(shù)更新后，上一周期采用乙公司技術(shù)的產(chǎn)品中有15%轉(zhuǎn)而采用甲公司技術(shù)，

采用甲公司技術(shù)的產(chǎn)品中有10%轉(zhuǎn)而采用乙公司技術(shù).設(shè)第〃次技術(shù)更新后，該區(qū)域市

場中采用甲公司與乙公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為即和b,?不考慮其他因素的影

響.

（1）用斯表示珈+1,并求使數(shù)列｛斯-入｝是等比數(shù)列的實數(shù)人.

（2）經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場采用甲公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比能否達

到60%以上？若能，則至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新；若不能，請說明理由.

18.（12分）（2024?重慶模擬）在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,己

知g（a2+b2—c2）=2bcsinA.

U）求角C;

（2）求sin2A+cos2g的取值范圍.

19.（12分）（2024?重慶模擬）品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測試，測試方法如下：拿

出“瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，

等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這"瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一

輪測試.

設(shè)在第一次排序時被排為1,2,3,…，〃的“種酒，在第二次排序時的序號為ai,a2,

。3,…，an,并令X=IXi/—⑷，稱X是兩次排序的偏離度.

評委根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離度的高低為其評分.

（1）當(dāng)〃=3時，若ai,a2,G等可能地為1,2,3的各種排列，求X的分布列；

（2）當(dāng)”=4時，

①若42,03,。4等可能地為1,2,3,4的各種排列，計算XW2的概率：

②假設(shè)某品酒師在連續(xù)三輪測試中，都有XW2（各輪測試相互獨立），你認為該品酒師

的鑒別能力如何，請說明理由.

20.（12分）（2024?重慶模擬）設(shè)m為實數(shù)，直線y^mx+1和圓C：/-x+/=0相交于P,

。兩點.

（1）若PQ=學(xué)，求機的值；

（2）點。在以尸。為直徑的圓外（其中。為坐標(biāo)原點），求相的取值范圍.

21.（12分）（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是

全等的正三角形或正多邊形，每個頂點聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正

多面體.可以驗證一共只有五種多面體.令a<6<c<d<e（a,b,c,d,e均為正整數(shù)），

我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點都可以和另一個正多面體的一些頂點重合，例如

正a面體的所有頂點可以與正b面體的某些頂點重合，正b面體的所有頂點可以與正d

面體的所有頂點重合，等等.（1）當(dāng)正a面體的所有頂點可以與正6面體的某些頂點重

合時，求正。面體的棱與正6面體的面所成線面角的最大值；

（2）當(dāng)正c面體在棱長為1的正6面體內(nèi)，且正c面體的所有頂點均為正6面體各面的

中心時，求正c面體某一面所在平面截正b面體所得截面面積；

（3）已知正d面體的每個面均為正五邊形，正e面體的每個面均為正三角形.考生可在

以下2問中選做1問.

（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）

第一問：求棱長為1的正e面體的表面積；

第二問：求棱長為1的正1面體的體積.

22.（12分）（2024?重慶模擬）一類項目若投資1元，投資成功的概率為p（0<p<l）.如

果投資成功，會獲得6元的回報（6>0）;如果投資失敗，則會虧掉1元本金.為了規(guī)避

風(fēng)險，分多次投資該類項目，設(shè)每次投資金額為剩余本金的尤1956年約翰?

拉里?凱利計算得出，多次投資的平均回報率函數(shù)為（1-尤）并提出了凱利公式.

（1）證明：當(dāng)p（b+1）>1時，使得平均回報率/（%）最高的投資比例尤滿足凱利公式

v_pb一（1—P）

x-b；

1

（2）若/?=1,p=29求函數(shù)X-/（COS%）在（0,n）上的零點個數(shù).

2024年重慶市烏江新高考協(xié)作體高考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?重慶模擬）己知在R,則“a>青是“一<2”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.

