2024年高中物理 天體運(yùn)動(dòng)

高中物理模型盤點(diǎn)（七）天體運(yùn)動(dòng)模型

目錄

物理模型盤點(diǎn)一一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律............................................................1

物理模型盤點(diǎn)一一天體質(zhì)量和密度的估算..........................................................2

物理模型盤點(diǎn)一一行星模型.......................................................................4

物理模型盤點(diǎn)一一近地衛(wèi)星模型..................................................................7

物理模型盤點(diǎn)一一同步衛(wèi)星模型..................................................................8

物理模型盤點(diǎn)一一萬有引力等于重力模型.........................................................10

物理模型盤點(diǎn)一一衛(wèi)星模型相關(guān)物理量討論.......................................................10

物理模型盤點(diǎn)一一三種天體運(yùn)動(dòng)速度比較.........................................................12

物理模型盤點(diǎn)一一雙星模型多星模型...........................................................13

物理模型盤點(diǎn)一一黑洞模型......................................................................15

物理模型盤點(diǎn)一一暗物質(zhì)........................................................................16

物理模型盤點(diǎn)一一衛(wèi)星變軌......................................................................17

物理模型盤點(diǎn)一一R3T2=常數(shù)的應(yīng)用.............................................................19

物理模型盤點(diǎn)一一三星一線模型.................................................................20

物理模型盤點(diǎn)一一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律

【模型概述】

定律內(nèi)容圖示

開普勒

所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處

第一定律〈太陽—

在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上

（軌道定律）

開普勒

對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等

第二定律

的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等Ra&:

vJi^VbRb

（面積定律）

開普勒

一至星

所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)

第三定律

周期的二次方的比值都相等，即瓶=k

（周期定律）

典例*1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)

動(dòng)。如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為vl、v2,近地點(diǎn)到地心的距離為r,地球質(zhì)量為M,

引力常量為G。則（）

A.vl>v2,

C.vl<v2,

【答案B]

【解析】衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，由開普勒第二定律知，近地點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，即vl>v2。

若衛(wèi)星以近地點(diǎn)時(shí)的半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，則有罌=產(chǎn)

得運(yùn)行速度v近=

斗，選項(xiàng)B正確。

由于衛(wèi)星在近地點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，則vl>v近，即vl>

物理模型盤點(diǎn)一一天體質(zhì)量和密度的估算

【模型概述】

一、題型概述

1.利用萬有引力等于重力可以估算地球質(zhì)量，若測量出繞天體運(yùn)行衛(wèi)星的周期和軌道半徑可以估算天體的

質(zhì)量，若知道天體的半徑，可以估算出天體的密度。高考有關(guān)天體質(zhì)量和密度的估算考查頻率較高。

2.考慮星球自轉(zhuǎn)時(shí)星球表面上的物體所受重力為萬有引力的分力；忽略自轉(zhuǎn)時(shí)重力等于萬有引力.

3.一定要區(qū)分研究對(duì)象是做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的天體，還是在星球表面上隨星球一塊自轉(zhuǎn)的物體.做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的天

體受到的萬有引力全部提供向心力，星球表面上的物體受到的萬有引力只有很少一部分用來提供向心力.

二、估算中心天體質(zhì)量和密度的兩條思路和三個(gè)誤區(qū)

（1）兩條思路

①利用天體表面的重力加速度和天體半徑估算

,Mm膚體#M4o3缺體

由號(hào)"=儂天體得〃=——,再由P=-,勺屋，得P=46.

_Mm4n24itrM4

②已知天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，由%=曠下r得再結(jié)合Pf勺川得P

3JIr3JI

=Z"，在中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，r=R,貝！J0=/。

列表看思路

由d耨=mg求出M=吟，

利用中心天體的半徑和、在七汨MM3^

進(jìn)而求伶〃一V~4^R3~4TIGR°

表面的重力加速度g計(jì)算

由G?亍一叼可得出M—。

利用環(huán)繞天體的軌道半徑r若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑尸=

和周期T計(jì)算「miM3兀

R,則"===彳

(2)三個(gè)常見誤區(qū)

