四川省雅安市2023-2024學年高三年級上冊第一次診斷性考試理科數(shù)學試題（含答案）

秘密★啟用前

遂寧市高2021級第一次診斷性考試

數(shù)學（理科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合/={引—3＜》＜2},8=*卜2+4%—540},則/口8=（）

A.0B.（-3,1]C.[-1,2）D.（-3,2）

2.復數(shù)z="+i,則歸=（）

1-i

A.1B.VIC.2D.4

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為2023,則輸出的歹值為（）

/輸抖/

1111

A.—B.-C.一D.-

16842

4.甲、乙兩個口袋中均裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機取一個球交換放入另一口袋,

則甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為（）

2541

-C-

A.3B.D.3

9-9-

已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，若為+%+。9=9也好8=3行，則&7牛

5.)

1+。2b8

3D.3

A.2B.V3C.一

23

6.如圖，正方形48CD的邊長為4,E為5。的中點，尸為CD邊上一點，若則|/川=

()

A.V17B.275C.2A/6D.5

7.“°=—生”是“函數(shù)y=sin（2x—0）的圖象關于直線》=《對稱”的（）

66

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

8.已知斗鳥為雙曲線C:——3=1伍〉01〉0）的左、右焦點，點4在。上，若陽a=2內聞，

=30°,AAFF的面積為百，則的方程為（

ZAFXF2i26C)

22222222

A.匕-匕=1B,匕-匕=1C,土-匕=1D.土-匕=1

96366963

9.甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動,現(xiàn)有48。,。,￡五個研學基地供選擇，每

個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

10.若點尸是函數(shù)/（x）=2?0sx圖象上任意一點,直線/為點尸處的切線，則直線/傾斜角的取值范圍

sinx+cosx

是（）

7171式2%2n

A.B.M3C.D.

11.如圖，在正方體48CD-481GA中，點尸是線段/片上的動點（含端點），點0是線段ZC的中點,

設尸。與平面ZCDi所成角為6,則cos。的最小值是（）

12.己知O為坐標原點，片，鳥是橢圓。：=+二=1伍〉6〉0）的左、右焦點，48分別為C的左、右頂

ab

點.尸為。上一點，且尸軸，直線4P與歹軸交于點直線應攸與尸巴交于點0,直線片。與歹

軸交于點N.若［0N|=則。的離心率為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

y<4~x,

13.已知實數(shù)xj滿足<y+220,則2x+3y的最大值為.

jWx+2,

14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)：.

①偶函數(shù)；②最大值為2；③最小正周期是萬.

15.在正四棱臺4BCD-481GA內有一個球與該四棱臺的每個面都相切（稱為該四棱臺的內切球），若

4四=2,48=4,則該四棱臺的外接球（四棱臺的頂點都在球面上）與內切球的半徑之比為.

16.若點尸為△4BC的重心，35sin^-P2+21sirL8-P5+15sinC-PC=0,貝|cos/R4C=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某工廠注重生產工藝創(chuàng)新，設計并試運行了甲、乙兩條生產線.現(xiàn)對這兩條生產線生產的產品進行評估，在這

兩條生產線所生產的產品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結果(“優(yōu)”或“良”)制成如下所示列

聯(lián)表：

良優(yōu)合計

甲生產線4080120

乙生產線80100180

合計120180300

(1)通過計算判斷，是否有90%的把握認為產品質量與生產線有關系？

(2)現(xiàn)對產品進行進一步分析，在測評結果為“良”的產品中按生產線用分層抽樣的方法抽取了6件產品.若

在這6件產品中隨機抽取3件，求這3件產品中產自于甲生產線的件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

附表及公式：

0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

其中K-=--------------------------=a+Z)+c+<7.

(a+b)^c+d)^a+c)[b+d)

18.(12分)

已知數(shù)列｛%｝與正項等比數(shù)列也｝滿足%=log2Z)?(neN*),且.

(1)求｛%｝與也｝的通項公式；

(2)設%=4?b,，,求數(shù)列｛g｝的前〃項和S".

從①&=16,4=128；②&=4,4-=0這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.(12分)

已知O為坐標原點，過點P(2,0)的動直線I與拋物線C:/=4x相交于48兩點.

(1)求與.礪；

(2)在平面直角坐標系X。中，是否存在不同于點尸的定點。，使得//。尸=/8。尸恒成立？若存在，求

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

20.(12分)

如圖，在三棱柱48C—4用。]中，直線G8J_平面平面Z4G。1?平面55]GC.

小

B

(1)求證：AC±BBX；

（2）若zc=8C=8G=2,在棱4用上是否存在一點尸，使二面角尸—5C—G的余弦值為七°?若

BP

存在，求一^的值；若不存在，請說明理由.

