2023-2024學(xué)年上海市浦東高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（下）月考

數(shù)學(xué)試卷（3月份）

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填

寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.

1.已知A={x|9<0}，B={x\x^l},則AA8=.

X

2

2.函數(shù)f（x）=logj_cmx-2x+5）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

2

3.若a為第二象限角，sina=cos2a,則sina=.

4.點(diǎn)A從（1,0）出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（一行，卷）,

55

,己NAOB=a,則sin2a=.

5.已知f（?x）:答，則f（與）=.

6.已知a,p為銳角，cosa=』",sin（a區(qū)，則cos0=_____________________.

714

7.已知扇形的周長(zhǎng)為20an,當(dāng)它的面積最大時(shí)，它的圓心角的弧度數(shù)為.

8.把2sinx（V^sinx+CQSX）化為Asin（cox+q））（A>0,a）>0,（p￡[0,2TT]）的形

式.

9.若sin30-cos30^cos6-sin0,O^0<2n,則角0的取值范圍是

10.若對(duì)滿足a士0Wk?360°的任何角a,p,都有

sin(a+30°)+sin(P-30°)__

Go-incotz則數(shù)值(m,n)

cosO--cosP2

H.設(shè)f（x）=|xd|+|l」|，若存在aeR使得關(guān)于X的方程（/（尤））2+af（x）+b=

XX

0恰有六個(gè)解，則b的取值范圍是

12.已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,對(duì)任意XI,X2,都有/（陽+%2）=f（xi）+f（X2）,且

當(dāng)X<Q時(shí)，/(X)<0；若對(duì)任意8€[0,—],

f([sin28-(2+m)(sin8+cos8)---p-])+f(3+2m)>0恒成立,貝!!

siny+cos9

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知mI為實(shí)數(shù),則“。>1,b>r是“l(fā)og〃b>0”的()條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

14.如果e是第一象限角，則()

A.sin20>O>tan20>OB.sinn>0且tan28〉()

C.sin2>>0且tar「；->0D?sirr^->(^tair^->0

15.已知8。號(hào)，k￡z,以下命題中所有正確的命題有()個(gè).

①已知sin。，secS的值，則可以確定。的其余四個(gè)三角比的值

②已知0的兩個(gè)三角比的值，則可以確定9的其余四個(gè)三角比的值

③已知tan0的值，則可以確定0的其余五個(gè)三角比的絕對(duì)值

④已知secO的值和sinO的符號(hào)，則可以確定0所有六個(gè)三角比的值

A.4B.3C.2D.1

16.設(shè)xi,X2分別是函數(shù)/(%)=x-a'x^0g(x)=xlogax-1的零點(diǎn)(其中〃>1),則XI+9%2

的取值范圍是()

A.[6,+8)B.(6,+8)C.[10,+8)D.(10,+8)

三、解答題(本大題滿分48分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟

41

17.已知a,0均為銳角，且cosa=—,tan(a-P)-----.

53

(1)求cos(a-P)的值；

(2)求sin0的值.

22

18.定義一個(gè)新運(yùn)算，已知；二(x,y)，則|=l/x4-y，已知

a=(&-sin0+cos0,sin^+cos0),86(兀，2兀)，且|&|=_^g_,求

O-IT

COS與sin0的值?

19.2023年10月17日，雅萬高鐵正式開通運(yùn)營(yíng)，標(biāo)志著印度尼西亞邁入高鐵時(shí)代，中國(guó)

印度尼西亞共建“一帶一路”取得重大標(biāo)志性成果.中國(guó)高鐵正在成為共建“一帶一路”

和國(guó)際產(chǎn)能合作的重要項(xiàng)目.國(guó)內(nèi)某車輛廠決定從傳統(tǒng)型、智能型兩種型號(hào)的高鐵列車

車廂中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種型號(hào)車廂的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位:

百萬元)

年固定成本每節(jié)車廂成本每節(jié)車廂價(jià)格每年最多生產(chǎn)的節(jié)數(shù)

傳統(tǒng)型20m10200節(jié)

智能型40818120節(jié)

已知2W機(jī)W8(機(jī)CR),每銷售“節(jié)智能型車廂時(shí)，需上交0.1/百萬元用于當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)建

設(shè).假設(shè)生產(chǎn)的車廂當(dāng)年都能銷售完.

