2024年初中升學(xué)考試九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-作圖之基本作圖

作圖基本作圖

47.（2023?湘潭）如圖，在Rt^/8C中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)/為圓心，以小于/C長(zhǎng)為半徑作

1

弧，分別交/C,于點(diǎn)M,N；②分別以N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在N8/C內(nèi)兩弧交于點(diǎn)

。；③作射線Z。，交BC于點(diǎn)、D.若點(diǎn)。到18的距離為1,則CD的長(zhǎng)為1.

【答案】1.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到8=點(diǎn)D到的距離=1.

【解答】解：由作圖知/。平分N8/C,

,//C=90°,點(diǎn)D到AB的距離為1,

：.CD=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖一基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì).

作圖基本作圖

41.（2023?鄂州）如圖，點(diǎn)￡是矩形/BCD的邊BC上的一點(diǎn)，且―/D

（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用28鉛筆）：作ND4E的平分線/凡交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接。F.（保留作圖痕跡，不

寫作法）；

（2）試判斷四邊形/EFZ）的形狀，并說(shuō)明理由.

____________________.D

BEC

【答案】（1）作圖見(jiàn)解答.

（2）證明見(jiàn)解答.

【分析】（1）按作角的平分線步驟作圖即可；

（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行判斷即可.

.".AD//BF,

：.NDAF=NAFC,

?:AF平分/DAE,

：.NDAF=NE4E,

：.NE4E=NAFC,

：.EA=EF,

'：AE=AD,

：.AD=EF,

：.四邊形ABCD是平行四邊形，

'：AE=AD,

，四邊形48CO是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性

質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了矩形的性質(zhì).

作圖基本作圖

46.（2023?長(zhǎng)春）如圖，用直尺和圓規(guī)作NM4N的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AFLDE

【答案】B

【分析】利用基本作圖得到/F平分4M則根據(jù)角平分線的畫法可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷.

【解答】解：角平分線的作法如下：①以點(diǎn)/為圓心，月。長(zhǎng)為半徑作弧，分別交NM、AN于點(diǎn)D、E；

②分別以點(diǎn)。、E為圓心，￡＞尸長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/M4N內(nèi)相交于點(diǎn)廠；

③作射線NF，4尸即為/M4N的平分線.

根據(jù)角平分線的作法可知，AD=AE,DF=EF,

根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AFVDE,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用直尺和圓規(guī)作角平分線的方法，掌握畫法是解題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

41.（2023?達(dá)州）如圖，在RtZXNBC中，ZACB=90°,AB=5,BC=V21.

（1）尺規(guī)作圖：作/84C的角平分線交于點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）所作圖形中，求△NB尸的面積.

【考點(diǎn)】作圖基本作圖；角平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】（I）根據(jù)角平分線的作法，即可畫出圖形;

（2）由勾股定理求出ZC,由角平分線的性質(zhì)得到PC=P。，根據(jù)三角形的面積公式求出P。，即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖所示：/P即為所求；

（2）在RtZUBC中，NACB=9Q°,AB=5,BC=VH,

：.AC=\/AB2-BC2=2,

過(guò)點(diǎn)P作PDLAB于D,

是N8/C的角平分線，

：.PD=PC,

'：/\ABC的面積為=44。尸的面積+A/8尸的面積，

111

：LAC?PC+±4B?PD=?C*BC,

222

：?2PD+5PD=2岳,

解得尸￡?=軍，

/XABP的面積=^AB-PD=1x5x

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖，角平分線定理，勾股定理，作出輔助線根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PC=P。是解

本題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

42.（2023?南充）如圖，在RtZ\/8C中，/C=90°,AC=6,以點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別

交.AC,4B于點(diǎn)M,N,再分別以M,N為圓心，大于/WN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在/C/8的內(nèi)部相交于點(diǎn)P,

畫射線4P與8c交于點(diǎn)。，DEYAB,垂足為E.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

D

A'NEB

A.ZCAD=ZBADB.CD=DEC.AD=5^3D.CD：BD=3：5

【考點(diǎn)】作圖基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】由基本作圖可判斷4根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷8；由三角形的面積公式求出CZ)再根據(jù)勾股定理求

