天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末質(zhì)量調(diào)查試題數(shù)學(xué)含答案

天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查試題數(shù)學(xué)含答

案

溫馨提示本試卷包括第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120

分鐘.祝同學(xué)們考試順利！

第I卷（選擇題共45分）

注意事項：

1.答題I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號涂寫在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號.答在試卷上的無效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

.錐體的體積公式囁其中S表示錐體的底面積，〃表示錐體的高.

?柱體的體積公式％體=5力，其中S表示柱體的底面積，〃表示柱體的高.

?如果事件4B互斥,則尸（ZU5）=尸（2）+尸（5）.

?如果事件48相互獨立，則尸（48）=尸（Z）尸（8）.

?任意兩個事件/與8,若尸⑷〉0,則P（4B）=P⑷P（8⑶.

一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

（1）已知集合0=卜€(wěn)耶43},4={1,3}3=卜卜2+%-6=0卜則（d/）U3=（）

（A）{-2,0,2,3}（B）{-3,2}（C）{-3,2,4}（D）{-3,0,2}

（2）“忖〉計，是“百<!”的（）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

（3）函數(shù)/（x）的大致圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）

3、+3-，+4…、n\3'+3T+4

(A)/(x)=2(B)/(%)=-------------

X

3+3

(C)/(X)=2(D)/(X)=3+3

XX

(4)為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽，選派

了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績依次是：

70,85,86,88,90,90,92,94,95,100.針對這一組數(shù)據(jù)，以下說法正確的個數(shù)有()

①這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90；②這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為89；③這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90；④這組數(shù)據(jù)的第75百分位

數(shù)為93；⑤這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都減5后，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差均無變化.

(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個

11

(5)已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，5“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，an=-Sn+^,則邑的值為()

(A)9(B)21(C)45(D)93

JT

(6)已知函數(shù)/(x)=sin0x(0〉O),函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為將

JT1

/(X)圖象上所有的點向左平移一個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一(縱坐標(biāo)不

變)，得到的圖象所表示的函數(shù)為()

(A)/(x)=sin(2x+：)(B)/(x)=+

(C)f(x)=sin(D)f(x)=cos2x

3

(7)如圖，已知四棱錐4—的體積為匕?！晔?8。。的平分線，CD=CE=—BC,若棱4C上的

4

點尸滿足4P=』/C,則三棱錐力—DE尸的體積為()

3

2134

(A)-V(B)-V(C)—V(D)—V

771621

(8)己知實數(shù)見8c,滿足log3a=[g[=3°,則下列關(guān)系不可能成立的是()

(A)b<c<a(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

22

(9)已知雙曲線C:'—與=1(?！?4〉0)的右焦點為點F,過點W作雙曲線。的其中一條漸近線I的垂

ab

線，垂足為點N（點/在第一象限），直線E4與雙曲線。交于點3,若點3為線段4F的中點，且

|E4|=2,則雙曲線。的方程為（）

2222

(A)土-匕=1(C)土-乙=1

4448

第n卷（非選擇題共105分）

注意事項：

i.用黑色鋼筆或簽字筆直接答在答題卡上，答在本試卷上的無效.

2.本卷共11題，共105分.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3

分，全部答對的給5分）

（10）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=l-2i,則z的虛部為

（11）在—的二項展開式中，一的系數(shù)為

12舊——

（12）將3個黑球和2個白球放入一個不透明的盒中，各球除顏色不同外完全相同，現(xiàn)從盒中兩次隨機抽取球，

每次抽取一個球.（i）若第一次隨機抽取一個球之后，將抽取出來的球放回盒中，第二次隨機抽取一個球，

則兩次抽到顏色相同的球的概率是;

（ii）若第一次隨機抽取一個球之后，抽取出來的球不放回盒中，第二次從盒中余下的球中隨機抽取一個球,

則在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，第一次抽取的球是白球的概率是.

