廣東省河源市2021-2022學年高三年級下冊聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.數(shù)列｛4｝滿足4+%+2=2a“+i（“eN*）,且4+。2+%=9,a4=8,則為=（）

2.在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若AABC的面為S,且46s=（4+。）？—c?,則sinC+?

()

A/2RA/6-^2..V6+V2

244

、5

3.二項式的展開式中,常數(shù)項為（)

7

A.-80B.80C.-160D.160

4.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)

學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57'24°13,24°28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

5.若集合M={1,3},N={1,3,5),則滿足MUX=N的集合X的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

6.設(shè)機，〃是空間兩條不同的直線，?,夕是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題:

①若zn//tz，nJip,a!1/3,Mm//n；

②若。，/?,mV/3,mua,則機//1；

③若mLn,m±a,a11P,則〃//￡；

④若。"，a/3=1,mlla,m±l,則加，夕.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

曹（：了>1,則m（_2）］=（

7.已知函數(shù)y（x）=）

A.1B.2C.3D.4

3x-4y+10>0

8.設(shè)％,y滿足約束條件〈x+6y-4>Q,貝！Jz=x+2y的最大值是()

2x+y-8<0

A.46C.8D.10

2x-y>0

1

9.不等式組y>—x表示的平面區(qū)域為Q,則（)

-2

x+y-3<0

A.V(x,y)eQ,x+2y>3B.3(x,y)GQ,x+2y>5

+

C.v(x,y)eQ,>3D.3(x,y)eQ,>5

x-1

10.已知函數(shù)/(x)=(lnax-l)(x2+ox—4),若X>0時，〃恒成立，則實數(shù)4的值為（）

ee

A.2eB.4eC.~^=D.~^=

11.有一改形塔幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面

各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至

少是（）

A.8B.7C.6D.4

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）

15

D.

16

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若點N為點M在平面。上的正投影，則記N=「（M）.如圖，在棱長為1的正方體A3CD-Age；。中，記平

面A5Q為￡,平面ABC。為九點P是線段CQ上一動點，。1=力［%（「）］,。2=為［力（「）］.給出下列四個結(jié)論：

①為A耳，的重心;

②QQLBD；

4

③當CP=1時，PQ1平面￡；

④當三棱錐2-APB,的體積最大時，三棱錐D「APB,外接球的表面積為2TC.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

14."sinc+cose=0"是"cos2or=0”的條件.(填寫“充分必要"、"充分不必要,,、“必要不充分"、"既

不充分也不必要”之一)

15.已知邊長為4G的菱形ABC。中，NA=60°,現(xiàn)沿對角線6D折起，使得二面角A—5￡>—C為120。，此時點A,

B,C,。在同一個球面上，則該球的表面積為.

16.在平面直角坐標系X0Y中，已知圓。：必+(丁-=1及點A(后刀)，設(shè)點P是圓C上的動點，在△ACP中，

若ZACP的角平分線與AP相交于點Q(m,n),則7m2+n2的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓C:=+[=l(a>b>0)的兩個焦點分別為Fi(一版,0)、F2(0,0).點M(1,0)

a"b"

與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m/3).過點M任作直線1與橢圓C相交于A、B兩點,

設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為如、k2、k3,若ki+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.

/兀兀、

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+o)"〉O,o〉O,—5<°<5j的最小正周期是萬,且當％=￡時，/(x)

6

取得最大值2.

(1)求/(%)的解析式;

(2)作出作(x)在[0,萬|上的圖象(要列表).

19.(12分)已知AABC中，角所對邊的長分別為"c,S.acosB=—b+c.

2

(1)求角A的大??；

(2)求sin2B+sirrC+sinBsinC的值.

20.(12分)已知函數(shù)/(X)=￡X2+COSX(aeR),/'(x)是/(無)的導數(shù).