(1)設(shè)州，州分別為該廠投資傳統(tǒng)型和智能型兩種型號(hào)車廂的年利潤(rùn)，分別求出yi,J2

與年產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)①分別求出生產(chǎn)兩種型號(hào)車廂的平均利潤(rùn)的最大值；

②要使生產(chǎn)兩種型號(hào)車廂的平均利潤(rùn)最大，該廠應(yīng)該選擇生產(chǎn)哪種型號(hào)車廂？

JT

20.已知直角梯形ABC。，AD//BC,ZABC=ZADE->扇形圓心角

7T

xE(0,項(xiàng)如圖，將△AOC，△ABC以及扇形A4E的面積分別記為。(尤)，q(x),

s(尤).

(1)寫出p(尤)，g(x),s(x)的表達(dá)式，并指出其大小關(guān)系(不需證明)；

(2)用tarr^■表水梯形的面積I(x)；并證明：f(x)>2?s(x)；

(3)設(shè)f(x)=P，x?，0<a<a+0<2,試用代數(shù)計(jì)算比較/(a)與J(a+(p)

s(x)2

21.若函數(shù)y=/(x)滿足在定義域內(nèi)的某個(gè)集合A上，2、(/(x)-2，)(.rGA)是一個(gè)常

數(shù)則稱/(x)在A上具有尸性質(zhì).

若/是函數(shù)y=/(x)定義域的一個(gè)子集，稱函數(shù)g(x)=f⑺,屁/是函數(shù)y=/(x)

在/上的限制.

(1)設(shè)y=/(x)是［-3,3］上只有P性質(zhì)的奇函數(shù)，求xH-3,3］時(shí)不等式f(x)>￡

的解集；

(2)設(shè)y=/(無)為［-3,3］上具有尸性質(zhì)的偶函數(shù).若關(guān)于尤的不等式/(2x)+2m-f

(x)＜。在［-3,3］上有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)已知函數(shù)＞=/(無)在區(qū)間［-1,1］上的限制是具有產(chǎn)性質(zhì)的奇函數(shù)，在［-2,-1)

U(1,2］上的限制是具有尸性質(zhì)的偶函數(shù).若對(duì)于［-2,2］上的任意實(shí)數(shù)xi,尤2,無3,不

等式/(尤1)4/(X2)+4＞"礦(X3)恒成立，求實(shí)數(shù)”2的取值范圍.

參考答案

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填

寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.

1.已知A={x，B=[x\x^l],則{1}.

x

【分析】先求出集合4再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.

解：由三上40,可得0<xWl,

x

所以A={x|O<x^l},

又因?yàn)锽={x\x^l},

所以ACB={1}.

故答案為：”}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.函數(shù)，(x)Tog]-4x+5)的單調(diào)遞減區(qū)間為_吐，+8).

T3

【分析】由題意，令a=x2-4x-5>0,則/(x)=l°g_LU,本題即求函數(shù)M的增區(qū)間.再

2

利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.

2

解：；函數(shù)f(x)=logj_(?x-!x+5),令〃=3X2-2X+5>0,求得X€R,

~2

可得函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,函數(shù)的對(duì)稱軸為x=],且/(x)=10gl.U

函數(shù)f(x)=logi(3x~2x+5)的單調(diào)遞減區(qū)間，即函數(shù)比在[工，+8)上的增區(qū)間.

T3

2

函數(shù)f(x)=log,(3x-2x+5)的單調(diào)遞減區(qū)間為口，+8).

23

故答案為：[j,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

3.若a為第二象限角，sina=cos2a,則sina=《

~2~

【分析】利用二倍角的余弦公式得到關(guān)于sina的方程，解得即可.

解：Vsina=cos2a,

sina=1-2sin2a,解得sina=，■或sina=1,

為第二象限角,

sin。=-^-.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.點(diǎn)A從（1,0）出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（咯，

55

記NAOB=a,則sin2a=-2^.

---25―

【分析】由題意求得sina,cosa的值，利用二倍角公式即可計(jì)算得解.

解：由題意可得：sina=—,cosa=--,

55

sin2a=2sinacosa=2X-X（--）=-

5525

故答案為：-空.

