2024屆高三年級上冊第二次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題附答案解析

2024屆高三上學(xué)期第二次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題

一'選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若iz=l+i,則復(fù)數(shù)z=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.-1-i

2.已知力={x\x2—x<0],B={%|比<2},則力CB=()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(—oo,2)

3.已知五=(1,0),\b\=1,\a-b\=V3,貝腺與石的夾角為()

A-R—C2"D.至

633o

,y>Q

4.若變量尤，y滿足不等式組-'貝k+y的最大值是()

2x+y—2<0,

A.-1B.0C.1D.2

5.已知變量％,y之間的線性回歸方程為9=2%+L且變量九，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，

2468

y58.213m

則下列說法正確的是()

A.m=17

B.變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.該回歸直線必過點(diǎn)(5,11)

D.x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位

6.已知/(%)為R上的減函數(shù)，則()

33

A./(0.2-°-)>/(log32)>/(0.5)B./(0.5)>/(log32)>/(0.2-°-)

33

C./(log32)>f(0.5)>/(0.2-0)D./(0.2-°)>f(0.5)>/(log32)

7.已知x>0,y>0，貝U"x+yW1”是+y24i”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知角a的終邊與角口的終邊關(guān)于y=%對稱(夕為象限角)，則c。有謂二()

A.-1B.0C.1D.2

9.如圖是y=/(久)的大致圖象，則/(%)的解析式可能為()

A./(%)=|x2—sinx|B./(%)=\x-sinx|

C./(x)=|2X-1|D.f(x)=\x2-x-^\

io.已知數(shù)列｛a"的前〃項(xiàng)和為Sn，且sn=亨，則下列說法正確的是()

4

A.<"n+i.S22>S72+1C-?。幾I2s九1D.0<"九g

11.已知曲線y=/一2nu:+m-1與x軸交于不同的兩點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,則過A,B,C

三點(diǎn)的圓的圓心軌跡為()

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

12.設(shè)網(wǎng),尸2分別為橢圓C：今+3=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，以Fi為圓心且過心的圓與x軸

交于另一點(diǎn)尸，與y軸交于點(diǎn)Q,線段QF2與C交于點(diǎn)A.已知與△Q&F?的面積之比為

3：2,則該橢圓的離心率為()

A.1B.V13-3C.V3-1D.4H

J4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a為鈍角，since=貝1Jsin(a+/)=.

14.右f(%)=ln(l+x+°)為奇函數(shù),貝Ub=.

15.甲、乙二人用4張不同的撲克牌(其中紅桃3張，方片1張)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，

背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.則甲、乙二人抽到的花色相

同的概率為.

16.已知％(―c,0),F2(C,0)分別是雙曲線E：**l(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)

作E的漸近線的垂線，垂足為P.點(diǎn)/在E的左支上，當(dāng)PMII久軸時(shí)，|PM|=c,則E的漸近線方

程為..

三'解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。必考題：共60分。

17.已知等差數(shù)列｛時(shí)｝的前〃項(xiàng)和為S”且55=45,S6=60.

(1)求的通項(xiàng)公式；

1

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和

unan+l

18.綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門票收入大幅增長.綿

陽某旅行社隨機(jī)調(diào)查了市區(qū)100位市民平時(shí)外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

喜歡旅游不喜歡旅游總計(jì)

男性203050

女性302050

總計(jì)5050100

2

附.02_n(ad-bc)

K_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)能否有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)？

(2)在以上所調(diào)查的喜歡旅游的市民中，按性別進(jìn)行分層抽樣隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)

抽取2人進(jìn)行訪談，求這兩人是不同性別的概率.

19.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且4瓦5?阮=3bcsin4=24c.

(.1)求tanB及a；

(2)若AABC周長為48,求△ABC的面積.

20.已知直線/：丫=土％-2與拋物線4％2=2py(p>0)交于A,8兩點(diǎn)，尸為E的焦點(diǎn)，直線

FA,FB的斜率之和為0.

(1)求E的方程；

(2)直線陽，F(xiàn)B分別交直線y=-2于M,N兩點(diǎn)，若|MN|216,求％的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(%)=2sin%—ax?+3%.

