2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

超級全能生2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.若雙曲線與—￡=的漸近線與圓（x—2『+y2=i相切，則雙曲線的離心率為（）

A）R道r2Gr-

A?2B?C?-------D?-yJ3

23

2.已知數(shù)列｛《,｝是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，若冊、為滿足2a“<%<1024a“，貝！|（加一1）2+〃的最小值為（）

A.3B.5C.6D.10

3.拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。，過點(diǎn)。作直線/與拋物線交于A、8兩點(diǎn)，使得A是8。的

中點(diǎn)，則直線/的斜率為（）

1,6_

A.±-B.+=^±.C.±1D.土百

3-3

4.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/（x）=e'+x,則a=/（_29），〃=/（l°g29），c=/（、3）的

大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.b>c>a

5.定義域?yàn)镵的偶函數(shù)/（x）滿足任意xwR,有/（尤+2）=/（x）-/（I），且當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/（x）=-2x2+12x-18.

若函數(shù)y=/'（尤）-1。8“（》+1）至少有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

6.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.26.更S，且2jJeSB.2夜任S，且2石wS

C.2V2GS?且2&eSD.2V2eS>且2gwS

7.如圖所示的莖葉圖為高三某班50名學(xué)生的化學(xué)考試成績，算法框圖中輸入的外,4，。3，，。50為莖葉圖中的

學(xué)生成績，則輸出的機(jī)，”分別是（）

3678

501233689

6001344667889

70122456667889S

800244569

90168

A.m=38,〃=12B.根=26,n=12

C.陽=12,〃=12D.m=24,〃=10

8.已知向量。與a+0的夾角為60°,k|=1,忖=出，則）

Jj?33

A.--B.0C.0或——D.——

222

9.若復(fù)數(shù)z=匕2（人為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則。的值為（）

2+i

3B.±3C.-3D.±V3

10.設(shè)/(x)函數(shù)/(x)(x>0)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足廣(力乜曾，若在AABC中，4與，則()

A./(sinA)sin2B</(sinB)sin2AB./(sinC)sin2B</(sinB)sin2C

C./(cosA)sin2B>/(sinB)cos2AD./(cosC)sin23>/'(sin3)cos?C

11.函數(shù)f(x)=sin(wx+0)(w>0,的最小正周期是7T,若將該函數(shù)的圖象向右平移己個(gè)單位后得到的函數(shù)圖

7T

象關(guān)于直線x=u對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為()

2

TTTT

A.f(x)=sin(2x+-)B.f(x)=sin(2x-y)

TT7T

C.f(x)=sin(2xd—)D.f(x)=sin(2x——)

66

’32\

—X'+X,X<1

12.已知函數(shù)/(?=qalnx若曲線y=/(x)上始終存在兩點(diǎn)A,B,使得QALQB,且A3的中點(diǎn)在>

-------,x>1

x(x+l)

軸上，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.10,：C.：，+e)D.[e,+oo)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是.

14.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，斜率為20的直線過戶且與拋物線交于AB兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),

s

若A在第一象限，那么丁段=?

>BFO

15.已知函數(shù)=,若對于任意正實(shí)數(shù)%,馬,X3,均存在以f(xJJ(X2)J(xj為三邊邊長的三角形,

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

16.已知二項(xiàng)式(犬一2)的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)_________.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐中,四邊形ABC。是直角梯形，48_14。,他//8,尸。_1底面43。。

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E,是的中點(diǎn).

DC

(1).求證:平面E4CJ_平面PBC;

(2).若二面角P-AC-E的余弦值為業(yè)，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

3

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=x+2|-|2x—2].

(1)解不等式/(x"2x-l；

22

(2)記/(x)的最大值為加，若實(shí)數(shù)。、b、c滿足a+8+c=M,求證：+b2+7^77+^c+a>372.

19.(12分)已知AABC中，內(nèi)角所對邊分別是。，仇c,其中a=2,c=6.

萬

(1)若角A為銳角，且sinC=V.，求sinB的值；

3

(2)設(shè)/(C)=百sinCeosC+3cos2。，求/(C)的取值范圍.