出N。，可判斷C；求出8。的長(zhǎng)可判斷D

【解答】解：由作圖可得，/尸平分N歷1C,

；.NCAD=NBAD,故選項(xiàng)月不符合題意；

VZC=90°,DE1AB,

：.CD=DE,故選項(xiàng)2不符合題意；

在RtZ\48C中，AC=6,43=10,

：.BC=\IAB2-AC2=8,

,:AABC的面積為=/;^。0的面積+△48。的面積，

111

：

.-2AC'CD+2^AB-DE=2C-BC,

???6?8+10CZ)=6X8,

解得CQ=3,

：.AD=>JAC2+CD2=V62+32=3近，故選項(xiàng)C符合題意；

,:BD=BC-CD=8-3=5,

:.CD：BD=3：5,故選項(xiàng)。不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖、角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，

即角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

作圖基本作圖

48.（2023?成都）如圖，在△48C中，。是邊力8上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)/為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交/C于點(diǎn)N；

②以點(diǎn)。為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)、M'；

③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，在/8ZC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'；

④過(guò)點(diǎn)N'作射線ON'交BC于點(diǎn)E.

BE2

若aBOE與四邊形/CEO的面積比為4：21,則%的值為§.

【考點(diǎn)】作圖基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由作圖知=由平行線的性質(zhì)得到DE//AC,證得△BDES^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可求出答案.

【解答】解：由作圖知，/A=NBDE,

：.DE//AC,

ABAC的面積：XBDE的面積=C/XBDE的面積+四邊形ACED的面積）：/XBDE的面積=1+四邊形ACED的

91”

面積：△BOE的面積=1+年=年，

BEr4

???△瓦）。的面積：ABAC的面積=（一）2=/，

BC25

.BE2

??—―,

BC5

BE2

??—?

CE3

故答案為：~

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖

象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

1

49.（2023?眉山）如圖，△/8C中，是中線，分別以點(diǎn)4點(diǎn)8為圓心，大于鼻48長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)

M,N,直線MV交力8于點(diǎn)E,連結(jié)CE交/。于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作。G〃CE,交48于點(diǎn)G,若。G=2,則CK

的長(zhǎng)為；.

【考點(diǎn)】作圖基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】先判斷。G為△BCE的中位線，再根據(jù)三角形相似求解.

【解答】解：由作圖得：垂直平分N8,

：?AE=BE=%B,

'：DG//CEf

???4D是中線，

；?GB=EG=3BE=%B,

???GQ為△8CE的中位線，

:?CE=2GD=4,

'：DG//CEf

：."EFsAAGD,

EFAE口「后產(chǎn)2

/.--=—，即：—=一,

DGAG23

解得：EF=4/

48

???CF=EC-EF=4—J=

o

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，掌握三角形的中位線的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

49.（2023?遂寧）如圖，國(guó)中，80為對(duì)角線，分別以點(diǎn)/、8為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相

交于點(diǎn)M、N,作直線MN交4。于點(diǎn)E,交4B于點(diǎn)、F,若4DLBD,50=4,8C=8,則4E的長(zhǎng)為5.

【考點(diǎn)】作圖基本作圖：線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到4）=8C=8,根據(jù)垂直的定義得到NNO8=90°,由作圖知，MN垂直平分

AB,求得ZF=%8=2遙，EFA.AB,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；四邊形488是平行四邊形，

:.AD=BC=8,

'：AD±BD,

：.ZADB^90°,

：.AB=y/AD2+BD2=V82+42=4西，

由作圖知，A/N垂直平分

；.AF=%B=2?EFl.AB,

；.NAFE=N4DB=90°,

：.AAEFs^ABD,

.AFAE

?.=,

ADAB

#2A/5AE

=睛

：.AE=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

50.(2023?巴中)如圖，已知等邊△/8C,ADLBC,E為中點(diǎn).以。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交DE于點(diǎn)、

1

M,交DB于點(diǎn)、N,分別以M、N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線DP交48于點(diǎn)G.過(guò)

點(diǎn)E作EF〃BC交射線DP于點(diǎn)尸,連接8只AF.