①天體質(zhì)量和密度的估算是指中心天體的質(zhì)量和密度的估算，而非環(huán)繞天體的。

②注意區(qū)分軌道半徑r和中心天體的半徑幾

③在考慮自轉(zhuǎn)問題時(shí)，只有兩極才有竿=儂天體。

典例*2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天間一號(hào)"探測器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周

期約為1.8x105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8x105m。已知火星半徑約為3.4x106m,

火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2,貝「天問一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為()

A.6xl05mB.6xl06mC.6xl07mD.6xl08m

【答案】C

［解析】忽略火星自轉(zhuǎn)則寫"=mg@

可知GM=gR2

設(shè)與為1.8xi05s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為廣，由萬引力提供向心力可知

GMm4》2小

設(shè)近火點(diǎn)到火星中心為&=R+4③

設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)到火星中心為4=R+&④

由開普勒第三定律可知廠3=,2，⑤

丁272

由以上分析可得%~6xl07m

故選C。

物理模型盤點(diǎn)一一行星模型

［模型概述］

所謂“行星”模型指衛(wèi)星繞中心天體，或核外電子繞原子旋轉(zhuǎn)。它們隸屬圓周運(yùn)動(dòng)，但涉及到力、電、能知識(shí)，

屬于每年高考必考內(nèi)容。

［模型要點(diǎn)］

人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)屬于宏觀現(xiàn)象，氫原子中電子的運(yùn)動(dòng)屬于微觀現(xiàn)象，由于支配衛(wèi)星和電子運(yùn)動(dòng)的力遵循平

方反比律，即Foe之，故它們在物理模型上和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述上有相似點(diǎn)。

r2

公式GMm?kqw2類似

F=------F

產(chǎn)=r2

適用條件質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷都是理想模型

研究對(duì)象有質(zhì)量的兩個(gè)物體帶有電荷的兩個(gè)物體類似

相互作用引力與引力場電場力與靜電場都是場作用

方向兩質(zhì)點(diǎn)連線上兩點(diǎn)電荷的連線上相同

實(shí)際應(yīng)用兩物體間的距離比物體本兩帶電體間的距離比帶電相同

身線度大得多體本身線度大得多

適用對(duì)象引力場靜電場不同

［特別說明］

一.線速度與軌道半徑的關(guān)系

設(shè)地球的質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)量為m,衛(wèi)星在半徑為r的軌道上運(yùn)行，其線速度為v,可知誓=小?，從而

設(shè)質(zhì)量為爪'、帶電量為e的電子在第n條可能軌道上運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v,則有殍從而〃=

巨,BPv0C布T

可見，衛(wèi)星或電子的線速度都與軌道半徑的平方根成反比。

動(dòng)能與軌道半徑的關(guān)系

衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，由咎=小《得&=竽敏琮8工，氫原子核外電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為：E=—gflE^~,

2kk

rr2rr"2rnrn

可見，在這兩類現(xiàn)象中，衛(wèi)星與電子的動(dòng)能都與軌道半徑成反比

三.運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑的關(guān)系

對(duì)衛(wèi)星而言，G^=mr與,得產(chǎn)二字,射28r3.（同理可推導(dǎo)丫、a與半徑的關(guān)系。對(duì)電子仍適用）

四.能量與軌道半徑的關(guān)系

運(yùn)動(dòng)物體能量等于其動(dòng)能與勢能之和，即石=&+與，在變軌問題中，從離地球較遠(yuǎn)軌道向離地球較近軌

道運(yùn)動(dòng)，萬有引力做正功，勢能減少，動(dòng)能增大，總能量減少。反之呢？

五.地球同步衛(wèi)星

1.地球同步衛(wèi)星的軌道平面：非同步人造地球衛(wèi)星其軌道平面可與地軸有任意夾角且過地心，而同步衛(wèi)星

一定位于赤道的正上方

2.地球同步衛(wèi)星的周期：地球同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。

3.地球同步衛(wèi)星的軌道半徑：據(jù)牛頓第二定律有雪=爪3/得r=3俾，3。與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，

r\%

所以地球同步衛(wèi)星的軌道半徑一定，其離地面高度也是一定的

4.地球同步衛(wèi)星的線速度：為定值，繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同

［誤區(qū)點(diǎn)撥］

天體運(yùn)動(dòng)問題：人造衛(wèi)星的軌道半徑與中心天體半徑的區(qū)別；人造衛(wèi)星的發(fā)射速度和運(yùn)行速度；衛(wèi)星的穩(wěn)

