2024年高考數(shù)學復習：8類導數(shù)大題綜合

題型098類導數(shù)大題綜合

(證明不等式、恒成立、有解、零點、方程的根、雙變量、

隱零點、極值點偏移)

L-----------------------------------------------------------------------

I技法01利用導數(shù)證明不等式.

I技法02利用導數(shù)研究恒成立問題.

I技法03利用導數(shù)研究能成立(有解)問題,

|技法04利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題.

?技法05利用導數(shù)研究方程的根，

I技法06利用導數(shù)研究雙變量問題,

|技法07導數(shù)中的隱零點問題?

|技法08導數(shù)中的極值點偏移問題.

技法01利用導數(shù)證明不等式

喟3?常見題型解讀

不等式是數(shù)學中的一個重要概念，而導數(shù)作為一種重要的數(shù)學工具，在不等式證明中發(fā)揮著非常關鍵的

作用。通過構造函數(shù)、利用導數(shù)的單調(diào)性等知識，我們可以更加便捷、快速地證明不等式，此類題型難

度中等，是高考中的?？伎键c，需強加練習"

02

跟我學?解題思維剖析

(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)

例1.設函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=^(x)的極值點.

(1)求a；

X+f(x)

(2)設函數(shù)g(x)=———.證明:g(x)<l.

XJ(X)

解題

技巧點撥

(1)a=1

(2)［方法一］:轉化為有分母的函數(shù)

x+ln(l-x)=而「,其定義域…)U(°,i).

由(I)知,g(%)=

xln(l-x)

要證g(x)<l,即證而、+卜1，即證而%<一x-1

X

試卷第1頁，共21頁

⑴當xe(O,l)時二1<0,即證Ina-x)〉上7.令尸(x)=ln(l-尤)--—,

In(l-x)xx-1x-1

—1—1x

因為k(x)=^——-—-7=-―-T>0,所以尸(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù)，所以

1-x(x-1)(X-1)

F(x)>F(0)=0.

]y—1Y

(ii)當xe(-8,0)時，——->0,土」>0,即證ln(l-x)>」一,由(i)分析知尸(x)

ln(l-x)x尤-1

在區(qū)間(-嗎0)內(nèi)為減函數(shù),所以尸(乃>。(0)=0.

綜合⑴(ii)有g(x)<l.

［方法二］【最優(yōu)解工轉化為無分母函數(shù)

由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)=x<l且xwO，

xx[f/{x(}：)xln(l-x？)

/、x+ln(l-x),、

當xe(0,l)時，要證g(x)=-?.-x>0,ta(l-x)<0?.xln(l-x)<0,即證

xIn(1—x)

x+In(1-x)>xIn(1-x),化簡得x+(l-x)ln(l-x)>0；

/、x+ln(l-x)/、

同理，當X￡(—8,0)時，要證g(x)=——7T----/<1,vx<0,ln(zl-x)>0,.\xln(l-^)<0,

xIn(1—x)

BPffi^+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l_x)ln(l_X)〉0；

令〃(%)=%+(l-x)ln(l-x),再令％=l—x,則/E(O,1)U(1,+8),x=\-t,

令9(f)=l一/=-1+ln^+1=InZ,

當fe(O,l)時，9'(/)<0,0(/)單減，故夕(。>夕(1)=0；

當fe(l,+8)時，夕'?)>0,夕單增，故夕?)>°(1)=0；

綜上所述，g(x)=--7^-J<1在Xe(F,0)U(0,1)恒成立.