【解答】解：由不等式性質(zhì)，今2a>1今W<2,

11

但一<2不能推出<2>亍，例如a--1,

az

i1

所以“a>亨是“一<2”的充分不必要條件.

za

故選：B.

【點評】本題考查充分不必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?重慶模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=l,貝U|z-l+i|的最大值為（）

A.2B.V2+1C.V2-1D.3

【考點】復(fù)數(shù)的模.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓上一點到定點（1,-1）的距離，計算

即可.

【解答】解：設(shè)z=a+bit其中a,b€R,則z-l+i=（a-1）+（6+1）i>

：.a2+b2^l,即點（a,b）的軌跡是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓,

?*.|z-1+iI=J(a—1)2+(b+1)2即為圓上動點到定點(1,-1)的距禺，

，|z-l+i|的最大值為J(0—1)2+(0+1)2+1=V2+1.

故選：B.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)(2024?重慶模擬)大多數(shù)居民在住宅區(qū)都會注意噪音問題.記p為實際聲壓，通

常我們用聲壓級工(p)(單位：分貝)來定義聲音的強弱，聲壓級L(p)與聲壓"存在

近似函數(shù)關(guān)系：〃p)=a/gS，其中。為常數(shù)，且常數(shù)po(po>O)為聽覺下限閾值.若

在某棟居民樓內(nèi)，測得甲穿硬底鞋走路的聲壓pi為穿軟底鞋走路的聲壓〃的100倍，且

穿硬底鞋走路的聲壓級為L(pi)=60分貝，恰為穿軟底鞋走路的聲壓級L(p2)的3倍.若

住宅區(qū)夜間聲壓級超過50分貝即擾民，該住宅區(qū)夜間不擾民情況下的聲壓為p',則

()

__1

7

A.。=20,p/<10VT0p2B.a=20,p<JQPI

__I

z

C.4=10,p<10V10p2D.tz=10,p/<JQPI

【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】由L(pi)-L(p2)=40結(jié)合對數(shù)運算可求得a的值，由于L(6)=60,L

(p2)=20可得出￡(p')-L(p2)W30、L(pi)-￡(p')210,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性可出結(jié)論.

【解答】解：由題意L(pi)—L(p2)=alg—=alglOO=2a=60-20=40,

P2

得a=20,

貝h(p)=200號,

Po

因此L(p，)=20仞匹W50,

Po

/)-Lg=20匈耳W50-20=30,

P2

則p/<ioViOp2，

L(Pi)-L(p')=20lg60-50=10,

貝物'w鑼P「

故選:A.

【點評】本題考查了對數(shù)的運算，重點考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

4.(5分)(2024?重慶模擬)函數(shù)/⑴=sin⑵一部-2倍iiA的最小正周期是()

7171

A.-B.TTC.2TID.—

24

【考點】三角函數(shù)的周期性；兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【答案】B

【分析】利用兩角和與差的正弦及二倍角的余弦可得/(x)=￥sin2x-孝cos2r-&(1

-cos2尤)，再利用輔助角公式可得無)=sin(2x+J)-<2,于是可求其最小正周期.

【解答】解：V/(x)=sin(2x—5)-2V2sin2x

J4

=^sin2x—^cos2x—V2(1-cos2x)

=芋sin2x+^cos2x—V2

=sin(2x+1)—V2,

其最小正周期T=^=ir,

故選：B.

【點評】本題考查兩角和與差的正弦及二倍角的余弦、輔助角公式的應(yīng)用，考查三角函

數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題.

5.(5分)(2024?重慶模擬)過直線2x-y+l=0上一點P作圓(%-2)?+/=4的兩條切線

—>—>

PA,PB,若P2-PB=0,則點尸的橫坐標(biāo)為()

33J15

A.0B.-C.+JD.+爭

5-5-5

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；圓的切線方程；直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】由題意，△BACgZkPBC,得融|=|AC|=2,求出|PC|的長，設(shè)P(a,2a+l),

由兩點間的距離公式代入解方程即可.