定運(yùn)行和變軌運(yùn)動(dòng)；赤道上的物體與近地衛(wèi)星的區(qū)別；衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的區(qū)別：人造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度

是指把衛(wèi)星從地球上發(fā)射出去的速度，速度越大，發(fā)射得越遠(yuǎn)，發(fā)射的最小速度，混淆連續(xù)物和衛(wèi)星群：

連續(xù)物是指和天體連在一起的物體，其角速度和天體相同，雙星系統(tǒng)中的向心力中的距離與圓周運(yùn)動(dòng)中的

距離的差別。

利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是

A.地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉(zhuǎn)）

B.人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期

C.月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離

D.地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離

【答案】D

【解析】在地球表面附近，在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，物體所受重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，有

等^=mg,可得A能求出地球質(zhì)量。根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星、月球、地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向

GMmv^T月2TI24兀r

心力，由"依==，vT=2nR,解得M=U；由一=Z）2r,解得由

R2R271Gr-T月G品

GM^M2兀2

一=）%,會(huì)消去兩邊的M；故BC能求出地球質(zhì)量，D不能求出。

啟玲

【考點(diǎn)定位】萬有引力定律的應(yīng)用

【名師點(diǎn)睛】利用萬有引力定律求天體質(zhì)量時(shí)，只能求“中心天體”的質(zhì)量，無法求“環(huán)繞天體”的質(zhì)量。

2017年4月，我國成功發(fā)射的天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接，對(duì)接形成的

組合體仍沿天宮二號(hào)原來的軌道（可視為圓軌道）運(yùn)行。與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比，組合體運(yùn)行的

A.周期變大B.速率變大

C.動(dòng)能變大D.向心加速度變大

【答案】C

【考點(diǎn)定位】萬有引力定律的應(yīng)用、動(dòng)能

【名師點(diǎn)睛】萬有引力與航天試題，涉及的公式和物理量非常多，理解萬有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，

適當(dāng)選用公式絲絲=機(jī)02r=皿@）2廠=空=機(jī)。，是解題的關(guān)鍵。要知道周期、線速度、角速度、向

r2Tr

心加速度只與軌道半徑有關(guān)，但動(dòng)能還與衛(wèi)星的質(zhì)量有關(guān)。

“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空，與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接

前，“天舟一號(hào)”在距離地面約380km的圓軌道上飛行，則其

（A）角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度

（B）線速度小于第一宇宙速度

（C）周期小于地球自轉(zhuǎn)周期

（D）向心加速度小于地面的重力加速度

【答案】BCD

【解析】根據(jù)G等楸知，“天舟一空的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，而同步衛(wèi)星攤速度等

于地球自轉(zhuǎn)的角速鼠所以“天舟一空的角速度大于地球需角的速度周期小于地球自轉(zhuǎn)的周期，故A

錯(cuò)誤：C正確：第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，所以“天舟一號(hào)”的線速度小于第一宇宙速度，B正確：地

面重力加速度為S=-gr，故“天舟一號(hào)”的向心加速度a小于地面的重力加速度g,故D正確.

【考點(diǎn)定位】天體運(yùn)動(dòng)

【名師點(diǎn)睛】衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，考查萬有引力提供向心力.與地球自轉(zhuǎn)角速度、周期的比較，要借

助同步衛(wèi)星，天舟一號(hào)與同步衛(wèi)星有相同的規(guī)律，而同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.

如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，。為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M.N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周

期為To。若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從尸經(jīng)過M、。到N的運(yùn)動(dòng)過程中

A.從尸到M所用的時(shí)間等于To/4,,

海L星一華…

B.從。到N階段，機(jī)械能逐漸變大，.「；'、、、

C.從產(chǎn)到。階段，速率逐漸變小?［點(diǎn)廠”十........二：。

D.從〃到N階段，萬有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功—

N

【答案】CD

【解析】從尸到。的時(shí)間為根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律可知，從尸到M運(yùn)動(dòng)的速率大于從M到。

