2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-圓

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題21圓

一、選擇題

L“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)就是利用了萊洛三

角形.它是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作弧形成的圖形，如圖2所示.若正三角

形的邊長為3,則該“萊洛三角形”的面積為（）

A97r9V39兀9V3「9TT9V39TT9V3

"22-R"4丁+丁N丁+丁

2.如圖，是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的月牙問題，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分

別為Rt△ABC的三條邊，若BC=12，乙4cB=30。，則陰影部分的面積為（）

A.18V3-7TB.18V3C.18V3+2TCD.8V3+27T

3.如圖1,是清代數(shù)學(xué)家李之鉉在他的著作《幾何易簡集》中研究過的一個(gè)圖形，小圓同學(xué)在研究該

圖形后設(shè)計(jì)了圖2,延長正方形4BCD的邊BC至點(diǎn)M,作矩形4BMN,以BM為直徑作半圓。交CD于點(diǎn)E,

以CE為邊做正方形CEFG,G在BC上，記正方形ABCD,正方形CEFG,矩形CMND的面積分別為S。S2,

圖1圖2

A3+*/^B1+V^C3+V^D

''~^2~'~T~'~^2~

4.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械字家萊洛首先進(jìn)行研究的.弧三角形是這樣畫的：先畫正三角

形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，（曉觀數(shù)學(xué)）其邊長為半徑畫弧得到的三角形.在大片的麥田或農(nóng)田

中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱為‘'麥田怪圈''.圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某

研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成員甲先借繩子繞行一周畫出。。，再將

Q0三等分，得到A,B,C三點(diǎn).接著，成員乙分別以A,B,C為圓心畫出圖中的弧三

角形.研究小組在A,B,C,0四點(diǎn)中的某一點(diǎn)放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為P,

成員乙所在的位置為Q,若將射線0B繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量%

（單位：°,0<%<360）,甲、乙兩人到檢測儀器的距離分別記為yi和y2（單位：m）,繪

制出兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖3）.

結(jié)合以上信息判斷，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

6后

S3

A.O。的半徑為6mB.圖3中a的值為270

C.當(dāng)x=60時(shí)，yi取得最大值12D.檢測儀器放置在點(diǎn)A處

二'填空題

5.（新知探究）新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿足學(xué)=k（k為定值）的P點(diǎn)形成的圖形是

圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”,

（問題解決）如圖，在AABC中，CB=4,AB=2AC,則4ABC面積的最大值為

6.如圖，A,B,C為。O上相鄰的三個(gè)n等分點(diǎn)，協(xié)=元，點(diǎn)E在比上，EF為。。的直徑，

將。O沿EF折疊，使點(diǎn)A與A唯合，點(diǎn)B與重合，連接EB\EC,EA\設(shè)EB，=b,EC=c,EAr=p.現(xiàn)

探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時(shí)，p=b+c.請繼續(xù)探究b,c,p三者的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)n=4

時(shí)，p=；當(dāng)n=12時(shí),p=.

（參考數(shù)據(jù)：$m15。=儂75。=字,cosl5°=sin75-早）

三'理論探究題

7.【定義新知】

如圖1,C,。是。0上兩點(diǎn),且在直徑4B的上方，若直徑AB上存在一點(diǎn)P,連接CP、DP,滿足

AAPC=乙BPD,貝IJ稱NCPD是CD的“幸運(yùn)角”.

（1）【問題探究】如圖2,4B是。。的直徑，弦CE14B,。是BC上的一點(diǎn)，連接DE交于點(diǎn)P,

連接CP.

①NCPD是CD的“幸運(yùn)角”嗎？請說明理由；

②設(shè)CD所對的圓心角為n,請用含九的式子表示CD的“幸運(yùn)角”的度數(shù)；

（2）【拓展延伸】如圖3,在（1）的條件下，若直徑4B=10,C。的“幸運(yùn)角”為90。，DE=8,

求CE的長.

8.【問題呈現(xiàn)】小華在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題:

點(diǎn)4為。。內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，確定點(diǎn)P的位置，使線段4尸最長.

(1)【問題解決】以下是小華的方法:

如圖①，連結(jié)4。并延長交O。于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求.

理由如下：在。。上取點(diǎn)P'(異于點(diǎn)P),連結(jié)ZP'、0P'.

接下來只需證明2P>4P'.

請你補(bǔ)全小華的證明過程.

(2)【類比結(jié)論】點(diǎn)/為。。外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。。的半徑為r,4。的長為m,則

線段4P長度的最大值為，線段AP長度的最小值為.(用含小爪的代數(shù)式表示)

(3)【拓展延伸】如圖②，在半圓。中，直徑4B的長為10,點(diǎn)0在半圓。上，=6,點(diǎn)C在劭

上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)4C,H是ZC上一點(diǎn)，且ADHC=90。，連結(jié)B凡在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，線段長度的最小

值為.