(1)求證：四邊形BDEF是菱形.

(2)若/C=4,求△工尸。的面積.

【考點(diǎn)】作圖基本作圖：角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定

理；菱形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到。是8c的中點(diǎn)，求得是等邊三角形，得至"BE=BD=DE,由

作圖知，DF平分NEDB,根據(jù)角平分線的定義得到/EZ歷根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NED8,

求得NEFD=NRDF,推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NC=60°,ZADC^90°,NB4D=30°,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NGLED,FG

=GD,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：：△ABC是等邊三角形，

:.AB=BC,N/8C=60°,

,：AD1.BC,

：.BD=%C=%B,

?:E為AB中點(diǎn).

：.DE=^AB,

:.BD=DE,

/\BED是等邊三角形,

:,BE=BD=DE,

由作圖知，DF平分NEDB,

:./EDF=/FDB,

YEF〃BC,

:?/EFD=/FDB,

:?/EFD=Z.EDF,

：?EF=ED,

:.EF〃BD,

???四邊形BOE/是平行四邊形，

?：DE=BD,

???四邊形BDEF是菱形;

(2)解:?.?△4BC是等邊三角形,ADLBC,

/.ZC=60°,ZADC=90°,NB4D=30°,

VJC=4,

fo

：.AD=AC-sin600=4x今=2>/3,

???四邊形BDEF是菱形,

:.AG±FD9FG=GD,

在RtZi4G。中，*：ZBAD=30°,

：.DG=^AD=限,AG=y/3DG=3,

：.FD=2V3,

，SAAFD=/x2V3X3=3>/3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的定義，菱形的判定，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等

邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

1

46.（2023?涼山州）如圖，在等腰△48C中，ZA=40°,分別以點(diǎn)/、點(diǎn)8為圓心，大于彳18為半徑畫弧，兩弧

分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接MV,直線與/C交于點(diǎn)。，連接8。，則NO8c的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【考點(diǎn)】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】利用基本作圖得MN垂直平分AB,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到

4=40°,則計(jì)算出N/8C=NC=70°,然后計(jì)算N/8C-即可.

【解答】解：由作法得垂直平分

：.DA=DB,

：.ZABD=ZA=40a,

VAB=AC,

：.ZABC=ZC=^(180°-N4)=1x(180°-40°)=70°,

:.NDBC=N4BC-N4BD=70°-40°=30°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)

和等腰三角形的性質(zhì).

作圖基本作圖

1

46.(2023?隨州)如圖‘在皿。中’分別以8,。為圓心，大于產(chǎn)的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)〃，N,過(guò)

M,N兩點(diǎn)作直線交8。于點(diǎn)O,交4D,BC于/E,凡下列結(jié)論不正確的是()

/A//

B.DE=C.OE=OFD.DE=DC

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖可知：EF垂直平分8D,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到8。=。。，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得

到NZ)=8C,AD//BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF,故8,C正確；無(wú)法證明。E=C￡>,故

。錯(cuò)誤.

【解答】解：根據(jù)作圖可知："■垂直平分8D,

：.BO=DO,

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

ZEDO=NFBO,

'：NBOF=/DOE,

：.4B0F織叢DOE（ASA）,

：.BF=DE,OE=OF,故8,C正確；

無(wú)法證明OE=CD,故。錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

49.（2023?湖北）如圖，矩形/BCD中，AB=3,8c=4,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交8C,BD于

點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于［EF長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P,作射線8P,過(guò)點(diǎn)C作8P的垂線分別交

BD,｛。于點(diǎn)M,N,則CN的長(zhǎng)為（）

C.2V3D.4

【答案】A

【分析】如圖，設(shè)BP交CD與點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)J作JK1BD于點(diǎn)K.首先利用相似三角形的性質(zhì)證明CN-BM=i2,

再想辦法求出可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，設(shè)8尸交8與點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)J作砍，8。于點(diǎn)K.

