第四章一元二次方程教材解讀

第四章一元二次方程教材解讀歡口育英初級中學：彭亞利教材內容本章共三節(jié)內容，主要介紹了一元二次方程的概念、一般形式、解法、根的判別式定理及其應用.課標要求1。理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2。會用一元二次方程解決簡單的實際問題,能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理。4.1一元二次方程對于一元二次方程的概念,教學中要注意兩種形式概念的教學（1）文字語言：讓學生理解一元二次方程的三個條件:①整式方程②含有一個未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。結合定義比較,討論像xy+x2=51/x2+x-2=0X3-1=0的方程就不是一元二次方程。（2)符號語言：一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）、①讓學生理解a≠0的意義,引導學生發(fā)現(xiàn)像x（x+2）=x2+6這樣的方程就不是一元二次方程。強調判斷是不是一元二次方程要先化簡，②關于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0)要讓學生能準確指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。為后面學習公式法解方程做好鋪墊。4。2一元二次方程的解法直接開平方法直接開平方法比較簡單，教學中要注意引導學生觀察：問題變化方程形式變化解方程x2-4=0求平方根x2＝4學生很容易理解就是將方程變形為x2＝a(a≥0）求平方根。配方法1.首先引導學生：將方程x2+6x+4=0轉化為（x+3）2=5的形式.讓學生體會將未知轉化成已知的思想。2。教學中配方是重點，讓學生對照完全平方公式，理解兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,目的是使方程左邊成為完全平方式，化成（x+h)2=k的形式。3.學習配方法解方程的過程中，易于出錯，教學中要注意解題格式的規(guī)范性.4。配方法解方程過程中，配方的條件：有：二次項（系數(shù)為1)、一次項。缺：常數(shù)項配方的方法：補：常數(shù)項（加上一次項系數(shù)一半的平方）公式法1.利用學生已有的配方法解方程的經(jīng)驗，讓學生自己用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過探索去發(fā)現(xiàn)求根公式和公式的條件。2。教學中,要淡化的化簡，以免增加學生學習的困難。3.運用公式解方程前，可讓學生先熟悉記憶公式，及公式的條件，這樣更有利于用公式法解方程的教學。4.公式法解方程簡單易學,解題正確率高，幾乎適用于所有的方程,因而教學中要讓學生熟悉、規(guī)范解題步驟：①化成一般形式②確定a、b、c值③計算b2-4ac的值，并判斷其符號④代入求根公式求解一元二次方程根的判別式1.在掌握公式法解方程的基礎上，讓學生動手解方程①x2+x-1=0②x2—6x+9=0③2x2—2x+1=0引導學生觀察各方程根的情況，及b2—4ac的符號，歸納：當b2-4ac〉0時方程有兩個不相等的實數(shù)根當b2—4ac=0時方程有兩個相等的實數(shù)根當b2-4ac〈0時方程沒有實數(shù)根2。利用一元二次方程的根的判別式定理不解方程,判別方程根的情況較為容易,這部分知識也是下學期學習中,判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點基礎。3.補充例題：k取什么值時，方程x2—kx+4=0兩個相等的實數(shù)根?并求這時方程的根。4。該部分內容在教學時難度控制在與課本相當?shù)乃缴喜槐刈鲞^多的拓展和引申。因式分解法1.因式分解法解方程的教學過程中，因式分解反而成為學生學習過程中的障礙，建議先復習因式分解，（可以將本節(jié)課所解方程中的要分解的式子作為復習練習題.如:x2-xx2+4xx+3—x(x+3)（2x-1)2-x22（x—1)+x(x—1）9t2—（t-1)2等。2.解形如(x+2）2=4(x+2)的方程易發(fā)生失根的錯誤，可讓學生討論，不必拓展.3.因式分解法解方程時,要讓學生充分把握該方法的條件：①方程一邊為0②另一邊你會分解因式選擇適當?shù)姆椒ń夥匠獭魧W完四種解法后,要讓學生明白：四種解方程的方法各有特點：直接開平方法比較簡便，但只有易化成（x+h)2=k(k≥0）型的方程才適用；配方法適用于幾乎所有方程，但使用時麻煩、易錯;公式法簡單、易學,解題正確率高,適用于幾乎所有的方程,但解題時要化為一般形式；因式分解法快捷、不易出錯，但只有少數(shù)方程適用.所以在選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼鈺r，要認真觀察方程的特征,可先選用直接開平方法或因式分解法，其次選用公式法，配方法在規(guī)定時才使用。但配方法在其他數(shù)學知識（推導二次函數(shù)的頂點坐標公式等）中有著廣泛的應用，是初中要求掌握的幾種重要的數(shù)學方法之一。4。3用一元二次方程解決問題（1)用一元二次方程解決問題的關鍵是找出問題中的相等關系,列出方程。（2)用一元二次方程解決問題時，通常要經(jīng)歷以下過程：列一元二次方程解方程實際問題數(shù)學問題（方程）方程的解檢驗課時整合章節(jié) 教材課時整合課時4.1一元二次方程1課時1課時4.2一元二次方程的解法6課時4+2（習題課）課時4.3用一元二次方程解決問題4課時3+1（習題課）課時小結2課時1（習題課）課時中考命題趨勢及教學對策◆一元二次方程的解法是初中數(shù)學中主要的工具之一,是數(shù)學的基礎知識和基本技能，各地從不同側面,不同角度對一元二次方程知識進行系統(tǒng)考查，大部分試題通過直接考查一元二次解的意義及解法突出對一元二次方程基礎知識與基本技能的考查；各地普遍采用設置符合學生認知的實際問題情景的方式,考查學生列一元二次方程解決實際問題的能力，突出對數(shù)學建模和數(shù)學應用的考查.