(1)求曲線/(%)在x=0處的切線方程：

(2)若/(%)在兀］上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題做答。如果多做，則按所做的第一題記

分。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜=3門產(chǎn)。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

Iy=2t

點(diǎn)，以無軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C極坐標(biāo)方程；

11

（2）若A,3為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且O410B,求+2康的值.

\UB\

23.

2

（1）已知4,b,X,y均為正數(shù)，求證：（1+?）.三工+一并指出等號成立的條件;

ax2+hy2ab

（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)/（%）=貧:鬻;（x>0）的最大值,并指出取最大值時(shí)x的值.

答案解析

L【答案】B

2

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，Z="==二^=1—L

I1X(—1)_j2

故答案為：B.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：X={%|%2—%<0}={%|0<%<1},B=(x\x<2}>則ACB={x|0<

x<1}.

故答案為：A.

【分析】先求解集合A,再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可知，Ia|=1,設(shè)五與石的夾角為0,0G[O,K],|a-b|=V3,\b\=l，

則木+戶2標(biāo)=3,

即1+1-2x1x1xcos0=3,得cos0=_,故0=竽.

故答案為：C.

【分析】將底引兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解.

4.【答案】D

X>0

【解析】【解答】解：由一’作出可行域，如圖所示：

2%+y—240,

☆z=x+y,可得y=-x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過A(O,2)時(shí)，z有最大值為2.

故答案為：D.

【分析】由約束條件作出可行域，☆z=x+y,化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合即可求解.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A、由題意可知，元=/十4；。十行=5,?.?點(diǎn)(焉歷一定在線性回歸方程9=

2%+1上，/.y=2x+1=2x5+1=11,

A5+8.2+13+m=n>解得m=17.8,A錯(cuò)誤；

B、\?線性回歸方程9=2久+1的斜率大于0,.?.變量y與x是正相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤；

C、由A可知，該回歸直線必過點(diǎn)(5,11),C正確；

D、?.?線性回歸方程9=2%+1,.'x增加1個(gè)單位，y大約增加2個(gè)單位，D錯(cuò)誤；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)點(diǎn)(焉歹)一定在線性回歸方程？=2x+1上，可判斷AC,根據(jù)線性回歸方程？=2%+1

的斜率為2,可判斷BD.

6【答案】B

3

【解析】【解答】解：因?yàn)?.2-°>1,0.5=log3V3<log32<log33=1，所以。:一^>log32>

0.5,

又因?yàn)?(%)為R上的減函數(shù)，

3

所以/(0.5)>/(log32)>/(0.2-°-).

故答案為：B.

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到log32與0.5的大小，再利用f(x)為R上的減函數(shù)判斷.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)?>0,y>0,x+y<1,所以0<x<l,0<y<l,所以x<x2,y2<y,則

x2+y2<x+y<l,所以充分性成立；

當(dāng)x>0,y>0,x2+y2gl時(shí)，取x=y=乎，貝!J此時(shí)x+y=VI>l,所以必要性不成立.

綜上，當(dāng)％>0,y>0,貝甘比+y<1”是/1”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：因?yàn)榻莂的終邊與角B的終邊關(guān)于y=x對稱，設(shè)a的終邊上點(diǎn)P(a,b),

則P關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)Q(b,a)在0的終邊上，所以cosa=sin/?,sina=cos/?,

而I、】cos(q_J)_cosacosS+sinasin/7_sin0cosS+sin/?cos/?_1

所“sin2/?—2sin/?cos/?—2sin/?cos/?一，

故答案為：c.