[方法三]:利用導數(shù)不等式中的常見結論證明

令0(x)=lnx-(x-l),因為“(勸=上一1=—,所以o(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，在

XX

區(qū)間(1,+與內(nèi)是減函數(shù)，所以9(x)4。⑴=0,即lnx4x-l(當且僅當尤=1時取等號).故

當x<l且xwO時，」一>0且ln-!-<---1,即一ln(l-x)(上，所以

X1—X1—X1—X1—X

X

X—1

Y1X-l111

(i)當x￡(0,1)時，0〉ln(l-x)>------,所以―；-----C<------=1-----，即TTi------7+—<1,

x-lln(l-X)xxln(l-x)x

所以g(x)<L

試卷第2頁，共21頁

x

(ii)當％￡(-°°,0)時，ln(l—x)>------>0,同理可證得g(x)<l.

x-1

綜合(i)(ii)得，當x<l且xwo時，即g(x)<l.

xln(l-x)

喘然福?知識遷移強化

（全國?高考真題）

1.已知函數(shù)/(x)=ae*-加-1.

（1）設x=2是“X）的極值點.求。，并求/（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：當。之,時,/（x）>0.

e

（2023?山東泰安??？寄M預測）

2.已知函數(shù)/（x）=（相+l）x-〃71nx-機.

（1）討論〃x）的單調(diào)性；

⑵證明：當m￡1,且x>1時，f（x）<e*T.

（2023?河北?統(tǒng)考模擬預測）

3.已知函數(shù)〃x）=Tn（ax）+ax-2（a30）.

⑴討論〃x）的極值；

（2）當0>0時，證明：f（x）>Inx-xex+>+sinx+1.

技法02利用導數(shù)研究恒成立問題

$?常見題型解讀

利用導數(shù)研究恒成立問題是高考中的?？伎键c，常用函數(shù)的構造變換和單調(diào)性結合考查，需強加練習“

02

跟我學?解題思維剖析

（2020?新高考二卷?高考真題）

例2.已知函數(shù)/（%）-Inx+lna.

（1）當a=e時，求曲線了=/（無）在點（1J。））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面

積；

（2）若不等式恒成立，求。的取值范圍.

試卷第3頁，共21頁

技巧點撥o

(2)［方法一］：通性通法

Qf(x)=aex~l-Inx+Ina,f'{x}=aex^1--,J=La>0.

X

設g(x)=，(x),則如x)=aeZ+±>0,

X

.1.g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，即/'(X)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

當a=l時，/'(1)=0,/⑴=1,...〃司21成立.

1111-1

當a〉］時，一<］，?61v［，_)f'(y)—。(y—l)(a—1)<0,

a??&&ia

...存在唯一%>o,使得/'(%)=四'。7-工=0,且當xe(0,x0)時/'(x)<0,當

X。

x-1

x￡(Xo，+oo)時/'(X)〉0,/.tze°=—,/.Intz+x0-1=-Inx0,

x0

因此/(x)^=f(x0)=ae%T-In/+Ina

----nlna+Xo-1+lna221nq-1+2/—,%=21na+l>l,

/V^o

.：/(x)>l,恒成立;

當0<a<1時，/(l)=a+lnfl<a<l,/./(I)<l,/(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是口，+oo).

［方法二］【最優(yōu)解】：同構

由/'(x)N1得aeA-1-Inx+Ina>1,即e,na+x~1+lna+x-l>lnx+x，而lnx+x=elax+Inx,

所以e'^-1+lna+x-l>e'DX+Inx.

令〃(加)=e"+機，則〃'(m)=e'"+l>0,所以"(加)在R上單調(diào)遞增.

由eiT+lna+x-l>*+lnx,可知如na+x-l)N/z(lnx),所以lna+x-1NInx,所

以lna±(lnx-x+l)max.

11—V

令尸(x)=lnx-x+l,則尸(尤)=一一1=-

XX

所以當X€(0,1)時，F(xiàn)(x)>o,F(x)單調(diào)遞增；

當無e(l,+s)時，P(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減.

所以［尸(X)LL萬⑴=0,則InaNO,即a"

所以。的取值范圍為a21.

［方法三］：換元同構

試卷第4頁，共21頁

由題意知a>0,x>0,令ae'T=t，所以Ina+%—1=Inf,所以lna=ln￡-%+l.

于是f(x)=aex~x-lnx+ln?=^-Inx+lnZ-x+l.

