2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試卷及答案

絕密★啟用前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標全國II卷

數(shù)學學科

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.在復平面內(nèi)，0+3I）（3T）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合/={0,-。},B=[l,a-2,2a-2j,若A=B,則。=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有

（）.

A.C加C來種B.CMC器種

cCjQC孰種D.種

2r-i

4.若/（》）=（%+。）出2+]為偶函數(shù)，貝（）.

A.-1B.0C.1D.1

丫2

5.已知橢圓。：、+必=1的左、右焦點分別為片，與，直線＞=x+m與。交于/,8兩點，若△片48

面積是△鳥45面積的2倍，則加=（）.

2R32

A.-D.----------------D.——

3333

6.已知函數(shù)/（x）=ae，-Inx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則。的最小值為（).

212

A.eB.eC.eD.e-

7.已知a為銳角，cosaJ*出,則sin—二（).

42

A.3-加—1+Vs3一出D.-1+石

D.---------------------

8844

8.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若凡=-5,S6=21S2,貝1]風=().

A.120B.85C.-85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，為底面直徑，ZAPB=120°,R4=2,點C在底面圓周上，

且二面角P—ZC—。為45。，貝IJ().

A,該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=2y[2D.△P/C的面積為G

10.設(shè)。為坐標原點，直線y=一百(x—1)過拋物線=2內(nèi)(?！?)的焦點，且與C交于N兩點，

/為C的準線，貝U().

Q

Ap=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AOMN為等腰三角形

A

11.若函數(shù)/(x)=alnx+—+=(。70)既有極大值也有極小值，則().

XJC

A.bc>0B.ab>0C.b2+8?c>0D.ac<Q

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<a<l),收到0的

概率為1-a；發(fā)送1時，收到0的概率為"(0</<1),收到1的概率為1-7?.考慮兩種傳輸方案：單次

傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號

需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的

即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A,采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(1-6)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕(1-夕)2+(1-夕)3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概

率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量2,B滿足|萬一同=百，歸+同=忸一可，則,=.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

,8

15.已知直線/：x—叼+1=0與。C：(x—1)一+/=4交于/,8兩點，寫出滿足“小面積為w”的加

的一個值.

1九

16.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+q),如圖/,B是直線y=5與曲線>=/(x)的兩個交點，若|4g|=q,

則/㈤=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記“5。的內(nèi)角的對邊分別為華”已知的面積為。為中點，且/。=1.

7T

(1)若AADC——,求tanB；

3

(2)若〃+°2=8，求瓦?

18.｛4｝為等差數(shù)列，bn=<,記分別為數(shù)列間，間的前"項和，S”32,

4=16.

(1)求｛%｝的通項公式;

(2)證明：當〃>5時，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得

到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

頻率/蛆距

0.040…

0.036...................

0.034...................

0.012

0.010---------….…卜…------

0002指標(L002I**??????H????,???指_標

()95100105110115120125130<^^7075W)859095100105

患病若

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值C,將該指標大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為。(C)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率2(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(。)=夕(。)+令(。)，當ce［95,105］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值.

20.如圖，三棱錐/—BCD中，D4=DB=DC,BDLCD,AADB=ZADC=600-E為BC的中苴.

(1)證明：BCLDA；

(2)點尸滿足麗=方，求二面角。一的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜2石,0),離心率為6.

(1)求。的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為4，4,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點，M在第二象限,

直線與交于點尸?證明:點尸在定直線上.

22.(1)證明：當0<x<l時，x—x2<sinx<x:

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-ln(l-/),若%=。是/(%)的極大值點，求°的取值范圍.

絕密★啟用前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標全國II卷

數(shù)學學科

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.在復平面內(nèi)，（1+31）0—1）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.設(shè)集合/={0,-。},5={l,a-2,2°-2},若4WB,貝?。輆=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為/《8,則有：

若a-2=0,解得a=2,此時/={0,—2},5={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時Z={0「1},5={1,-1,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：3c某種B.CMC款種

C.C北.C薪種D,CMC器種

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60義處2=40人，高中部共抽取

600

6端=20,

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C：3C鼠種.

故選：D.

2x-1

4.若/(x)=(x+a)ln---為偶函數(shù)，則。=().

2x+1

A.-1B.0C.ID.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為“X)為偶函數(shù)，貝U/(I)=/(-I),(1+a)In|=(-1+a)In3,解得。=0,

當a=0時，/（x）=xln^~（2x-l）（2x+l）>0,解得或1〈一2,

則其定義域為JX|；或X<-；],關(guān)于原點對稱.

/(—x)=(r)ln|^^=(—x)ln||^=(T)ln|||^=xln||^=/(x),

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2

5.已知橢圓C：、+.y2=1的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,直線〉=x+加與C交于/,B

兩點，若△片48面積是△月48面積的2倍，則加=().