(1)當。=1時，令〃(%)=/'(%)—x+lnx,"(X)為/i(x)的導數(shù).證明：,(X)在區(qū)間存在唯一的極小值點;

2TC

(2)已知函數(shù)y=/(2x)—-/在0,-上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

3_2_

21.(12分)在ABC中，角ASC的對邊分別為.已知〃二J。，且

(a—b+c)(sinA—sinB—sinC)=csinC—2(2sinB.

(1)求cos。的值；

(2)若ABC的面積是2行，求ABC的周長.

22.(10分)如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABC。是正方形，APAD為等邊三角形，M,N分別是A5,AO的中

點，且平面八4。上平面A5CZ).

(1)證明：CM,平面尸N5；

PE

(2)問棱協(xié)上是否存在一點E,使PC〃平面OEM,求一了的值

EA

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先由題意可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，再根據(jù)%+外+%=9,2=8,可求出公差，即可求出生.

【詳解】

數(shù)列｛4｝滿足4+聯(lián)=2*5eN*),則數(shù)列｛??｝為等差數(shù)列，

%+%+/=9,%=8,

3q+3〃=9,6+3d=8,

故選：A-

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進行化簡求出C的值，然后利用兩角和差的正弦公式進行求解即可.

【詳解】

解：由4舟=(〃+4)2-02,

^4y/3x—absinC=a2+b2-c2+2ab,

2

":a2+b2-c2=2abcosC，

???2y/3absinC=labcosC+lab9

即A/3sinC-cosC=1

即25”_小=1,

則sin1-f=j

V0<C<^,

n八n5n

：.——<C——<—，

666

7171rtrc乃

...c——=—,即。=—,

663

貝[jsin[c+?]=sin,+?)=sin兀兀、萬.兀_6A/214276+72

—cos—Fcos—sin—=—x---1—x---=--------,

343422224

故選D.

【點睛】

本題主要考查解三角形的應用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出C的值以及利用兩角和差的正弦公式進行計

算是解決本題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

求出二項式［'-犬］的展開式的通式，再令X的次數(shù)為零，可得結(jié)果.

【詳解】

’7、5(_5-r2

解：二項式—必］展開式的通式為(-x2)r=(-l)rC；25-r￡^+r

5—r

令------+2r=0,解得廠=1,

2

則常數(shù)項為(—1)|以24=—80.

故選：A.

【點睛】

本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為春秋分日光與垂直線夾角為少，

則e-分即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角,

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:

.161,16—9.4,,

貝n!!tana=——=1.6,tan/n?=----------=0.66,

1010

,八、tana—tan￡1.6-0.66八

tan(cr-/?)=----------------=----------------?0.457.

1+tana.tan尸1+1.6x0.66

0.455<0.457<0.461,

估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學建模思想，以及

數(shù)學運算能力，屬中檔題.

5.D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4個，選D.

6.C

【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：①：心、〃也可能相交或異面，故①錯

②：因為（z_L〃，mL/3,所以根ua或機//1，

因為7篦tz,所以〃z//1,故②對

③：“//分或"U，，故③錯

④：如圖

因為。，分，a/3=1,在內(nèi)々過點E作直線/的垂線。，

則直線a，，，a±l

又因為m〃a,設(shè)經(jīng)過機和戊相交的平面與a交于直線力，則力//b

又mLl,所以b，/

因為a_U,b±l,bua,aua

所以b//a//m,所以m_L/?,故④對.

故選：C

【點睛】

考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出了(-2),進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得乎=則

1/(—2)=9,/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，由目標函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值.

【詳解】

作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線％+2丁=0在可行域內(nèi)平移當過點A時，z=x+2y取得最大值.

3x-4y+10>0

得：A(2，",=10

2x+y-8<0

故選：D

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)ZI=x+2y,Z2=W，分析z”z,的幾何意義,

一x-1

可得4/2的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.