20.(12分)在ABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且smC-石sin'

sinA+sinBc

(1)求角A的大??；

(2)若2sinAsin3=l+cosC,NB4C的平分線與BC交于點(diǎn)。，與ABC的外接圓交于點(diǎn)E(異于點(diǎn)A),

AE=AAD.求幾的值?

21.(12分)已知三棱錐產(chǎn)一48。中，A6C為等腰直角三角形，AB=AC=l,PB=PC=y[5,設(shè)點(diǎn)E為孫中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為必上一點(diǎn)，且PF=2FB.

(1)證明：BD//平面CEF；

(2)若P4LAC,求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

fv?x=2+f,

22.(10分)已知曲線G：二+2=1，直線/：10-a為參數(shù)).

149[y=2-2t,

(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程；

(II)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與/夾角為30。的直線，交/于點(diǎn)A,1PAi的最大值與最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,C

【解析】

利用圓心(2,0)到漸近線的距離等于半徑即可建立a,仇c間的關(guān)系.

【詳解】

所以Q2=3H2，e=—=.1+(―)2=J1+—=—

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立a*,c三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)

題.

2,B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)幕的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1〈加-〃<10再根據(jù)此范圍求（加-I）?+〃的

最小值.

【詳解】

數(shù)列｛4｝是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，am、%滿足2an<am<1024q,

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得2'-'<%?2"'-'<1024a,-2'-',即2"<2"-'<2,,+9，

:.2<2m~n<2'°>可得1<加一〃<10,且團(tuán)、”都是正整數(shù)，

求（/〃—1J+〃的最小值即求在1<〃?一〃<10,且加、〃都是正整數(shù)范圍下求加一1最小值和"的最小值，討論機(jī)、"

取值.

,當(dāng)加=3且〃=1時(shí)，（m―I）?+”的最小值為（3—I）?+1=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)嘉的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思

想，是中等題.

3、B

【解析】

設(shè)點(diǎn)3（馬,％），設(shè)直線A3的方程為》=，毆-田，由題意得出y=￡,將直線/的方程與拋物線的方

程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合乂=葭可求得團(tuán)的值，由此可得出直線/的斜率.

【詳解】

由題意可知點(diǎn)go],設(shè)點(diǎn)A（X1,y）、3（與%），設(shè)直線45的方程為x=—

由于點(diǎn)A是8c的中點(diǎn)，則乂=會，

2

將直線I的方程與拋物線的方程聯(lián)立得"=""一2,整理得y-2/W+p=0,

y2=2px

由韋達(dá)定理得其+%=3y=2呻，得以=也2,>歷=2弁=細(xì)互=〃2,解得加=±逑，

394

因此，直線/的斜率為J_=±述.

m3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中等題.

4、C

【解析】

333

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得4=/(_2刀=/(25)，再比較君,2$,log,9的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).

【詳解】

333

依題意得4=/(_22)=/(27)，?逐〈次=20=2^<3=log?8<log?9，

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=ex+x,因?yàn)閑>l,所以y=e'在R上單調(diào)遞增，又)'=》在/?上單調(diào)遞增，所以/(幻在［0,+8)

上單調(diào)遞增，

???/dog29)>/(2^)>/(V5)，即匕>。

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、幕、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

5、B

【解析】

由題意可得f(x)的周期為2,當(dāng)xe［2,3］時(shí)，/(%)=-2/+12*-18,令g(x)=loga(x+D,則“X)的圖像和g(x)

的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g(2)>/(2),求得。的取值范圍.

【詳解】

/W是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意xeR,

/(x+2)=f(x)-/(I),令x=-1,/(I)=/(-I)-/(I),

又/(-I)=/(I),/(I)=0,/(x+2)=/(x),

???/(x)為周期為2的偶函數(shù)，

當(dāng)xe[2,3]時(shí)，f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2,

當(dāng)xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=f(x+2)=-2(x-I)2,

當(dāng)xG[—1,0],—xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數(shù)y=fix)-log(,(x+l)至少有三個(gè)零點(diǎn)，

則f(x)的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

f(x)<0,若a>1,

/(x)的圖像和g(x)的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

所以八幻的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

則有g(shù)(2)>/(2),即log“(2+1)>/(2)=-2,log.3>-2,

i?

->3,<一,0<。<1,「.0<。<—?

a233

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)問題，屬于中檔題.