運(yùn)動(dòng)的速率，可知P到/所用的時(shí)間小于:選項(xiàng)A錯(cuò)誤；海王星在運(yùn)動(dòng)過程中只受太陽的引力作用，

故機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律可知，從尸到。階段，速率逐漸變小，選項(xiàng)C

正確；從M到N階段，萬有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功，選項(xiàng)D正確；故選CD。

【考點(diǎn)定位】開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律；機(jī)械能守恒的條件

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解；關(guān)鍵是知道離太陽越近的位置行星運(yùn)動(dòng)的

速率越大；遠(yuǎn)離太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)，引力做負(fù)功，動(dòng)能減小，引力勢能增加，機(jī)械能不變。

8.我國自主研制的首艘貨運(yùn)飛船“天舟一號(hào)”發(fā)射升空后，與已經(jīng)在軌運(yùn)行的“天宮二號(hào)”成功對(duì)接形成組合

體。假設(shè)組合體在距地面高度為人的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球的半徑為R,地球表面處

重力加速度為g,且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。

，向心加速度大小為

IggR2

【答案】R

1R+1(R+.)

【考點(diǎn)定位】萬有引力定律的應(yīng)用

【名師點(diǎn)睛】本題難度不大，應(yīng)知道在地球表面附近物體所受重力和萬有引力近似相等，即“黃金代換”。

物理模型盤點(diǎn)一一近地衛(wèi)星模型

【模型概述】近地衛(wèi)星是貼著地球表面轉(zhuǎn)動(dòng)衛(wèi)星，其中萬有引力提供向心力，可計(jì)算出運(yùn)行速度等于第一

宇宙速度，運(yùn)行周期大約84分鐘。

典例《若一均勻球形星體的密度為引力常量為G,則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周

【答案】A

【解析】衛(wèi)星在星體表面附近繞其做圓周運(yùn)動(dòng)，則鬻=小唱凡7=(兀R3,p=?

知衛(wèi)星該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期T=37r

Gp

物理模型盤點(diǎn)一一同步衛(wèi)星模型

【模型概述】

一、地球同步衛(wèi)星

1.定義：相對(duì)于地面靜止且與地球自轉(zhuǎn)具有相同周期的衛(wèi)星叫地球同步衛(wèi)星.

2.“七個(gè)一定”的特點(diǎn)：

(1)軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面.

(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即7=24h.

(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.

(4)高度一定：由匕魯「=言-(7?十力)得地球同步衛(wèi)星離地面的高度人=3.6乂107111.

R-\~h1

(5)速率一定：/=A/^7=3.1X103m/s.

\jR+n

(6)向心加速度一定：由G—牝F=〃a得a=—才=期=0.23m/s?,即同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌

K~vnK~vn

道處的重力加速度.

(7)繞行方向一定：運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同.

二、解決同步衛(wèi)星問題的“四點(diǎn)”注意

#,、，十by八Mmv?4Jt

1.基本關(guān)系：要抓?。篏^—ma~in——inra—inr.

rr1

2.重要手段：構(gòu)建物理模型，繪制草圖輔助分析.

3.物理規(guī)律：

(1)不快不慢：具有特定的運(yùn)行線速度、角速度和周期.

⑵不高不低：具有特定的位置高度和軌道半徑.

(3)不偏不倚：同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方的特定的點(diǎn)上.

4.重要條件：

(1)地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，其自轉(zhuǎn)周期為1天(24小時(shí))，地球的表面半徑約為6.4X103km,表面重力加

速度g約為9.8m/s2.

(2)月球的公轉(zhuǎn)周期約27.3天，在一般估算中常取27天.

(3)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行半徑最小為r—6.4X103km,運(yùn)行周期最小為7=84.8min,運(yùn)行速度最大為v—

7.9km/s.