由于/(%)21"-lnx+ln，-x+1210，+ln，2x+lnx,而y=x+lnx在xe(O,+8)時為

Y

增函數(shù)，故即叱分離參數(shù)后有丑尸

e^-xe^_ex-l(l-x)

令g(x)=W所以g'(x)=

瞪一2

e2x~2

當0<x<1時,g'a)>O,g(x)單調(diào)遞增;當x〉l時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減.

所以當X=1時，g(x)=W取得最大值為g⑴”所以a"

［方法四］:

因為定義域為(0,+8),且/(x)21,所以/⑴21,即a+lnaNl.

令S(a)=a+lna,貝|9(。)=1+，>(),所以5(a)在區(qū)間(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增.

a

因為S(l)=l,所以〃21時,有S⑷2S⑴,即〃+ln〃NL

下面證明當時，/(x)?l恒成立.

令T(a)=aex~x-Inx+lna,只需證當a21時，T(a)21恒成立.

因為r(?)=er-1+->0,所以7(。)在區(qū)間口,+網(wǎng)內(nèi)單調(diào)遞增，則

a

1

[Ha)]mfa=ni)=^-lnx.

因此要證明aNl時,恒成立,只需證明［7(。)］皿=e1-Inx21即可.

由e"2x+l,lnx4x-l,得—>x,-\nx>］-x.

上面兩個不等式兩邊相加可得ei-lnx21,故時，/(x)Nl恒成立.

當0<a<l時，因為/(l)=a+lna<l,顯然不滿足/(x)21恒成立.

所以。的取值范圍為

片篇「知識遷移強化

(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)

,一7“?、sinx

4.已知函數(shù)/(zx)=ax-----

cosx

(1)當a=8時，討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立,求。的取值范圍.

(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)

試卷第5頁，共21頁

5.已知函數(shù)/(x)=e"+od-

(1)當4=1時，討論了(%)的單調(diào)性；

⑵當轉0時，/(x)>1^+1,求0的取值范圍.

(2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模)

2

6.已知函數(shù)〃尤)=廠+；：+".

⑴當a=2時，求“X)在(-1/(-1))處的切線方程;

(2)當xNO時，不等式/(x)W2恒成立，求。的取值范圍.

技法03利用導數(shù)研究能成立(有解)問題

喟露?常見題型解讀

利用導數(shù)研究能成立(有解)問題是高考中的?？伎键c，常用函數(shù)的構造變換和單調(diào)性結合考查，需強

加練習“

02

跟我學?解題思維剖析

(全國?高考真題)

例3.設函數(shù)a>0,6>0,,曲線>=/(x)在點(1，1⑴)處的切線斜率為0求6;若存在

%21,使得了(%)〈二，求。的取值范圍.

a-1

/W的定義域為(0,+00),f(x)=a\nx+-^-x2-x,

/'(%)=巴+(1-a)x-1=---(x--1)

xx1-a

⑴若貝故當xe(l,+s)時，/'(x)>0,/⑴在(1,+切)單調(diào)遞增,

21-a

所以，存在xgl,使得/(/)<三的充要條件為了⑴<」彳，即

a-1a-\2a-1

所以-血一1<。〈收-1.

(ii)若貝故當)時，/'(x)<0;

21-aT-a

當xe(F，+s)時，f'(x)>0,在單調(diào)遞減，在(J_,+s)單調(diào)遞增.

所以，存在使得“X。)〈三的充要條件為

a-11一。a-1

試卷第6頁，共21頁

.、1Q/aa

而/(---)=aln------+----------+------->------,所以不合題意.

1—(21—〃2(1—Cl)Q—1Q—1

/…、_++*rt八/Y、1—QY—Q—1a

(ill)右?！?,則/⑴—1=--■—<---

22a-1

綜上，a的取值范圍是(-亞-1,6-l)U(l,+8).

哈魯i?知識遷移強化

(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預測)

7.已知函數(shù)/'(x)=ei-lnx.