6、D

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體,

如圖所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=20，BE=7(272)2+22=273?

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計(jì)的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不

小于80的有12個(gè)，成績不小于6()且小于80的有26個(gè)，故m=26,n=12.

考點(diǎn)：程序框圖、莖葉圖.

8、B

【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量a與“+6的夾角為60°,再由J代入表達(dá)式中即可求出a-b-

【詳解】

由向量4與a+b的夾角為60°,

得+=a+a-Z?=|?||a+Z?|cos60°,

所以J==3忖＞/a2+2a-b+b~,

又忖=1,M=百，a2=|a|2,b-|b|2,

所以1Jl+2a./?+3,解得a-b=0?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.

【詳解】

z=l-bi=2-b-(2b+\)i又z的實(shí)部與虛部相等，

2+z5

:.b-2=2b+l,解得。=—3.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.

10、D

【解析】

根據(jù)廣(x)>組上的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)g(x)=4,求導(dǎo)=''("匚2/(X),則g，(力>0,g(力在

XXV7X3

'4frr/TT-rr

(0,+紇)上是增函數(shù)，再根據(jù)在AABC中，乙4=亍，得到0</8<點(diǎn)，0<NC<；,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得

到cosNC>sin/B,再利用g(x)的單調(diào)性求解.

【詳解】

設(shè)g(x)=。1，

所以g，⑴="'(x)：2f⑴,

因?yàn)楫?dāng)x〉0時(shí)，1(x)>4坐，

X

所以g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上是增函數(shù),

3冗TTTT

在AABC中，因?yàn)橐?=一，所以0</8<—，0<ZC<-,

444

(TT\TTTT

因?yàn)閏os/C=sin|—+N8I，且0<NB<—+ZB<—,

14)42

所以sinZ.B<sin,

即cosZC>sin/B,

,,,f(cos6")f(sinB\

所以I21>'，)，

cos2Csin"B

即/(cosC)sin2B>/(sin5)cos2C

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

由函數(shù)的周期求得w=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=W對稱，得到2x^+9-2=k7T+-,由此求得滿

足條件的。的值，即可求得答案.

【詳解】

TTTTTT7T

分析：由函數(shù)的周期求得(0=2,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線X=2對稱，得到2xV+(p—2=k7T+乙，由此求

2232

得滿足條件的<P的值，即可求得答案.

詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(sx+(p)的最小正周期是兀，

2九

所以」=無，解得3=2,所以f(x)=sin(2x+(p),

CO

將該函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位后，

6

得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2(x—￡)+(p=sin(2x+(p—g),

TT

由此函數(shù)圖像關(guān)于直線x=一對稱，得：

2

ITTT7EJT

2x-+(p一一=k7l+—,即(p=k7C-±,k￡Z,

2326

取k=(),得(p=-￡，滿足網(wǎng)<￡，

62

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x-3故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到

y=sin(2x+e-77W),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

12、D

【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在y軸上，設(shè)出A3兩點(diǎn)的坐標(biāo)A(T,r+y)，(r>o).對f分成用"=1")1三類，利用

。4_1。8則。4。3=0,列方程，化簡后求得。=一°，利用導(dǎo)數(shù)求得」一的值域，由此求得”的取值范圍.

In/\nt

【詳解】

根據(jù)條件可知A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè)A(T『+『)，BQ"⑺)，(/>()),若r<l,貝IJ/⑴=——+產(chǎn)，

由。4_LQB,所以。408=0,即72+93+")(_73+/)=0,方程無解；若/=],顯然不滿足。4，08；若/〉],

.”、2/3八6?lnr八fZInZ-l~

則a一\ntX，由,。4.03=0,即一廠+(尸+廣丁不=0,即。=丁t，因?yàn)椤?-_所以函數(shù)「t

f?+l)'Inf(In"(in)Inr

在(O,e)上遞減，在(e,+8)上遞增，故在f=e處取得極小值也即是最小值f-=e,所以函數(shù)/=」一在(1+8)上的

值域?yàn)閇e,+8),故ae[e,+8).故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得

答案.

【詳解】

模擬程序的運(yùn)行，可得：5=0,〃=1,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，5=1,〃=2,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，5=6n=3,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，5=27〃=4,

不滿足條件〃>4,執(zhí)行循環(huán)體，5=124,〃=5,

此時(shí)滿足條件〃>4,退出循環(huán)，輸出S的值為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.