???四邊形488是矩形，

：.AB=CD=3,ZBCD=90°,

???CNLBM,

:?/CMB=4CDN=90°,

；?/CBM+/BCM=90°,/BCM+NDCN=90°,

J/CBM=/DCN,

:.XBMCsXCDN,

BMBC

?t.—,

CDCN

；?BM?CN=CD?CB=3X4=V2,

VZBCD=90°,CD=3,BC=4,

：.BD=y/CD24-BC2=V324-42=5,

由作圖可知8P平分NCBD,

〈JKLBD,JCLBC,

:?JK=JC,

S^BCD=S/^BDJ+S^BCJ,

工康1愆用2x5XJK+12X4XJC,

：.BJ=yjCB2+JC2=/2+&)2=生學(xué),

???3sNCBJ=母=繇

BM4

4?4/10

3

,：CN-BM=\2,

：.CN=V10.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

作圖基本作圖

36.（2023?永州）如圖，在中，ZC=90°,以8為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交18,8c于點(diǎn)

N,再分別以"，N為圓心，大于］MN的定長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線8P交/C于點(diǎn)。，作。E_L

AB,垂足為E,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=BEB.CD=DE

C.BD=ADD.8。一定經(jīng)過(guò)△/8C的內(nèi)心

【答案】C

【分析】由作圖知，BD平分NABC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CZ）=￡）K,8。一定經(jīng)過(guò)△48C的內(nèi)心，故8不

符合題意，故。不符合題意；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8c=8E,故Z不符合題意；無(wú)法證明故C

符合題意.

【解答】解：由作圖知，BD平分NABC,

VZC=90°,DELAB,

：.CD=DE,8。一定經(jīng)過(guò)△48C的內(nèi)心，故8不符合題意，故。不符合題意；

在RtASCZ）與RSED中,

(CD=DE

IBD=BD'

；.RtABCDgRtABED(HL),

BC—BE,故4不符合題意；無(wú)法證明故C符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

37.(2023?荊州)如圖，408=60°,點(diǎn)C在08上，OC=26，P為N4OB內(nèi)一點(diǎn).根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推

斷，點(diǎn)尸到。的距離為1.

【答案】1

【分析】由作圖知PE垂直平分OC,CO平分N4OB,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OE=|X273=

V3,NPEO=90°,根據(jù)角平分線的定義得到NPOZ)=N4OC=；乙40B=30°,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到￡尸=

O

區(qū)解答】解：由作圖知PE垂直平分OC,P。平分N/O8,

11

V.OE=^OC=x2V3=V3,NPEO=90°,

a.-ZAOB=60°,

1

tf.ZPOE=ZAOP=^Z,AOB=30°,

F5

3\EP=OEXtan30o=V3x^y=1,

修幺4。啾據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

二點(diǎn)、P到0/的距離=PE=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖-基本作圖.以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì).

1

38.（2023?岳陽(yáng)）如圖，①在。Z,08上分別截取線段OE,使QD=OE；②分別以。，￡為圓心，以大于yDE

的長(zhǎng)為半徑畫弧，在Z/O8內(nèi)兩弧交于點(diǎn)C；③作射線。C.若//。8=60°,則4OC=30°.

【分析】直接根據(jù)角平分線的作法即可得出結(jié)論.

【解答】解：；由作法可知，OC是/ZO2的平分線,

11

AZAOC=^ZAOB=jx60°=30°.

故答案為：30.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵.

作圖基本作圖

1

49.（2023?廣元）如圖，a//b,直線/與直線a,分別交于8,/兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)8為圓心，大于的長(zhǎng)為

半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E,F,作直線EF,分別交直線a,b于點(diǎn)C,D,連接ZC,若NCZ）/=34°,則/。13

的度數(shù)為56°

【答案】560.

【分析】由作圖可知CD垂直平分線段推出以=C8,再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)以及平行線的

性質(zhì)求解.

【解答】解：由作圖可知CZ）垂直平分線段N3,

；.CA=CB,

；CDUB,

：.ZACD^ZBCD,

'：a//b,

：.ZADC=ZBCD=34°,

AZACB=2ZBCD=6S°,

:.NCAB=NCBA=（180°-68°）=56。.