【解答】解：過直線2x-y+l=0上一點尸作圓(x-2)2+y2=4的兩條切線出，PB,如

圖所示：

則圓心C(2,0),連接AC,CB,則E4_LAC,PB±BC,

可得AB4c02XP3C,日I?而=0,則/APC=/BPC=45°,

所以|B4|=|AC|=2,所以|PC|=,22+22=2VL

因為點尸在直線2x-y+l=0上，

所以設(shè)尸(a,2a+l),C(2,0),

所以|PC|=J(a—2尸+(2a+=2夜,解方程得：。=士^^.

故選：D.

【點評】本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問題，也考查了兩點間的距離公式應(yīng)用問題，

是基礎(chǔ)題.

6.(5分)(2024?重慶模擬)已知函數(shù)/(X)滿足：Yx,y￡Z,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+l

成立，且y(-2)=i,則y(2〃)=()(WCN*)

A.4〃+6B.8"-1C.4”'+2〃-1D.8/+2〃-5

【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】令x=y=0,求出/(0),令x=y=-1,求出/(-1),令尤=1,y=-1,求出

/(1),再令y=l,"CN*,可求出/(力+1),/(〃)的關(guān)系，再利用累加法結(jié)合等

差數(shù)列前n項和公式即可得解.

【解答】解：令x=y=0,則/(0)=/(0)+f(0)+1,所以f(0)=-1,

令x=y=-1,貝丫(-2)=/(-1)+2+1=4(-1)+3=1,

所以/(-1)=-1,

令x=l,y=-1，貝1J/(0)=/(1)4/(-1)-2+1=/(1)-2=-1,所以/(1)=1,

令x="，y=l,w6N*,則/(〃+1)=f(n)4/(1)+2n+l=f(n)+2n+2,

所以/(〃+l)-f(H)=2〃+2,

則當(dāng)〃22時，/(")-fCn-1)=2n9

貝！J/(〃)—f(n)-/(n-1)4/(n-l)-/(?-2)+-4/(2)-/(I)4/(1)

2

=2n+(2n—2)-1---1-4+1=(2幾+?(幾1)_|_i=n_|_n_i,

當(dāng)〃=1時，上式也成立，

所以/(〃)=川+〃-1(nGN*),

所以/(2〃)=4n2+2n-1(一N*).

故選：C.

【點評】本題考查了用賦值法求抽象函數(shù)值，累加法的應(yīng)用，屬于中檔題.

x2y2

7.(5分)(2024?重慶模擬)已知雙曲線"-匕=1(〃>0,/?>0)的左、右焦點分別為

azbz

—>—>―?

Fi,F2,尸為雙曲線上的一點，/為△?四F2的內(nèi)心，且/0+2/4=2P/，則C的離心率

為()

A.3B.-5C.V「3D.2

2

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】延長IP到A且|ZP|=|R1|,延長IF2到B且|32|=陽8|,結(jié)合向量的線性關(guān)系知I

是△A8F1的重心，根據(jù)重心和內(nèi)心的性質(zhì)，進而得到|尸尸1|=|為尸2|=2|PF2|,由雙曲線定

義得到齊次方程，即可求離心率.

【解答】解：如圖示，延長/尸到A且陽=陽|,延長祝到8且歷2|=下2為，

T—>—?—>

所以/0+2/尸2=2尸/,即+/B+L4=0,

故I是△ARF1的重心,即S-/F]=S^BIF]=S&AIB，

又S0/&=2S〉piF\'S"，F(xiàn)i=2s，S^AIB=4sM/F2，

所以SM/F]=SM"F2=2SM/~而/是△尸人尸2的內(nèi)心，貝IJ|PF1|=|尸1尸2|=2|尸/2|，

由|「乃|-|尸/2|=2。，|FIF2|=2C,則|尸尸2|=2。，故2c=4。，即e=￡=2.

故選：D.