特別突出的是，部分試題注重利用方程的結果,對實際問題作出判斷與預測，或對實際問題設計實施方案等，強化對數(shù)學應用本質的考查?！粼趯嶋H教學中，要緊緊抓住一元二次方程中的幾大考點:①一元二次方程的概念及一般形式②一元二次方程的四種解法③一元二次方程根的判別式④一元二次方程的應用附:一元二次方程試題（2份） 一元二次方程試題（一）一、選擇題（每題3分，計24分）1.(2011甘肅蘭州）下列方程中是關于x的一元二次方程的是（）A.x2+1/x2=0B。ax2+bx+c=0C．(x—1)(x+2）=0D．x2—2xy—5y2=02。（2011四川南充市)方程(x+1）(x－2）=x+1的解是（）（A）2（B）3（C）－1，2（D）－1，33.（2011甘肅蘭州）用配方法解方程x2-2x—5=0時，原方程應變形為()A．(x+1)2=6 B．(x+2)2=9 C．（x—1)2=6 D．(x-2）2=94.(2011江蘇泰州）一元二次方程x2=2x的根是(）A．x=2B．x=0C．x1=0,x2=2D．x1=0,x2=－25.（2011江蘇南通)已知3是關于x的方程x2－5x＋c＝0的一個根，則這個方程的另一個根是（)A.－2 B。2 C。5 D.66。(2011山東威海）關于x的一元二次方程x2+（m—2)x+m+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是（）A．0 B．8 C． D．0或87．（2011重慶江津）已知關于x的一元二次方程（a－1）x2－2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a<2B,a〉2C.a〈2且a≠1D.a〈－2·8.(2011四川涼山州）某品牌服裝原價173元，連續(xù)兩次降價x%后售價價為127元，下面所列方程中正確的是()A．173（1-x%）2=127B．173(1-2x％）2=127C．173(1+x%)2=127D．127(1+x%）2=173二、填空題（每題3分，計24分）9。(2011廣東株洲）孔明同學在解一元二次方程x2-3x+c=0時，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為．10。（2011江蘇揚州)某公司4月份的利潤為160萬元,要使6月份的利潤達到250萬元，則平均每月增長的百分率是—--———11.（2011淮安）一元二次方程x2—4=0的解是.12。（2011上海）如果關于x的方程x2—2x+m=0(m為常數(shù))有兩個相等實數(shù)根,那么m＝_____．13。（2011江蘇鎮(zhèn)江)已知關于x的方程x2+mx—6=0的一個根為2，則方程的另一根是___，14。（2010福建德化)已知關于的一元二次方程的一個根是1，寫出一個符合條件的方程:．15.2011山東泰安）方程2x2+5x—3=0的解是。16。（2011山東濱州）若x=2是關于x的方程的一個根，則a的值為______.三、解答題（17、18每題各5分.19、20題每題6分，計22分)17.（2011江蘇無錫）解方程:x2+4x?2=0；18。(2011江蘇南京)解方程x2－4x＋1=019.（2010北京）已知關于x的一元二次方程x2—4x+m-1=0有兩個相等實數(shù)根，求的m值及方程的根．20.(2010廣東佛山）教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出他的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答。（1）下列式子中，有哪幾個是方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只寫序號）。①②③④⑤（2）方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間具有什么關系？四、解答題（21、22、23、24、25每題各10分，計50分）21.（2010天津)注意：為了使同學們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個思路按下面的要求填空，完成本題的解答．也可以選用其他的解題方案,此時不必填空，只需按照解答題的一般要求進行解答．青山村種的水稻2007年平均每公頃產(chǎn)8000kg,2009年平均每公頃產(chǎn)9680kg,求該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率。解題方案：設該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為。（Ⅰ）用含的代數(shù)式表示:①2008年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為；②2009年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為；（Ⅱ）根據(jù)題意，列出相應方程；（Ⅲ)解這個方程,得；（Ⅳ)檢驗：；(Ⅴ）答：該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為％.22。（2011山東日照）為落實國務院房地產(chǎn)調控政策，使“居者有其屋"，某市加快了廉租房的建設力度．2010年市政府共投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2012年底三年共累計投資9。5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同．（1)求每年市政府投資的增長率;（2)若這兩年內的建設成本不變，求到2012年底共建設了多少萬平方米廉租房．23.（2011浙江義烏)商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．設每件商品降價x元。據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）商場日銷售量增加▲件，每件商品盈利▲元(用含x的代數(shù)式表示）；（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？