多旋翼飛行器設(shè)計(jì)與控制理論 -第05講-坐標(biāo)系和姿態(tài)表示V2

多旋翼飛行器設(shè)計(jì)與控制

第五講坐標(biāo)系和姿態(tài)表示2024/5/282東方智慧渾天儀2024/5/283歐拉角、旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)三種姿態(tài)表示的變化與機(jī)體角速度的關(guān)系？核心問(wèn)題大綱1.坐標(biāo)系2.歐拉角3.旋轉(zhuǎn)矩陣4.四元數(shù)5.本講小結(jié)2024/5/2841.坐標(biāo)系2024/5/285

右手定則如所上圖示，右手的拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指所指示的方向即是z軸的正方向。進(jìn)一步，如上圖所示，要確定旋轉(zhuǎn)正方向，用右手的大拇指指向軸的正方向，彎曲四指。那么四指所指示的方向即是旋轉(zhuǎn)正方向。本講采用的坐標(biāo)系和后面定義的角度正方向都是沿用右手定則。圖5.1右手定則下的坐標(biāo)軸和旋轉(zhuǎn)正方向1.坐標(biāo)系2024/5/286地球固聯(lián)坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系定義圖5.2機(jī)體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的關(guān)系圖地球固聯(lián)坐標(biāo)系用于研究多旋翼飛行器相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，確定機(jī)體的空間位置坐標(biāo)。它忽略地球曲率，即將地球表面假設(shè)成一張平面。通常以多旋翼起飛位置或者地心作為坐標(biāo)原點(diǎn)。先讓軸在水平面內(nèi)指向某一方向，軸垂直于地面向下。然后，按右手定則確定軸。機(jī)體坐標(biāo)系與多旋翼固連，其原點(diǎn)取在多旋翼的重心位置上。軸在多旋翼對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)指向機(jī)頭（機(jī)頭方向與多旋翼+字形或X字形相關(guān)）。軸在飛機(jī)對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)，垂直軸向下。然后，按右手定則確定軸。右下標(biāo)e表示Earth，下標(biāo)b表示Body1.坐標(biāo)系2024/5/287

地球固聯(lián)坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系定義圖5.2機(jī)體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的關(guān)系圖定義如下三個(gè)單位向量在地球固聯(lián)坐標(biāo)系中，沿著軸

的單位向量可以表示為

。在機(jī)體坐標(biāo)系下，沿著軸的單位向量滿(mǎn)足(注：左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示)在地球固聯(lián)坐標(biāo)系中，沿著軸的單位向量表示為(注：左上標(biāo)e表示向量在地球固聯(lián)坐標(biāo)系的表示)2024/5/288圖5.3偏航角、俯仰角與滾轉(zhuǎn)角分步轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖可以通過(guò)轉(zhuǎn)換繞軸分別旋轉(zhuǎn)歐拉角將地球固聯(lián)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)到機(jī)體坐標(biāo)系。2.歐拉角

歐拉角定義2.歐拉角2024/5/289

歐拉角定義圖5.4歐拉角直觀表示示意圖(x軸黃色，y軸綠色，z軸藍(lán)色)2.歐拉角2024/5/2810圖5.5固定翼飛機(jī)歐拉角示意圖

歐拉角定義2.歐拉角2024/5/2811

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率為那么？2024/5/2812

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系如果機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率為因此有注：左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示2.歐拉角2.歐拉角2024/5/2813

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系進(jìn)一步可以得到奇異性問(wèn)題其中當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/5/2814

旋轉(zhuǎn)矩陣定義旋轉(zhuǎn)矩陣中的向量滿(mǎn)足左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示左上標(biāo)e表示向量在慣性坐標(biāo)系的表示定義旋轉(zhuǎn)矩陣為右上標(biāo)表示從機(jī)體坐標(biāo)系b旋轉(zhuǎn)到地球固聯(lián)坐標(biāo)系e的旋轉(zhuǎn)矩陣注：det()表示求矩陣的行列式2024/5/2815從地球固聯(lián)坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)可以通過(guò)三步來(lái)完成其中3.旋轉(zhuǎn)矩陣

旋轉(zhuǎn)矩陣定義3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/5/2816

旋轉(zhuǎn)矩陣定義當(dāng)時(shí)3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/5/2817

旋轉(zhuǎn)矩陣定義由旋轉(zhuǎn)矩陣反求歐拉角奇異性問(wèn)題在奇異情況下，人為設(shè)定此時(shí)，與一一對(duì)應(yīng)，但是的具體值不能唯一確定，有無(wú)窮多種組合。2024/5/2818兩個(gè)向量和的叉乘定義為其中以上圖片來(lái)自/wiki/Cross_product3.旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/5/2819