9.定義：當(dāng)點(diǎn)尸在射線0/上時(shí)，把黑的值叫做點(diǎn)尸在射線0/上的射影值；當(dāng)點(diǎn)尸不在射線。/

上時(shí)，把射線OA上與點(diǎn)P最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)尸在射線OA上的射影值.

例如：如圖1,△043三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，3尸是CM邊上的高，則點(diǎn)尸和點(diǎn)3在射線04上的

射影值均為囂凸.

Cz/1D

(1)在△04B中，

①點(diǎn)B在射線OA上的射影值小于1時(shí)，則△0/8是銳角二角形；

②點(diǎn)B在射線OA上的射影值等于1時(shí)，則△04B是直角三角形；

③點(diǎn)B在射線OA上的射影值大于1時(shí)，則是鈍角三角形.

其中真命題有▲.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

(2)已知：點(diǎn)C是射線04上一點(diǎn)，G4=O/=1,以。為圓心，04為半徑畫圓，點(diǎn)5是。。上

任意點(diǎn).

①如圖2,若點(diǎn)3在射線。/上的射影值為常求證：直線3c是。。的切線；

②如圖3,已知。為線段3c的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。在射線。4上的射影值為x,點(diǎn)D在射線08上的射

影值為外直接寫出了與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

10.

（1）知識重現(xiàn)：如圖1,我們已經(jīng)分三種情況探究了一條弧所對的圓周角ZBAC和它所對的圓心角

NBOC的數(shù)量關(guān)系.

圖1

①直接寫出NB4C和NBOC的數(shù)量關(guān)系▲.

②任選一種情況進(jìn)行證明.

（2）遷移應(yīng)用：如圖2,已知△4BC內(nèi)接于。0,直線DE是O。切線，切點(diǎn)為A,求證:NC4E=乙4BC.

D

A

E

11.綜合探究

（一）新知學(xué)習(xí)：

人教版數(shù)學(xué)九年級上教材第119頁《探究四點(diǎn)共圓的條件》發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果

四邊形對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊新內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFG〃的對角互補(bǔ)，那么四邊形EPGH的

四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、〃都在同個(gè)圓上）.

（二）問題解決：

已知。。的半徑為2,AB,CD是。。的直徑，尸是BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作AB,CD的垂線,

垂足分別為N,M.

（1）若直徑AB1CD（如圖1）,在點(diǎn)尸（不與8、C重合）從8運(yùn)動(dòng)到C的過程中，MN的長是

否為定值，若是，請并求出其定值；若不是，請說明理由.

（2）若直徑力B與CD相交成120。角，當(dāng)點(diǎn)P（不與3、C重合）從8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的過程中（如圖

2）,證明MN的長為定值.

（3）試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長取最大值，并寫出其最大值.

12.

（1）【基礎(chǔ)鞏固】

如圖1,點(diǎn)A,F,B在同一直線上，若乙4=NB=NEFC,求證：&AFE?4BCF；

（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2,AB是半圓。。的直徑，弦長4c=BC=4,E,F分別是AC,AB上的一點(diǎn)，4CFE=45°,

若設(shè)BF=K，AE=y,求出y與無的函數(shù)關(guān)系.

（3）【拓展提高】

已知。是等邊AZBC邊AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)將AZBC折疊，使點(diǎn)C與。重合，折痕為EF,點(diǎn)E,F分別

在AC和BC上.如圖3,如果4。：BD=1：n,求CE：CF的值（用含n的代數(shù)式表示）.

13.先閱讀材料，再解答問題：

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時(shí)了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等.如

圖1,點(diǎn)Z,B,C,。均為。。上的點(diǎn)，則有NC=AD.小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)￡在。。外，且與點(diǎn)。在

直線ZB同側(cè)，則有乙D＞乙E.

請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題:

yk

問題：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的

坐標(biāo)為(2,0).

(1)在圖2中作出△ABC的外接圓(保留必要的作圖痕跡，不寫作法)，并求出此圓與x軸的另一

個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4P、BP,當(dāng)乙4PB達(dá)到最大時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

14.有關(guān)阿基米德折弦定理的探討與應(yīng)用

(1)［問題呈現(xiàn)］

阿基術(shù)德折弦定理：如圖①，AB和BC是。。的兩條弦(即折線AB-BC是圓的一條折弦)，BO

AB,點(diǎn)M是2BC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC作垂線，垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA.

下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.

證明：如圖②，在CD上截取CE=AB,連接MA、MB、MC和ME.

YM是ABC的中點(diǎn)，；.MA=MC.

請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

（2）［理解運(yùn)用］

如圖③,4ABC內(nèi)接于。0,過點(diǎn)0作0DLAB于點(diǎn)D,延長D0交。0于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFXAC

于點(diǎn)E若AC=10,BC=4,則CF的長為.

（3）［實(shí)踐應(yīng)用］

如圖④，等邊4ABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且NABD=45。，連接CD.若AB=2,MABDC

的周長為

15.定義：兩個(gè)角對應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做“青竹三角形”.如圖甲所示,

在4ABC和4DEF中，若乙4+zE=zB+AD=90°,且4B=DE,則4ABC和DEF是“青竹三角形”.