24.（2011四川廣安）廣安市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望,房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉,對價格經(jīng)過兩次下調后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售。（1)求平均每次下調的百分率.（2)某人準備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇:①打9。8折銷售；②不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？25。（2011湖北襄陽）汽車產(chǎn)業(yè)是我市支柱產(chǎn)業(yè)之一，產(chǎn)量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計,2008年我市某種品牌汽車的年產(chǎn)量為6.4萬輛,到2010年，該品牌汽車的年產(chǎn)量達到10萬輛.若該品牌汽車年產(chǎn)量的年平均增長率從2008年開始五年內保持不變，則該品牌汽車2011年的年產(chǎn)量為多少萬輛？一元二次方程試題（一）答案選擇題：1。C2。D3。C4.C5.B6.D7.C8.A填空題：9.210.25%11.±212。113.—314.答案不唯一15.x1=-3,x2=eq\f（1，2）16。解答題17.x=?2±eq\r（6)．18.x=2±19。m=5原方程的根為x1=x2=2。20。解：（1）答：①②④⑤（每個1分）（2)若說它的二次系數(shù)為a（a≠0)，則一次項系數(shù)為-2a、常數(shù)項為-4a21。解：（Ⅰ)①；②；（Ⅱ）；（Ⅲ），;（Ⅳ），都是原方程的根，但不符合題意，所以只取；（Ⅴ）10。22.（1)50％（2）3823.（1）2x50－x（2）每件商品降價20元，商場日盈利可達2100元.24.(1）10%（2)方案①更優(yōu)惠25。12.5萬一元二次方程試題（二）一、選擇題（每題3分，計24分)1。(2011湖南湘潭市）一元二次方程的兩根分別為(）A.3,－5B.－3，－5C.－3，5D。3,52.（2011福建福州）一元二次方程根的情況是（）A。有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C。只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根3。(2011山東濱州）某商品原售價289元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元，設平均每次降價的百分率為x，則下面所列方程中正確的是（）A.B。C。289(1-2x)=256D。256(1—2x）=2894。（2011臺灣臺北）若一元二次方程式的兩根為0、2,則之值為（）A．2B．5C．7D．85.(2011山東濟寧）已知關于x的方程x2＋bx＋a＝0有一個根是－a（a≠0)，則a－b的值為()A．－１B．0C．1D．26.（自編題)近年來,全國房價不斷上漲，豐縣2011年4月份的房價平均每平方米為4600元，比2009年同期的房價平均每平方米上漲了2000元，假設這兩年房價的平均增長率均為，則關于的方程為()A． B．2000(1+x）2=4600C．（4600—2000）（1+x)=4600D．（4600—2000）（1+x）2=46007.（2011四川成都）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則下列關于判別式n2-4mk的判斷正確的是(）(A)(B)(C)（D)8.(2011江西南昌分）已知x=1是方程x2+bx—2=0的一個根，則方程的另一個根是（）A.1B。2C。-2D.-1二、填空題（每題3分,計24分）9.(2011山東濱州）若x=2是關于x的方程的一個根，則a的值為______。10。（2011山東泰安）方程2x2+5x-3=0的解是。11。（2011浙江衢州）方程的解為.12.（2011福建泉州）一元二次方程的解是13。(2011甘肅蘭州）關于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù),a≠0），則方程的解是。14.（2011四川宜賓）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到元，則該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是_______________．15。（2011上海）某小區(qū)2011年屋頂綠化面積為2000平方米,計劃2012年屋頂綠化面積要達到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是_________．16．（2011江蘇宿遷,16,3分）如圖,鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的長度是▲m（可利用的圍墻長度超過6m)．三、解答題(17、18、1920、21每題各6分,計30分）17.（2011山東聊城）解方程:18。(2011湖北武漢市)）解方程：x2＋3x＋1=0．

19．用配方法解方程：2x2—7x+6=020.（2010廣東珠海)已知x1=—1是方程的一個根，求m的值及方程的另一根x2.21。（2010四川南充）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．

(1）求k的取值范圍．

（2）請選擇一個k的負整數(shù)值，并求出方程的根．四、解答題（22、23、24每題10分,25題12分、計42分）22.（2011安徽蕪湖)如圖,用兩段等長的鐵絲恰好可以分別圍成一個正五邊形和一個正六邊形,其中正五邊形的邊長為（)cm，正六邊形的邊長為（）cm.求這兩段鐵絲的總長.