微積分-第四章-不定積分

第四章：不定積分

一、本章的教學(xué)目標(biāo)及根本要求

1、理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與求導(dǎo)數(shù)

的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算；曲線在一點(diǎn)的切線斜率，會(huì)求該曲線的方程。

2、熟記根本積分公式；能熟練地利用根本積分公式及積分的性質(zhì)，第一換元積分法和分部積分法

計(jì)算不定積分；掌握第二換元積分法。對(duì)于復(fù)合函數(shù)求不定積分一般用第一換元積分法〔湊微分法），

記住常見(jiàn)的湊微分形式。

3、掌握化有理函數(shù)為局部分式的方法，并會(huì)計(jì)算較簡(jiǎn)單的有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積

分、無(wú)理式的積分。

二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，不定積分的根本公式，不定積分、定積分的換元法與

分部積分法；

2、難點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，湊微分法，有理分式函數(shù)的積分、三角有理式的積分、

無(wú)理式的積分。

三、本章內(nèi)容的深化和拓廣

1、了解不定積分在現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)展史上的重要意義；

2、初步了解不定積分的實(shí)際意義，為后面定積分的學(xué)習(xí)及定積分的應(yīng)用做好一定的鋪墊；

3、簡(jiǎn)介不定積分在建立數(shù)學(xué)模型中的重要意義。

四、本章教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

1、以講課方式為主，留一個(gè)課時(shí)的時(shí)間講解習(xí)題中的難點(diǎn)和容易犯錯(cuò)誤的地方；

2、教學(xué)中應(yīng)注意教材前后內(nèi)容之間的聯(lián)系，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)；

3、本章主要以計(jì)算題為主，要強(qiáng)調(diào)本章內(nèi)容本今后學(xué)習(xí)的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生細(xì)致、耐心地完成作

業(yè)，防止學(xué)生只抄教材后的答案。

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、原函數(shù)與不定積分的概念

2、不定積分的性質(zhì)

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

教學(xué)要求：理解原函數(shù)與不定積分概念及其相互關(guān)系；知道不定積分的主要性質(zhì)；弄清不定積分與

求導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即求導(dǎo)與不定積分互為逆運(yùn)算。

注意點(diǎn)：

1、原函數(shù)與不定積分的概念：

由導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的意義引入原函數(shù)的概念；

解釋不定積分的幾何意義；

強(qiáng)調(diào)原函數(shù)和不定積分的特性，并舉例說(shuō)明；

由根本積分表說(shuō)明根本積分方法；

2、不定積分的性質(zhì)：

說(shuō)明不定積分的性質(zhì)對(duì)不定積分計(jì)算的重要性；

列出不定積分的性質(zhì)并給與證明，證明過(guò)程中有意識(shí)地加深學(xué)生對(duì)不定積分概念更深入的理解；

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義1如果在區(qū)間/上，可導(dǎo)函數(shù)尸〔X）的導(dǎo)函數(shù)為了（X）,即對(duì)任一都有

P'（X）?/（X）或"（X）"/（X）公,

那末函數(shù)尸(X)就稱為(或在區(qū)間/上的原函數(shù)。

例如，x-2是2x的原函數(shù)，Inx是1/x的原函數(shù)因，1nX)-COST,故sinx是COSX的原函數(shù)。

注：1由此定義上問(wèn)題是：f(x),如何去求原函數(shù)

2.那一個(gè)函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？假設(shè)存在是否唯一

定理1：假設(shè)f(x)在I上連續(xù)，那么f(x)在I上一定有原函數(shù)。

注意：并不是任意在I上有定義的函數(shù)都有原函數(shù)，反例/(x)=11,%>0

0,%<0

定理2：設(shè)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，且F(x)是其中一個(gè)原函數(shù)，那么

1.f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)

2.F(x)+C也是f(x)的原函數(shù)

定義2在區(qū)間/上，函數(shù)/1X)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為/(X)〔或了口燦)在區(qū)間/上的不定