其表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中4(2,1),5(1,2),

設(shè)Z=x+2y,則了=—X4的幾何意義為直線了=一尹機在y軸上的截距的2倍，

由圖可得：當y=—＞叁過點8(1,2)時，直線馬=%+2＞在y軸上的截距最大，即x+2y＜5,

當丁=一3+半過點原點時，直線4=%+2＞在丁軸上的截距最小，即x+2”0,

故AB錯誤；

設(shè)Z2=l],則z?的幾何意義為點(羽y)與點(1,-2)連線的斜率，

X-1

由圖可得Z2最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確;

故選：D.

【點睛】

本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應用，關(guān)鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

通過分析函數(shù)y=ln以-l(x＞0)與、=爐+依-4白＞0)的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點乙解方程組

Inat-1=0

即得解.

"+成-4=0

【詳解】

如圖所示，函數(shù)y=ln依-1（尤＞0）與＞=/+依-4"＞。）的圖象,

因為X＞0時，N0恒成立，

于是兩函數(shù)必須有相同的零點t,

]nat-1=0

所以2/

a+at—4=n0

at=4—t2=e9

解得a=J4"—?

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應用和函數(shù)的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平.

11.A

【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為：戶不=40，從下往上第三層正方體的棱長為：,（2何+（2何=4,

從下往上第四層正方體的棱長為：萬方=20，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形

中正方體的個數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長為8,

則從下往上第二層正方體的棱長為：序不=40，

從下往上第三層正方體的棱長為：=4,

從下往上第四層正方體的棱長為：萬萬=20，

從下往上第五層正方體的棱長為：J(0y+(0)2=2,

從下往上第六層正方體的棱長為：岳4

從下往上第七層正方體的棱長為:

從下往上第八層正方體的棱長為:

二改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得S=0+—+—+—+—=—.

2122232416

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.①②③

【解析】

①點P在平面ABC。內(nèi)的正投影為點C,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線CA垂直于

平面A42,而AA與2為正三角形，可得。2為正三角形AA四，的重心，所以①是正確的；

②取耳。的中點E,連接AE,則點尸在平面AB]，的正投影在AE上，記為Q,而班），平面ACGA，Qi，Q2e平

面ACG4,所以所以②正確；

4

③若設(shè)AECG="，則由PQiAE可得RtAMAC^RtAMPQ,然后對應邊成比例，可解CP=不，所以③正確;

④由于/「4啊=/一陰△，而AA與2的面積是定值，所以當點P到平面入與A的距離最大時，三棱錐AP用的

體積最大，而當點P與點。重合時，點尸到平面的距離最大，此時P-A與2為棱長為后的正四面體，其外

接球半徑7?=3，則S球=3〃，所以④錯誤.

2

【詳解】

因為《（P）=C,連接CA，則有C4,平面A312，CAc平面AB[D]=2，C4=C4=C2,為正三角形，

所以。2為正三角形AA314的中心，也是AABiA的重心，所以①正確；

由小，平面A5Qi，可知平面ACGA，平面A42,記力（P）=Q，

由8。LAC,3。，C￡,可得3D，平面ACG4，Qi，Q2e平面ACGA，則QQ2，3。，所以②正確；

若PQ1平面￡,則PQAE,設(shè)。尸=/（藤巾l）,AEcCG=M由RtJWACsRt_M尸Q得PQ=T，易得

QIC=^（2-t）,由PQiAE,則NPQC=NA￡4C,由tan/PQC=tanNAMC得，正色―。一行，解得

4

t=CP=-,所以③正確；

M

當P與。重合時，VDl-APB,=匕)一明2最大，P-AAA為棱長為百的正四面體，其外接球半徑R=g，則S球=3%,

所以④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】

此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.

14.充分不必要

【解析】

由余弦的二倍角公式可得cos2c=cos?戊一sin2戊=(cosor-sine)(cos2+sin。)=0,即sina-cosa=0或

sina+cosa=0,即可判斷命題的關(guān)系.

【詳解】

由以與2￡=以九2口-51112￡=(以%(7—5111。)(以《口+5111￡)=0,所以5由0-<3056€=0或5111々+<：05￡=0,所以

“sina+cosa=0"是"cos2a=0”的充分不必要條件.