【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)定義及和差角公式，,二倍角公式進(jìn)行化簡即可求.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：x=0時(shí)，由選項(xiàng)可知〃%)=|%2—無一?，出0)加，排除D；

x>0時(shí)，可知/(%)=|2尢—1|=2"—1是單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意，排除C；

由函數(shù)的圖象的變化趨勢可知X—+8時(shí)，函數(shù)的圖象遠(yuǎn)離丫=*,所以排除B.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的圖象結(jié)果的特殊點(diǎn)，排除選項(xiàng)，推出結(jié)果即可.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：A、當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=g,當(dāng)nN2時(shí)，廝=Sn-Sn_i=史二一或占^

33

(11

._(3^n=1

,??Q八—j4'

(針，九之2

當(dāng)nN2時(shí)，顯然數(shù)列｛an｝是遞減的，A錯(cuò)誤；

4

?Sn+1-Sn=an+i="TT>°，

B、ASn+l>Sn,B錯(cuò)誤;

C、當(dāng)n=l時(shí)，ai=SV，則ai+2sl=點(diǎn)號=1,滿足an+2Sn=l,

4Aa九_(tái)7

當(dāng)nN2時(shí)，an=針，?二an+2Sn=鏟+2x§兀=2，C錯(cuò)誤；

q，幾=1144

D、由(1)可知/i=(4，nN2時(shí)，顯然數(shù)列｛a“是遞減的，又?.不<軌=①，當(dāng)n=2時(shí),

、針，九之23

an的值最大，最大值為京....OvaM，D正確；

yy

故答案為：D.

0/n=1

【分析】利用公式an二$廠$11一1(92)可求出冊=；，由此再判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

、針，71-2

11.【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知圓心M在拋物線：y=/-2租%+租-1的對稱軸x=m上,

???設(shè)M(m,y),又易知C(0,m-1),

令y=x2-2mx+m-1=0,解得工=m±Vm2-m+1,不妨設(shè)A(m—Vm2—m+1,0),

則由|MC|二|MA|,可得|MC|2二|MA|2,

_____________2

?'?m2+[y-(m-l)]2=(Jm2-m+lj+產(chǎn)整理可得2y(m-l)=m(m-l),當(dāng)m=l時(shí),

此時(shí)A(0,0),B(2,0),C(0,0),A與C重合，此時(shí)M(l,|),當(dāng)時(shí)，y=y,即圓心M(m,

當(dāng),

圓心M的軌跡方程為y=*,又點(diǎn)(1,會(huì)也滿足該方程，

.?.圓心軌跡為一條直線.

故答案為：A.

【分析】先用m表示A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)將過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心用m

表示，最后消去參數(shù)m,即可求解.

12.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意可得Fi(-C,0)、F2(C,0),F1F2=2c,

則以Fi為圓心且過F2的圓的方程為(x+c)2+y2=4c2,

令x=0,則yp=±Kc,由對稱性，不妨取點(diǎn)P在x軸上方，即P(0,V3c),

則如2：y-Wc=弓:J久,即y=—遮》+6c，

有5.無尸2=TX2cXV3c=V3c2,貝瓦4PF2-fXV3c2=C2,

又SA4PF2=*力X4c=2cy『即有等c?=2cyn，即為=等0，

代入6尸2：y--V3x+43c,有^=一百久4+即久4=^C,

即4(lc,季c)在橢圓上，故自c)Jk)化簡得b2c2+27a2c2=16a2b2,由b?=a2d,

M4)廿工廠=1

即有0-c2)c2+27a2c2=16a2(a2-c2),整理得c4-44a2c2+16a4=0,即e4-44e2+16=0,

有e2=44一同一4X16=22_6e或e?=44+J”—4x16=22+6713;

由于22+6jn>l,故舍去，即e2=22—6，n，則e=&2_6vli=J(V13-3)2=V13-3-

故答案為：B.

【分析】由題意可逐步計(jì)算出點(diǎn)A坐標(biāo)，由點(diǎn)A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等

式即可計(jì)算離心率.

13.【答案】噌

【解析】【解答】解：因?yàn)閍為鈍角，sina=1所以cosa=—'|,

貝Usin(a+勺=孝(sina+cosa)=￥值一號)=磊

故答案為：旨.

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合同角平方關(guān)系及兩角和的正弦公式求解即可.

14.【答案】V

【解析】【解答】解：〃久)=皿1+占)=ln(鴦壯)，由與密>0得x<-(b+l)或x>-b,

AIUA-iUA-RU

所以函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-b-l)U(-b,+oo),因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以-b-l-b=0,得

b=一，此時(shí)/(久)=]n(x+；，f(—x)+/~(久)=In-§+點(diǎn)+]n多咎=In產(chǎn)二+In芋+；=]nl=0,

即f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以b=4

故答案為:-1.