【點評】本題主要考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（5分）（2024?重慶模擬）已知點A（xo,yo）是雙曲線C：鳥一耳=l（a>0,b>0）±

ab

位于第一象限內(nèi)的一點，F(xiàn)I,或分別為C的左、右焦點，C的離心率和實軸長都為2,

過點A的直線/交x軸于點M（°,0）,交y軸于點N,過為作直線AM的垂線，垂足為

H,則下列說法錯誤的是（）

A.C的方程為/—1=1

B.點N的坐標(biāo)為（0,-右

C.OH的長度為1,其中。為坐標(biāo)原點

D.四邊形ABNF2面積的最小值為4百

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】對4根據(jù)條件列式計算可得解；對8,求出直線AM的方程，令x=0,求得

其與y軸的交點可判斷；對C,求出直線F1H的方程與直線AM的方程聯(lián)立解得點”的

一1

坐標(biāo)，并求出|0”|可判斷；對D,四邊形AF1NF2的面積習(xí)尸101（1力1+1力1）=

13

-I^FJCy+—）利用基本不等式求解判斷.

2y。

6=W,所以其方程為久2—1=

【解答】解：對于A,因為2,解得a=1,

1,故A正確；

對于2,七時=』彳=智=等，所以AM的方程為丫=等（久一；），

龍0^01y0y0X0

所以令x=0得直線/交y軸于點（0,-分故8錯誤；

對于C,直線F1H的方程為丫=急0+2）,與直線AM的方程聯(lián)立解得H（套普，

—y。、

;,

2x0-l

所以（奇普）2+（套I）2=L故C正確；

對于D,四邊形AFiNW的面積為］+/）=2（%+/）24?,當(dāng)且僅當(dāng)y0=

百時等號成立，故。正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查了雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

（多選）9.（5分）（2024?重慶模擬）有款小游戲，規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點0出

發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子，若是奇數(shù)點向上，則向左移動一個

單位，若是偶數(shù)點向上，則向右移動一個單位，則扔出“次骰子后，下列結(jié)論正確的是

（）

A.第二次扔骰子后，小球位于原點0的概率為］

3

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量的期望是一

2

1

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率-

4

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

【考點】離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【答案】AD

【分析】計算出小球每次向左向右的概率后，結(jié)合概率公式與期望算法逐個計算即可得.

11

【解答】解：扔出骰子，奇數(shù)點向上的概率為二，偶數(shù)點向上的概率亦為不

22

對于選項A：若兩次運動后，小球位于原點，小球在兩次運動之中一定一次向左一次向

右，

故其概率為6(32=熱故A選項正確；

對于選項8,設(shè)這個隨機變量為X,則X的可能取值為-3、-1、1、3,

其中P(X=-3)=P(X=3),P(X=-1)=尸(X=l),

故其期望E(X)=-3XP(X=-3)+3XP(X=3)+(-1)XP(X=-1)+1XP(X

=1)

=3[尸(X=3)-尸(X=-3)]+[P(X=l)-P(X=-1)]=O,故2選項錯誤；

對于選項C：第一次扔完骰子小球位于-1,即第一次向右移動，且第五次位于1,

則后續(xù)中小球向右3次，向左1次，故其概率為=*故C選項錯誤；

對于選項。:第五次扔完骰子，小球位于1,即兩次向左，三次向右，故其概率Pi=俏&)5=

5

16,

小球位于3,則四次向右，一次向左，故其概率P2==￡，有pi>p2,故。選項

正確.

故選：AD.

【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望，概率的求法，考查運算求解能力，屬于

中檔題.

(多選)10.(5分)(2024?重慶模擬)已知函數(shù)十⑺=1。典當(dāng)，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(%)值域為R

B.函數(shù)/G)是增函數(shù)

17

C.不等式y(tǒng)(3x-l)+f(3x)<0的解集為哈，j)

D-/(-2^3-^+2^22)------h/(~1)+/(-1)+'(。)+'⑴+/(1)++

1

f(2023^=0

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】ACD

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,8;證明函數(shù)為奇函數(shù)，

求出函數(shù)的定義域，然后化簡即可判斷C,D.