丙

（1）下列四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個(gè)“青竹三角形”的是，（填序號）

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形

（2）如圖乙所示，在AABC中，44cB=90°,4C=BC,點(diǎn)。是AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B

重合），設(shè)AD,BD,CD的長分別為a,b,c,請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a,b的式子

來表示?2.

（3）如圖丙所示，。0的半徑為4,四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，且△力BC和△力DC是“青

竹三角形”.

①求知2+BC2的值；

②若=乙4BC=75°,求△ABC和△2DC的周長之差.

16.若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60。，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”.

（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有;

②若矩形是“美麗四邊形"，且4B=1,則BC=；

（2）如圖1,“美麗四邊形”力BCD內(nèi)接于。0,AC與BD相交于點(diǎn)P,且對角線4C,為直徑，AP=2,

PC=8,求另一條對角線BD的長；

（3）如圖2,平面直角坐標(biāo)系中，已知“美麗四邊形"BCD的四個(gè)頂點(diǎn)4（一2,0）,C（L0）,B

在第三象限，。在第一象限，2C與BD交于點(diǎn)。，且四邊形4BCC的面積為6百，若二次函數(shù)y=a/+

bx+b、c為常數(shù)，且a。0）的圖象同時(shí)經(jīng)過這四個(gè)頂點(diǎn)，求a的值.

（1）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在。。上，AAOB=90°,貝I」銳角乙4PB的大小為度.

（2）【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，。。是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上（點(diǎn)

P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)24、PB、PC.求證：PB=PA+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E,使4E=PC,

連結(jié)BE,通過證明APBCmAEB4可推得PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長PA至點(diǎn)E,使4E=PC,連結(jié)BE,

???四邊形4BCP是。。的內(nèi)接四邊形,

^BAP+Z.BCP=180°.

???乙BAP+乙BAE=180°,

Z.BCP=乙BAE.

???△4BC是等邊三角形.

??.BA=BC,

??.△PBC=△EBARAS）

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

（3）【應(yīng)用】如圖③，O。是△力BC的外接圓，AABC=90°,2B=BC,點(diǎn)P在。。上，且點(diǎn)P

與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)24、PB、PC.若PB=2VIP/1，則器的值為.

p

（圖2）（圖3）

如圖1,。。是等腰△4BC的外接圓，AB=AC,在數(shù)上取一點(diǎn)尸，連結(jié)4P,BP,CP.求證：ZAPB

ZPAC+ZPCA；

（2）【思考探究】

如圖2,在（1）條件下，若點(diǎn)尸為公的中點(diǎn)，48=6,PB=5,求E4的值;

（3）【拓展延伸】

如圖3,。。的半徑為5,弦BC=6,弦CP=5,延長4P交的延長線于點(diǎn)￡,且NABP=NE,

求4PWE的值.

19.如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4、B、C、D、

M均為格點(diǎn).

（1）【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相

垂直的線段AB、CD,相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整:

解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E,構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是AABC和4CDE.

1

在RtAABC中,tan/BAC=,

在RtaCDE中，,

所以tanZ-BAC—tanzDCE.

所以NB4C=NDCE.

因?yàn)?/CP+NDCE=ZACB=90°,

所以N4CP+ZBAC=90°,

所以N4PC=90°,

即AB_LCD

(2)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)。為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找

出一點(diǎn)P,使P"=AM,寫出作法，并給出證明：

(3)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)。為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點(diǎn)P.

使4M2=ZP/B,寫出作法，不用證明.

20.【問題提出】

如圖1,。。與直線a相離，過圓心。作直線a的垂線，垂足為4,且交。。于P、Q兩點(diǎn)(Q在P、H

之間).我們把點(diǎn)P稱為。。關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ-PH的值稱為O。關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4),過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線zn,則半

徑為1的。。關(guān)于直線血的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是,直線血向下平移個(gè)單位長度后與

O0相切.

(2)在(1)的條件下求。。關(guān)于直線M的“遠(yuǎn)望數(shù)”.

(3)【拓展應(yīng)用】

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系％0y中，直線/經(jīng)過點(diǎn)0),與y軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,2),

以F為圓心，OF為半徑作OF.若。F與直線［相離，。是。F關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且OF關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)

望數(shù)”是12曲，求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

21.閱讀資料：如圖1,在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為AQi，y。，B(x2,y2),

由勾股定理得=|%2-打產(chǎn)+也-月產(chǎn)，所以4B兩點(diǎn)間的距離為

4B=」(工2—％1)2+(g—月)2?我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2,在

平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(x,y)為圓上任意一點(diǎn)，則4到原點(diǎn)的距離的平方為。4=?工一。/十一

0|2,當(dāng)。。的半徑為r時(shí)，。0的方程可寫為：x2+y2^r2.