故答案為:充分不必要

【點睛】

本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷，考查余弦的二倍角公式的應用.

15.112〃

【解析】

分別取3D,AC的中點4，N,連接MN,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為。，半徑為

R,ON=x,由勾股定理可得x、R2,再根據(jù)球的面積公式計算可得；

【詳解】

如圖，分別取BD,AC的中點M,N,連接

則易得AM=QW=6,MN=3,MD=2A/3，CN=3百，

由圖形的對稱性可知球心必在MN的延長線上，

R2=%2+27

設(shè)球心為。，半徑為R,ON=x,可得〈22，解得％=1，R2=28.

7?2=（X+3）2+12

故該球的表面積為S=4〃尺2=112%.

故答案為：112不

【點睛】

本題考查多面體的外接球的計算，屬于中檔題.

【解析】

由角平分線成比例定理推理可得AQ=2PQ,進而設(shè)點表示向量構(gòu)建方程組表示點P坐標，代入圓C方程即可表示

動點0的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離，所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.

【詳解】

由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因為AQ是N4cp的角平分線，由角平分線成比例定理可知

ACAQ2S-「八

至=而=1=40=2夕（2,所以40=200.

設(shè)點。（以孔），點P（x,y）,即AQ=（加一百,",PQ=（x-皿y—〃），

貝！］（加一百,〃）=2（x-m,y-n）,

3m—^3

m-y13=2（x-m）

所以

n~2（y一〃）

又因為點P是圓C:爐+（y—if=1上的動點,

口"3機—山丫,3n八2,（,2、，4

I2J2I3J39

故點。的運功軌跡是以為圓心|?為半徑的圓，

又向二7即為該圓上的點與原點間的距離，

因為加、匡［W="，所以正-2《k^E+2

式3J⑺33333

缶長田生用-2V7+2

故答案為：-,~

【點睛】

本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動點的軌跡方程，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

尤2

17.（1）-----Fy2=1；（2）m—n—1=0

3

【解析】

試題分析：（1）利用M與短軸端點構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過M的直線

1的方程，將1與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點坐標關(guān)系，然后將k|+k3表示為直線1斜率的關(guān)系式，化簡后得kl+k3=2,

于是可得m,n的關(guān)系式.

試題解析：（1）由題意，c=0,b=l,所以a=J/+g2=6

丫2

故橢圓C的方程為上+y2=l

3-

（2）①當直線1的斜率不存在時，方程為x=L代入橢圓得，y=土逅

3

不妨設(shè)A（1,逅），B（1,一逅）

33

"V6

因為ki+k3=33=2

~i--T~

又ki+k3=2k2,所以k2=l

n—2

所以m,n的關(guān)系式為----=1,即m—n—1=0

m-3

②當直線1的斜率存在時，設(shè)1的方程為y=k(x-1)

丫2

將y=k(x—1)代入§+>2=1,

整理得：(3k2+l)x2-6k2x+3k2-3=0

6k2342—3

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則石+々=3r+1*2-3/+1

又yi=k(xi—1),yi=k(X2—1)

2-?2-%_(2-％)(3-工2)+(2-%)(3-再)

所以ki+k3=I—

3—Xj3—%2(3—%)(3—w)

[2—左(％_1)](3_%2)+[2_k(々_1)](3一%)

%犬2—3(再+々)+9

2kxix?一(4左+2)(國+%2)+6左+12

x1x2-3(%i+X2)+9

07.2a72

2左x,一一(4左+2)>-^^+6左+12

3左2+13左2+1

3二-3.3"

+9

3F+13F+1

_2(12左2+6)_2

12k-+6-

n—2

所以2k2=2,所以k2=------=1

m-3

所以m,n的關(guān)系式為m—n—1=0

綜上所述，m,n的關(guān)系式為m—n—1=0.

