廣東省潮州市2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線￡=1（?！?力〉0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,3,雙曲線的右焦點(diǎn)產(chǎn)為（2,0）,點(diǎn)尸在過(guò)尸且垂直

于x軸的直線/上，當(dāng)AABP的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）

22

2.設(shè)耳，工分別是雙曲線三-2=1（°>0/>0）的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)P,使/用譙=60。，且周=2儼閶,

ab

則雙曲線的離心率為（）

A.73B.2C.75D.76

_1+Z

3.已知復(fù)數(shù)z=1為z的共物復(fù)數(shù)，則一二()

Z

4.設(shè)4=log23,b=log46,c=5~°i,貝！I()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

5.設(shè)全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>l},則A=

A.{x[0<x<l}B.1x|0<x<1}C.1x[l<x<2jD.{x[0<x<2}

6.已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）

7.數(shù)列｛4｝滿足:4+2+4=4+1，％=1，“2=2，S〃為其前〃項(xiàng)和，貝！|$2019=()

A.0B.1D.4

22

8.雙曲線C”二—二=1(〃>0,Z?>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為/(c,0)(c>0),且雙曲線G的兩條漸近線與圓g：

ab

*

(%-c)2+y2=?均相切，則雙曲線C］的漸近線方程為()

A.x±y/3y=0B.A/3X±y=Q

9.函數(shù)〃x)=二+1)的大致圖象是

10.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其V-/曲線如圖所示，則該物體在」s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.

2

-1

八r//(m-s)

0136r/s

11.若非零實(shí)數(shù)”、b滿足2°=3J則下列式子一定正確的是（）

A.b>aB.b<a

C.|^|<|?|D.同〉同

12.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”（注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除了1和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)），在不

超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)。、b,則4<3的概率是（）

1412

A.—B.—C.—D.一

51535

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x<3

13.若滿足卜+，22,則目標(biāo)函數(shù)z=y—2x的最大值為.

y<x

14.在ABC中，角A,瓦C的對(duì)邊分別為a,4c,且2bcosB=acosC+ccosA,若ABC外接圓的半徑為38,

3

則ABC面積的最大值是.

15.過(guò)直線4x+3y—10=0上一點(diǎn)尸作圓d+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,則以.1力的最小值是?

16.已知數(shù)列｛4｝滿足%=l,%=g對(duì)任意心2,〃eN*,若4（a,i+24+J=34_q+i，則數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）我國(guó)在2018年社保又出新的好消息，之前流動(dòng)就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.社保改革后將簡(jiǎn)化手續(xù)，深得流動(dòng)就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時(shí)間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時(shí)間［。，2）[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

（1）若300名辦理社保的人員中流動(dòng)人員210人，非流動(dòng)人員90人，若辦理時(shí)間超過(guò)4天的人員里非流動(dòng)人員有60

人，請(qǐng)完成辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間

與是否流動(dòng)人員”有關(guān).

列聯(lián)表如下

流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)

辦理社保手續(xù)所需

時(shí)間不超過(guò)4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時(shí)間超過(guò)4天

總計(jì)21090300

(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng)，提高效率，從抽取的300人中辦理時(shí)間為［8,12)流動(dòng)人員中利用分層抽樣，抽取12名流動(dòng)

人員召開(kāi)座談會(huì)，其中3人要求交書(shū)面材料，3人中辦理的時(shí)間為［10,12)的人數(shù)為求出自分布列及期望值.

附：K、_______幅―_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

j)0.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

18.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線「的焦點(diǎn)產(chǎn)在y軸正半軸上，圓心在直線y上的圓￡與X軸相切，

2

且E,b關(guān)于點(diǎn)/(—1,0)對(duì)稱.

(1)求E和「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M的直線/與E交于4B,與「交于C,D,求證：|CD|>J5|AB|.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ox-(a+l)ln(x+l).

(1)。=1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)/(%)的最小值為g(。)，若g(a)々恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

x=3cos(p

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為1.(9為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正

y=sincp

TT

半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為(2,-),半徑為1的圓.

2

(1)求曲線G的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)M為曲線Ci上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍.

21.（12分）已知函數(shù)〃司=及-時(shí)-|尤+2|（mcR）,不等式“尤―2"0的解集為（F,4].

（1）求加的值；

（2）若a>0,Z?>0,C>3,且a+2Z>+c=2〃z,求（。+1）（。+1乂。-3）的最大值.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=lnx.

⑴設(shè)g（x）=等，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn).

（2）若函數(shù)心）="-歹。-1）在區(qū)間上不單調(diào)，證明：-+-^->a.