⑴當“=0時，求曲線了=/(無)在(1,/。))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

⑵若存在x°e[e,+oo),使/(%)<0成立，求。的取值范圍.

(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)

be

8.已知函數(shù)/(x)=x2+a(尤-In尤)--(e為自然對數(shù)的底數(shù))，a,b&R.

x

⑴當6=0時，討論/(無)在(0,+司上的單調(diào)性；

(2)當6=1時，若存在尤使/(x)>0,求a的取值范圍.

(2023?四川宜賓?宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？寄M預測)

9.已知/'(x)=(無一a-l)e*-；ax2+。一一1.(aeR)

⑴討論的單調(diào)性；

(2)若a=-l,且存在無e(0,+oo),使得/(x)VInx++僅+l)x,求6的取值范圍.

技法04利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題

叫?常見題型解讀

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題是高考中的常考考點，常用函數(shù)的構造變換和單調(diào)性結合考查，需強加練

習“

02

(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)

例4-1.函數(shù)〃x)=/+巾+2存在3個零點，貝I]。的取值范圍是()

A.(-℃,-2)B.(-00,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

試卷第7頁，共21頁

技巧點撥o

【詳解】/(x)=x3+ax+2,貝！J=3,+。，

若〃x)要存在3個零點，則/(x)要存在極大值和極小值，則K0,

令/，。)=3/+°=0,解得》=-行或行，

解得。<-3,

例4-2.已知函數(shù)/(x)=e"-a(x+2).

(1)當a=l時,討論了(x)的單調(diào)性;

(2)若“X)有兩個零點，求。的取值范圍.

解題

技巧點撥o

(2)若/(x)有兩個零點,即/-a(x+2)=0有兩個解,

從方程可知，-2不成立，即"長有兩個解,

/(x+1)

令僦無)=片_2)，則有"(X)=，'(：+?>

x+2(x+2)(x+2)2

令〃'(x)>0,解得尤>-1,令〃'(x)<0,解得x<-2或-2<無<-1,

所以函數(shù)〃(x)在(-巴-2)和(-2,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+8)上單調(diào)遞增,

且當x<—2時，h(x)<0,

而尤.—2+時，〃(x)f+co,當Xf+8時，”(無)—+<?,

X1

所以當。=上-有兩個解時，有。>以-1)=—,

x+2e

試卷第8頁，共21頁

所以滿足條件的。的取值范圍是：(士+8).

e

力魯?知識遷移強化

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

10.已知函數(shù)/'(x)=ln(l+x)+?xeT

⑴當a=1時，求曲線了=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵若“X)在區(qū)間(T0),(0,。)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

11.已知函數(shù)=——Inx+x-a.

⑴若/(x)20,求a的取值范圍；

⑵證明：若/(X)有兩個零點X1,三,則再馬<1.

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

12.已知函數(shù)/(x)=QX-'—(a+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求的最大值；

⑵若/(X)恰有一個零點，求。的取值范圍.

技法05利用導數(shù)研究方程的根

?常見題型解讀

利用導數(shù)研究方程的根是高考中的?？伎键c，常用函數(shù)的構造變換和單調(diào)性結合考查，需強加練習“

02

跟我學?解題思維剖析

(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)

例5.已知"0且"1,函數(shù)〃x)=m(x>0).

a

(1)當a=2時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

解題

技巧點撥

(2)［方法一］【最優(yōu)解工分離參數(shù)

試卷第9頁，共21頁

f(x)=-=1<=>=/<=>無Ina=aln設函數(shù)g(x)=,

axxax

則g'(x)J,令g'(x)=O,得x=e,

在(O,e)內(nèi)g*)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+(?)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

，g(x)s=g(e)=：，

又g⑴=0,當X趨近于+8時，g(x)趨近于0,

所以曲線>=/(》)與直線y=i有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=皿有兩

a

個交點的充分必要條件是.o<—這即是o<g(。)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(Le)U(e,+s).