44

21.（12分）

已知函數(shù)/（X）=+2sinx-xcosx（其中a為實數(shù)）.

（1）若a=—'，工e［。，萬］,證明：/（x）?0；

（2）探究/（x）在（-肛］）上的極值點個數(shù).

（二）選考題：共10分。請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

_c..［x=tcosa,

在直角坐標系中，已知曲線C：x2+y2=x+v（其中y>0）,曲線G：〈。為參數(shù)，

［y=/sina

x=-Zsintz,Ji

f>0）,曲線。2：<a為參數(shù)，/>0,0<a<一）.以坐標原點O為極點，X軸的正半軸為極軸

［y=tcosa2

建立極坐標系.

（1）求。的極坐標方程；

（2）若曲線C與G，G分別交于48兩點，求△048面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

設函數(shù)/（x）=|2x—2|+|x+2］.

（1）解不等式f（x）<5-2x；

（2）令的最小值為T,正數(shù)a/滿足。2+/+26=7,證明：a+b<2s/2-l.

理科數(shù)學參考答案

1.B2,C3.D4.B5.C6.D7.A8.B9.C10.C11.A12,B

13.11

14.了（1）=2cos2式（答案不唯一，/'（久）=2|sinx\,fQi）=2sin?久，/（久）=|sinx\+1,/（久）=

cos2JC+1等均可）

13

16?豆

300XC40X100-80X80）2

17.【解析】(1)由題,即蝶心3.704>2.706,4分

120X180X120X180

因此，有90%的把握認為產品質量與生產線有關系...............................5分

(2)6件產品中產自于甲、乙生產線的分別有2件和4件，則X可能值為0,1,2.

則P(X=0)=￡=/=；；P(X=l)=股=||=得/3=2)=盟=/=；.

則X的分布列為

X012

131

P

10分

所以?X）=。義51+1X2?2*1=L.......................................12分

18.【解析】(1)若選①，

3

因為數(shù)列｛"｝是正項等比數(shù)列，設公比為g,所以b6=b3q,

又d=16,4=128,所以128=16/,

解得q=2,..................................................................3分

所以仇=￡=￥=4,所以6“="g"T=4?2"T=2"+L

所以an=log2^n=??+l.

故數(shù)列｛a"的通項公式為+的通項公式為d=2-L..................6分

若選②，

由仇一仇仇=0,得仇=仇仇.

因為數(shù)列｛勿｝是正項等比數(shù)歹!I，設｛%｝的公比為9,所以仇q4m仇.仇

因為仇=4,所以/=4,又兒〉0,所以q=2,..........................................................................3分

所以-2〃T=2"+I,

所以a,=log2A=〃+l.

數(shù)列的通項公式為猴=〃+1,{6〃}的通項公式為a=2-1.........................................6分

(2)c?=an?bn=(w+l)?2”+i,

所以S〃=2?22+3?23+4?24H——Hk+1)?2w+1,.........................................................7分

2S〃=2?23+3-24H------Vn?2n+1+(/z+l)?2n+2.

234

兩式相減，得一Sn=2?2+2+2+…+2"1—(/?+1)?2"+2,........................................9分

所以一S.=2+(2]+22+23+24H——F2〃+i)—(%+1)?2n+2

故S〃=72-2〃+2.........................................................................................................................12分

19?【解析】(1)由題知，直線，與,軸不垂直，

故可設直線I的方程為久=加)+2,4(久1,N1),6(久2，)2).

(丁=4式，

由，得一4心一8=0?...........................................................................................2分

［久=根/+2

顯然，△=16m2+32〉0,

于是丫1+丫2=4機，)1)2=—8,11久2=m乂乂=4...................................................................4分

J

所以京?OB=x1x2ryiy2=-4............................................................................................5分

(2)當直線41*軸時，Z：?=2,A(2,2M"),B(2,—29),

故當NAQP=/BQP時，點QG了軸............................................6分

當直線I與z軸不垂直時，由拋物線的對稱性知，滿足條件的點QGz軸，設Q(n,O),

由NAQP=/BQP得為匐+左陶=0,即^^+^^=0,.................................................8分

JCI—nJC2—n

整理得,1(12—九)+了2(11-九)=0,即

31^my2+2—〃)+)2(Wi+2—7?)—0,

2my1y2+(2—n)(y1+y2)=0..............................................................................1。分

故―16m+4(21%)機=0,解得n=-2.