積分，記作

其中記號(hào)I稱為積分號(hào)，/(X)稱為被積函數(shù)，/(xHx稱為被積表達(dá)式，X稱為積分變量。

由此定義及前面的說(shuō)明可知，如果"(X)是/在區(qū)間/上的一個(gè)原函數(shù)，那么R(x)+C就是/(X)的

不定積分，即

jV(x)dx=5(x)+C

因而不定積分可以表示/(])的任意一個(gè)原函數(shù)。

第一，如果有尸⑸■了劉，那么，對(duì)任意常數(shù)C,顯然也有[尸⑶+C]'?/(立即如果尸(X)是“幻

的原函數(shù)，那“：幻+c也是/CO的原函數(shù)。

第二，當(dāng)C為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式

戶(x)+C

就可以表示了（X）的任意一個(gè)原函數(shù)。也就是說(shuō)，/（X’的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族

{F（x）+C|-a<C<?）o

例楊I(lǐng)1求步」.

解由于I'，所以3是x的一個(gè)原函數(shù)。因此

產(chǎn)小7+。

解當(dāng)x>0時(shí)，由于O?x）=x，所以Inx是x在（°，+8）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。因此，在9+8）內(nèi),

i—dx-Inx+C

當(dāng)x<0時(shí)，由于面（■*）］=-"=x,由上同理，在（-8,0）內(nèi),

J—-ln(-x)C.

將結(jié)果合并起來(lái)，可寫作

ln|x|+C

例3、F（x）是S2L的一個(gè)原函數(shù),

X

求：dF(sinx)

解：F(x)=—

X

.、dF(sinx)1.Insinx1

dF(sinx)=------dsinx=—---cosxdx

dsi;nxs;inx

例4、f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx,那么f(x)的原函數(shù)

-sinx+CjX+c2,(c「C2為任意常數(shù))

例5、在以下等式中，正確的結(jié)果是c

A、jfz(x)dx=f(x)B、jdgx)=f(x)

c>—ff(X)dx=gx)D、dff(x)dx=gx)

dxJ

二、根本積分表

由于積分是微分的逆運(yùn)算，因此可以有微分根本表導(dǎo)出積分表。見(jiàn)課本積分表。

三不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即

fl/W+g(x)]dx?|V(x)dx+j*g(x)dx

注意：差的積分等于積分的差

性質(zhì)2求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái),即

W(g-可/(小也是常數(shù),&,0)

的I1步f7x(xJ-5)<fx

例1求」.

51

3

解j/x(x-5)<fx=J(x^

51

Jx^dx-J5x^dx

Jx^dx-5jx'dx

2122

-xJ-5-x3+C

73

2B廠10廠

-xVx-—Zx+C.

=73

111

例2.3(1」

3_5

=[(X4-x4)dx

471

=-x4+4x4+C

7

例3fe*(1---)dx=f(1——)dx=fexdx-f—dx=ex-Inx+C

Jx」xJ」x

例4

53

FFFY2r

-2x2+Y)dx-jx4dx-J2x2dx+jIdx=---------+x+C

§4.2換元積分法

一■、內(nèi)容要點(diǎn)

舉較多的例以說(shuō)明利用換元積分法求不定積分的根本方法

1、教材上的例1-例3,講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法“湊微分”的根本方法，強(qiáng)調(diào)熟悉一些簡(jiǎn)

單函數(shù)的微分的重要性；

2、材上的例4-例11,講解時(shí)充分強(qiáng)調(diào)第一換元積分法應(yīng)結(jié)合被積函數(shù)的代數(shù)恒等變形等手段

求不定積分；

3、教材上的例12-例20,講解時(shí)強(qiáng)調(diào)要充分利用三角函數(shù)的代數(shù)特性及微分特性求不定積分；萬(wàn)

能變換的應(yīng)用及其與三角函數(shù)恒等變形方法之間的關(guān)系。

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

教學(xué)要求:

了解第一換元積分法的意義及證明方法；掌握第一換元積分法求不定積分的根本方法和步驟；熟悉

一些常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的微分。了解第二換元積分法的意義及證明方法；掌握第二換元積分法求不定積分的

根本方法和步驟；強(qiáng)調(diào)第二換元發(fā)與第一換元法之間的區(qū)別，了解第二換元積分法適用的函數(shù)類型。

教學(xué)注意點(diǎn)：

1、由不定標(biāo)分的意義引入換元積分法的公式;

2、由不定積分的意義證明第一換元公式的正確性；

3、講解利用第一換元法求不定積分的根本方法和步驟

4、由不定積分的意義引入第二換元積分法的公式；

5、由不定積分的意義證明第二換元公式的正確性；

6、講解利用第二換元法求不定積分的根本方法和步驟，④強(qiáng)調(diào)換元函數(shù)的可逆性。

7、例題：舉例以說(shuō)明利用第二換元積分法求不定積分的根本方法

8、教材上的例21-例24,說(shuō)明第二換元法的根本方法和適應(yīng)的函數(shù)；

9、介紹二次多項(xiàng)式的平方根+.+。的積分方法

利用根本積分表與積分的性質(zhì),所能計(jì)算的不定積分是非常有限的.因此,有必要進(jìn)一步來(lái)研究不定

積分的求法.把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)求不定積分,利用中間變量的代換,得到復(fù)合函數(shù)的積分法,稱

為換元積分法,簡(jiǎn)稱換元法.

換元法通常分成兩類.

一、第一類換元法

設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),即尸3)'=/(〃)和］7(")底=/(〃)+。令u=。(x),其中6(x)是可導(dǎo)的,

那么F(u)=F(6(x))顯然是復(fù)合函數(shù)，又由于：

("(切)'==/(")“(%)=/S(x))“(x)

這說(shuō)明(/［。(勸］)W(0(X))“(X)的一個(gè)原函數(shù)，那么

J/(。(%))。'(%妙=F［0(%)］)+C=F(u)|“=砥X)+C=Jf(u)du火X)

定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),U=4>(x)可導(dǎo)，那么有換元公式：

J/［。(%)］。'(無(wú))辦=/［。(勸］=［f(u)du|“二0“)

注意：1.在。(%)］不是。。(%)］的原函數(shù)!

2.F(u)是f(u)的原函數(shù)是針對(duì)積分變量u而言的，網(wǎng)。(x)］是/S(x)］“(x)的原函數(shù)是針對(duì)積

分變量x而言的。

3.運(yùn)用第一類積分換元法關(guān)鍵在于設(shè)法將被積函數(shù)湊成］“(x)的形式，在令“=。(乃變

成不定積分］7(〃)而進(jìn)行計(jì)算，最后用u=0(x)進(jìn)行回代。

4.在"二。(%)下，/[。(％)]=/(w),(/)\x)dx=du

例1求f2cos2xdx.

解作變換u=2x、便有

/2cos2xdx=fcos2x?2dx=fcos2x?(2x)'dx=fcosudu=sinu+C,

再以〃二點(diǎn)代入,即得

f2cos2xdx=sin2x+C.

例2求/tanxdx.

解ftanxdx=fsinx/cosxdx.

因?yàn)?sinxdx=dcosx,所以如果設(shè)u=cosx,那么du=~sinxdx、即-du=sinxdx,因此

旌,x」

Itanxax--------ax■一J—■-ln^|+C--ta|co$W+C

JJcosx

類似地可得/cotxdx=ln/sinx1+C.

在對(duì)變量代換比擬熟練以后,就不一定寫出中間變量u.

例3求fch(x/a)dx.

ask—^C

解

rdx

例4求」6一二

(a>0).

下面的一些求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù),在計(jì)算這種積分的過(guò)程中,往往要

用到一些三角恒等式.

例5求fsinxdx.