［方法二］:構造差函數(shù)

由，=f(x)與直線>=1有且僅有兩個交點知y(x)=i,即x"=優(yōu)在區(qū)間(0,+s)內(nèi)有兩個

解，取對數(shù)得方程alnx=xlna在區(qū)間(0,+功內(nèi)有兩個解.

構造函數(shù)g(x)=。Inx-xIna,xe(0,+8),求導數(shù)得g(x)=--lna=-~些些.

XX

當o<a<i時，lna<0,xe(0,y?),a-xlna>0,g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(0,+°°)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以，g(x)在(0,+動內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；

aa

當?！?時，lnQ〉0,令g'(x)=0得x=-^―，當x￡0,時,g'(x)>0；當xe--------,+OO

InaIinaIna

時，g,(x)<。;所以，函數(shù)g(X)的遞增區(qū)間為。，冷,遞減區(qū)間為

Ina)

_1_

由于0<e<1<-1-ea\na<0,

當x->+8時，有alnxcxlna,即g(x)<0,由函數(shù)g(x)=alnx-xlna在(0,+co)內(nèi)有兩

個零點知g島卜、丘T〉。，所以J，

即a—eIna>0.

構造函數(shù)為(〃)=。-elna,貝［］/(q)=1_*一-,所以〃(。)的遞減區(qū)間為(1,。)，遞增區(qū)

aa

間為(e,+8),所以〃⑷之〃⑹=0,當且僅當。=e時取等號，故〃⑷>0的解為?！?且

owe.

所以，實數(shù)〃的取值范圍為(l,e)u(e,+oo).

［方法三］分離法：一曲一直

試卷第10頁，共21頁

曲線y=f(x)與>=i有且僅有兩個交點等價為J=1在區(qū)間(0,+功內(nèi)有兩個不相同的

解.

因為/=優(yōu)，所以兩邊取對數(shù)得alnx=xlna,即山》=皿，問題等價為g(x)=In尤與

PM=皿有且僅有兩個交點.

a

①當0<a<l時，叱<0,以x)與g(x)只有一個交點，不符合題意.

②當a>1時，取g(x)=lnx上一點(x(),ln尤0),，(%)=一這'(馬)=—一(》)在點伉,111%)的

切線方程為>Tn/——(x-x0),即)=一%-1+lnx0.

J1zy------,---=一

當〉=—%T+ln%0與p(x)=-r--n--為同一直線時有｛Q%得｛ae

%。6111八v_a

Inx0-1=0,

直線p(x)=3的斜率滿足：0<叱<!時，g(x)=lnx與p(x)=3有且僅有兩個

aaea

交點.

記力(。)=野?,〃'(Q)=1,令/⑷=0,有"e.4￡(12),"'(〃)〉0,〃(4)在區(qū)間(1,。)內(nèi)

單調(diào)遞增；ae(e,+功,W(a)<Q,/z(a)在區(qū)間(自住)內(nèi)單調(diào)遞減；a=e時，〃⑷最大值為

g(e)=-,所當a>l且awe時有0<皿<、.

eae

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為(l,e)u(e,+8).

［方法四］:直接法

/(x)=5(x>°)J'(x)=axaA-ax-ax］na'Xa_xa~x｛a-x\n.d)

因為x>0,由/'(x)=0得尤==

當0<a<l時，/(%)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；

當。>1時，支>0,由r(x)>0得0<x</Lj(x)在區(qū)間((),1-］內(nèi)單調(diào)遞增，由

InaIna<InaJ

/'(x)<0得X>&J(x)在區(qū)間(二,+8］內(nèi)單調(diào)遞減.

a

a

因為，㈣〃x)=°，且1映〃x)=0,所以了>1,即InaaJ1,即

Inaa(Ina)"

a'na

a唱〉(111以"喘〉111/兩邊取對數(shù)，得［1-白］lna>ln(lna),即Ina-1>In(lna).

試卷第11頁，共21頁

令lna=t,則令貽)=lnx-x+1,則斤(尤)=—-1,所以〃(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)

尤

單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,所以3)。(1)=0,所以"INlnf,則的

解為/N1,所以Inawl,即awe.