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P(a,b),半徑為r,那么OP的方程可以寫為-a)2+(y-b)2=N.

綜合應(yīng)用：如圖3,OP與久軸相切于原點(diǎn)0,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),力是OP上一點(diǎn)，連接04使

(1)求證ZB是(DP的切線；

(2)是否存在到四點(diǎn)0,P,A,B距離都相等的點(diǎn)Q?若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心,

以。Q為半徑的。。的方程；若不存在，說明理由.

22.如圖

(1)【根底鞏固】

如圖，在A4BC中，。為4B上一點(diǎn)，Z4C￡)=ZB.求證：AC2=AD-AB.

(2)【嘗試應(yīng)用】

如圖2,在菱形ZBC。中，E,F分別為BC,DC上的點(diǎn)，且=射線AE1交DC

的延長線與點(diǎn)M,射線AF交BC的延長線于點(diǎn)N.若AF=4,CF=2.AM=10.

求：①CM的長；

@FN的長.

（3）【拓展進(jìn)步】

如圖3,在菱形4BCC中，4B=6,ZB=6O。，以點(diǎn)B為圓心作半徑為3的圓，其中點(diǎn)P是圓上

的動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出PD+±PC的最小值.

23.閱讀材料，某個(gè)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)：在等腰A4BC中，AD平分ZB4C,'：AB=AC,BD=CD,

...票=黑，他們猜想：在任意AABC中，一個(gè)內(nèi)角角平分線分對邊所成的兩條線段與這個(gè)內(nèi)角的兩

邊對應(yīng)成比例.

【證明猜想】如圖1所示，在AZBC中，AD平分NB4C,求證：器=器.

丹丹認(rèn)為，可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明；

思思認(rèn)為，可以通過比較△4CD面積的角度來證明.

（1）請你從上面的方法中選擇一種進(jìn)行證明.

（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2,。。是RtAZBC的夕卜接圓，點(diǎn)E是。。上一點(diǎn)（與B不重合，且2B=4E,

連結(jié)4E,并延長AE,BC交于點(diǎn)D,H為AE的中點(diǎn)，連結(jié)BH交AC于點(diǎn)G,求需的值.

（3）【拓展提高】如圖3,在（2）的條件下，延長交。。于點(diǎn)F,若BE=EF,GH=x,求。。

的直徑（用x的代數(shù)式表示）.

24.請閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，同學(xué)們在探索與圓有關(guān)的角的過程中發(fā)現(xiàn)這些角的兩邊都與圓相交，不斷

改變頂點(diǎn)的位置，可形成無數(shù)個(gè)角，而根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可將這些角分為三類，分別是

頂點(diǎn)在圓上、圓外和圓內(nèi)的角結(jié)合教學(xué)課上學(xué)習(xí)的圓周角的概念，對頂點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)的角

進(jìn)行定義：頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫做圓外角.頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊都與圓相交的角叫

做圓內(nèi)角，如圖1,乙4P1B和乙4P2B分別是4B所對的圓外角和圓內(nèi)角.

p、

p

圖1

如圖2,點(diǎn)4B在。。上，乙4PB為4B所對的一個(gè)圓外角ZP,BP分別交。0于點(diǎn)C,D.若

^AOB=120°,CD所對的圓心角為50。，求乙4PB.勤奮小組的解題過程（部分）如下:

解：如圖2,連接AD,OC,OD.

■：“DB是4B所對的圓周角，且Z20B=120°,

1

ZADB="AOB=60°.

任務(wù):

圖3

（1）如圖1,在探究與圓有關(guān)的角時(shí)，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是:

A.公理化思想B.分類討論C.數(shù)形結(jié)合

（2）將勤奮小組的解題過程補(bǔ)充完整；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在。0內(nèi)時(shí)，乙4PB是所對的一個(gè)圓內(nèi)角，延長力P交。。于點(diǎn)C,延長BP

交。。于點(diǎn)。，若設(shè)乙4OB=zn。，CD所對的圓心角為相，貝I］乙4PB=<

四'實(shí)踐探究題

25.小學(xué)階段，我們了解到圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有的點(diǎn)組成的圖形叫做圓。在一節(jié)

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師手拿著三個(gè)正方形硬紙板和幾個(gè)不同的圓形的盤子，他向同學(xué)們提出了這樣

一個(gè)問題：已知手中圓盤的直徑為13cm,手中的三個(gè)正方形硬紙板的邊長均為5cm,若將三個(gè)正方

形紙板不重疊地放在桌面上，能否用這個(gè)圓盤將其蓋?。繂栴}提出后，同學(xué)們七嘴八舌，經(jīng)過討論，

大家得出了一致性的結(jié)論是：本題實(shí)際上是求在不同情況下將三個(gè)正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，

圓盤能蓋住時(shí)的最小直徑.然后將各種情形下的直徑值與13cM進(jìn)行比較，若小于或等于13cm就能蓋

住，反之，則不能蓋住.老師把同學(xué)們探索性畫出的四類圖形畫在黑板上，如圖所示.