解fsinxdx=fsinxsinxdx=~f(1-cosx)d(cosx)

=-fd(cosx)+fcosxd(cosx)

=~cosx+(1/3)cosx+C.

例6求fcosxdx.

解Jcos2xdxdx0Jco52xdfx)

-+|Jcos2xd(2x)*+向：，+C

附力口:

1、(—--dx=-—[——d(3-2x)=--h|3-2x1+c

J3-2x2J3-2x211

2、jJ"xdx=jJ]nxdInx=：(tax)久+c

3、jcosxsin3xdx=jsin3xdsinx=sin4x+c

4、J/x,dx=」jdj]_x2=Nl-x2+c

J-VI-x22」

5、jx2e'dx=-gjex3d(-x)3=-^ex3+c

6、

利用定理1來(lái)求不定積分,一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來(lái)的困難,因?yàn)槠渲行枰?/p>

一定的技巧,而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=@⑴沒(méi)有一般途徑可循,因此要掌握換元法,除了熟悉一

些典型的例子外,還要做較多的練習(xí)才行.

二、第二類換元法

第二類換元法從形式上看與第一類換元法恰好相反，它是將不定積分，/(x)dx通過(guò)X="(/)轉(zhuǎn)換成

(〃⑺力來(lái)計(jì)算，但有幾點(diǎn)需要說(shuō)明。1(〃⑺W(。力要存在，2盡量尋找這樣的x=〃⑺

使力容易求出，3。求出后要用t="T(X)將積分變量換回到x,因此這里還要求％=〃⑺

的反函數(shù)存在。

定理2設(shè)x="Q)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且，⑺H0.又設(shè)⑺]〃'⑺具有原函數(shù)①⑺，，那

么f(x)具有原函數(shù)①0T(x))那么有換元公式：

ff(x)dx=①[〃―1(%)]+C=jI”⑺

其中t=〃—i(x)是工="Q)的反函數(shù).

證明：(o>(〃T(x))y=<u?x〃T(r))'=一^=/[〃0)]=/(x)所以

①[材T(X)]是f(X)的原函數(shù)，從而

If(x)dx=①(x)]+C=①⑺|~⑴+C=f〃〃⑺,'⑺力|9一小)

例1求W*(a>0)

解求這個(gè)積分的困難在于有根式，但我們可以利用三角公式sirh+c/t=l來(lái)化去根式.

設(shè)廠as加7,-Ji/2〈伙“/2,那么J。"x"~a8m'',于是根式化為了

三角式,所求積分化為.

利用例6的結(jié)果得

.n—T.Jz.仙以)o2―

|Va-x'dx-a”一+-----?C——/?—stntcost?C

J12422

由于x=asinti-兀/2<t<兀/2,所以

于是所求積分為

jjl-?—arcsm—+|x>/a2-x3+C

具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換.