【解答】解：令U會=一1+白〉0,解得-2<x<2,所以函數(shù)的定義域為(-2,2),

此時f>0,所以函數(shù)/(%)=/。以糞值域為R,

且函數(shù)/在(-2,2)上單調(diào)遞減，又〃為減函數(shù)，故函數(shù)/(%)為減函數(shù)，故A

3

正確，8錯誤；

因為/(%)4/(-x)=/。91莖+=/。。11=。，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則/(0)

333

=0,

|-2<3x-1<2

則不等式/(3%-1)+/(3x)<0轉(zhuǎn)化為：/(3x-1)</(-3x),貝“一2<3]<2，

(3久—1>—3%

12

解得:<rV：;,故C正確；

63

一11

因為f(x)+f(~X)=0,所以/(一orxoo)+于(-)+../(-1)+于(0)+于(1)+...V

乙U乙。乙U乙乙

1

(-------)=0,故。正確.

2023

故選：ACD.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算

求解能力，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)(2024?重慶模擬)將函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點的橫坐標(biāo)縮短為

171

原來的I縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移K個單位長度，得到了=/(無)的圖象，

318

則()

A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=(對稱

B.f(x)的圖象關(guān)于點(備，0)對稱

C.f(x)的圖象關(guān)于直線刀=-與對稱

D.f(x)的圖象關(guān)于點(一/0)對稱

【考點】函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象變換.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯

推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】BC

【分析】首先利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函

數(shù)的對稱中心和對稱軸.

【解答】解：函數(shù)y=sin2x的圖象上的每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的右縱坐標(biāo)不變，得

TCTT

到函數(shù)y=sin6x的圖象,再將所得圖象向右平移元個單位長度，得至U>=A%）=sin（6x-弓）

的圖象，

當(dāng)工=今時，/（方）=。，故函數(shù)/（X）關(guān)于點（看，0）對稱，故8正確，A錯誤，

當(dāng)x=—套時，于（―看）=-1，故C正確，。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，

主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

（多選）12.（5分）（2024?重慶模擬）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AiBiCiDi中，E

為棱8C的中點，尸為底面A8C。內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.過點4,E,G的平面截正方體所得的截面周長為3魚+2代

B.存在點R使得。尸，平面4EC1

C.若。1尸〃平面4EC1,則動點尸的軌跡長度為遮

D.當(dāng)三棱錐尸-ALECI的體積最大時，三棱錐尸-4EC1外接球的表面積為UTT

【考點】球的體積和表面積；平面的基本性質(zhì)及推論；棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.

【答案】ACD

【分析】取的中點G,然后證明截面為4GEG,求出周長即可判斷A；假設(shè)存在點

F,根據(jù)DF±AiCi,。凡LQE分別判斷點F位置即可得到矛盾，B錯誤;根據(jù)平面D1MN

〃平面ALECI即可確定動點F的軌跡，可判斷C；由AC判斷點尸位置，然后建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間兩點距離公式確定球心位置，然后可判斷D

【解答】解：A選項，如圖，取A8的中點G,連接GE,A1G,

因為E為8c的中點，所以AiCi〃GE,AiCi=2GE,

所以過點Ai,E,Ci的平面截正方體所得的截面為梯形A1C1EG,

其周長為2&+Z+&+遙=3/+2花，故A選項正確；

8選項，假設(shè)存在點R使得。平面4EC1,

則。尸，4C1,得F只能在線段8。上，

再由。fUGE,得尸只能在線段C。上，即F與。重合，不符合題意，故8選項錯誤;

C選項，如圖，取的中點M,CD的中點M

連接Affli,MN,ND1,可得MDi〃GE,MN//A1C1,

又ATO1C平面A1EC1,MNU平面AiECi,CiEu平面4EQ,4Ciu平面A1EC1,

所以MOi〃平面A1EC1,MN〃平面A1EC1,

又MD1CMN=M,所以平面DMN〃平面A1EC1,

所以動點尸的軌跡為線段MN,其長度為VL故C選項正確；

D選項，由A,C選項可得，平面4GEC1〃平面D1MN,

所以當(dāng)歹在點。時，/到平面4EQ的距離最大，此時△EhCi為等邊三角形，

因為瓦）1，平面FAiCi,所以三棱錐F-A1EC1的外接球球心01一定在直線BD1上,

以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E（0,1,0）,D（2,2,0）,設(shè)01（x,x,x）,