典例*2020年6月23日，北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星發(fā)射成功，北斗三號(hào)30顆組網(wǎng)衛(wèi)星已全部到

位，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座部署全面完成。北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由ME0衛(wèi)星(地球中圓軌

道衛(wèi)星)、IGS0衛(wèi)星(傾斜地球同步軌道衛(wèi)星)和GE0衛(wèi)星(地球靜止軌道衛(wèi)星)三種不同軌道的衛(wèi)星組

成。關(guān)于GE0衛(wèi)星論述正確的是()

A.衛(wèi)星處于平衡狀態(tài)B.衛(wèi)星的高度是一定的

C.衛(wèi)星的速度是不變的D.衛(wèi)星的速度大于第一宇宙速度

【答案】B

【解析】GEO衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，故不是處于平衡狀態(tài)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：

7f嗯=加答(R+h),其中R為地球半徑，h為同步衛(wèi)星離地面的高度.由于同步衛(wèi)星的周期必須與地

球自轉(zhuǎn)周期相同，所以T為一定值，根據(jù)上面等式得出：同步衛(wèi)星離地面的高度h也為一定值.由于軌道

半徑一定，則線速度的大小也一定，但是速度方向不斷變化，故B正確，C錯(cuò)誤.根據(jù)也可知，同步

衛(wèi)星的速度小于第一宇宙速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選B.

物理模型盤點(diǎn)一一萬有引力等于重力模型

【模型概述】三種情況重力等于萬有引力：

1：地球附近物體

2：忽略自轉(zhuǎn)

3：南北極點(diǎn)

典例X我國將在今年擇機(jī)執(zhí)行“天問1號(hào)”火星探測任務(wù)。質(zhì)量為力的著陸器在著陸火星前，會(huì)在火星表

面附近經(jīng)歷一個(gè)時(shí)長為冰速度由％減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球

的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g,忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個(gè)豎直向下的勻減

速直線運(yùn)動(dòng)，此過程中著陸器受到的制動(dòng)力大小約為()

A.m0.4g-->1B.m0.4g+—V.mfo.2^-—D.m0.2g+b]

k^0JIJI)I^0)

【答案】B

【解析】忽略星球的自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力G瞿"g,則"=等.條=0.1x焉=0.4,解得

Rg地“地R火

g火=0.4g地=0.4g,著陸器做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知0=%-a/。，解得。=一，勻減速

過程，根據(jù)牛頓第二定律得解得著陸器受到的制動(dòng)力大小為/=mg+%=MQ4g+l),ACD

錯(cuò)誤，B正確。故選B。

物理模型盤點(diǎn)一一衛(wèi)星模型相關(guān)物理量討論

【模型概述】

一、模型規(guī)律

1.由■=y了得出的速度是衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的速度，而發(fā)射航天器的發(fā)射速度要符合三個(gè)宇宙速

度.

2.做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供，并指向它們軌道的圓心一一地心.

3.在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體不是衛(wèi)星，它隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力由萬有引力和地面支持力的合力提供.

二、環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

（1）一種模型：無論是自然天體（如地球、月亮）還是人造天體（如宇宙飛船、人造衛(wèi)星）都可以看做質(zhì)點(diǎn)，圍

繞中心天體（視為靜止）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。

⑵兩條思路

①萬有引力提供向心力，即=（2?尸=鹿；

rr1

②天體對(duì)其表面物體的萬有引力近似等于重力，即竿=儂天體。

（3）三點(diǎn)提醒

①a、八。、T、r只要一個(gè)量發(fā)生變化，其他量也發(fā)生變化；

②a、V,。、7與環(huán)繞天體的質(zhì)量無關(guān)；

③對(duì)于人造地球衛(wèi)星，當(dāng)?shù)貢r(shí)，v=7.9km/s為第一宇宙速度。

⑷四點(diǎn)注意

①同步衛(wèi)星繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期。

②所有同步衛(wèi)星都在赤道上空相同的高度上。

③注意同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的區(qū)別與聯(lián)系。

④區(qū)別軌道半徑與距天體表面的高度。

典例V金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a

火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為■金、/地、/火。已知它們的軌道半徑A金〈印地〈年火，由此可以判定（）

A.a金＞乃地＞女火B(yǎng).乃火＞a地＞3金

C.r地〉r火〉r金D.r火地〉r金

【答案】A

【解析】AB.由萬有引力提供向心力G^=%a可知軌道半徑越小，向心加速度越大，故知A項(xiàng)正確，B錯(cuò)誤;

CD.由G翳=m'得v=伴可知軌道半徑越小，運(yùn)行速率越大，故C、D都錯(cuò)誤。

物理模型盤點(diǎn)一一三種天體運(yùn)動(dòng)速度比較

【模型概述】

1、橢圓軌道上比較速度：利用開普勒第二定律（面積定律）近日點(diǎn)速度大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度?。粡慕拯c(diǎn)到