'7aa+1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,何（加>0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展開(kāi)利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線

計(jì)算得到答案.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,相）>0）,由于|A卻為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNAP3取得最大值時(shí)，AAP5的外接

圓面積取得最小值，也等價(jià)于tanNAPB取得最大值，

因?yàn)閠anNAPF=0—，tanZBPF=^^,

mm

2+〃2—a

所以tanN”5=tan（/AW-4相）=弓”琮,

m+

1+丁./m2a=

當(dāng)且僅當(dāng)加=匕（加>0）,即當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，等號(hào)成立，

m

此時(shí)44PB最大，此時(shí)APB的外接圓面積取最小值,

22________

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2))，代入二―夫=1可得應(yīng)，b=^c2-a2=72-

ab

22

所以雙曲線的方程為L(zhǎng)—匕=i.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

2.A

【解析】

由歸居|=2歸局及雙曲線定義得歸國(guó)和忸耳|(用a表示)，然后由余弦定理得出c的齊次等式后可得離心率.

【詳解】

由題意力尸耳|=2|叫.?.由雙曲線定義得|尸耳|—|「詞=24,從而得歸制=4a,歸閭=2a,

在APKE中，由余弦定理得(2c)2=(4ay+(2a)2—2x4ax2acos60。，化簡(jiǎn)得e=$=百.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用。表示出P到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出。的齊

次式.

3.C

【解析】

求出直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).

【詳解】

1+z_2-i_l-3i

z~l+i~2'

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軻復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較。力，再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

b=-01因此a>b>c,故選：

<2=log23G（l,2）,log46=log2A/6G（1,log23）,c=5^（0,1）,A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

分析：由題意首先求得CR5,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：CRB={X\X<1},

結(jié)合交集的定義可得：An（QB）={0<x<l}.

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

6.C

【解析】

試題分析：通過(guò)對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.

考點(diǎn)：三視圖

7.D

【解析】

用〃+1去換4+2+an=an+1中的%得4+3+4+1=??+2,相加即可找到數(shù)列{4}的周期，再利用

$2019=336s6+%+%+計(jì)算.

【詳解】

由已知，4+2+4=4+1①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得4+3=一為，

從而4+6=。"，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以S6=0,

S2019=336（%+ci]++%）+%+/+43=0+1+2+1=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求S2019時(shí)，先算出一個(gè)周期的和即$6,再將S2019表示成336s6+%+/+。3即可，本題

是一道中檔題.

8.A

【解析】

be

化簡(jiǎn)得到儲(chǔ)=得到答案.

根據(jù)題意得到I，382，

d=Ja2+b2

【詳解】

h,bec

根據(jù)題意知：焦點(diǎn)F(c,O)到漸近線y=-x的距離為d=廠~,

a+b~幺

故1=3/,故漸近線為x±gy=O.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

9.A

【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.

【詳解】

由題意可知函數(shù)/(九)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<Q,可排除D選項(xiàng)；

當(dāng)x=l時(shí)，f(l)=伉2,當(dāng)x=3時(shí)，/(3)=曙,ln2>*,

即/⑴>子()，可排除C選項(xiàng),

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.C

【解析】

1「6

由圖像用分段函數(shù)表示V(f),該物體在一S~6s間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分s=JiV?)df表示，計(jì)算即得解

22

【詳解】

由題中圖像可得,

2/,0<?<1

v⑺=<2,1<Z<3

由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得

s=J；v?)df=J：2tdt+J：2df+J：f

=產(chǎn)|；+2存［產(chǎn)+力=;(m).

149

所以物體在一s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程是一m.

24

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

11.C

【解析】

令2〃=3"=/，貝〃>0，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得。、b后，然后取絕對(duì)值作差比較可得.

【詳解】

令2"=3"=/，貝！I/>0,/W1,。=log1=~~~,b=log1=~~,

2一lg23lg3

川間」lgd|lgf|Jg4(lg3-lg2)

>0,因此，同〉網(wǎng).

111lg2lg3Ig2-lg3

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題.

12.B

【解析】

先列舉出不超過(guò)15的素?cái)?shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)。、b,

滿足卜一4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

不超過(guò)15的素?cái)?shù)有：2、3、5、7、11、13,

在不超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（西）-/（4）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15種情況,

其中，事件“在不超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)。、b,且心-耳<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4種情況，

4

因此，所求事件的概率為。=百.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率的計(jì)算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答

案.