25

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

5.已知￡（3*）=答，貝If（與）=—￡—?

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，令3、斗，得x=f，代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求解.

241

解：由題意得，￡（3夫）二王

x+1

令彎，由亞.4；得x=q,

332

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知a,0為銳角，cosa=y,sin(a+B)?？?，則cos0=—,—.

IJL什乙

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sina、cos(a+0)的值，再利用兩角

差的三角公式求得cos0=cos[(a+p)-a]的值.

解：Va,0為銳角，cosa=[-v\sina=

7L37

又sin(a+p)，a+B為鈍角，,cos(a+p)=-Vl-sin2(Cl+p)=-甘，

/.cosp=cos[(a+p)-a]=cos(a+0)cosa+sin(a+0)sina=-

1

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

7.已知扇形的周長(zhǎng)為20c",當(dāng)它的面積最大時(shí)，它的圓心角的弧度數(shù)為2.

【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，建立等式，然后根據(jù)面積公式轉(zhuǎn)化成關(guān)于r的

二次函數(shù)，通過解二次函數(shù)最值即可得到結(jié)論.

解：：扇形的周長(zhǎng)為20,

.'.l+2r—20,

HP1=20-2r,

；?扇形的面積S=2/r=U*(20-2r)?r=-產(chǎn)+10廠=-(r-5)2+25,

22

二.當(dāng)半徑r=5時(shí)，扇形的面積最大為25,

此時(shí)，。=1=2(rad),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.把2sinx(J^sinx+cosX)化為Asin(3X+(P)(A>0,3>0,(p6[0,2ir])的形

式2sin(2xH-------).

----------3------

【分析】先利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用差角的正弦函數(shù)，函數(shù)即可變形為〉=示也

(u)x+(p).

解：2sinx(百sinx+cosx)—禽=百(l-cos2x)+2sinxcosx-V3

=sin2x-^/3cos2x=2X(-^sin2x-^^-cos2x)

TTJTATT

=2sin(2x----)=2sin(2x----+2冗)=2sin(2x+----).

333

故答案為：2sin(2x+哈).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，主要考查二倍角的正弦和余弦公式以及兩角和差的

正弦公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.若sirPe-cos3e，cos。-sinO,0^9<2it,則角6的取值范圍是.

-44—

【分析】首先構(gòu)造函數(shù)/(x)=R+X,利用定義法證明函數(shù)恒單調(diào)遞增，則將原不等式

變形后可得了(sin。)可(cos。)，由單調(diào)性可得sineNcose,則答案可求.

解：構(gòu)造函數(shù)無)=尤3+為

則(無)=3N+l>0,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

原式變形得sin30+sin0^cos30+cos9,即/(sinQ)2/(cos0)

JTRTT

所以sin0^cos0,又0W6<2n,則---《9.

44

故答案為：［十，等］.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了單調(diào)性在不等式求解中的

應(yīng)用，屬于中檔題.

10.若對(duì)滿足a土BW/?360°的任何角a,0,都有

sin(a+30)+sm(P-30)B-a刖財(cái)估

--------------------------o-------------=mcot---+r，則數(shù)值(m,n)=

cos^-cosP-------------2

(竺1).

—22―

【分析】根據(jù)三角和差化積公式，對(duì)等式左邊進(jìn)行整理，與右邊比較即可得如〃的值.

c,a+B簿-3+60°

2sm——cosi-----------------)

解：由題意，左邊=

a+Ba-B

-2sin——sin---------

2

cos—2—cos300-sin——sin300

二.a-B

sin-2-

—向B-ai

--cot-2—

與右邊比較得皿坐，n-1.

故答案為：（除，!）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角和差化積公式，屬基礎(chǔ)題.

11.設(shè)f（X）=|xdI+I1」I，若存在UER使得關(guān)于X的方程（/（%））2+4（尤）+6=

XX

0恰有六個(gè)解，則b的取值范圍是（4\萬+2,+8）.

【分析】分類去絕對(duì)值符號(hào)，可作了（無）的圖象，依據(jù)圖象可求x<0或無>0的最小值,

令t=f(x),貝lj5+R+b=0,令g(f)=fl-^-at+b,由題意可得

g(2)=4+2a+b〉0

可求b的取值范圍.