故實數(shù)a的范圍為(Le)u(e,+a>).]

【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)

的取值范圍問題，屬較難試題，

方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最

值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.

方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.

方法三：將問題取對，分成g(x)=lnx與p(x)=3兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的

a

切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論.

方法四：直接求導研究極值，單調(diào)性，最值，得到結論.

片篇「知識遷移強化

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

13.已知函數(shù)/(無)=/-ax和g(x)=ar-ln尤有相同的最小值.

(1)求。；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線v=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且

從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

14.設函數(shù)/(x)=—+lnx(x>0).

2x

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知,曲線了=/(無)上不同的三點(七,〃』))[％,〃％)),(尤3,/(馬))處的切線

都經(jīng)過點(。,萬).證明：

(i)若a>e,則0<6—/(a)<—1J；

4八2e-a112e-a

(ii)右0<a<e，M</</，則，+6e2)丁+晨(/-6e2.

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

15.函數(shù)/(x)=ln(x+l).

%

⑴求證Vx20：

試卷第12頁，共21頁

(2)若方程f(x)=左遙恰有兩個根，求證：*<k<『.

技法06利用導數(shù)研究雙變量問題

喟3?常見題型解讀

利用導數(shù)研究雙變量問題是高考中的難點，雙變量問題運算量大，綜合性強，解決起來需要很強的技巧

性，解題總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決.需強加練習“

02

跟我學?解題思維剖析

(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)

例6.已知函數(shù)=

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設。，6為兩個不相等的正數(shù)，且Hna-aln6=a_b,證明：2<L+?<e.

ab

解題

技巧點撥

(2)［方法一］:等價轉化

由Z?Ina—aInA=a_6得!(1—In」(1—In!)，即f(―)=

aabba

由aib,得一W一.

ab

由(1)不妨設工€(0,1)上€(1,+8),則/心>0,從而得:e(l,e),

ababb

①令g(x)=〃2-x)-/(x),

貝!Jg'(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-xj=ln[l-(x-1)],

當xe(O,l)時，g『)<0,g(無)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，g(x)>g⑴=0,

從而〃27)>〃X),所以〃2-,

aab

由(1)得2-L<，即2<工+’.①

abab

令〃(x)=x+/(x),貝U=1+尸(x)=l-Inx,

當xe(l,e)時，〃(x)>0,無)在區(qū)間(l,e)內(nèi)為增函數(shù)，h(x)<h(e)=e,

從而x+/(x)<e,所以1+/(3<e.

試卷第13頁，共21頁

又由,￡(0,1),KTW—<—(1-ln-)=f(—)=fd),

aaaaab

所以，+:</d)+J=e.②

abbb

由①②得2<—+y<e.

ab

InaIn611「廣…lna+1\nb+l

［方>法一］【最s優(yōu)解】：blna-aln6=a-b變形為------=-----,所以------=--—.

abbaab

^—=m,—=n.則上式變?yōu)榧?l—ln加)=—,

ab

于是命題轉換為證明：2<m+n<e.

令/(x)=x(l-lnx),則有/(加)=/(〃),不妨設加<〃.

由(1)知0<冽,先證加+〃〉2.

要證：m+n>2<^>n>2-m<^>f(w)</(2—加)=/(m)</(2-m)

o/(加)-7(2—沈)<0.

令g(x)=/(x)-/(2-x)以E(0,1),

則,(1)=_1111_111(2_1)=_111以(2_1漳_1111=0,

，g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，所以g(x)<g⑴=0,即加+〃>2.

再證加+〃<e.

因為加(l-ln加)=冽,所以需證〃(l-ln〃)+幾<e=>冽+〃<e.

令〃(x)=x(l-lnx)+%,%￡(l,e),

所以〃［x)=l-lnx>0,故〃(x)在區(qū)間(1?內(nèi)單調(diào)遞增.

所以〃(x)<=e.故〃(及)<e,即加+〃<e.