僅考慮剛體旋轉(zhuǎn)（不考慮平動(dòng)），由動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，對(duì)任意向量求導(dǎo)（類(lèi)比下圓周運(yùn)動(dòng)）其中×表示向量的叉乘。我們可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系圖5.6向量求導(dǎo)的直觀表示2024/5/2820由及叉乘的性質(zhì)即可得推導(dǎo)過(guò)程中用到了叉乘的性質(zhì)：對(duì)于旋轉(zhuǎn)矩陣和任意向量，我們有采用旋轉(zhuǎn)矩陣表示避免了奇異性問(wèn)題。然而，以上方程含有9個(gè)自由變量，因此求解微分方程的計(jì)算量比較大。3.旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系4.四元數(shù)2024/5/2821

四元數(shù)定義圖5.7愛(ài)爾蘭都柏林布魯穆橋（現(xiàn)稱(chēng)為金雀花橋BroomBridge）上的四元數(shù)石碑,圖片來(lái)自/wiki/Quaternion石碑上寫(xiě)著“Hereashewalkedbyonthe16thofOctober1843SirWilliamRowanHamiltoninaflashofgeniusdiscoveredthefundamentalformulaforquaternionmultiplicationi2=j2=k2=ijk=?1&cutitonastoneofthisbridge.”四元數(shù)一般用向量的形式表示為其中為四元數(shù)的標(biāo)量部分，為四元數(shù)的向量部分。對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)，其四元數(shù)表示形式為，對(duì)于一個(gè)純向量，其四元數(shù)表示形式。一些運(yùn)算性質(zhì)(注：q,r,m是四元數(shù)，s為標(biāo)量，u,v為列向量)4.四元數(shù)2024/5/2822

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（1）四元數(shù)加、減法（2）四元數(shù)乘法4.四元數(shù)2024/5/2823

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（3）四元數(shù)共軛一些運(yùn)算性質(zhì)（4）四元數(shù)范數(shù)一些運(yùn)算性質(zhì)4.四元數(shù)2024/5/2824

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（5）四元數(shù)的逆由的定義可知，四元數(shù)的逆可以表示為（6）單位四元數(shù)當(dāng)四元數(shù)的范數(shù)時(shí)，四元數(shù)稱(chēng)為單位四元數(shù)。單位四元數(shù)有如下性質(zhì)：當(dāng)四元數(shù)p,q滿(mǎn)足，則有4.四元數(shù)2024/5/2825

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)假如表示旋轉(zhuǎn)，而表示向量，那么在旋轉(zhuǎn)作用下，向量變?yōu)橄蛄?。我們用如下形式表示這個(gè)過(guò)程第一行是恒成立的單位四元數(shù)的物理含義是圖

5.8

單位四元數(shù)物理含義這一部分可進(jìn)一步參考ShoemakeK.Quaternions.DepartmentofComputerandInformationScience,UniversityofPennsylvania,USA,1994[Online],available:/?vbz/resources/quatut.pdf4.四元數(shù)2024/5/2826已知兩個(gè)三維單位向量。定義為到之間的角度，可以推知定義一個(gè)單位四元數(shù)，可以得到圖5.9

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)示意圖

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)4.四元數(shù)2024/5/2827的內(nèi)積與外積相等，因此三個(gè)向量處于同一平面，且與的夾角也為，正如下圖所示。

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)（為什么能表示旋轉(zhuǎn)）圖5.9

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)示意圖4.四元數(shù)2024/5/2828

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)（2）坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)（1）向量旋轉(zhuǎn)注意兩者的不同！4.四元數(shù)2024/5/2829四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)換假定地球固聯(lián)坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為，則有（坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)）右上標(biāo)表示從地球固聯(lián)坐標(biāo)系e旋轉(zhuǎn)到機(jī)體坐標(biāo)系b的單位四元數(shù)4.四元數(shù)2024/5/2830

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換根據(jù)旋轉(zhuǎn)歐拉角的順序，可得4.四元數(shù)2024/5/2831

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換根據(jù)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)，可得這與前文所定義的從地球系旋轉(zhuǎn)得到機(jī)體系的順序一致。4.四元數(shù)2024/5/2832

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換當(dāng)時(shí)，發(fā)生奇異無(wú)窮多種組合在奇異情況下，人為設(shè)定4.四元數(shù)2024/5/2833

四元數(shù)變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系根據(jù)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的復(fù)合四元數(shù)得其中機(jī)體角速度攝動(dòng)忽略的高階無(wú)窮小可以得到4.四元數(shù)2024/5/2834

四元數(shù)變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系對(duì)求導(dǎo)可得4.四元數(shù)2024/5/2835