(1)通過計(jì)算，在圖1中圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應(yīng)為cm.(填準(zhǔn)確數(shù)

(2)圖2能蓋住三個(gè)正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm,圖3能蓋住三個(gè)正方形

硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm.(填準(zhǔn)確數(shù))

(3)拓展：按圖4中的放置，三個(gè)正方形放置后為軸對稱圖形，當(dāng)圓心。落在GH邊上時(shí)，圓的直

徑是多少，請你寫出該種情況下求圓盤最小直徑的過程，并判斷是否能蓋住.(計(jì)算中可能用到的數(shù)據(jù),

為了計(jì)算方便，本問在計(jì)算過程中，根據(jù)實(shí)際情況最后的結(jié)果可對個(gè)別數(shù)據(jù)取整數(shù))

26.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、B、C在半徑為1的。。上靜止不

動(dòng)，第四只螞蟻P在。。上的移動(dòng)，并始終保持乙4PC=NCPB=60。.

A

備用圖

(1)請判斷AABC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請你回答這個(gè)結(jié)論：A/BC是

三角形；

(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在。。上的移動(dòng)時(shí)，線段24、PB、PC三者之

間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：▲,并加以證明；

(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且

始終位于線段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段BM的最

小值是(不寫解答過程，直接寫出結(jié)果).

27.【定義】從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所成的

最大角稱為該點(diǎn)對已知圖形的視角，如圖①，乙4PB是點(diǎn)P對線段力B的視角.

如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（2,V3）,5（2,2遮），C（3,遍），則原點(diǎn)0對三角形2BC的視

角為;

（2）如圖③），在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0,半徑為2回圓。1，以原點(diǎn)0,半徑為4圓圓。2，證明：

圓。2上任意一點(diǎn)P對圓。1的視角是定值；

（3）【拓展應(yīng)用】

很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性

建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45。的位置拍攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建

立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線的表達(dá)式為x=-5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出直

線上滿足條件的位置坐標(biāo).

B

④⑤

28.小輝同學(xué)觀看2022卡塔爾世界杯時(shí)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點(diǎn)射門（僅從射門角

度大小考慮）.這引起了小輝同學(xué)的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學(xué)探究.

Q

B

【提出問題】如圖所示.球員帶球沿直線BC奔向球門PQ,

探究：是否存在一個(gè)位置，使得射門角度最大.

【分析問題】因?yàn)榫€段PQ長度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角.

如圖1,射線BC與。。相交，點(diǎn)M,點(diǎn)A,點(diǎn)N分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接

NP,NQ,AP,AQ,MP,MQ.

(1)如圖1,比較ZPMQ、ZP2Q、ZPNQ的大小：(用連接起來).

(2)如圖2,點(diǎn)A是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A不與點(diǎn)B重合).證明：當(dāng)△力PQ的外接圓。。與射

線相切時(shí)，ZP4Q最大.

(3)【延伸拓展】在(2)的條件下，如果PQ=4,PB=5,tanB=2.當(dāng)NP4Q最大時(shí).證明：乙巴4Q=

90°—ZB.

29.【閱讀理解】：如圖，在RtAABC中，a,b,c分別是乙4,乙8,NC的對邊，NC=90。，其外接圓

半徑為R.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinZ=*sinB=-，可得芻=4=c=2R,即三=4=

ccsin4sinBsmAsinB

缶=2R(規(guī)定sin90。=1).

(1)【探究活動(dòng)】：如圖，在銳角A/IBC中，a,b,c分別是乙4,乙B,NC的對邊，其外接圓半徑為

R,那么：島--------------------盛(用〉「或〈連接)，并說明理

A

■OB

(2)【初步應(yīng)用】：事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形.在乙4BC中，a,b,c分別是乙4,乙B,乙C

的對邊.已知NB=30°,ZC=45°,b=?求c.

(3)【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小瑩同學(xué)測量一棟樓4B的高度，在A處用測角

儀測得地面點(diǎn)C處的俯角為45。，點(diǎn)D處的俯角為15。，B,C,D在一條直線上，且C,D兩點(diǎn)的距

離為100m,求樓4B的高度.(參考數(shù)據(jù)：遮Z1.7,sinIS。：與生)

□

□

□

□

30.【問題探究】

(1)如圖1,在菱形4BCD中，AB=3,4F_LBC于點(diǎn)F,FC=2,4F與。B交于點(diǎn)N,則FN的長

為_________

(2)如圖2,點(diǎn)M是正方形2BCD對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM,AH1于點(diǎn)H,連接CH.若=2,

在M點(diǎn)從C到A的運(yùn)動(dòng)過程中，求CH的最小值；

(3)【問題解決】

如圖3,某市欲規(guī)劃一塊形如矩形4BCD的休閑旅游觀光區(qū)，其中AB=800米，BC=600米，點(diǎn)E、

F是觀光區(qū)的兩個(gè)入口(點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn))，P,Q分別在線段4E,CF上，設(shè)計(jì)者欲從P

到Q修建綠化帶PQ，從B到H修建綠化帶BH,綠化帶寬度忽略不計(jì)，且滿足FQ=2PE,點(diǎn)H在PQ

上，BH1PQ.為了方便市民游覽，計(jì)劃從D到H修建觀光通道根據(jù)設(shè)計(jì)要求，請你幫助設(shè)計(jì)

者求出觀光通道的最小值.