綜上，存在定點Q(—2,0)滿足條件............................................12分

20.【解析】（1）在平面BBJGC中作于H,

因為平面AAiGC，平面B3GC,

且平面AAiGCn平面BBiGC=CCi,

所以BH,平面AAiGC,從而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GBJ_平面ABC,ACU平面ABC,

所以ACLGB

又因為BGABH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此..............................................................5分

（2）由（1）可知，CA,CB,B3兩兩垂直，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系.

則A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,2,2),B1(0,4,2).BTX=BA=(2,-2,0).

設布=入(2/，一2儲0),4C[0,1],

貝！]P(2/,4——2a,2)..........................................................................

設平面PBC的一個法向量為=(x,y,N),

因為前=(2入，2—2/，2),丸=(0,2,0),

?BF=0,(2Mr+(2—2/)y+2z=0,

所以《一即J

[n1?CB=0,〔2_=0,

\z=-Xxf

則有《

b=。.

令1=1,得〃i=(1,0,—A).10分

而平面BCCi的一^個法向量可以是血=（1,0,0）,

I"1,〃2I_(1,0,—A),(1,0,0)_3.4曰、—1

則ICOS〈〃1,〃2〉I一〕”/?區(qū)廠7WF解付久=可，

即P為棱&A的三等分點,考.......................................12分

21.【解析】（1）由題知a=一,時"（了）=一義13+2sinj—icosi（。，「

貝|J/'(1)=-+zsinz+cos①，令g(z)=/'(2)=-+zsini+cosz,

所以g'(i)=—3K+KCOSK=I(COSI-3X0,

則g(z)即/'⑺在(0企)上單調遞減..........................................2分

又/，(0)=1,/($)=—.x")+5=5(1—與)<0,故3G(0,r)/(力1)=0,

當0＜久＜11時,/（1）〉0,/（久）單調遞增;久1＜久＜￡■時"'（1）V0"（i）單調遞減,

所以尸巧為了⑺在（0,手）上的極大值點，又f（0）=0J傳）=—需+2〉0,

所以，當Q=一（0,5）時"（x）>o........................................4分

（2）由/（jc）=axz+2sinjr—icosi,得/z（JC）—3tzJC2+cosjr+jcsinx,

依題意，只需探究f\x）=3ax2+cosJ:+j:sinx在（一兀,兀）上的零點個數(shù)即可,

由于/（一Z）=/（%）,則/（］）為偶函數(shù),/（。）=1,

故只需探究產（1）在（。,兀）上的零點個數(shù)即可.

令"（％）=/'（￡）—3aJ：2+851+15由％,貝?|U（JC）=6QK+J:COSX=R（6Q+COS%）,

（I）當6Q>1,即■時，6Q+COSZ>0,此時M（z）20在（0,兀）恒成立，

6

則〃（I）即/（］）單調遞增，故/（^）>/（0）=1,

此時/（%）在（0,兀）上無零點，則/（%）在（一兀，兀）上的極值點個數(shù)為0...............6分

（H）當一IV6a<1,即一4~VQ<4■時，三%oG（0,兀），使得20（6a+cosx0）=0,即cos］。=—6a,

o6

可知OVzVzo時，“'（z）〉0；々<1<兀時，〃'（z）V0,

所以〃（為即可以）在（0,充0）上單調遞增，在（死，穴）上單調遞減,....................7分

由于（兀）=3〃*—1,

①若/（兀）=3。兀2—1>0,即4時，

O7tO

r（i）在（0,汽）上沒有零點，則/（力）在（一兀,兀）上沒有零點，

故此時了（久）在（一兀,兀）上的極值點個數(shù)為0.....................................8分

②若/z（7C）—3<27t2—K0,即一《<a<時，

0O7t

/'（了）在（0,7t）上有1個零點，則/'（G在（-KF）上有2個零點，

所以，八了）在（一“，式）上的極值點個數(shù)為2........................................10分

（W）當6a<—1,即a&-4■時，V久€（0,N）,，（z）<0，

6

所以“（H）即y'（z）單調遞減，由于/（0）=1"‘（兀）=3明2—1<0,

/'（了）在（0,無）有且僅有1個零點，則/'（了）在（一“,無）上有2個零點，

此時/（Z）在（一心元）上的極值點個數(shù)為2.

綜上所述：當工時，了（了）在（一無，冗）上的無極值點；時，”工）在（一無，足上的極值

07t07T

點個數(shù)為2....................................................................12分

22.【解析】(1)因為x=pcos(9,y=psin仇

由11+),得，=Ipcosdl+psinj..........................................2分

由V〉。知，p=+62〉0,且2%/〈個〈2上穴+穴，

故p=|cos+5出/2上冗〈0<2日入+兀，46Z..........................................4分

(范圍寫成0〈。</不扣分)

(Z=^COSQ,

(2)曲線G：'(方為參數(shù)">0)的極坐標方程為8