A.2B,也C.一立2

333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△>(),求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于加的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線y=X+〃7與橢圓聯(lián)立《X22?消去V可得4x2+6mx+3m2-3=0，

——+y=1

〔3-

因為直線與橢圓相交于48點，則A=36??—4x4(3掰2—3)〉0,解得—2〈加＜2,

設(shè)片到N5的距離4,且到N5距離“2，易知片「后,0)，用(、5,0卜

則4萬,_|V2+m|

|-V2+m|

=2,

SAF】AB_6W^解得加=4或-3?(舍去),

S^F2AB|C+刈

V2

6.已知函數(shù)/(x)=ae、—Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為(

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/'(x)=ae「在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

X

【詳解】依題可知，/'(x)=ae「在(1,2)上恒成立，顯然a＞0,所以

xa

設(shè)g(x)=xe',xw(l,2),所以g〈x)=(x+l)e，＞0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故即即0的最小值為e-.

ae

故選：C.

7.已知O為銳角，cosa=匕好，貝Usinq=().

42

3—\/5—1+-\/-53—A/5

--------D.---------rk_/.--------

884

-1+石

4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l—2sin24=l±Yl,而a為銳角,

24

故選：D.

8.記工為等比數(shù)列｛/｝的前〃項和，若$4=-5,S6=21S2＞則Sg=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,首項為4，

若q=則二6々[=3x2〃]=3S2,與題意不符，所以夕工1；

qlg

由04=-5,S6=21S2可得，3--q)=-5，-------=21x^

\-q\-q\-q

由①可得，l+q2+q4=21,解得：相=4,

所以$8=m一力JO-〃(1+力=-5x(l+16)=-85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為夕，

因為S4=-5,S6=2152,所以9w—1,否則$4=0,

從而，S2A4—32,56—84,58-56成等比數(shù)列，

5

所以有，(―5—S2)9=82(2182+5),解得：S2=-l或02=屋

當S2=-1時，$2,84—Sz,Sf—SpSg—Sf,即為—1,—4,—16,S8+21,

易知，Sg+21=—64,即=—85；

當$2=；時，$4=%+a2+a3+。4=(%+%)(1+[2)=(l+q2)S,>0,

與S4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握§4,§8的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，48為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,點、C

在底面圓周上，且二面角P—ZC—。為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4百兀

C.AC=242D.△上4c的面積為6

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以。尸=1,04=08=百，

A選項，圓錐的體積為:X7TX(百)Xl=7T,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀x73x2=27371,B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是ZC的中點，連接

則所以NPD。是二面角P—ZC—。的平面角，

則/PDO=45°,所以0P=?！?gt;=1,

故40=。￡)=萬斤=&，則2。=2力，C選項正確；

D選項，PD=+)=后,所以=gx2后乂后=2,D選項錯誤.

故選：AC.

p

10.設(shè)O為坐標原點，直線y=一由（x—1）過拋物線c：/=2px（夕>0）的焦點，且與c

交于N兩點，/為C的準線，則（）.

Q

A.2=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AOMV為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標，從而求得。，根據(jù)弦長公式求得|〃乂|,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=—G（x—1）過點（1,0）,所以拋物線C：/=2px（p〉0）的焦

點廠（1,0）,

所以5=1，夕=2,2夕=4,則A選項正確，且拋物線。的方程為/=4x.

B選項：設(shè),%）川（%2，%），

由卜=-G（x—l）消去y并化簡得3X2_IOX+3=（X—3）（3x—1）=0,

=4x

解得Xj=3,X2=—>所以=工］+%+P=3+1+2=,B選項錯誤.

C選項：設(shè)〃乂的中點為A,M,N,Z到直線/的距離分別為

因為=g（4+%）=（（|m|+［而）=曰,

即A到直線/的距離等于"N的一半，所以以跖V為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線歹=——1),即J§x+y—J^=0,

O到直線JGx+y-6=0的距離為1=*,

所以三角形的面積為竺x@=遞

2323

所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

bc

11.若函數(shù)/（》）=。111%+或+3（。/0）既有極大值也有極小值，貝IJ（）.

A.加>0B.ab>0C.狡+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)/（X）的導數(shù)/‘（X）,由已知可得/‘（X）在（0,+8）上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)

化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

bc

【詳解】函數(shù)/（x）=Qlnx+9+W的定義域為（0,+8）,求導得

XX

ab2cax2-bx-2c

八X）二

1-J-p=X3

因為函數(shù)/（X）既有極大值也有極小值,則函數(shù)/（X）在（0,+8）上有兩個變號零點，而。W0,

因此方程以2-&-2c=0有兩個不等的正根再多，

△=/+Sac>0

于是<西+%2=2〉0,即有〃+8ac>0，ab>0,。。<0,顯然a26c<0，即6c<0,

a

2c

X^2—----->0

、a

A錯誤，BCD正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<a<l),

收到0的概率為1-a；發(fā)送1時，收到0的概率為萬(0<夕<1),收到1的概率為1-夕.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號

即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1).