遠(yuǎn)日點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)。

2、同一中心天體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星模型，利用結(jié)論“高軌低速周期長”結(jié)論，即軌道半徑越大速度越小。

3、變軌位置：利用曲率半徑大速度大，半徑小速度小的原理。

典例*兩顆人造衛(wèi)星繞地球逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星1、衛(wèi)星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，圓的半徑與橢圓

的半長軸相等，兩軌道相交于4、6兩點(diǎn)，某時(shí)刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確

的是（）

A.兩衛(wèi)星在圖示位置的速度也=-

B.兩衛(wèi)星在/處的加速度大小相等

C.兩顆衛(wèi)星在/或6點(diǎn)處可能相遇

D.兩衛(wèi)星永遠(yuǎn)不可能相遇

【參考答案】BD

【名師解析】吸為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)速度，速度最小，應(yīng)表示做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，-＞吸，故A錯(cuò)誤；兩

個(gè)軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到4點(diǎn)時(shí)，所受的萬有引力產(chǎn)生加速度a=6^/,加速度相同.故B正確；橢圓的半

長軸與圓軌道的半徑相同，根據(jù)開普勒第三定律知，兩顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期相等，則不會(huì)相遇，故D正確，C

錯(cuò)誤.

物理模型盤點(diǎn)一一雙星模型多星模型

1.模型特征

(1)多星系統(tǒng)的條件

①各星彼此相距較近。

②各星繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(2)多星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

2.雙星問題的“兩等”“兩不等”

⑴雙星問題的“兩等”

①它們的角速度相等。

②雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的。

⑵“兩不等”

①雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是它們連線上的一點(diǎn)，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與雙星間的距離是不

相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。

②由優(yōu)小毛產(chǎn)彳儂/冷知由于如與"Z2一般不相等，故廠1與「2一般也不相等。

3.雙星與多星模型對(duì)比及解題思路

“雙星”模型“三星”模型“四星”模型

Y-----L-----A

-r2-

才丈、"不、，界'

情境圖m：m'y—

r

0}!^2v!

\'、//氐二二』

-?

/,\'

!L/、L\/^'\

J之小)

L，/m鳴?

轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速

轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度相同，

運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)速度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半徑相

運(yùn)動(dòng)半徑一般不等

徑相等等

兩星間的萬有引力提供兩星做各星所受萬有引力的合力提供各星所受萬有引力的合力提供

受力特點(diǎn)

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

Gm1G77?

—X2cos45+而”=

12

Gm\m2Gmim2G《2Gni_Gm

922

乙2一加1電門￡2一根2,十(2r)-機(jī)。向Lma向

規(guī)律

Gm2GmM

32r2Xcos30°X2=ma向乙2X2Xcos30+r2—

ma向

LV2?L

關(guān)鍵點(diǎn)加。=加「片+-r

1222=￡廠―2cos30°一2乙或一2cos3。。

典例*雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的

勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星

系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼淖蟊叮瑑尚侵g的距離變

為原來的〃倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（）

解析：雙星間的萬有引力提供向心力。

設(shè)原來雙星間的距離為"質(zhì)量分別為M、m,圓周運(yùn)動(dòng)的圓心距質(zhì)量為根的恒星距離為r。

對(duì)質(zhì)量為根的恒星：%尹=根（亍J2-r

對(duì)質(zhì)量為A/的恒星：—r）

M+m4TV

——4K2L3

即7^=-----------

1GM+m

則當(dāng)總質(zhì)量為4（M+附，間距為〃=7/時(shí)，T=\%,選項(xiàng)B正確。

答案：B

［即學(xué)即練］

典例展（多選）宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為

機(jī)的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長為R,忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)

繞三角形中心。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力常量為G,則（）

Gm

A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為

每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為

B.P一…一電

每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為271

每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

解析：每顆星受到的合力為F=2G的sin60。=小G,,軌道半徑為廣

2Gm

mcor=nr~^~f解得〃=歹丁，顯然加速度a與m有關(guān),故A、

B、C正確。

答案：ABC

方法技巧多星問題的解題技巧，

1挖掘一個(gè)隱含條件：不論雙星還是三星在圓周上運(yùn)動(dòng)天體的角速度或周期相等；

2注意向心力來源分析：雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，三星或多星做圓周運(yùn)動(dòng),