【詳解】

x<3

由約束條件（x+y>2作出可行域如圖，

y<x

4y

化目標(biāo)函數(shù)Z=y—2x為y=2x+z,

由圖可得，當(dāng)直線y=2x+z過(guò)點(diǎn)3時(shí)，直線在y軸上的截距最大，

由,得，即5(1,1),貝也有最大值z(mì)=l—2=—1,

U=yb=i

故答案為-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”:

(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的

目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

14.G

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合范圍Be(0,%)可求3的值，利用正弦定理可求力的值，

進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求4的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：2Z?cosB=acosC+ccosA,

由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

A+5+C=TT,

/.sin(A+C)=sinB,

171

又BG(0,^),/.sinjB^O,/.2cosB=l,即cos3=—，可得：B=—，

23

1.ABC外接圓的半徑為2叵，

3

,b2一

".7V~*3，解得匕=2,由余弦定理廿=々2+02-2accos6，可得/+°?-4=4,又。2+。2..2就，

sin—

2

/.4-a2+c2-ac..2ac-ac-ac(當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào))，即最大值為4,

ABC面積的最大值為工x4sinB=月.

2

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)

用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

15.3

2

【解析】

由切線的性質(zhì)，可知網(wǎng)=網(wǎng)

,切由直角三角形Hl。，PBO,即可設(shè)|PA|=x,ZAPO=tz,進(jìn)而表示cosa,由圖

像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍，再用陽(yáng)。的式子表示PA.PB，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.

【詳解】

由題可知,|PA|=|PB|,設(shè)=由切線的性質(zhì)可知PO=J7W，則

x%2

cosa-,cos2a=-z——

爐+1

|4x0+3x0-10|

顯然產(chǎn)02%”==2、貝!I＞兀2+1N2=＞＞之垂或x?—石(舍去)

V42+32

2_[

因?yàn)?M?囪cosNAPO*cos2a=x2-(2cos2a-l)=x2-

x+1

2

22x2

=x——-——=x_2=心1)+^——3

21-忌x2+lx+1x+1V7x2+l

____2

令/=爐+1/24,貝！=/+7—3,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間［4,內(nèi)）上單調(diào)遞增，所以

【點(diǎn)睛】

本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函

數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

【解析】

由an(見(jiàn)T+2。用)=34T4+I可得---------=2(---------),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得--------=2”,再利用

an+lanan1

累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

/\1111、

由4+勿”+J=3a,i4+i,得二-----=2(--—-)

Un+\UnUnUn-1

11c11、

------=2,數(shù)列｛r---------｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2,

%%an+lan

———-=2n,n>2,-——L=2"T,

aaa

4+1nnn-l

1-2”

=2"T+2"-2++2+1==2"-l,

1-2

,11

"L[l,滿足上式，右門(mén).

故答案為:一：.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

3

17.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有；(2)分布列見(jiàn)解析，一.

4

【解析】

(D根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算出K?的觀測(cè)值，即可進(jìn)行判斷;

(2)先計(jì)算出時(shí)間在［8,10)和［10,12)選取的人數(shù)，再求出J的可取值，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列,

結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動(dòng)人員210人，非流動(dòng)人員90人，所以辦理社保手續(xù)

所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表如下:

辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表

流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)

辦理社保手續(xù)所需

453075

時(shí)間不超過(guò)4天

辦理社保手續(xù)所需

16560225

時(shí)間超過(guò)4天

總計(jì)21090300

結(jié)合列聯(lián)表可算得K。=3。。；；黑山厘=詈.4.762>3,841.

有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).

⑵根據(jù)分層抽樣可知時(shí)間在［8,10)可選9人，時(shí)間在［10,12)可以選3名,

故&=0,1,2,3,

C321C2C'27

則%=0)=m=一，

a55a55

c'c227c0c31

%=2)=號(hào)二=——，%=3)=」^=——，

%220%220

可知分布列為

0123

2127271

P

5555220220

ii、c21,27c27c13

可知E(4)=0x-----i-lx-----i-2x------i-3x-----=—.

55552202204

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中K?的計(jì)算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.

222

18.(1)(%+2)+(3；+l)=l,x=4y;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

分析：（1）設(shè)「的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y=2py,由題意可設(shè)E（2a,a）.結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得「的標(biāo)準(zhǔn)方程為

%2=4了.半徑廠=M=1,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+2）2+（y+l『=l.

,由弦長(zhǎng)公式可得n兇=2,.

（2）設(shè)/的斜率為左，則其方程為丁=左（％+1）聯(lián)立直線與拋物線的方程有

必―4日—4左=0.設(shè)C（%,%）,￡＞（%,%），利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得ICDkJFTTN—々|

="1.際.則用=2（1+1）；伊+人）＞即卬〉陽(yáng)的.

\AB\kk

詳解：（1）設(shè)「的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=2py,則尸

已知E在直線y=gx上，故可設(shè)￡（2a,a）.