A,采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(1-")2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-/>+(1-夕)3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率

計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為?！?(1—a)(l—￡)=(1—a)?！?，？，A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-6)?夕力)=/?(1-尸產(chǎn)，B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1，1,1的事件和，

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C；尸(1—萬>+(1—尸)3=(1—尸)2(1+2萬)，C

錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=(1-@)2(1+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P'=l-a,而0<a<0.5,

因此尸—P'=(l—a)2(l+2a)—(1—a)=a(l—a)(l—2a)〉0,即尸〉P,D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量向,B滿足|萬—可=百，可=怩—可，則問=.

【答案】V3

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令：力，結(jié)

合數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】法一：因為B+可=恢—可，即,+引=(2G—盯，

r?rrr?r?rrr?9

則a+2a?b+b=4a-4a-b+bf整理得Q-2a-b=09

又因為|萬-可=百，即"B)2=3,

^a-2a-b+b=b=3>所以忖="

xL?rirrrrrrrr

法二：設(shè)c=J-b，貝“4=j3,a+b=c+2仇2a-b=2c+b,

zrr、2/rr、2prr0Drr0

由題意可得：(c+26)=(2c+bj,貝丹一2+4c力+4獷=4c-+4c功+必，

整理得：￡=”，即力=口=百.

故答案為：>/3.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一；割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于一=—,而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為；x3x（16+4+Ji^）=28.

故答案為：28.

E

15.已知直線/：x—叼+1=0與—=4交于兩點，寫出滿足。面

Q

積為一”的m的一個值______.

5--------

【答案】2（2,—2,工,—工中任意一個皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長以巨，以及點C到直線48的距離，結(jié)合面

積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線N5的距離為d,由弦長公式得以同=2"—屋,

所以5.〃。=1^4>2,4_（/2=[,解得：d=竽或1=孚，

11+11224#22-75

由d=7=I,所以一^^^^二----或/==-----，解得：加=±2或

W+加，1+加J1+冽25J1+加25

1

m=+—.

2

故答案為：2（2,-2,工,-L中任意一個皆可以）.

22

16.已知函數(shù)/（x）=sin（&x+°）,如圖/,2是直線y=；與曲線y=/（x）的兩個交點,

【答案】上

2

【解析】

【分析】設(shè)/卜|,：）5[2，\],依題可得，/—X]=W，結(jié)合sinx=；的解可得，

。（3一%）=/，從而得到①的值，再根據(jù)/[：兀1=0以及/（0）＜°，即可得

/（x）=sin14x-1■兀），進而求得/（兀）.

【詳解】設(shè)/1,￡|,312,￡|,由|48|=：可得/_藥=：，

（兀、5兀

由sinx=—可知，x——F2左兀或x=---F2左兀，kwZ,由圖可知，

266

+0-(口$+0)=%兀-x=-^-，即①(4一$)=~g=4.

因為了sin一+0=0,所以一+0=左兀，即0=——兀+左兀，k￡Z.

所以/(x)=sin14x-g兀+反.27)

=sm4Ax——Ti+fcji,

I3

所以小…4xf或/⑴-n4x-2

—71

3

.(.2)

又因為/（0）＜0,所以/（x）=sml4x-jTTI,，/（兀）=sin|47T--7T

I3

故答案為：-也.

2

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出0以及函數(shù)/（x）的表達式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.記入4BC的內(nèi)角48,。的對邊分別為a,6,c,已知“BC的面積為若，。為5C中點，

且40=1.

7T

（1）若ZADC――,求tanB；

3

（2）若〃+C2=8，求瓦C.

【答案】（1）M

5

（2）b=c=2.

【解析】

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答：方法2,利

用三角形面積公式求出作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出N4DC即可求解作答：方

法2,利用向量運算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出/4DC即可求解作答.