向心力往往是多個(gè)星的萬有引力的合力來提供；

3區(qū)別兩個(gè)長度關(guān)系：圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和萬有引力中兩天體的距離是不同的，不能誤認(rèn)。

物理模型盤點(diǎn)一一黑洞模型

【模型概述】所謂“黑洞”，就是這樣一種天體：它的引力場是如此之強(qiáng)，就連光也不能逃脫出來。

典例*科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如

圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長軸約為1000AU（太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系

中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要

為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（）

A.4X104MB.4X106MC.4X103D.4xlOloM

【答案】B

【解析】可以近似把S2看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由圖可知，S2繞黑洞的周期T=16年，地球的公轉(zhuǎn)周期7o=l年，

S2繞黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R關(guān)系是r=10007?

Mm2?2

地球繞太陽的向心力由太陽對(duì)地球的引力提供，由向心力公式可知=rnRco1=燧（于）

G不

4兀2R3

解得太陽的質(zhì)量為M

GT0

同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對(duì)它的萬有引力提供，由向心力公式可知

G——=mrco=mr(——)

r~T

4萬2r3

解得黑洞的質(zhì)量為M="一

*GT2

綜上可得=3.90x106”

故選Bo

物理模型盤點(diǎn)一一暗物質(zhì)

【模型概述】暗物質(zhì)(DarkMatter)是一種比電子和光子還要小的物質(zhì)，不帶電荷，不與電子發(fā)生干擾，能

夠穿越電磁波和引力場，是宇宙的重要組成部分。暗物質(zhì)的密度非常小，但是數(shù)量龐大，因此它的總質(zhì)量

很大，它們代表了宇宙中26%的物質(zhì)含量，其中人類可見的只占宇宙總物質(zhì)量的5%不到(約4.9%)。暗物質(zhì)

無法直接觀測得到，但它能干擾星體發(fā)出的光波或引力，其存在能被明顯地感受到。

典例*我國發(fā)射的“悟空”探測衛(wèi)星,多年來積極開展了人類對(duì)暗物質(zhì)的觀測研究.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)宇宙空間中兩顆

質(zhì)量分別為0和30的星球繞其連線某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，理論計(jì)算的周期與實(shí)際觀測周期不符，且十=5;科學(xué)家認(rèn)

I觀測

為，在兩星球之間存在暗物質(zhì).假設(shè)以3?的星球其圓周轉(zhuǎn)動(dòng)為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì)，那么該

暗物質(zhì)質(zhì)量與另外的一星球E)質(zhì)量之比為0

A.2:3B.3:2C.16:25D.25:16

【答案】B

【解析】設(shè)兩星球間距為上，則根據(jù)萬有引力定律：”=3〃惇-J

L［理4

259Din2T

若有暗物質(zhì)，因均勻分布，根據(jù)萬有引力定律：號(hào)L+廣］=3〃巖?:

其中戶=5

1觀測

M3

聯(lián)立解得：一=—

m2

A.2:3與分析不符，故A錯(cuò)誤。

B.3:2與分析相符，故B正確。

C.16:25與分析不符，故C錯(cuò)誤。

D.25:16與分析不符，故D錯(cuò)誤。

物理模型盤點(diǎn)一一衛(wèi)星變軌

【模型概述】1、衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述：人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖

所示。

(1)為了節(jié)省能量,在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上。

(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大,萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道n。

(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道III。

2、物理量的比較：

速度:如圖所示,設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I和III上運(yùn)行時(shí)的速率分別為vi、vs,在軌道II上過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別

為VA、VBO在A點(diǎn)加速,則VA>V1,在B點(diǎn)加速,則V3>VB,又因V1>V3,故有VA>VI>V3>VBO

加速度:因?yàn)樵贏點(diǎn),衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道II上經(jīng)過A點(diǎn),衛(wèi)星的加速度都相