2(2+0

=-1,

2

因?yàn)镋］關(guān)于〃（—1,0）對(duì)稱，所以＜p

----FCL

2二0,

2

CL=-1,

解得＜

、p=2.

所以「的標(biāo)準(zhǔn)方程為好=4%

因?yàn)镋與x軸相切，故半徑廠=時(shí)=1,所以￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2y+（y+l）2=l.

（2）設(shè)/的斜率為左，那么其方程為y=Z（x+l）,

則E（-2,-l）至I"的距離d=^—±,所以|=241—/=2.

x=4y,

由，/，、消去丁并整理得：x2-4kx-4k^0.

y=k(x+1)

設(shè)。(玉,%),。(X2，%)，則石+々=4左,1為2=一4-，

那么|?！?gt;|=〃2+1%-々|="2+1?，(石+%)2—=4&+T.hk?

\CDf16(P+1)(P+k)_2(k2+1)2(k2+k)2k_

所以詢=——=I>了2

k2+l

所以|CD「>2|AB「，BP|CD|>V2|AB|.

點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；

⑵有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|A3|=xi+

X2+p,若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

19.(1)/(X)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(—1,1)；(2)t>0.

【解析】

(1)求出函數(shù)/(》)=依-(。+1)加(》+1)(。>-1)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)。的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響，對(duì)參數(shù)分類，再研究

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)的結(jié)論，求出g(a)的表達(dá)式，由于g(a)〈”恒成立，故求出g(a)的最大值，即得實(shí)數(shù)/的取值范圍的

左端點(diǎn).

【詳解】

解：(1)解：尸(x)=a—但=^^(x>—l),

X+lX+1

當(dāng)。=1時(shí)，f(x)==,解/'(x)>。得/(尤)的增區(qū)間為(l,y),

解f(x)<0得/(X)的減區(qū)間為(-1,1).

(2)解：若。>0,由尸(%)>。得%>工，由尸(x)<0得—1<%<!，

aa

所以函數(shù)/(x)的減區(qū)間為1-if,增區(qū)間為1,+[；

g(a)-=1-(tn-1)In,

因?yàn)椤?gt;0,所以g(〃)<%,：v0,—fin—1Inf1H—]—<0

aaa\ci)\aJa

令h(x)=x—(1+x)ln(l+x)—tx(x>0),則h(x)<0恒成立,

由于〃'(x)=-ln(l+x)-Z,

當(dāng)?NO時(shí)，"(x)<0,故函數(shù)/i(x)在(0,+s)上是減函數(shù),

所以〃(x)<〃(0)=0成立;

當(dāng)/<0時(shí)，若〃(％)>0則0<x</—1，故函數(shù)MO在(0,/—1)上是增函數(shù),

即對(duì)0<%<"'-1時(shí)，>〃(0)=。，與題意不符;

綜上，/20為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函

數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問(wèn)題，此類題運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化

靈活，解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò)，故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì).

*2223

20.(1)Ci：—+y=l,C2：x+(y-2)=1；(2)[0,^+1]

92

【解析】

(I)消去參數(shù)(P可得G的直角坐標(biāo)方程，易得曲線Ci的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),可得Ci的直角坐標(biāo)方程；(II)

設(shè)M(3cos(p,sin(p),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得IMC2I的取值范圍，結(jié)合圓的知識(shí)可得答案.

【詳解】

X2

(1)消去參數(shù)中可得C1的普通方程為\_+y2=l,

兀

???曲線C2是圓心為(2,半徑為1的圓，曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),

2

/.C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=1；

(2)設(shè)M(3cosq),sin(p),則IMC2I=J(3cos(p)2+(sirup-

=J9cos2中+sin2(p-4sinp+4=^-8sin2(p—4sinp+13

1、227

=^-8(sin(p+-)+—,

?:-l<sin<p<l,.,.1<|MC2|<,

2

由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1-1=0,最大值為述+1,

2

的取值范圍為[0,垃+1].

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識(shí)和極坐標(biāo)方程，屬中檔題.

21.(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解集，得到關(guān)于，”的方程,求出他的值即可；

⑵由⑴知機(jī)=6可得,“+26+c=12,利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式a+b+c>3痂，構(gòu)造和是定值即可求出

(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.

【詳解】

(1)Vf(x)=\x-rr^-\x+2\,

/(x-2)=|x-m-2|-|x-2+2|,

所以不等式%—2)之0的解集為(-切,4],

即為不等式上―機(jī)―2|一忖>0的解集為(―，4],

根-祖-2|2國(guó)的解集為(-8,4],

即不等式(x-m-2)2>x2的解集為(―，4],

化簡(jiǎn)可得,不等式(加+2)(m+2-2x)>0的解集