故答案為：56°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，平行線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

作圖基本作圖

44.（2023?山西）如圖，在回48CZ）中，Z￡>=60°.以點(diǎn)8為圓心，以助的長(zhǎng)為半徑作弧交邊8c于點(diǎn)E,連接

1

AE.分別以點(diǎn)4￡■為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線BP交ZE于點(diǎn)O,交邊于

OF

點(diǎn)R則而的值為“

【答案】V3.

【分析】證明△Z8E是等邊三角形，推出AE=OE,可得結(jié)論.

【解答】解：???四邊形力6C。是平行四邊形，

：.AD//BC,ND=NABC=60°,

：.ZBAD=\80°-60°=120°,

?：BA=BE,

?**/\ABE是等邊三角形，

：.ZBAE=60°,

BF平濟(jì)/ABE,

:?AO=OE,BOLAE,

?：/OAF=NBAD?NBAE=120°-60°=60°,

OFr-

/.tanZOAF=詆=V3,

OF

—=yr3

OEf

故答案為：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

作圖基本作圖

43.（2023?郴州）如圖,四邊形。88是平行四邊形.

（1）尺規(guī)作圖；作對(duì)角線/C的垂直平分線MN（保留作圖痕跡）；

（2）若直線分別交/O,BC于E,F兩點(diǎn),求證：四邊形力尸CE是菱形.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析部分;

（2）證明見(jiàn)解析部分.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形;

（2）根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可.

【解答】（1）解：如圖，直線即為所求;

（2）證明：設(shè)NC與所交于點(diǎn)。由作圖可知，EF垂直平分線段ZC,

：.OA=OC,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AE//CF,

：.ZOAE=ZOCF,

,：NAOE=NCOF,

OEg△COF（ASA）,

：.AE=CF,

...四邊形/HE是平行四邊形，

'：AC±EF,

，四邊形力打CE是平行四邊形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

作圖基本作圖

23.（2023?河南）如圖，AABC中，點(diǎn)。在邊NC上，且

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出N4的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若（1）中所作的角平分線與邊8c交于點(diǎn)￡,連接?！昵笞C：DE=BE.

【答案】（1）見(jiàn)解答；

（2）見(jiàn)解答.

【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）證明△8NE絲△ONE（ASA）,即可得出結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：:46：平分N8/C,

NB4E=ZDAE,

"：AB=AD,AE=AE,

：./\BAE^/\DAE(ASA),

：.DE=BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖平分已知角的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形

全等是關(guān)鍵.

24.（2023?濟(jì)寧）如圖，8。是矩形48CO的對(duì)角線.

（1）作線段8D的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；

（2）設(shè)8。的垂直平分線交/。于點(diǎn)E,交8c于點(diǎn)尸，連接BE,DF.

①判斷四邊形尸的形狀，并說(shuō)明理由；

②若/8=5,8c=10,求四邊形BED尸的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解答；

（2）①四邊形8功尸是平行四邊形，理由見(jiàn)解答；

②25.

1

【分析】（1）分別以5、。為圓心，大于乎?。為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N,連接MN,則問(wèn)題可求解；

（2）①由題意易得易得AEOgAFOB（ASA）,然后可得四邊形8皮正是平行四邊形，進(jìn)而

問(wèn)題可求證；

②設(shè)BE=ED=x,則NE=10-x,然后根據(jù)勾股定理建立方程求解即可.

【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段8。的垂直平分線，

（2）①四邊形8EDF是菱形，理由如下：如圖,

由作圖可知OB=OD,

?..四邊形是矩形，

：.AD//BC,

：.ZEDO=ZFBO,

"：NEOD=NFOB,

：./\EOD^^FOB(ASA),

：.ED=FB,

，四邊形BEDF是平行四邊形；

②：四邊形/BCD是矩形，8c=10,

.?.//=90°,ZO=8C=10,

由①可設(shè)BE=￡D=x,則/E=10-x,

'：AB=5,

：.AB2+AE2=BE1,即25+(10-x)2=x2,

解得x=6.25,

，四邊形BED尸的周長(zhǎng)為：6.25X4=25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，勾股定理，矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)與判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定以及垂直平分線的