由OiE=Oi￡>得，（x-2）2+jr,解得x=

O

所以R2=[）2+《—1）2+4）2=芋，

11

所以三棱錐F-A1EG外接球的表面積為4兀/?2=47rx號=UTT,故。選項正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2024?重慶模擬）設(shè)非空集合（U{L2,…，9}滿足VaCA,10-0,則這樣的

A的個數(shù)為31.

【考點】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】31.

【分析】利用非空集合子集的個數(shù)計算公式可求滿足條件的A的個數(shù).

【解答】解：由題設(shè)可得{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},⑸,

這5組中的每一組中的元素必定同時出現(xiàn)在集合A中，

故這樣的非空集合4的個數(shù)為25-1=31.

故答案為：31.

【點評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?重慶模擬）已知函數(shù)/⑺=cos4+3?（3>0）在區(qū)間序守上單調(diào)遞

增，那么實數(shù)3的取值范圍是（0,|]U[6,爭.

【考點】余弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（0,|U[6,學(xué).

【分析】化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)題中條件可得[等，等]=[2時-表2時+舒，依Z,

繼而解得上的值，進一步計算即可.

【解答】解：因為/（久）=cos（竽+3久）=sinatx,

,「71710）71371

由（JI）>0且一<x<―,知---<（DX<—,

4343

因為函數(shù)無）在區(qū)間上生守單調(diào)遞增，

則[等，等]=2/OT+芻，其中在Z,

信建2版一9

所以博W2版+卜其中kez,

解得8k-2<a)<6k+~,其中M,

由8/c—246k+1，6k+訝〉0,

17

得一五<k4五，又依Z,

4-4,

所以k=0或k=l,

因為o）>0,所以當(dāng)％=0時，OVaW會

1q

當(dāng)％=1時，6<00<-y,

所以實數(shù)3的取值范圍是（0,|]U[6,知

故答案為：（0,|]U[6,學(xué)

【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題.

15.（5分）（2024?重慶模擬）若關(guān)于x的不等式0W辦2+fcv+cW2（a>0）的解集為{x|-1

3

WxW3},則3a+b+2c的取值范圍是序4）.

【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】岐，4）.

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，再根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等

式，求出a的取值范圍，把3a+6+2c都表示成a的形式即可求解.

【解答】解：因為不等式OWaf+6尤+cW2（a>0）的解集為{尤|-1WXW3},

所以二次函數(shù)/（無）—a^+bx+c的對稱軸為直線尤=1,

f(—1)=2(a—b+c=2

且需滿足"(3)=2,即9a+3b+c=2,=-2a

=-3a+2

y(i)>0la+h+c>0

i1

所以Q+Z?+C=〃-2〃-3〃+220,解得所以〃的取值范圍是（0,-],

3

所以3a+b+2c—3ci—2a—6a+4=4-5ae5，4).

故答案為：碎，4）.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,

求出對稱軸和端點的值，是中檔題.

X2V21

16.（5分）（2024?重慶模擬）已知橢圓C：—+—=l（a〉b〉0）的離心率為5，左頂點是

A,左、右焦點分別是為，F(xiàn)i,M是C在第一象限上的一點，直線"為與。的另一個交

27V5

點為N.若MF2〃AN,且△AN—2的周長為一a,則直線MN的斜率為一.

8~T

【考點】橢圓的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

V5

【答案】y.

【分析】由平行關(guān)系得出對應(yīng)線段成比例，結(jié)合橢圓定義，表示出長度，利用余弦定理

求出cosNA尸1N,得出結(jié)果.