注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時(shí)結(jié)果是正確的,

否那么結(jié)果是錯(cuò)誤的。

常用變量代換

(1)被積函數(shù)中含有二次根式

Va2-x2,令x=asint

Ja?+x2，令x=atant

A/X2-a2,令x=asect

如是Vax2+bx+C配方

fJu2+a;,Ju?-a；,Jaj-u，

例、［Jl-x2令

2dxx=sint,dx=costdt

Jx2

解：原式=f^I.COstdt

Jsint

=jcot2tdt=j(esc21-l)dt

Vi-%2

=-cott—t+C

------------arcsmx+C

x

例3、f___1dx二種解法

x2Vx2-4

x=2secf

x=4cos%

[2)被積函數(shù)中含一般根式

rdx

例虱-----°/

J1+Vx+2

解：令)x+2=tx=t3-2dx=3t2dt

3t21

原式=Jdt=3j(t-l+)dt

1+t1+1

2______________

=|3(x+2y-3Vx+2+31n|1+Vx+2|+C

例5、fdx令x=t6dx=6t5dt

原式=|■乎=dt=6|■二dt=6f(t—1+，)dt

Jt3+t4Jl+t八1+t

=6&—t+ln|l+t||+C

=3Vx-6Vx+6In1+Vxl+C

例6、jJe*+Idx

解：令Je*+1=tex=t2—1

x=ln(t2-1)dx=jt出

t2-1

原式=+K=2t+ln—+C

」t2-1t2-1Jt+1

=2Vex+l+ln(7ex+l-l)-ln(Je'+l+1)+C

§4.3分部積分法

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、分部積分法：

由不定積分的意義引入不定積分的分部積分公式；

教材上的例一例7,說(shuō)明分部積分法的根本方法及其特性；

教材上的例8-例10,說(shuō)明應(yīng)注意分部積分法應(yīng)與其它的方法結(jié)合使用。

2、有理式的積分：

有理式分解的最后形式和分解方法；

有理式分解后每一局部的積分法；

x+31

例：分解，及-------說(shuō)明分解的步驟。

x一5x+6x(x-1)

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

教學(xué)要求:了解分部積分法的意義及證明方法；掌握分布積分法的根本步驟和適應(yīng)函數(shù)；了解有理式積

分的根本思想及有理式分解的根底

這是一個(gè)新的積分方法，設(shè)u(x),v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么有個(gè)v)'=+,即,

兩邊同時(shí)積分那么有，J〃丫'公=av-J〃'丫公即udv=wv-jvdu,上式就是分布積分公式。

注意：使用分部積分的關(guān)鍵是如何選取U和V

例1、jxcosxdx=jxdsinx

=xsinx-jsinxdx

=xsinx+cosx+c

例2、jxe~xdx=-jxdex

=-xe-x+jeXdx

=-xex—e-、+C

例3、

[(arcsinx)2〃

2

f=x(arcsinx)-Jx2arcsinx?J,dx=x(arcsinx)2+2jarcsinxdV1-x2

=x(arcsinx)2+211一x2arcsinx-JA/1-x2-/]dx

A/1-X2

=x(arcsinx)2+2V1-x2arcsinx-2x+C

例4、J”.dx=jInInxdlnx

=lnx-totax-ftax??—dx

JInxx

=lnxInInx-Inx+c

例5、Jdx=—JInxdQ)

Inx1,

=------+f—dx

XJX

Inx1

-------------+c

XX

例6、Jxtan2xdx=Jx(sec2x—l)dx

riX

=xtanx-tanxdx-----

J2

=xtanx+Incosx------FC

112

2

的?xarctanx,「x2+l-l

例7、C[---------------dx=[arctanxdx

J1+x」1+x2

/arctanx、1

=Jr(arctanx——-----)dx

=jarctanxdx-jarctanxdarctanx

x1一

=xarctanx-r-------dx——z(arctanx)

J1+x22

2、1/\9

=xarctanx-—ln(l+x)-—(arctanx)+c

例8、

jln(x+Jl+xjdx=xln(x+Jl+x?)-jqdx,+c

=xln(x+vl+x2)--Vl+x2+C

例9、Je2xcosexdx=Jexdsine'

=exsinex-Jsine'de"

=exsinex+cosex+c

例10、Jx2sin2xdx=Jx2^(1-cos2x)dx

=————fx2dsin2x

64J

=-....x2sin2x+—[xsin2xdx

642J

x3x2]

=-------sin2x——fxdcos2x

644J

X3171Cl.c

=------xsin2x——xcoszx+-sm2x+c

6448

xarcsinx

例11、dx=-JarcsinxdVl—x2

Vl-x2

=—Vl—x2arcsinx+x+c

注意：

1一般而言分部積分法和換元法同時(shí)使用會(huì)有更好的效果。

2分部積分常適用于以下積分

Jx"In〃xdx^xmeaxdx.^xmsinaxdx.JxmCOSIAZZX,J*sinbxdx,

Je"cosbxdx^xmarcsimzZx,等等。

§4.4幾種特殊類型的函數(shù)積分舉例

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、有理函數(shù)的積分：

例1-例4,說(shuō)明有理函數(shù)積分的根本方法和步驟；

三角有理似的積分，說(shuō)明三角有理式的積分可通過(guò)萬(wàn)能變換化為有理式的積分，用教材上的例5說(shuō)