14、2

【解析】

7

SIA/ISIAFI

如圖所示，先證明不血=焉，再利用拋物線的定義和相似得到丁皎=丹=2.

BF

sBF0IIsBFOIBF\

【詳解】

由題得SMFO=；?IOFIIIsinZAFO,SABFO=||OF||fiF|sinZBFO.

因?yàn)閆AFO+/BFO=冗,/.sinZAFO=sin/BFO.

所以得回\AF\

?BFO\BFV

過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M,N,過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,

設(shè)|BF|二m,|AF|=n,則|BN|二m,|AM|=n,

所以|AE|二n-m,因?yàn)轫?=20，

所以|AB|=3(n?m),

所以3(n-m)=n+m,

所以'=2.

m

雨D]SAFO_IA尸I_〃_2

所以C_7T^7__2?

SBFOIBFIm

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

15、

2

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知/（%）+/（9）＞/（x,）對任意的玉,馬,馬恒成立，將/（x）的解析式用分離常數(shù)法變形，由均

值不等式可得分母的取值范圍，則整個(gè)式子的取值范圍由左-1的符號決定，故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)

值域,再討論3轉(zhuǎn)化為/（占）+/（工2）的最小值與/'（天）的最大值的不等式，進(jìn)而求出k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)閷θ我庹龑?shí)數(shù)%,馬，鼻，都存在以/（%），/（W），/（芻）為三邊長的三角形，

故/（玉）+/（±）＞/（七）對任意的內(nèi)，工2，工3恒成立，

心），+依+1（I）xk-l]

/⑴—%2+尤+1T+f+x+l1,令"X+M1N3,

X+1+—x

X

L

貝！|y=l+T（d3）,

（k+2-

當(dāng)％—1＞0,即左＞1時(shí)，該函數(shù)在[3,+co）上單調(diào)遞減，則ye1,——；

當(dāng)左=1,即左=1時(shí),ye{l},

「左+2、

當(dāng)左-1＜0,即女＜1時(shí)，該函數(shù)在[3,+co）上單調(diào)遞增，則ye,

7^4-4*+2

所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?＜/（3）+/（々）＜—一,1＜/（&）＜￡'7,

所以丁42,解得1＜%W4；

當(dāng)％=1時(shí),/（%|）=/（七）=）（毛）=1,滿足條件；

7^4-4U

當(dāng)《＜1時(shí),^^《/（石）+/（々）＜2,且寸

2G+4I

所以一7一21,解得一彳4%<1,

32

綜上,—4^44,

2

故答案為：-g，4

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)范圍，考查三角形的構(gòu)成條件，考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.

16、-672

【解析】

先令x=l可得其展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，又由題意得2"=512,解得〃=9,進(jìn)而可得其展開式的通項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

令x=l,則有2"=512,解得〃=9,

則二項(xiàng)式12一的展開式的通項(xiàng)為=0（爐）-（一/），=（一2）「

令r=3,則其展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)為（-2）3C；=-672,

故答案為：—672

【點(diǎn)睛】

此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)需要區(qū)分展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/?

17、（1）見解析；（2）—.

3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)PC_L平面ABCO有PCLAC,利用勾股定理可證明AC故AC,平面P8C,

再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在。點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角AC-￡的余弦值為邁建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

試題解析：（I）PC_L平面ABCRACu平面

因?yàn)锳B=4,AO=CO=2,所以4c=8C=血，所以4。2+8。2=.2,所以AC_LBC,又3CcPC=C,所以

AC_L平面P8C.因?yàn)锳Cu平面EAC,所以平面E4C_L平面PBC.

（II）如圖，

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，OA,CD,CP分別為工軸、y軸、Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，貝!I

。（0,0,0）,4（2,2,0）,3（2,-2,0-設(shè)2（0,0,24）（4>0）,則石（1,一1間）

C4=（2,2,0）,CP=（0,0,2^）,CE=（l,-l,6f）?i7n=（l,-l,0）,則”CA=m?CP=0,m為面P4c法向量.