同，同理,經(jīng)過B點(diǎn)加速度也相同。

周期：設(shè)衛(wèi)星在I、II、III軌道上的運(yùn)行周期分別為「、4、T”軌道半徑分別為n、0（半長軸）、口，由開普

勒第三定律W=k可知TKT2〈T3。

3、變軌問題的兩種常見形式

（1）漸變：由于某個(gè)因素的影響使衛(wèi)星的軌道半徑發(fā)生緩慢的變化，由于半徑變化緩慢，衛(wèi)星每一周的運(yùn)動(dòng)

仍可以看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

①關(guān)鍵要點(diǎn)：軌道半徑r減小（近心運(yùn)動(dòng)）。

這種變軌運(yùn)動(dòng)的起因是阻力使衛(wèi)星速度減小，所需要的向心力減小了，而萬有引力大小沒有變，因此衛(wèi)星

將做近心運(yùn)動(dòng)，即軌道半徑r將減小。

②各個(gè)物理參量的變化：當(dāng)軌道半徑r減小時(shí)，衛(wèi)星線速度V、角速度3、向心加速度a增大，周期T減

小。

（2）突變：由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，

使其到達(dá)預(yù)定的軌道。

發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，通常先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I,使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為巴,在P點(diǎn)第一次

點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由vi增加到vz,使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓軌道II；衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3,

此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由V3增加到V4,使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道m(xù),繞地球做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)。

典例展如圖所示，一飛行器圍繞地球沿半徑為廠的圓軌道1運(yùn)動(dòng)，經(jīng)尸點(diǎn)時(shí)，啟動(dòng)推進(jìn)器短時(shí)間向后噴氣

使其變軌，軌道2、3是與軌道1相切于P點(diǎn)的可能軌道，則飛行器（）

A.變軌后將沿軌道3運(yùn)動(dòng)

B.變軌后相對(duì)于變軌前運(yùn)行周期變大

C.變軌前、后在兩軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)尸點(diǎn)的速度大小相等

D.變軌前經(jīng)過尸點(diǎn)的加速度大于變軌后經(jīng)過P點(diǎn)的加速度

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，飛行器經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，推進(jìn)器向后噴氣，飛行器線速度將增大，做離心運(yùn)動(dòng)，則軌道半

徑變大，變軌后將沿軌道2運(yùn)動(dòng)，由開普勒第三定律可知，運(yùn)行周期變大，變軌前、后在兩軌道上運(yùn)動(dòng)經(jīng)尸

點(diǎn)時(shí)，地球?qū)︼w行器的萬有引力相等，故加速度相等，故B正確，ACD錯(cuò)誤。

故選Bo

物理模型盤點(diǎn)——器常數(shù)的應(yīng)用

【模型概述】開普勒第三定律，通過學(xué)習(xí)牛頓萬有引力定律可以知道尋=瞿，這個(gè)規(guī)律在解題過程中可以當(dāng)

T24"

做結(jié)論應(yīng)用，使用模型是衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)、橢圓運(yùn)動(dòng)都可以，對(duì)于雙星模型也可以與二瞿，其中R代表兩個(gè)星

T24記

體之間距離，T代表一個(gè)星體周期（兩個(gè)星體周期相同），M代表的是兩個(gè)星體質(zhì)量之和。

典例*開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，根據(jù)開普勒定律，以下說法中正確的是

()

A.開普勒定律只適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，不適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)

B.若某一人造地球衛(wèi)星的軌道是橢圓，則地球處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上

C.開普勒第三定律土=左中的4值，不僅與中心天體有關(guān)，還與繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星（或衛(wèi)星）有關(guān)

T2

3

D.在探究太陽對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，得到了開普勒第三定律戰(zhàn)=左，它是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到證明的

【答案】B

【解析】A.開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)開普勒第一定律，若人造地球衛(wèi)星的軌道是橢圓，則地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故B正確；

C.開普勒第三定律式中的彳值，與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，與繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星（或衛(wèi)星）無關(guān)，故C

錯(cuò)誤；

D.開普勒第三定律是開普勒在觀察太陽系行星運(yùn)動(dòng)時(shí)得到的規(guī)律，在實(shí)驗(yàn)中不能驗(yàn)證，故D錯(cuò)誤。

故選B。

典例展利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊。目前，地球同

步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的56倍。假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目

的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()

A.lhB.4hC.8hD.16h

【答案】B