（13）直線=x與圓C:（x—2y+（y—4『=/（「〉0）相交于48兩點，若點。為圓。上一點，且

△48。為等邊三角形，則尸的值為.

（14）如圖，在△48C中，BO=3OC,過點。的直線分別交直線48,ZC于不同的兩點,記

__kkkk2i

AB=a,AC=b,用扇B表示2。=；設(shè)AB=mAM,AC=nAN,若加〉0,〃>0,則——l■—的最

（15）若方程V—2ax+a+2+,2—i|=o在區(qū)間（o,3］內(nèi)有兩個不等的實根，則實數(shù)。的取值范圍為

三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

(16)(本小題滿分14分)

3

在△4BC中，內(nèi)角48,。所對的邊分別為a,仇c,sin2c=sinC,a=—c.

(I)求siih4的值；

(II)若c=7,

(i)求6的值；

(ii)求C0S(Z-5)的值.

(17)(本小題滿分15分)

如圖，四棱柱N8CD—4片。。1中，側(cè)棱44］，底面ABCD,AD1DC,AB//DC,

AD=4,DC=2AB=6,四棱柱Z8CD—4片。/)］的體積為36.

(I)證明：幺4〃平面0)。01；

(II)求平面CDDG與平面ZCB］的夾角的余弦值；

(m)求點。1到平面幺。司的距離.

(18)(本小題滿分15分)

22

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓G：會+方=1(?！?〉0)的左，右焦點分別為點片,月，左，右頂點分別

2

為點4,4,離心率為鼠已知點4是拋物線。2：/=2.(P〉0)的焦點，點月到拋物線。2的準(zhǔn)線的距離

為1.

(I)求橢圓C］的方程和拋物線。2的方程；

(II)直線4〃交橢圓。于點〃(點〃在第二象限)，交y軸于點N,z\4MV的面積是△耳孫面積的

二12倍，求直線4M的斜率.

5

(19)(本小題滿分15分)

己知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為5“，且邑=4s2,a2n=2an+1.

2nc

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式以及Z3(〃eN*)；

1=21

(II)若等比數(shù)列也｝滿足印=1,且2"=0,

(.、笊名akbk+^~^bk(〃eN*)

7

(i)求圖|_akak+l」'；

B1

(ii)若cncn+x=(-l)—[neN^,Pm=cx+c3+c5+---+c2m_l,Qm=c2+c4+c6+--?+c2m,

加eN*,G",是2與2M的等比中項且。?>0,則對任意s,/eN*,G，—a</z,求〃的最小值.

(20)(本小題滿分16分)

已知函數(shù)/(x)=?(x>o),g(x)=e"(aeR),

(I)若a=—1,討論尸(x)=/(x)-g(x)在(0,+oo)的單調(diào)性；

(II)若a〉0,函數(shù)G(x)="(x)『.ing(x),不等式asinx〉：—gG(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

(III)當(dāng)〃eN*,〃22時，求證：VA;sin—>—...ZZLtl.

金k6n

和平區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三年級期末考試

數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（9X5分=45分）

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

DBDBcABBA

二、填空題（6X5分=30分）

(10)(11)(12)—(13)2V2.(14)-a+-b-,“2屈.(15)I1+V3,y.

54254444

三、解答題（共75分）

（16）（本小題滿分14分）

解：(I)因為sin2c=2sinCcosC,已知sin2C=sinC,所以cosC=g且Ce(0,兀)，

7Ta—,所以sia4=3sinC=h?

所以c=—,由正弦定理有

3sirUsinC714

2r2_2

(H)(i)因為c=7,所以。=3,由余弦定理cosC=^_-得33—40=0,

2ab

解得6=8或6=-5（舍），所以b的值為8.