【分析】首先求函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求b的值，再驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù).

15.【答案】1

【解析】【解答】解：甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張，基本事件總數(shù)n=4x3=12,

甲、乙二人抽到的花色相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=3x2=6,則甲、乙二人抽到的花色相同的概率為

_m__6__1

P=n=Tl=2'

故答案為:1.

【分析】基本事件總數(shù)n=4x3=12,甲、乙二人抽到的花色相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=3x2=6,由

此能求出甲、乙二人抽到的花色相同的概率.

16.【答案】V2x±y=0

【解析】【解答】解：如圖所示：

由雙曲線的對稱性，不妨取漸近線y=過點(diǎn)F2作E的漸近線的垂線，垂足為P,.??直線F2P方

程為：y=--c),

_a22

y=-x%--

聯(lián)立aa，解得C，Apf—,—1由PM//x軸，且|PM|二c,可得M

(y=-靜-c)丫=弛\cc)c

又點(diǎn)M在雙曲線E:弓■—馬=1的左支上，?，?g_勺=1,V—,又。2+/=。2,

廿Q2c2c2

?*?b4—a4=a2(a2+/)2),?*-b2—a2=a2>?*-b2=2a2,***/)=V2a,=V^，所以雙曲線E的漸

近線方程為遮％±y=0.

故答案為：V2x+y=0.

【分析】由雙曲線的對稱性，不妨取漸近線y='%,從而可得F2P方程為：y=-搟(%-c),聯(lián)立

y~^X可P(貯，—Y再由PM//X軸，且|PM|=c,可得M(一生，包)，然后將M代入雙

[y=-a-c)、cc)[cc)

曲線方程中，從而建立方程，再化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

17?【答案】(1)解：設(shè)數(shù)列｛a｝的公差是d,

’5%+孚d=45

mil2

6alH—2d—60

解得(n

(Q]—D

???an=2n+3.

(2)斛：anan+1—(2n+3)(2n+5)—2(2幾+32幾+5)

1111111

2(57792T1+32n+5)

11_n

=10-4n+10=lOn+25*

,5x4,什

5alH—Q—d,—45

【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則2，然后求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可;

6alH—2-d—60

11ill

⑵由⑴可得癡藐匚=聲:商行時(shí)=2(茄雨—茄石)，累加求和即可.

2

_____n(ad—be)______

18.【答案】(1)解：R2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

100(20x20-30x30)2

60x40x50x50=4>3,841

故有95%的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)；

(2)解：(2)按分層抽樣喜歡旅游的男性為2人，記為41，A2，女性為3人，記為為,

2，2，B2）,

隨機(jī)抽取2人的事件有：（&,4）,（4,BQ,（4,B2）,（41，B3）,（4BQ,（4

（42，（%,/），

B3）,（Bi，B?）,B3）,

不同性別的事件為：

$（41，M）,Q41，%）'（"1,a），（&，當(dāng)），（42,B?），（力2，殳）$

故兩人是不同性別的概率p=^=l

【解析】【分析】（1）首先計(jì)算K2與3.841比較大小，即可作出判斷；

（2）首先確定男女各2人和3人，再利用古典概型概率公式，即可求解.

19.【答案】（1）解：???4瓦？?麗=3bc?sinA

???4a?cosB=3b-sinA

???4sin/cosB=3sinBsirh4,

4

-

???tanB3則cosB=

又???4BA?BC=24c

???4accosB=24c

???acosB=6

65

：?CL-------=6Xk=10

cosB3

（2）解：由余弦定理：b2=a2+c2—2ac?cosB

???b2=100+c2-12c,

又a+b+c=48,貝!Jb+c=38

???（38-c）2=100+c2-12c

??.c=21

114

???S^ABC=ac,sinB=x10x21x-=-=84

乙乙j

【解析】【分析】（1）代入數(shù)量積公式，正弦定理，同角關(guān)系即可得；

⑵根據(jù)余弦定理，可得c的取值，代入面積公式即可.