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】竽

6.【答案】c+V2b；c+在署b

7.【答案】⑴解：①卬。是CD的“幸運(yùn)角”.

理由：???AB是。。的直徑，弦CELAB,

EF=CF,PE=PC,

/.CPA=Z.EPA.

■：乙DPB=Z.EPA,

：■乙DPB=/.CPA,

???ZCPD是CD的“幸運(yùn)角”.

②???CD所對的圓心角為n,

77

???MED=

???PC=PE,

ri

???乙CED=乙ECP=多

???Z,CPD=乙CED+（ECP=n,

CD的“幸運(yùn)角”的度數(shù)為上

（2）解:連接C。，DO,如圖3,

???CD的“幸運(yùn)角”為90°,

ACPD=乙CPE=90°.

由(1)知PE=PC,

???乙CED=45°,貝Ik。。。=90°.

-AB=10,

OC=OD=5,

???CD-J52+52=5V2-

設(shè)PE=PC=x,貝!JPD=8-%,

?,?%2+(8—%)2=50,

解得：=1,冷=7，

CE=712+l2=&或CE=”+72=7V2-

8.【答案】(1)解：如圖①，連結(jié)4。并延長交。。于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求.

理由如下：在。。上取點(diǎn)P'(異于點(diǎn)P),連結(jié)AP'、OP'.

在△40PZ0P中，OA+OP'>APAP',

■：OP=OP',

OA+OP>AP',

即ZP>AP'-,

(2)m+r；m—r

(3)V73-3

9.【答案】(1)C

,/點(diǎn)B在射線OA上的射影值為最

.OH_1OB_1「A_CA—CRT

.?雙=2'砒=2'CA-OA-OB-1,

.OH_OB

?,砒一祝'

又：NBOH=NCOB,

.,.△BOH^ACOB,

.,.ZBHO=ZCBO=90°,

ABCXOB,

二直線BC是。O的切線;

（2）y=0<x<或y=2x_^（-1-<x<.

10.【答案】⑴解：①猜想：NBaC=&BOC;

②證明：情況1,作直徑AD,:。?！=OB,/.Zl=Z3,C.^BOD=Zl+Z3=2/1,同理NC。。=222,

i

Z.乙BOC=乙BOD+乙COD=2ABAC,：.ABAC=RBOC.

（情況1）（情況2）（情況3）

情況2,當(dāng)點(diǎn)O在NB/C的一邊時(shí),'：0A=OC,.\Z1=Z2,由外角可得，/.BOC=Zl+Z2,

11

：.ABOC=2Z1,:.乙L=/BOC,即NB4C=>BOC.

情況3,?.?。4=OB,."OAB=zOBA,."BOD=NOAB+Z0B4=2Z04B,同理"OD=2z￡MC,

:.乙BOC=乙COD—乙BOD=2/.DAC-2/.OAB=2乙BAC,：.^BAC^^BOC.

三種情況任選一種

（2）解：作直徑AF,交。。于F,連接CF,

：DE為。。的切線，OAIDE,J.^CAE+/.FAC=90°,

：AF為。。的直徑，：.^ACF=90°,：.^AFC+^FAC=90°,

J.AAFC=^CAE,'：^CBA=AAFC,J.ACAE=AABC

11.【答案】（1）如圖1,

c

圖i

???AB1OC,即NBOC=90。，

???乙BOC=APMO=NPN。=90°,

四邊形PMON是矩形，

MN=OP=2,

??.MN的長為定值，該定值為2；

(2)設(shè)四邊形PMON的外接圓為O。'，連接NO’并延長,

交。。'于點(diǎn)Q,連接QM,如圖3,

圖3

則有ZQMN=90°,乙MQN=乙MPN=60°,

在RtAQMN中，sin乙MQN=需,

MN=QN-sin乙MQN,

MN=OP-sin^MQN=2xsin60°=2x亭=后

MN是定值.

（3）由（2）得MN=OP-sin乙MQN=2sin乙MQN.

當(dāng)直徑AB與CD相交成90。角時(shí)，乙MQN=180°-90°=90°,MN取得最大值2.