【小問1詳解】

TT

方法1：在中，因為。為5c中點，ZADC=~,AD=1,

A

在中，ZADB=—,由余弦定理得C2=5Z)2+4D2_2&).4DCOSN^D5,

即c?=4+1—2x2xlx(—工)=7,解得c=近，則cos5=7T~,

22V7x214

所以tan8=@^=^

cos55,

7T

方法2：在AASC中，因為。為5C中點，NADC=—，AD=1,

3

=-ADDCsinZADC=-xlx—ax^-=^-a=

則sAnc2-5^A_oL.=—2，解得。=4,

22228

在“CD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CDADcosZADB，

即〃=4+l-2x2xlx；=3,解得b=G，有2。2+32=4=c°2,則“/。音,

。=2，過人作/￡，3。于￡,于是?！?/。85。=3,，￡=/。5由。=@，8￡=2

6222

所以32=需=方

【小問2詳解】

2121

c——tz+1-2X,QX1XCOS(兀-//DC)

方法1：在小ABD與"CD中，由余弦定理得《

11

b——a9+1—2x—(2x1xcos^-A.DC

42

整理得:/+2=〃+°2,而/+°2=8,貝0=26,

1C

又S“oc=5xGxl><sinNADC=y解得sinN/￡>C=L而°<44℃<心于是

所以z,=c=Jm+m=2.

方法2：在AZ8C中，因為。為中點，則2%萬=存+元，又赤=15一正，

于是4赤2+而2=(赤+%工+(方—=2(〃+c2)=i6，即4+/=16，解得

a=2^3，

又S/?=,xGxlxsin44℃=，解得sinN4DC=L而°<44℃<兀，于是

皿22

ZADC=~,

2

所以』=c=Jm+m=2.

zX「?！币?,〃為奇數(shù)ZX.、

18.%為等差數(shù)列，bn=\：，記S“，1分別為數(shù)列％,也,的前〃

[24,〃為偶數(shù)

項和,$4=32,3=16.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）證明：當〃>5時，Tn>Sn.

【答案】（1）%=2〃+3；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用火,d表示J及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出7；,并與S“作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S”，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式

求出北，并與S“作差比較作答.

【小問1詳解】

a“-6,n=2k-T/

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而么=<〃，左wN*,

2an,n-2k

貝ijbx-ax-6,b2=2a2-2ax+2d,4=%—6=%+2d—6,

S4-44]+6d=32

于是《解得4=5,d=2,an=ax+(n-l)d=2〃+3,

T3=4q+4d—12=16

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是%=2?+3.

【小問2詳解】

.,,,”(5+21+3)”2n-3,n=2k-1*

方法1：由(z1x)知，S=----------=?'2+4?4水￡N*,

〃24〃+6,”=2左

當〃為偶數(shù)時，bn_x+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)n7

H■-n

2222

32721

當〃>5時，Tn-Sn=(-?+-?)-(?+4?)=-?(?-1)>0,因此北〉S“，

327325

當〃為奇數(shù)時，Tn=Tn+l-bn+l=-(?+1)+-(?+l)-[4(?+1)+6]=|?+-H-5,

351

當〃>5時，7；,-5?=(-//2+-/7-5)-(?2+4?)=-(?+2)(?-5)>0,因此<〉S”,

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

2n-3,n=2k—1*

、、上,,門”(5+2〃+3)2

方法2：由(z1x)知，S=--------------=W+4?bn，%N*,

〃24〃+6/=2左

當〃為偶數(shù)時,

—1+2(〃一1)—3n14+4〃+6n

(二色+4+…+如升電+4+…+砧=-----------------------------------------1-------------------------

222222

371

當〃>5時，7；-=(-772+-H)-(722+4/3)=-Z7(77-1)>0,因此北>5〃,

當〃為奇數(shù)時，若〃23,貝I」

一1+2〃一3n+\14+4(72-1)+6n-\

7=(4+4+???+4)+電+"+???+%)=

22-2~T~

3535

22

=-n+-n-5,顯然7；=4=-1滿足上式，因此當〃為奇數(shù)時，Tn=-n+-n-5,

2222

351

當〃>5時，7；-S?=(1n2+-/7-5)-(?2+4?)=-(?+2)(?-5)>0,因此7；〉S“,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性，小于

或等于。的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為0(c);

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)

生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率0(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=0(c)+q(c),當ce［95/05］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)

間［95,105］的最小值.

【答案】⑴c=97.5,#)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

(2)/(c)=<，最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出。，再根據(jù)第二個圖求出cN97.5的矩形面積即

可解出；

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即

可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得:c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5-95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當ce［95,100］時,

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0,002

=-0.008c+0.82>0.02；

當ce(100,105］時，

/(c)=p(c)+q(c)=5x0,002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002

=0.01c—0.98>0.02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=1,

t0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐/—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60°.

E為BC的中點.

(1)證明：BCLDA；

(2)點尸滿足麗=方彳，求二面角。-4B-廠的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)T

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意易證1平面,從而證得3CLD4；

(2)由題可證平面BCD,所以以點E為原點，即,￡8,區(qū)4所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標系，再求出平面48。,48廠的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式

以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【小問1詳解】

連接因為￡為中點，DB=DC,所以。①，

因為ZU=￡)5=￡)C,ZADB=ZADC=60°)