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關(guān)系，

18.(1)/(x)=2sinf2x+^j；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)y=/(x)的最小正周期可求出。的值，由該函數(shù)的最大值可得出A的值，再由/2,結(jié)合。的

取值范圍可求得9的值，由此可得出函數(shù)y=/(￡)的解析式；

(2)由句計算出2x+工的取值范圍，據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,句上的圖象.

【詳解】

24

(1)因為函數(shù)y=/(x)的最小正周期是%，所以。=—=2.

71

又因為當x=3時，函數(shù)丁=/(力取得最大值2,所以A=2,

6

同時2x2+/=2kji+^^kGZ),得0=2左￡(左GZ),

因為—￡</<］，所以e=￡，所以〃x)=2sin［2%+￡］；

22616J

7113萬

(2)因為％E［0㈤，所以2%+會

列表如下:

c兀71TC3兀137r

2xH—7T2〃

66~2~2~6~

715兀2萬117T

X0n

612T~12

120-201

描點、連線得圖象:

IIIII

空國廠二7

,31!6]1/]Trr

ii/iii

本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時也考查了利用五點作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.

19.（1）A=—；（2）

34

【解析】

（1）正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換，以及兩角和的正弦公式展開，特殊角的余弦值即可求出答案；

（2）構(gòu)造齊次式，利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換，得到sii?B+sii?C+sin5sinC=sir?4“十二十加，結(jié)合余弦定

a

3

理片=從+—2bccosA得到sid8+sin2C+sinBsinC=-

4

【詳解】

解：（1）由已知，得

sinAcosB=-sinB+sinC

2

又VsinC=sin（A+B）

:.sinAcosB=-sinB+sinAcosB+cosAsinB

2

cosAsin3+；sin3=0,因為3G（0,乃）,sinB^O

得cosA=-]

V0<A<^-

（2）Vsin2B+sin2C+sinBsinC

.2.sin25+sin2C+sinBsinC

=sinA.------------------------

sin2A

_3b~+c2+be

~4

又由余弦定理，得

7j97c,2乃

a=b'+c-2/?ccos——

3

=b2+c~+be

3

:.sin2B+sin2C+sinBsinC=—

4

【點睛】

1.考查學生對正余弦定理的綜合應用；2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題；3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角，

屬于中檔題

20.(1)見解析；(2)a<l

【解析】

⑴設(shè)g(x)=〃(x)=L-cosx,g'(x)=M+sinx,注意到g(x)在j0=］上單增，再利用零點存在性定理即可

xx<2J

解決；

OJTJTAIT

(2)函數(shù)y=/(2x)——X’在0,-上單調(diào)遞減，則y<0在0,-恒成立，即2ax—sin2x——在0,-上

3_2__2_3_2_

4a

恒成立，構(gòu)造函數(shù)加(x)=2ox-sin2x-］尤3,求導討論械》)的最值即可.

【詳解】

(1)由已知，/(x)=%-sinx,所以/z(x)=lnx-sinx,

,1-1

設(shè)g(x)=/z(%)=——cosx,g(%)=—+sinx,

xx

當時，g'(x)單調(diào)遞增，而g'(l)<0,g'^>0,且g(x)在上圖象連續(xù)

不斷.所以g(x)在上有唯一零點c,

當xe(O,tz)時，g'(x)<0；當xe［a,時，g'(x)>0；

.?.g(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在［a,方］單調(diào)遞增，故g(x)在區(qū)間卜,1^上存在唯一的極小

值點，即/(x)在區(qū)間［0,上存在唯一的極小值點；

(2)設(shè)左(x)=x-sinx,xG［0,+OO),k\x)=l-cosx>0,

???左。)在［0,+oo)單調(diào)遞增，左(x)"(0)=0,

即x2sinx,從而sin2x?2x,

2TC

因為函數(shù)y=/(2x)-鼻/在0,-上單調(diào)遞減，

4兀

m(x)=lax-sin2x——%《o在0,—上恒成立，

3_2_

令根(%)=2a-2cos2犬一4i2=2(%),

,:sin2x<2x,

/.p(x)=4sin2x-8x<0,