12.【答案】（1）證明：：NA=NEFC,

???乙E+Z-EFA=Z.EFA+乙CFB,

???乙E=Z-CFB,

AFE^△BCF；

(2)解：???AB是。。的直徑，

:.Z-ACB=90°,

???AB=y/AC2+BC2=4V2,

???AC=BC,

/.A=Z-B=45,

：.Z-A=Z.B=Z.CFE=45°,

由(1)可得△AFEs/XBCF,

A^_AF_

'"BF='BC，

即y-4&—%

x4'

△AFE^ABCF,

1

???y=-4/+V2x(0<x<4V2)；

(3)解：連接DE,DF,

A

區(qū)

B/FC

圖3

EFC與公EFD關(guān)于EF對稱，

/.EDF=/-ECF=60°,EC=ED,FC=FD,

v乙BDF+乙EDF=Z.BDE=zX+乙DEA,

???z_EDF=LA=60°,

?，?Z-BDF=乙DEA,

???△ADE^△BFD,

設(shè)Z。=x,CE=DE=a,CF=DF=b,

???AD：BD=1：n,

.??DB—nx,

AB=(n+l)x=AC=BC,

???AE=nx—a,BF=nx—b,

??,△ADE-△BFD,

DE_EAAD

'"DF=~DB=~BF，

a_nx—a_x

A

b=nx=(n+l)x-b

由前兩項(xiàng)得，nax=b[(n+l)x-a]@，

由后兩項(xiàng)得，[(幾+1)%—a][(n+l)x—b]=nx2,

(n+l)[(n+1)%—a]—b[(n+a)—b]=nx2,

???(n+l)[(n+l)x—a]—nax=nx2，

?12+幾+1

解得,久，

a=2n+l

由①得q=由+l)x—a=Q1+1)久=n+2,

b~nx~nx~2n+l

/.CEzCF=(n+2)：(2n+1).

13.【答案】(1)解：AZBC的外接圓如下圖所示，過圓心G作GHlx軸于點(diǎn)連接GB、GC,

由作圖可知GN垂直平分4B,

???乙GNO=ZGHO=乙NOH=90°,

???四邊形GHON為矩形,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),

OB=4,OA=10,OC=2,

1??GN垂直平分4B,

11

BN=專AB=^(0A-OB)=3,

ON=OB+BN=7,

???四邊形GHON為矩形，

OH=GN,GH=ON=7,

在RtAGNB中,GB2BN2+GN2,

在RtAGHC中，GC2=CH2+GH2,

,:GB=GC,

BN2+GN2=CH2+GH2,

設(shè)CH長為K,則32+(久+2)2=>+72,

解得X=9,

CH=9,

CK=2CH=18,

OK=OC+CK=20,

K(20,0),

即此圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,0);

(2)解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2/IU,0).

14.【答案】(1)解：VZA=ZC,MB=CE,

/.△MAB^AMCE,

；.MB=ME,

VMD±BC,

；.BD=DE,

；.CE+DE=AB+BD,

/.CD=DB+BA.

(2)3

(3)2V2+2

15.【答案】(1)②④

(2)解:4ACD與ABCD是“青竹三角形"，02=駕打，理由如下:

過點(diǎn)C作CHXAB于點(diǎn)H,

VZACB=90°,AC=BC,

.\ZACD+ZBCD=90°,ZA+ZB=90°,又CD=CD,

.,.△ACD與ABCD是“青竹三角形”；

VAD=a,BD=b,AB=AD+BD=a+b,

VZACB=90°,AC=BC,CH±AB,

.,.AH=BH=1AB=1(a+b)=CH,

?.DH=BD-BH=&-竽=號，

在RtACDH中，DH2+CH2=CD2,

?c=——2——；

(3)解：①連接DO并延長交圓0于點(diǎn)E,連接AE、CE,

內(nèi)

VAABC與4ADC是“青竹三角形”，

???NACD+NBAC=90。，

,「DE是圓O的直徑，

JNEAD=90。，

???ZAED+ZADE=90°,

又???弧AE=MAE,弧AD=MAD,

???NADE=NACE,NAED=NACD,

???NAED+NBAC=NACD+NBAC=90。，NAED+NACE=NAED+NADE=90。,

???NBAC=NACE,

又：弧AC=MAC,

.,.ZAEC=ZABC,

在AAEC與ACBA中，

VZAEC=ZABC,ZBAC=ZACE,AC=CA,

AAAEC^ACBA(AAS),

/.AE=BC,

在RtAEAD中，AD2+AE2=DE2=82=64,

AD2+BC2=AD2+AE2=64,

即AD2+BC2的值為64；

②連接DO并延長交圓O于點(diǎn)E,連接AE、CE,過點(diǎn)B作BFLAC于點(diǎn)F,

內(nèi)

NBAC=NACD,

???AD=BC,

由①知NBAC=NACE,

???NACE=NACD[NECD=45。，

???NBAC=45。，

ZABC=75°,

???ZACB=60°,

,/△ABC與AADC是“青竹三角形”,

???ZCAD=90°-ZACB=30°,

??,弧CD=MCD,

???ZDEC=30°,

ACD-|DE=4,

??,弧AE=MAE,

???NADE=NACE=45。，

???△ADE是等腰直角三角形，

.".AD-=4A/2,

.,.BC=AD=4V2,

在RtABCF中，BF=BC-sin^ACB=4V2xsin60°=2巡，

ACBF2^/6./7T

在RtAABF中，"=而叱黃=返=443,

T

1?△ABC與AADC的周長之差=(AB+BC+AC)-(CD+AD+AC)=AB-CD=4百—4.