設(shè)〃=（x,y,2）為面E4C的法向量，貝”?C4=〃?C￡=0,

y=0.，/小

即｛”,取x=a,y=-〃,z=-2,貝!j為=（〃,一〃,一2）

x-y+〃z=0'7

依題意|cos〈m,H〉|=yj+=J:2=9,則a=2.于是〃=（2,—2,—2）,P4=（2,2,Y）.

,,\PA-n\五

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為氏則sin6=cos<PA,〃〉==—

11Pd,同3

萬

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為—.

3

18、（1）（-=o,-3]o-1,|

（2）證明見解析

【解析】

（1）采用零點(diǎn)分段法：x<-2,-2<x<l.x>l,由此求解出不等式的解集；

（2）先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出"的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.

【詳解】

（1）當(dāng)％<-2時(shí)，不等式為一x-2+2x-2N2x—l,解得xW-3

當(dāng)—時(shí)，不等式為x+2+2x-222x-l,解得—IWXWI

當(dāng)x>l時(shí)，不等式為x+2—2x+2N2x—1,解得

3

...原不等式的解集為（—,-3]u-1,|

(2)/(x)=|x+2|-|2x-2|=|x+2|-|x-l|-|x-l|<|(x+2)-(x-l)|-|x-l|=3-|x-l|<3

(x+2)(x-l)>0

當(dāng)且僅當(dāng)《即x=l時(shí)取等號,

x-1=0

/"(\x)/max=3,/.a+b+c=3

a2+b2>2ah,：.2[a2+b2)>(a+bf,

AV7+F>—(?+/?)(當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)取"=”)

2

同理可得JN+C.22也g+c),&2—之也(c+a)

22

yja2+b2+\Jb2+c2+y/c2+a2>y/2(a+b+c)

???yla2+b2+y]b2+c2+ylc2+a2>372(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c=l時(shí)取“=”)

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.(1)常見的絕對值不等式解法：零點(diǎn)分段

法、圖象法、幾何意義法；(2)利用基本不等式完成證明時(shí)，注意說明取等號的條件.

19、(1)2"+灰)r|,1+V3.

9(2122」

【解析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出sin8；

⑵化簡/(C)=Ain(2C+M+=,由余弦定理得cosC="一一1,利用基本不等式求出

V3J22ab)

cosC>|,確定角C范圍，進(jìn)而求出/(C)的取值范圍.

【詳解】

(1)由正弦定理，得：

sinAsinC

/.sinC<sinA,且A為銳角

??.c°sC=逅,-五

33

276+715

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

9

(2)/(C)=—sin2C+3x1+C°s2C=V3f-sin2C+—00820^1+-

、)22222

=6sin(2C+《)+|

11

cosC=

2ab412

."6,撲2。+梟與"

.?.sin(2C+?)e[0,l].?./(C)e|,|+V3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域等，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.

20、(1)4=30。；(2)氈

3

【解析】

(1)由州￡二國更0=巴女，利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為〃=〃+，一回c,再利用余弦定理求解.

sinA+sinBc

(2)根據(jù)2sinAsinB=l+cosC,利用兩角和的余弦得到cos(A—3)=1,利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)AC=1,在ADC中,

由正弦定理求得AO,在"OE中，求得4E再求解.

【詳解】

/?、sinC-sinBa—b

(1)因m為----------------=------,

sinA+sin8c

所以(c一麻)c=(a+/?)(a-b),

即/=〃+c2-揚(yáng)c，即cosA=走，所以A=30°.

2

(2)?:2sinAsinB=1+cosC=1—cos(A+,

=1-cosAcos3+sinAsinB.

所以cos(A-8)=l,從而A=B.

所以3=30。，C=120°.

不妨設(shè)AC=1,。為ABC外接圓圓心

則AO=LAB=6,ZADC=ZEAO=45°.

ADAC1

在AOC中，由正弦定理知，有

sin120。sinZADC-sin450

在八4?！曛?，由NQ4E=NQE4=45°,Q4=l,

從而AE=y/2-

所以4=4￡=氈.

AD3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.

21、(1)證明見解析；(2)之

6

【解析】

(1)連接PO交CE于G點(diǎn)，連接FG,通過證8D//FG,并說明fGu平面CEF,來證明8D//平面C即

(2)采用建系法以A3、AC.AP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別表示