20.【答案】（1）解：設(shè)力（%1，yi）,8（%2，丫2）

聯(lián)立22’消y整理得：X2—2pkx+4p=0

（=2py

所以：%1+冷=2pk,/冷二4P

丫2-芻依1-(2+芻)kx2-(24-2)

^FA^FB——----1--=------------1歹-----

%2X1X2

2/C%1%2—(2+g)(％1+%2)

kpp

=2k_](2+鄉(xiāng)=k(l—/=O

p=4,即拋物線E的方程為：%2=8y

(2)解：由⑴可知：%i+%2=8k,%1工2=16

且4=64k2-64>0,所有/>1

2

\xr—X2|—J(%]+%2)2—4.1%2=8yjk—1

直線$FA$的方程為：y=3x+2,所以：XM=5~=4~~ky~

Xi乙———ZtX]

同理：和=既=

/l.y/l.-y*

所以|MN|=I久M—KNI=三后一至老

16(%1—％2)I

—I2

16—4A:(%i+X2)+kxxx2

8J/c2-18

=----------16

l1-/c?Jk2-1

解得：一與￡k<T或l<kW手

【解析】【分析】(1)由題意，設(shè)出A,B,F的坐標(biāo)，將直線1的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定

理以及斜率公式再進(jìn)行求解即可；

(2)結(jié)合(1)中信息，得到k2>l以及|xi-X2|的表達(dá)式，推出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再列出等式進(jìn)行求解即

可.

21.【答案】(1)解:f(x)=2cosx-2ax+3,

???f(0)=2cos0+3=5,

切線斜率為5,

曲線f(x)在x=0處的切線方程為y=5x.

(2)解：解法一：①當(dāng)x￡[0,TI]時(shí)f(x)=2cosx-2ax+3,若a<0時(shí)，2cosxr>2ax-3恒成立，

若a>0時(shí)f(x)在[0,兀]上單調(diào)遞減.

f(x)>f(7r)=—2—2an+3>0，貝U0<a<

綜上：a<2—

27r

②當(dāng)XE［-1,0］時(shí)

若a>0時(shí)，2cos%>2ax-3恒成立，

???f\x)>0恒成立，

若a<0時(shí)/(x)在［一號，0］上單調(diào)遞增

???f(X)>f(-^)=a;r+3>0,則<a<0

3

??-a>-—

7T

綜上所述：—

it27r

解法二：由(1)可知f(0)=2+3=5>0

???/(%)在［―今，7T］上必是單調(diào)遞增函數(shù)

令/(x)=2cosx—2ax+3，

貝(J/(―￡)=cur+3>0,/(yr)=1-2an>0

a《白為/(%)在［一］，7T］上是增函數(shù)成立的必要條件

令/(x)=2cosx-2ax+3，

下證：當(dāng)一a《白時(shí)，f(%)>0對任意xG兀］恒成立

①當(dāng)04a《時(shí)，、e［一~29兀］，則ctx￡［―q,9—2.uxG［-1,引

???f(%)=2cosx—2ax+3>1—2ax>0

②當(dāng)—［《a<0時(shí)，

%e［0,7r］,-2ax>0,很顯然f(%)>2cosx+3>0；

%G0］,f'(%)為增函數(shù)，f'(%)>/'(—￡)》a兀+3》0

當(dāng)一［《a《親時(shí)，g(x)>0對任意%G［-^>兀］恒成立

使得f(x)在［―9兀］上是單調(diào)函數(shù).

【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求切線方程;

⑵分類討論XG[O,兀],%e[-J,0]兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得xG[0,n]時(shí),

a<xE[—y>0]時(shí)，—即可求解.

27rN7127r

22?【答案】⑴解：由題意：（⑥+⑥=1_產(chǎn)+產(chǎn)=1，且久=3V1-t2>0

曲線C的普通方程為：普+4=1（久？0）

???曲線c的極坐標(biāo)方程為於寫空+且譬=1（—

即爐=益面（一%"為

⑵解：由⑴得爐=互黠

77"

因?yàn)榍襉A1OB,不妨設(shè)A（pi，。），