16.【答案】(1)菱形、正方形；百或字

(2)解：過0點(diǎn)作OHLBD,連接0D,

圖3

1

???乙OHP=乙OHD=90°,BH=DH=j-BD,

-AP=2,PC=8,

/.O。直徑ZC=AP+PC=10,

OA=OC=OD=5,

??.OP=O/—ZP=5—2=3,

???四邊形ABCD是“美麗四邊形”，

???“PH=60°,

在Rt△0PH中,sin乙OPH==哆,

OH=亨OP=耍

在Rt△。。“中，DH=y/OD2-OH2=爭,

BD=2DH=V73:

(3)解：過點(diǎn)B作BM1.X軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作DNJ.x軸于點(diǎn)N,

???乙BMO=(DNO=90°,

???四邊形ABCD是“美麗四邊形”,

???乙BOM=乙DON=60°,

???tanZ-DON—=V3?

即冷同

?,?直線BD解析式為y=V3x>

???二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)4(一2,0)、C(l,0),

即與工軸交點(diǎn)為4、C,

二用交點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+2)(x-1),

「f=X""整理得：a/+(a-小-2a=0,

XB+XD——久B?=-2,

2

OB-xD)=OB+%D)2-4久B?久D=(+8，

1111

四邊形=S+SAC+ACDN=ACBM

SABCD^ABC^ACD=2'2'2^+°N)=-^AC(yD-yB)=

■^-ACQ\/3XD—=3f(%?！猉B>

???(%p—xB~)=6A/3?

**?Xj)—=4,

...(—$+8=16,

解得：ai-V3+2V6,-43-246

a的值為：一"2乃

17.【答案】(1)45

(2)解：延長PZ至點(diǎn)E,使ZE=PC,連結(jié)BE,

???四邊形ZBCP是O。的內(nèi)接四邊形，

???乙BAP+乙BCP=180°.

???乙BAP+乙BAE=180°,

???Z-BCP=Z-BAE.

???△4BC是等邊三角形.

??.BA=BC,

-.APBC=AEBARAS),

：.PB=EB,乙PBC=LEBA,

???乙EBA+^ABP=乙PBC+乙ABP=乙ABC=60°,

???APBE是等邊三角形，

PB=PE,

PBPEPA+AEPA+PC,

即PB=PA+PC；

(3)竽

18.【答案】(1)證明：：AB=AC,

：.AB=AC.

.,.ZAPB=ZABC.

VZABC=ZABP+ZCBP,ZABP=ZACP,NCBP=NPAC,

?.ZABC=ZPAC+ZPCA.

二ZAPB=ZPAC+ZPCA.

(2)解：延長BP至點(diǎn)D,使PD=PC,連接AD,如圖，

?..點(diǎn)P為尼的中點(diǎn),

：.PA=PC.

.,.PA=PC,ZABP=ZCBP.

???PA=PD.

AZD=ZPAD.

.\ZAPB=ZPAD+ZD=2ZPAD.

VAB=AC,

：.AB=AC.

AZAPB=ZABC.

ZABC=ZABP+ZCBP=2ZABP,

AZPAD=ZABP.

VZD=ZD,

AADAP^ADBA,

.PD_PA_AD

U9AD=AB=JD'

VZD=ZPAD,ZPAD=ZABP,

AZD=ZABP.

???AD=AB=6.

設(shè)PA=x,則PD=x,BD=5+x,

?x_6

**65+%。

X2+5X-36=0.

解得:x=4或-9(負(fù)數(shù)不合題意，舍去).

；.PA=4；

(3)解：連接OP,OC,過點(diǎn)C作CHLBP于點(diǎn)H,如圖,

?.?0O的半徑為5,CP=5,

.,.OP=OC=PC=5,

/.△OPC為等邊三角形.

.\ZPOC=60°.

/.ZPBC=|ZPOC=30°.

在RtABCH中，

BH=BC?cos3(T=6x孚=3屆

CH=1BC=3.

在RtAPCH中,

PH=V?C2-CH2=4.

PB=PH+BH=4+3后

,/四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，

.\ZPCE=ZBAP.

VZE=ZABP,

/.△EPC^ABPA.

.PE_PC

''BP=AP-

.,.AP?PE=PC?BP=5(4+3V3)=20+15

19.【答案】(1)tanZDCE=1

(2)解：如圖中，點(diǎn)P即為所求，

圖②

作法：取個(gè)點(diǎn)T,連接AT交。O于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求;

證明：由作圖可知，OMLAP,OM是半徑，

：.PM=AM.

(3)解：如圖中，點(diǎn)P即為所求，

圖3

作法：取各店J、K,連接JK交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。

20.【答案】(1)(0,-