明；

無(wú)理式的積分，用例6-例9說(shuō)明一次無(wú)理式和二次無(wú)理式可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理式的積分，并

總結(jié)變換式的規(guī)律；

2、歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

掌握有理函數(shù)積分的根本方法；歸納不定積分的積分方法和應(yīng)注意的地方

一有理函數(shù)的積分舉例

有理函數(shù)是指形如尺(%)=且2=+?…許，其中期小為正整數(shù)或者0,

2仆)獷+W+.?…bm

a0,..…/；％,…力,“都是常數(shù)，且gwO，dwO,當(dāng)n〈m是真分式，當(dāng)加時(shí)是假分式，但總可以通

過(guò)多項(xiàng)式除法寫成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式的和，因此問(wèn)題就集中在解決真分式的積分問(wèn)題。

定理1：任何實(shí)多項(xiàng)式都可以分解成為一次因式與二次因式的乘積。

定理2：有理函數(shù)的分解

P(x)=__+_^2___+...+4

。(九){x-d)a(%-O)aT(x-a)

BTIB、?B

-\----------1----------2-F???H-------p-

{x-bY(%-Z?)，T(x-Z?)

Mjx+M?x+N2M3X+N3

(x2+px+qY(x2+px+qY~1(x2px+q)

7?.x+S,7?2x+S2

(x2+rx+sY(x2+rx-\-sY~x(x2+rx+s)

局部分式：

[]Mx+NMx+N

11252n

ax+b'(ax+b)'x+px+q(x+px+q)

其中：p2-4q<0上述常數(shù)用待定系數(shù)法可以確定。

方法：分式一真分式f局部分式

1、rx+3,

例：1)—；---------dx

Jx-5x+6

13AB

解：2r=上一十——用待定系數(shù)法:A-5,B=6

x—5x+6x—2x—3

那么：J2"3—dx=f(^~+-^—)dx=—51n1x—21+6In\x-3\+C

x5尤+6JV2x3

解：x+1=x+1

x2-x-12(x-4)(x+3)

AB

=------+-------

x-4x+3

A(x+3)+B(x-4)

(x-4Xx+3)

A(x+3)+B(x-4)=x+l

令=4A=-,

x7

令=-3B=-

x7

x+1,2

-----------dx+dx

x2+3x+5x+3

52

=—h|x-4|+—]n|x+3|+C

1x+2

3)Jdx=-arctan--------Fc

x2+4x+8；22

12x+4-2

Ir-----1-------C1tx=—f—-----------

Jx~+4x+8；2Jx2+4x+8

2+4+8)f1

d(x+2)

~2+4x+8」(x+2)2+22

1x+2

=—Inlx2+4x+8|--arctan------+c

222

備用習(xí)題:

x—2j

4)J—；---------ax

x+2x+3

5)-----dx

x(x-1)

1

6)-dx

(1+2x)(1+/)

二、三角有理式積分jR(sinx,cosx)dx

三角函數(shù)的有理式是指三角函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)求這類函數(shù)的積分是可以通

過(guò)如下變換計(jì)算:

2

.x1-t.2t2dt

令tan—=tJ

cosx=---s-m-x=----7dx=----

21+t21+t21+t2

1

1、dx1告出

2+sinxZ2T

2H--------

1+t2

1

dt

=1t2+1+1

1dt4

=J2

t+jrvsY

+hJ

1

2Cto---

=--j=arctan—產(chǎn)—FC

V3V3

T

CX.

c2tan—F1

2o

=—^arctan----奔——+C

V3V3

2

dxrsecx,

2、=----;-----dx

3+cos2xJ3sec2x+1

1dV3tanx