.g(2^/2+1)=9+472+(272+1)a+b<O'

解：當(dāng)時(shí)，f(x)=X+2+1-2=x+l,

XX

ii9

當(dāng)OVxVl時(shí)，f(x)=xH--1---1—xH----1,

XXX

I19

當(dāng)％V0時(shí)，f(x)=-x---Fl--=-x——+1,

當(dāng)xVO時(shí)，f(x)=-x——+1—-x——+1,

XXX

當(dāng)%>0時(shí)，f(x)rnin=2f

令t=f(%),貝U祥+〃什》=0,

??,關(guān)于1的方程（/（X））2+4（尤）+。=0恰有六個(gè)解,

.,?關(guān)于］的方程/+加+6=0恰有兩個(gè)解在，/2,設(shè)力</2,

則九6(2,2^2+1)-f2G(2迎+1,+8

'g(2)=4+2a+b>0

令g(f)—fl+at+b,則，

.g(2^2+1)=9+472+(272+1)a+b<0>

.-b-4口^-b-9-4V2

?*ci目.a,

22V2+1

要存在。滿足條件，則解得。>4注+2.

22V2+1

的取值范圍是(4、次+2,+8).

故答案為：(4-y2+2,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類討論思想的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查根的分布，屬中檔題.

12.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意Xl,XI,都有f(X1+X2)=f(XI)+f(X2),且

71

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0；若對(duì)任意e[0,—],

f([sin28-(2+m)(sin6+cos9)~q----p-])+f(3+2m)>0恒成立,貝U

sint?+cose

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(3,+8).

【分析】用賦值法可得/(%)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)要確定當(dāng)％〉0時(shí)，/(X)>0,

利用已知關(guān)系將原不等式轉(zhuǎn)化為用>什彳■在怎[1,A/萬]上恒成立(其中/=sin8+cos8),

結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：令》=X2=0,則/(0)=/(0)+/,(0),解得/(0)=0,

即X\=X,X2=-X,則有/(X-X)=f(x)+/(-%),

即有/(尤)+f(-x)=0,/(-x)=-f(%),

所以/(%)是H上的奇函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)XV0時(shí)，/(x)<0,所以當(dāng)％>0時(shí)，/(%)>0,

令/=sine+cosS=^/^sin(0+),

則sin20=2sin0cos0=f-1,

當(dāng)8€[0,時(shí)，e+子日子，罟]，

所以sin(0H——)1],正[1,5^2]f

4、一

由f([sin28-(2+m)(sin8+cos9):_5-----F-])+f(3+2m)恒成立,

siny+cos9

A

可得/([sin2S-(2+m)(sin0+cos9---------：----------]+3+2m)>0恒成立,

siny+cosU

一4

所以sin28-(2+m)(sin0+cos0)---------：---------3-+3+2m>0恒成立，

sinH+cosU

即2-1-（2+冽）/-2■>-3-2相在正［1,上恒成立,

即(2-t)心2"盧+烏_2，心「(2-t)7(2-t)=什2,

t------2^------t

o

所以m>r+—,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知>=什彳在正［1,丁可上單調(diào)遞減,

所以（什2）max=jt9

t

所以m>3,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（3,+8）.

故答案為：（3,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想及三角恒等變換，屬于

中檔題.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知a,b為實(shí)數(shù)，則ua>l,b>r是“l(fā)og疝>0"的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.

'0<a<la〉1

解:由log^b>0=logab>log°ln?或，

aaa0<b<1b>l，

所以由。>1,b>l推得出log“b>0,故充分性成立，

由log/>0推不出b>l,故必要性不成立，

所以aa>l,b>r是“l(fā)og/>0”的充分非必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基

礎(chǔ)題.

14.如果。是第一象限角，則（

g

A.sin28>0且tan26>0B.sin.。且tan20>()

gee

C.sin28>。且tau2>0D.sirr^->0且tanr^->0

°

【分析】根據(jù)e的象限確定=的象限，即可排除5、D,再確定28的象限，即可排除A.