,又因為sin/=之①，所以cosZ=yJl-sm2A=—>0,

(ii)因為a<c,4￡(0,兀)

1414

法(一)cos(A-B)=COSACOSJB+sinAsinB,

g+c--夕所以sin5=3I

因為c=7,a=3,b=8,所以cos5=

lac77

133G4G23

cos(A-￡)=——x----X----=—

l71414798

兀2

法(二)因為N+8+C=TI,C=—,所以8=—兀―Z,

33

22

則cos(A-B)=cosA-=cos|2^--71=cos2/cos—兀+sin2/sin—兀

I333

qgn71

sin24=2siib4cos4=-----,cos24=2cos2^-1=—

9898

71(1>39GV3117-7123

所以cos(Z-5)—X——H------X——

98198219698

(17)(本小題滿分15分)

解因為側(cè)棱/4，底面48。。,幺。_1。。，所以以點。為坐標(biāo)原點，萬江反，萬萬的方向分別為x軸，y

軸，z軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

又因為棱柱體積為36,易知底面45CD為直角梯形，其面積為S=t2x4=18,柱體體積匕=36=S/z,

2

有DD[=2.所以

2(4,0,0),5(4,3,0),C(0,6,0),￡>(0,0,0),4(4,0,2),瓦(4,3,2),G(0,6,2)Q(0,0,2).

(第17題)

(I)證明：因為函=(0,3,2),平面CD￡>￡的法向量為4=(1,0,0),

布何=0,所以葩，4,又因為u平面CDD1G，所以4B1〃平面

(II)解：因為福=(0,3,2),%=(—4,6,0),設(shè)平面ZC8]的法向量為為=(》//)，則

n-AB,=3y+2z=0,/、

72」?,令x=3,貝Ua=3,2,—3),

n2-AC=-4x+6y=Q.

由(I)得4=(1,0,0),設(shè)平面COQC1與平面NC6的夾角為氏

cos9=,os伍,n2)\=4？=-4==

|〃1卜河|V2222

則平面CDD￡與平面4cBi的夾角e的余弦值為笠2

(III)解:因為￡>/]=(4,3,0),

P1iA-H,12+69A/22

所以,點Dx到平面NC81的距離為..=受嚀

同V2211

(18)(本小題滿分15分)

c_2

a~3,

(2=3,

解：（I）設(shè)點片的坐標(biāo)為（―c,0）.依題意，＜—=a.，解得＜c=2,,

2

p=6.

a-c-\.

于是b2=a2—c2—5.

22

所以，橢圓G的方程為+（=拋物線。2的方程為V=12x.

（II）設(shè)點M坐標(biāo)為（占,必），點N坐標(biāo)為（0,%）,且由題意再＜0,%＞0,%＞0,

；義6義區(qū)|

（法一）由—可得—4242

——，即nn---，即nn%=

^A,MF,5；xlx|R5I則北＜

由殳即區(qū)=

2,可得㈤=62

737117

因為點河在第二象限，則。

將玉=—g代入橢圓方程?+；=1，求得％=T，所以點回坐標(biāo)為［一：,，；

15

又因為4（-3,0），則直線4〃的斜率為——=1.

（「）

（法二）

因為點拉在第二象限，則直線4〃的斜率存在且大于o,

設(shè)直線4〃r的方程為y=k（x+3）,上〉0,

因此點N（0.3左）,%=3k.

y=左（％+3）,

工2y2,聯(lián)立方程組，整理得至!J（9左2+5）/+54左2%+81r—45=0.

195

8M2—45匚1u、i15—27左之-4_.AK-?-XQ30k

由韋達定理得（—3）f=‘所以寸次='代入直線方程必=文君

9k-+5

；義6義上|

由也您=u,可得包處=絲，即—,所以3為=7

%4班5%4町5；xlx|R55

則n=3k7

解得"=±1,

30k5

9左2+5

因為左〉o,則直線4〃r的斜率為1.

或者因為點M在第二象限，則直線A.M的斜率存在且大于0,

設(shè)直線4V的方程為x=my-3,m>Q,

因此點N[o,a],%=a3

mm

x=my-3,

J/，聯(lián)立方程組，整理得到（57"2+9）/—3077少=0,

---1----1.