綜合可知2<—\--<e.

ab

［方法三］:比值代換

證明9>2同證法2.以下證明%+X2<e.

ab

不妨設％2=b1，則,=寇>1，

x\

由演（1一1口再）二%2（1一加/）得再（1一加再）二/1口一111?%）［,In、］=1一些’,

t—\

要證玉+工2<。，只需證（1+，）項<e,兩邊取對數(shù)得ln（l+。+ln匹<1,

即皿1+。+1-3

<1,

試卷第14頁，共21頁

ln(l+Q\nt

即證=——-<——.

tt—1

s

記g(s)=-------,S￡(0,+8),貝！1?；1+5

SgVs)-2

S

11

記h(s)=-s---ln(l+s),貝！Jh'(s)=---------<0,

1+s(1+s)1+s

所以，〃(s)在區(qū)間(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞減.〃(s)<〃(O)=O,則g［s)<0,

所以g(s)在區(qū)間(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞減.

由%￡(1,+00)得%—1￡(0,+8),所以g(/)<g(I),

即ln(l+f)<旦.

tt—\

［方法四］:構造函數(shù)法

q心/口In。Inft1111

由已知倚-----；—=;----，令A-=再，7=%2，

abbaab

不妨設西<X2，所以/(再)=/(%).

由⑴知，0<Xj<1<x2<e,只需證2<玉+%2<￡.

證明玉+%＞2同證法2.

.e.

.、十人1i-2HFInx

再證明占+x?<e.令〃(x)=!zl吧(o<x<e)/(x)=―

x-e(x-e)

p1z?V—o

令9(x)=Inx+——2(0<x<e),則吸x)=-----=——<0.

xxxx

所以9（%）＞°（e）=0,〃（%）在區(qū)間（0,e）內(nèi)單調(diào)遞增.

,1-Inx,1-In1-Inxx,-e

因為0<$<%2<6,所以------<-------，Bp-—：---->-----

xx-ex2-e1-Inx2x2-e

又因為［(X］)=/(%)，所以::=土■，豆>工_￡,

'/'/1-Inx2玉再毛一e

BPx；-ex2<x；—ex1,(項一%)(項+%一？)>°?

因為再ex2,所以再+%2<￡，BP—+—<e.

ab

綜上，有2＜』+，＜e結論得證.

ab

需票證?知識遷移強化

（四川?高考真題）

試卷第15頁，共21頁

7

16.已知函數(shù)/(刈"+-+而中>0),/(x)的導函數(shù)是/G).對任意兩個不相等的正數(shù)

X

才1、4，證明:

(1)當00時，

(2)當Q4時，|八芭)一八%2)>1%一X2L

(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)

17.設函數(shù)/(x)=f-+lnx(x〉0).

2x

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知,曲線歹=/(X)上不同的三點(匹,/(匹)),卜2，〃工2))，(%3，/(芻))處的切線

都經(jīng)過點(〃/).證明:

則0<6_/⑷<t)；

(i)若?！礶,

一八2e-a112e-a

(ii)右0<〃<e,%i</</，則r3+6e2<不+丁<(_6e?'

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

(2023?全國?學軍中學校聯(lián)考模擬預測)

18.已知函數(shù)7+

⑴設函數(shù)g(x)=*-人(左>0),若〃x)Wg(x)恒成立，求上的最小值;

(2)若方程〃x)=m有兩個不相等的實根毛、巧，求證：工+逗「(In”」

x2石m

技法07導數(shù)中的隱零點問題

喟露?常見題型解讀

零點問題是高考的熱點問題，隱零點的代換與估計問題是函數(shù)零點中常見的問題之一，其遮王盒鹿畫

數(shù)的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍，高考中曾多次考查隱零點代換與

估計，利用導數(shù)研究恒成立問題是高考中的?？伎键c，常用函數(shù)的構造變換和單調(diào)性結合考查，需強加

練習“

02

跟我學?解題思維剖析

例7.已知函數(shù)/(x)=ln(ax),a>0,若/(x)V(x-l)e『，求a的取值范圍.