2

解：因?yàn)?是第一象限角，則2k兀<8<-^+2k兀，在Z,

97T

所以k加-1+k冗，AEZ,

AAA

所以是第一或第三象限角，則si號(hào)>0或si曰<0,tari2>0,故排除2、

D；

又4加<20<TT+4加，k&Z,

所以2。的終邊在第一、第二象限或在y軸正半軸，則sin20>0,

當(dāng)2。的終邊在y軸正半軸時(shí)tan2。無意義，故排除A.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)，牢記：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解題

的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知8#詈，k€z,以下命題中所有正確的命題有()個(gè).

①已知sin。，sec。的值，則可以確定。的其余四個(gè)三角比的值

②已知0的兩個(gè)三角比的值，則可以確定0的其余四個(gè)三角比的值

③已知tan。的值，則可以確定0的其余五個(gè)三角比的絕對(duì)值

④已知sec6的值和sin。的符號(hào)，則可以確定6所有六個(gè)三角比的值

A.4B.3C.2D.1

【分析】利用三角函數(shù)的定義，逐一判斷各個(gè)命題即得.

1?9

解：依題意，sin0csc0=l,cos0sec0=l,tan9二。"二，tan9cot0=l,

cosy

給定sin。，sec0,可求出esc。，cos6,tan0,cot0,故①正確；

已知0的兩個(gè)三角比的值，如給出tane與cote的值,

由于tan9cot8=l,相當(dāng)于只給出其中一個(gè)值，

顯然sin。，cos。，secB,esc。值的正負(fù)不確定，此時(shí)不能確定6的其余四個(gè)三角比的值,

故②錯(cuò)誤；

由tan0的值，可求出cot0的值，

-g

由tan8=°in2sin20+cos20=1,可求出kin6|,|cos0|,

COSb

求出|csc8|,|cot0|,

可得tane的值，可以確定e的其余五個(gè)三角比的絕對(duì)值，故③正確；

由sec。的值,可求出cos。的值，由|s：n9|二Jl-s$2e結(jié)合sin。的符號(hào)可求出sin。,

可得esc。，tan。，cot0,故④正確，

可得所有正確的命題有3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

16.設(shè)XI,尤2分別是函數(shù)無）和g（無）=xiogax-1的零點(diǎn)（其中。>1）,則X1+9X2

的取值范圍是（）

A.[6,+8）B.（6,+8）C.[10,+8）D.（10,+8）

【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，可得為，&分別是a'」和logx』的解.結(jié)合函數(shù)與方程

Xa%

的關(guān)系可知xi,及分別是函數(shù)y」與函數(shù)>=出和函數(shù)y=loga交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可

得OV?V1,X2>1.而丁=談與y=log?x互為反函數(shù).則由反函數(shù)定義可得xi?X2=l.再

根據(jù)基本不等式，即可求得為+%2的最小值，將a+9垃化為的+垃+8必即可得解.

解：因?yàn)閄I,X2分別是函數(shù)/（%）=%-〃7和8（x）=xlogd-l的零點(diǎn),

則為，&分另ij是a"」■和logx」■的解，

XaX

所以XI,X2分別是函數(shù)y」■與函數(shù)和函數(shù)y=log^x交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

所以交點(diǎn)分別為A（X—；），B（X2-；）,

x1x2

因?yàn)閍>l,

所以X2>1,

由于函數(shù)y」■與函數(shù)產(chǎn)a*和函數(shù)y=log?x都關(guān)于y=x對(duì)稱,

所以點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱，

因?yàn)锳（x一?。╆P(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（；，xj,

x1X1

所以XiH，

x2

即X\*Xi~~1,且Xl7^X2?

所以Xl+9x2=XI+X2+8x2>2,X[?X2+8x2>2+8必

由于X1^X2所以不能取等號(hào)，

因?yàn)闊o2>1,

所以2+8&>2+8=10,

即X1+9X2W(10,+°°),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的定義及性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用，基本不等

式求最值，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

三、解答題(本大題滿分48分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟

41

17.已知a,0均為銳角，且cosa=m，tan(a-0)=-

53

(1)求cos(a-p)的值；

(2)求sinp的值.

【分析】根據(jù)平方關(guān)系和a是銳角即可得出sina,再利用基本關(guān)系式即可得出tana,利

用兩角和的正切公式即可得出tanp,利用基本關(guān)系式可得sinp,cosp,利用兩角和的余

弦公式展開即可得出.

TT

c4./9一3

解：(1)法一*:o<a-,cosa=y,..sina=Vl-cos^a=y

sin。3

tanCl=

cosCL4

tana-tanB—TanB

1解得tan0=￥.