195

4口八30m30m

由韋達定理，何必+0=-,所以必=

5m2+95m2+9

-x6x

—,可得144N=絲,即

由△42MN27

c

飛5~4岫5；xlx|R55

￡

則四=一7

竇=—,解得加=±1,

hl30m5

5m2+9

因為機〉0,直線4〃的方程為》=>—3,即y=x+3,則直線4〃的斜率為1.

（法三）

因為點河在第二象限，則直線4〃的斜率存在且大于0,

設(shè)直線4〃r的方程為y=Mx+3），則左〉0,

因此點N（0.3左）,%=3k.

y=攵（％+3）,

<y2,聯(lián)立方程組，整理得到（9左2+5）f+54左2%+81左2—45=

[95

8F-45，所以V—30k

由韋達定理得（-3〉西=代入直線方程必=

9左2+519左2+59k~+5

9（9k3-5k）

SAA[MN=S一^/\AMA=3義昆-必|=33左--

2t?J9左2+5942+5

s，s…即”11215k

—x-

59k2+5

解得左=±i,因為左〉o,則直線4〃r的斜率為i.

或者因為點河在第二象限，則直線4M的斜率存在且大于o,

設(shè)直線AXM的方程為x=租了一3,則加〉0,

因此點N（O,31/2=』.

\m）m

x=my-3,

<x2/，聯(lián)立方程組，整理得到（5病+9）/—307町,=0,

---F--=1.

[95

由韋達定理，得必+0=—，—，所以必=——.

5m2+95m2+9

3（27-15m2）

=

SAA^MN=S“N4-S“必3x|_y-JJ=3--~~f~

2m^5m2+9）

c_1||-i5m

A4^-2|vJ1|-WT9，

S-Us即3（27-15/1215m

—x-----

二崢,川5/+9）55m2+9

解得加=±1,因為根〉0,直線4〃的方程為》=>—3,即y=x+3,

則直線4〃r的斜率為i.

（19）（本小題滿分15分）

4x3

4al+2d=4(2。]+d),

解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,貝人

%=2q+1.

一目二

4/120,

即《7?,解得=1+2(〃—1)=21,

ciy—d——\.

-2〃T+1)=R則&=〃，

〃2n

gS3(2〃—1)(2+2〃)2

=Z%=2+3-1-----1-277=-----------------=2n2+〃-1.

i=2ji=22

2nc

所以X、=2〃2+〃—1.

i=2I

(II)等比數(shù)列也｝滿足A=1,且￡^=2,公比為2,所以4=2"T,

(i)

k=lk=\\akak+\J

E以瓦+工工4=E(?A)+E七與==A+B

k=\[_akak+\后=1k=\\akak+\J

Z=￡(%瓦)，。也=(2左—I""、

k=\

^=1X20+3X2*+5X22+……+(2?-l)2n-1,①

2^=lx2'+3X22+5X23+……+(2?-l)2".②

①式一②式得—Z=l+2x[2+22+23+…+2'-[—(2〃—1)2",

=l+2x^1-—(2〃—1)2"=—3+(3—2〃)2".

所以Z=3+(2〃-3)2".

n

a「2ak2k-32i二2左2"i

又B=￡b,則

k~bk=

左=1Iakak+\)akak+l(24一1)(24+1)2左+12k—1

(212。)(222^(2322>)(2"2'i)

所以8=+++…+

、〃

(31I53)(752+l2M-171

則Z+B=3+(2〃-3)2"+---------142〃一3)2"+-------+2.

2〃+1''2〃+1

br?v'1,4-2,?4n—An—2?

所以￡atbk+-------bk=---,—2+2.

aa

A-=，Lkk+\」I2〃+lJ

(ii)當(dāng)〃=i時，q02=1—g]=1，

2(1Y11

當(dāng)加為偶數(shù)時，G=-1--單調(diào)遞增，機=2時G”,有最小值一,G〃,c—,

m3