技巧點撥

試卷第16頁，共21頁

解：ifih(x)=(x-l)ex-￡Z-f(x)=(x-l)ex-a-lnx-lna,x>0,

依題意，h(x)>0恒成立，

求導得h(x)=xex~a--,x>0,

令y=h(x)=xex~a~—,y=(x+l)ex-fl+二〉0,

xx

則h'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1L，1

又打—=—e2—2<0,〃Q+l)=(Q+l)e------>0,

\2)2a-A

則玉。€&,0+1),使得〃(x0)=0,即工產(chǎn)廣=：成立，

則當xe(O,Xo),”(x)<O,〃(x)單調(diào)遞減；當xe(x0,+oo),A,(x)>0,A(x)單調(diào)遞增，

力。焉=〃(%)=(/T)e'L-In%-Ina,

由與尸"」,得b"=3，a=xo+21nxo,

%x0

于是得go)=Tnx0-ln(x0+2In/),

X。

x—1

當xe(l,+oo)時，令[x)=「--Inx,

有r(x)=(1~x)^+2)<0,z(x)在(1,+與上單調(diào)遞減，

X

而x+2InX在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

即有函數(shù)》=-ln(x+21nx)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

V—1

于是得函數(shù)夕(%)=—2--lnx-ln(x+21nx)

x

在(L+8)上單調(diào)遞減，則當不￡(1,+8)時，〃(%0)=夕(%)<火1)=0,不合題意；

當且x0+21nx0>0時，由(1)中l(wèi)nx<x-l知，-lnx0>l-x0，有

-In(x0+2Inx0)>1-(x0+2Inx0),

從而

〃(%)="21-lnx0-In樂+2lnx0)>"21?lnx0+1-+2lnx0)

%o%o

="-31nx。-x0+12”_3(x。_1)_/+1=(1。)(2”1)(2%+1),

X。/X。

Ya

由XoeQ,l叩h(xo)>O,因此滿足/(x)<(x-l)e-,又

。=%+2In//=x+2Inx

試卷第17頁，共21頁

在Q,1上單調(diào)遞增，則有?eQ-21n2,lj,而。>0,所以實數(shù)。的取值范

困是（0,1］.

喘票證?知識遷移強化

19.已知函數(shù)/(%)="+、111%(?！觐?，當。=1且左eZ時，不等式左0-1)</0)在

X￡(1,+GO)上恒成立，求左的最大值.

20.已知函數(shù)/(力=展￡+?-2(a+l"0對任意的xe(0,+s)恒成立，其中實數(shù)0>0,

求。的取值范圍.

(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模)

21.已知函數(shù)/(x)=ad一"-Xin%,且/(X)2O.

(1)求。；

_31

(2)證明："》)存在唯一的極大值點飛,且e-5</&)<▲.

e

技法08導數(shù)中的極值點偏移問題

?常見題型解讀

極值點偏移問題在高考中很常見，此類問題以導數(shù)為背景考察學生運用函數(shù)與方程、數(shù)形結合、轉換的

思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強，能力要求較高，需要綜合復習“

02

跟我學?解題思維剖析

(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)

X

例8.已知函數(shù)/(%)=J-lnx+x-a.

(1)若〃力20,求。的取值范圍；

(2)證明：若有兩個零點4%，則再％<L

解題

技巧點撥

(2)［方法一］:構造函數(shù)

由題知，/(X)一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設項<1<%2

1

要證玉工2<1，即證玉<一

試卷第18頁，共21頁

因為尤I，(0,1),即證/任)>/

X2x2

又因為=尤2)，故只需證/(9)>/

x

e11

即11E-----Inx+x—xcx—Inx——>0,x￡(1,+8)

XX

1

即UE-----xe*—2Inx一>0

XX

-,x1>0,lnx-1

下面證明工〉1時,<0

X

設g(x)=^——xex,x>1,

則g'(x)=ex+xex-