,?*tan(a-B

1+tanCItanP.3R3

1-H-tanP

sinB=13sinB

聯(lián)立卜QSB=9,解得:

?2R,2R1OW10

IsinP+cosP=1cosP=———

13710_3710

cos(a-P)=cosacosB+sinasin0="^X9'；°_x

5010

法二：令a-P=0?那么06(-[?TT,0)

由tang=〈in-工得:sin0=--cos0

cose33

-cos26+cos20=1

9

=>cos（a-p）=

10_

（2）由（1）可得sinBJ3*.

50

【點(diǎn)評(píng)】本題中考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正切公式、兩角和的余弦公式等基礎(chǔ)知

識(shí)與基本方法，屬于基礎(chǔ)題.

18.定義一個(gè)新運(yùn)算，已知Z二（x,y），則|=V/+y2，已知

a二(我-sin0+cos0,sin6+cos?),36(兀，2兀)，且|a|，求

OTT

cos(-7-與sin0的值.

JT7

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理得cos（e」｝）』，再結(jié)合角的范圍,利

425

RTT

用三角恒等變換分別求COS（-/胃），sine,注意三角函數(shù)值的符號(hào).

解：因?yàn)椤產(chǎn)=(&-sin0+cos0,sin^+cos6)?

可得|a|五后-sin9+cos6)2+(sinB+cos8)2

/c幾、

—V4+2V2(cos0-sin6)-2Heos(8，

由日邛'可得2小+二8曰

解得

3(04)冬，

且g(Tt,21T),則8嚀-￡(平，等)，可得84c(號(hào)

2兀）,

所以sin(8=~Jl-cos>(8二^H"，

所

又因?yàn)镃OS(8-t^-)=2coS2-1=^-，解得cos=±卷，

由g(TT,2TT)可知,母€(芳胃-)，

則cosW-)<0，所以cosW-)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.

19.2023年10月17日，雅萬高鐵正式開通運(yùn)營(yíng)，標(biāo)志著印度尼西亞邁入高鐵時(shí)代，中國(guó)

印度尼西亞共建“一帶一路”取得重大標(biāo)志性成果.中國(guó)高鐵正在成為共建“一帶一路”

和國(guó)際產(chǎn)能合作的重要項(xiàng)目.國(guó)內(nèi)某車輛廠決定從傳統(tǒng)型、智能型兩種型號(hào)的高鐵列車

車廂中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種型號(hào)車廂的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：

百萬元）

年固定成本每節(jié)車廂成本每節(jié)車廂價(jià)格每年最多生產(chǎn)的節(jié)數(shù)

傳統(tǒng)型20m10200節(jié)

智能型40818120節(jié)

已知2WMIW8（meR）,每銷售〃節(jié)智能型車廂時(shí)，需上交0.1/百萬元用于當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)建

設(shè).假設(shè)生產(chǎn)的車廂當(dāng)年都能銷售完.

（1）設(shè)"，”分別為該廠投資傳統(tǒng)型和智能型兩種型號(hào)車廂的年利潤(rùn)，分別求出yi,”

與年產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）①分別求出生產(chǎn)兩種型號(hào)車廂的平均利潤(rùn)的最大值；

②要使生產(chǎn)兩種型號(hào)車廂的平均利潤(rùn)最大，該廠應(yīng)該選擇生產(chǎn)哪種型號(hào)車廂？

【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出yi,”與年產(chǎn)量尤之間的函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）①對(duì)于傳統(tǒng)型車廂，它的平均利潤(rùn)為上工=10-m-型（其中0<xW200,且xeN）,

XX

利用其單調(diào)性可求出其最大值,對(duì)于智能型車廂，它的平均利潤(rùn)為±2=10-（0.1X+延），

xx

利用基本不等式可求出其最大值；

②比較兩種車廂的平均利潤(rùn)求解即可；

解：（1）生產(chǎn)傳統(tǒng)型的年利潤(rùn)為yi=10x-（20+mx）=（10-m）x-20（其中0c尤W

200,且xeN）,

生產(chǎn)智能型的年利潤(rùn)”=18x-（8尤+40）-0.1尤2=-0.1x2+10x-40（其中0W20,且

xeN）；

（2）①對(duì)于傳統(tǒng)型車廂，它的平均利潤(rùn)為其中0〈尤W200,且xeN）,

xx

顯然當(dāng)x=200時(shí)，平均利潤(rùn)最大，最大為10-m-3=粵-加，

1010

對(duì)于智能型車廂，它的平均利潤(rùn)為*=-O.lx+lO-歿=10-(0.1%+9)

XXX

<10-2^0.卜??=6，

當(dāng)且僅當(dāng)0.1x=2&,即x=20時(shí)，等號(hào)成立，

x

所以當(dāng)x=20時(shí)，平均利潤(rùn)最大，最大為6,

綜上所述，傳統(tǒng)型車廂的平均利潤(rùn)的最大值為(曷-加)百萬元，智能型車廂的平均利

潤(rùn)的最大值為6百萬元；

②當(dāng)瑞-ir>6,即2<根<3.9時(shí)，傳統(tǒng)型車廂的平均利潤(rùn)更大，此時(shí)該廠選擇生產(chǎn)傳統(tǒng)

型車廂，

當(dāng)即3.9<mW8時(shí)，智能型車廂平均利潤(rùn)更大，此時(shí)該廠選擇生產(chǎn)智能型

車廂，

當(dāng)瑞-ir=6,即根=3.9時(shí)，兩種車廂平均利潤(rùn)相等，此時(shí)該廠選擇生產(chǎn)傳統(tǒng)型車廂和

智能型車廂都一樣，

綜上所述，當(dāng)2W?t<3.9時(shí)，該廠選擇生產(chǎn)傳統(tǒng)型車廂；當(dāng)3.9<mW8時(shí)，選擇生產(chǎn)智

能型車廂；當(dāng)％=3.9時(shí)，該廠選擇生產(chǎn)傳統(tǒng)型車廂和智能型車廂都一樣.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

TT

20.已知直角梯形ABC。，AD//BC,ZABC=ZADE-，AB=1,扇形圓心角NA4E=x,

IT

(0,彳)，如圖，將△A。。，△ABC以及扇形崩石的面積分別記為〃(％),qQx),

s(X).

(1)寫出p(x),q(x),s(x)的表達(dá)式，并指出其大小關(guān)系(不需證明)；

(2)用tarr^"表小梯形ABCZ)的面積/(x)；并證明：/(x)>2?s(x)；

(3)設(shè)f(x)=P，x?，o<a<a+0<3,試用代數(shù)計(jì)算比較"a)與“(x+cp)

s(x)2

的大小.

【分析】（1）用工表示出A3和8C,而后再表示出△A。。，TXABC以及扇形84E的面

積;

（2）先用ta若表示梯形ABC。的面積f（無），而后構(gòu)造函數(shù)證明r（x）>2-5（無）；

（3）結(jié)合（1）表示出/（無），構(gòu)造函數(shù)分析其增長(zhǎng)性.

n

解:(1)由幾何關(guān)系可得AZ)=AEcos(---x)=sinx,BC=ABtawc—tanx,

2

所以p(x)=旦黃

q\zX、)_tanx,

2

s(x)=TIXAB2XX=-

2兀2

xx

2tan-z_2tan—入x

222tan7r

sinx+tanx---------------+----------------_2

(2)t(x),2Xr2X=-----------------

~2~1+tan77l-tanyrx4x

_______221-tan—

2N

2s(x)—~Xy

7r

令g(力=tanr-t,當(dāng)0<t<-7^，g'(力—sec2Z-1>O,

又g(0)=0,所以g(力>g(0)=0,

所以當(dāng)0<；x--，tan--2X2->0,即tan三>2xW=x,

22222

此時(shí)0<々<---,所以O(shè)Vtan±><1,所以O(shè)V1-tanV"V1,

2422

所以t(x)>2s(x)；

(3)結(jié)合(1)/(x)=包”，

x

,xcosx-sinxxcos-tanxcosxcos(x-tanx)

f⑴=2=2=2

XXX

TT

由(2)知當(dāng)當(dāng)x-tanx<0,又cosx>0,x2>0,

兀

所以/(x)<0,即函數(shù)/(%)在(0,—)單調(diào)遞減，

因?yàn)?<a<